黑龙江省哈尔滨市松北区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级(上)期末数学试卷(五四学制)(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分)1．2的相反数是（）A．B．2C．﹣2D．﹣2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．3x2•4x2＝12x2B．x3+x5＝x8C．x4÷x＝x3D．（x5）2＝x74．如图所示物体的俯视图是（）A．B．C．D．5．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（）A．3B．﹣C．D．﹣36．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（）A．B．C．D．7．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1D．k≤1且k≠08．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm29．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2 10．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）二、填空题（每小题3分,共计30分)11．五年以来，我国城镇新增就业人数为66000000人，数据66000000用科学记数法表示为．12．分解因式：a3﹣4ab2＝．13．计算：＝．14．已知一组数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，则x的值为．15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38°，则∠OAC 的度数是度．16．不等式组的解集是．17．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是边形．18．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为．19．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．三、解答题(其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分) 21．先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a＝3tan30°+1．22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的图形△A'BC′；（2）求点C所形成的路径的长度．23．某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：（1）本次调查共抽取了多少名学生；（2）通过计算补全条形图；（3）若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？24．如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）（1）不等式x+3≤mx+的解集为．（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．25．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？26．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．27．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分)1．2的相反数是（）A．B．2C．﹣2D．﹣【解答】解：﹣2的相反数是2．故选：C．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．3．下列运算正确的是（）A．3x2•4x2＝12x2B．x3+x5＝x8C．x4÷x＝x3D．（x5）2＝x7【解答】解：A、3x2•4x2＝12x4，本选项错误；B、原式不能合并，错误；C、x4÷x＝x3，本选项正确；D、（x5）2＝x10，本选项错误，故选：C．4．如图所示物体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面向下看，易得到横排有3个正方形．故选：D．5．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（）A．3B．﹣C．D．﹣3【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），∴2k＝﹣2×3＝﹣6，∴k＝﹣3，故选：D．6．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：共有20种情况，合格的情况数有14种，所以概率为．故选：A．7．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1D．k≤1且k≠0【解答】解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x＝；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，∴△＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．故选：A．8．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm2【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×5÷2＝10π．故选：B．9．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣1）2+2，故选：A．10．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选：C．二、填空题（每小题3分,共计30分)11．五年以来，我国城镇新增就业人数为66000000人，数据66000000用科学记数法表示为6.6×107．【解答】解：将66000000用科学记数法表示为：6.6×107．故答案为：6.6×107．12．分解因式：a3﹣4ab2＝a（a+2b）（a﹣2b）．【解答】解：a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．13．计算：＝．【解答】解：＝3﹣＝2．故答案为：2．14．已知一组数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，则x的值为7．【解答】解：∵数据2、7、9、10、x的平均数与众数相等，∴＝x，∴x＝7．故填7．15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝38°，则∠OAC 的度数是19度．【解答】解：∵∠AOB＝38°∴∠C＝38°÷2＝19°∵AO∥BC∴∠OAC＝∠C＝19°．16．不等式组的解集是﹣3＜x≤2．【解答】解：解不等式2x﹣4≤0，得：x≤2，解不等式x+3＞0，得：x＞﹣3，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故答案为：﹣3＜x≤2．17．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：五．18．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为或．【解答】解：①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝×2＝4，∵∠ABC＝45°，∴BE＝DE＝AD＝×4＝2，BE⊥AD，∵BC＝1，∴CE＝BE﹣BC＝2﹣1＝1，在Rt△CDE中，CD＝＝＝；②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝2，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BE＝×2＝2，∵BC＝1，∴CE＝BE+BC＝2+1＝3，在Rt△CDE中，CD＝＝＝，综上所述，线段CD的长为或．故答案为：或．19．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是210cm．【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD＝2×30＝60（cm），BD＝18×3＝54（cm），∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴BD：CD＝1：5，∴CD＝5BD＝5×54＝270（cm），∴AC＝CD﹣AD＝270﹣60＝210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEG，∴AG＝EG，同理可得，EF＝CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝3：4：5，设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，∵AC＝10，∴3k+5k+4k＝10，∴k＝，∴EF＝4k＝．故答案为：．三、解答题(其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分) 21．先化简，再求代数式÷（1+）的值，其中a＝3tan30°+1．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝3tan30°+1＝3×+1＝+1时，原式＝＝．22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的图形△A'BC′；（2）求点C所形成的路径的长度．【解答】解：（1）如图，△A'BC′为所作；（2）点C所形成的路径的长度＝＝π．23．某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：（1）本次调查共抽取了多少名学生；（2）通过计算补全条形图；（3）若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数是：16÷32%＝50（名）；（2）不大了解的人数有50﹣16﹣18﹣10＝6（名），补图如下：（3）根据题意得：750×＝270（名），答：该学校选择“比较了解”项目的学生有270名．24．