不等式选讲专题练习(含解析)【最新】

不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）3k >-【详解】解：（1）∵()1f x ax =+， ∴()f x a ≤，即01a ax a >⎧⎨+≤⎩，解得11a a x a a ---≤≤， 又∵不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴2a =. （2）依题意，()21f x x =+，故不等式()f x a x a k <++可化为2122x x k +<++， 要使不等式存在解，即1122k x x +<++存在解，即1122k x x +--<存在解， 令()1,0211112,022231,22x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=+--=->≥-⎨⎪⎪-<-⎪⎩， ∴()g x 的最小值为32-，依题意得322k >-， ∴3k >-.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.【答案】（1）3,1a b =-=；（2）4【详解】（1）由x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,{4,b a b a --=-=解得3a =-,1b = （2=≤4===，即1t =时等号成立，故max 4=．5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.【答案】（1）(,3][4,)-∞-+∞U ；（2）[22]-，. 【详解】当1a =时，21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩„…，当1x ≤-时，由()7f x ≥得217x -+≥，解得3x ≤-；当12x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x -≥，解得4x ≥，所以()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞U（2）()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[0]2，等价于|||2||4||2|x a x a x x +-+---„在[0]2，上恒成立，当[02]x ∈，时，|||2||4||2|2x a x a x x +-+---=„等价于max |(2|||)2x a a x ++-„恒成立， 而|||2||()(2)|||x a x a x a x a a +-++-+=„，∴2a ≤，故满足条件的a 的取值范围是[22]-，6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-„．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，于是原不等式化为|21||23|6x x ++-„， 若21x <-，则21(23)6x x ----„，解得112x -<-„； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-„，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-„，解得322x <„． 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+„． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）21m -<<- 【详解】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当1x ≥时，33x +≥成立．综上，不等式()3f x ≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立， 即2()3f x m m >+恒成立，只需2min ()3f x m m >+． 由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-．所以232m m +<-，解得21m -<<-．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t++>-+. 【答案】（Ⅰ）()0,1；（Ⅱ）证明见解析【详解】（Ⅰ）设sin x m =，[]1,1m ∈-，故()222sin 4sin 44428y x x m m m =--=--=--， max 1y =，故211t -<，解得01t <<，即()0,1t ∈.（Ⅱ）()()222111+1111111322122133t t t t t t t t t -++++⎛⎫++=++≥= ⎪-+-+⎝⎭， 等号成立的条件是111221t t t ==-+，方程无解，故1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）4t ≥；（2）922【详解】（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立 5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪-++-=--<<⎨⎪--≥⎩由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥；（2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()22222221111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++=⎪+++⎝⎭所以222111912322a b c ++≥+++，即222111123a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2133c =时，等号成立13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【答案】（1）{x |x ≥2或x ≤0}．（2）最小值为1．【详解】（1）3321()2211221332x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+≤≤⎨⎪⎪-+⎪⎩，＞，，＜． ∵()3f x ≥，∴3332x x -≥⎧⎨⎩＞或13122x x +≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或33312x x -+≥⎧⎪⎨⎪⎩＜， 解得2x ≥或0x ≤，∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤0}．（2）由（1）知，函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增， 所以min 13()()22f x f ==，则1322a b c m ++==， 由柯西不等式，有222222211()[()9411]()22a b c a b c ++≥++=++， ∴2221a b c ++≥，当且仅当2a ＝b ＝c ，即a 13=，b ＝c 23=时取等号， ∴222a b c ++的最小值为1．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围； （2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+-- Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c ++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立，∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.。