如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）（1）不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+相交于点M（﹣1，b），∴不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．故答案为x≤﹣1；（2）∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），将M（﹣1，2）代入y＝mx+，得2＝﹣m+，解得m＝﹣，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．∵直线AC的解析式为y＝x+3，∴当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．∴AB＝5，∴S△ABM＝×5×2＝5．25．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得，解得，∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．（2）方法一：解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．80a+50（96﹣a）≤5720，a≤30．∵a为正整数，∴a最多可以购买30个篮球．∴这所学校最多可以购买30个篮球．方法二：解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．50n+80（96﹣n）≤5720，n≥65∵n为整数，∴n最少是6696﹣66＝30个．∴这所学校最多可以购买30个篮球．26．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABC＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．27．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意知：抛物线的对称轴为：x＝1，则B（3，0）；已知OB＝OC＝3，则C（0，﹣3）；设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），依题意有：a（0﹣1）（0﹣3）＝﹣3，a＝﹣1；故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3．（2）设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有，设OF＝x，则EF＝3x，所以FA＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝；即OF＝，F（0，）；求得直线AE为y＝﹣x+，联立抛物线的解析式得：，解得，；故点P（）．（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；故M（1，﹣2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨松北区四校联考数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，则cos B 的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．432．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若 1sin 2A =，则∠B 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a =3b ，那么∠A 的余切值为（ ） A ．13 B ．3 C ．24 D ．10104．下列方程中，没有实数根的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．抛物线 y=﹣（x ﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（1，﹣2）6．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ） A ．()212x -= B ．()214x -= C ．()211x -= D ．()217x -= 7．若一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m ＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y ＝2m x +的图象所在的象限是（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列结论:①0abc <，②20a b +=，③1m ≠时，2a b am bm +<+，④0a b c -+<，⑤当221122ax bx ax bx +=+且12x x ≠时，122x x +=，⑥当13x 时，0y >.其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④⑥C ． ②⑤⑥D ．②③⑤9．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( )A ．1，-3，10B ．1，7，-10C ．1，-5，12D ．1， 3，210．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正三角形B ．正五边形C ．等腰直角三角形D ．矩形 11．方程()23250x --=的根是（ ）A ．5和5-B ．2和8-C ．8和2-D ．3和3-12．如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为O 上一点，连接AC ，BC ，若80P ∠=︒，则ACB∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y ＝33x +33上，且∠C 1OA 1＝∠C 2A 1A 2＝∠C 3A 2A 3＝…＝60°，OA 1＝1，则点C 6的坐标是__．14．方程111x x -=-的解是________． 15．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．16．边心距为43的正六边形的半径为_______． 17．已知654a b c ==，且26a b c +-=，则a 的值为__________． 18．如图，已知ABC 中，445CA CB C ==∠=，，D 是线段AC 上一点（不与A,C 重合）,连接BD ，将ABD △沿AB 翻折，使点D 落在点E 处，延长BD 与EA 的延长线交于点F ，若BEF 是直角三角形，则AF 的长为_________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，A 为反比例函数k y x=(x>0)图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，4OB =.连接OA ，AB ，且210OA AB ==.(1)求k 的值；(2)过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=(x>0)的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，求AD DB 的值.20．（8分）求值：12sin 60452︒+2sin30°－tan60°- tan 45° 21．（8分）已知关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=．（1）若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 22．（10分）如图，AB 是O 的直径，45CAB ∠=︒，BC BA =，连接OC 交O 于点D ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若2AB =，求CD 的长．23．（10分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，点B 经过的路线为弧BD 求图中阴影部分的面积．24．（10分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选． （1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．25．（12分）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ． （1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O B 、重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN MB 、．请问：MBN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．26．有两个不透明的袋子，甲袋子里装有标有23，两个数字的2张卡片，乙袋子里装有标有456，，三个数字的3张卡片，两个袋子里的卡片除标有的数字不同外，其大小质地完全相同．（1）从乙袋里任意抽出一张卡片，抽到标有数字6的概率为．（2）求从甲、乙两个袋子里各抽一张卡片，抽到标有两个数字36、的卡片的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】根据余弦函数的定义即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，∴cosB=ABBC=35．故选A．【点睛】本题主要考查了余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，解决本题的关键是要熟练掌握余弦的定义.2、C【分析】根据特殊角的函数值1sin302=可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．【详解】解：∵1 sin302=，∴∠A=30°，∵∠C＝90°，∴∠B=90°-∠A=60°故选：C．【点睛】此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.3、A【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=ba，即可得出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b，∴1 cot3baA==；故选择：A.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．4、D【解析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：A、方程化为一般形式为：，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、方程化为一般形式为：，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项错误；C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5、D【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】抛物线y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6、B【详解】， 移项得：， 两边加一次项系数一半的平方得：，所以()212x -=，故选B.7、B 【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m 的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据反比例函数的性质可得答案．【详解】∵一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m =0有两个不等的实数根，∴△=b 2﹣4ac =16+16m ＞0，∴m ＞﹣1，∴m+2＞1，∴反比例函数y =2m x +的图象所在的象限是第一、三象限， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m 的取值范围．8、D【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y 轴的交点位置就可得到a 、b 、c 的符号，从而得到abc 的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x=2b a-=1就可得到2a 与b 的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c 最小，从而解决问题；④根据抛物线x=1-图象在x 轴上方，即可得到x=1-所对应的函数值的符号；⑤由221122ax bx ax bx +=+可得221122ax bx c ax bx c ++=++，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，由对称轴在y 轴的右边可得x=2b a-＞0，从而有b<0， 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可得c<0，则abc>0，故①错误；②由对称轴方程x=2b a-=1得b=-2a ，即2a+b=0，故②正确； ③由图可知，当x=1时，y=a+b+c 最小，则对于任意实数m （1m ≠），都满足2a b c am bm c ++<++，即2a b am bm +<+，故③正确；④由图像可知，x=1-所对应的函数值为正，∴x=1-时，有a-b+c>0，故④错误；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且x 1≠x 2，则221122ax bx c ax bx c ++=++，∴抛物线上的点（x 1，y 1）与（x 2，y 2）关于抛物线的对称轴对称，∴1-x 1=x 2-1，即x 1+x 2=2，故⑤正确．⑥由图可知，当13x时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；∴正确的有②③⑤；故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．9、A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x 2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式.10、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A ．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C ．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D ．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11、C【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．【详解】()23250x --=(x-3)2=25，∴x-3=±5， ∴x=8或x=-2，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．12、C【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．【详解】解：连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒．∴180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴111005022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二、填空题（每题4分，共24分）13、（47，163【分析】根据菱形的边长求得A 1、A 2、A 3…的坐标然后分别表示出C 1、C 2、C 3…的坐标找出规律进而求得C 6的坐标．【详解】解：∵OA 1=1，∴OC 1=1，∴∠C 1OA 1＝∠C 2A 1A 2＝∠C 3A 2A 3＝…＝60°，∴C 1的纵坐标为：sim60°. OC 1＝2，横坐标为cos60°. OC 1＝12，∴C 11(,22， ∵四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，∴A 1C 2=2，A 2C 3=4，A 3C 4=8，…∴C 2的纵坐标为：sin60°A 1C 2，代入y 求得横坐标为2，∴C 2（2，∴C 3的纵坐标为：sin60°A 2C 3=y 求得横坐标为5，∴C 3（5，，∴C 4（11，，C 5（23，，∴C 6（47，；故答案为（47，．【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C 点的坐标，找出规律是解题的关键．14、2x = .【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解.【详解】去分母得：()21x x =-，解得:2x =，经检验是2x =的根，所以，原方程的解是：2x =.故答案是为：2x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15、16 【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数． 二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为16. 故答案为16. 【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n =. 16、8【分析】根据正六边形的性质求得∠AOH=30°，得到AH=12OA ，再根据222OA OH AH =+求出OA 即可得到答案. 【详解】如图，正六边形ABCDEF ，边心距OH=43，∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，∴∠AOH=30°，∴AH=12OA ， ∵222OA OH AH =+，∴2221(43)()2OA OA =+,解得OA=8，即该正六边形的半径为8，故答案为：8.【点睛】此题考查正六边形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，正确理解正六边形的性质是解题的关键.17、1【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a ，b ，c 的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 详解：∵654a b c ==， ∴设a=6x ，b=5x ，c=4x ，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=1．故答案为1．点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．18、42或424-【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC 为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF 为等腰直角三角形即可求出斜边AF 的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD ∽△ACB ，利用对应边成比例求出AD 和CD 的长，再证△ADF ∽△CDB ，利用对应边成比例求出AF.【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，在△ABC 中，CA=CB=4，∠C=45°∴∠ABC=∠BAC=()1180C 2︒-∠=67.5° ∵∠BDC=90°，∠C=45°∴△BCD 为等腰直角三角形，∴CD=22BC=22DBC=45° ∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5° ∴∠EBF=45°∴∠F=90°-45°=45°∴△ADF 为等腰直角三角形∴AF=()()2AD=2CA CD =2422=424--- ②当∠EBF=90°时，如图所示， 由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，∵∠BAD=∠CAB∴△ABD ∽△ACB∴AB AD =AC AB由情况①中的AD=42-BD=22 可得22AD BD =422+-∴AD=2AB 3216242AC --∴CD=(AC AD=4842=424---∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°∴∠F=22.5°=∠DBC ∴EF ∥BC∴△ADF ∽△CDB∴AD AF =CD BC∴8424AD BC AF==42CD 424-⨯⋅-∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD ，∠EBF=2∠ABD ∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD ＞90° ∴∠F 不可能为直角综上所述，AF 的长为42424.故答案为：4.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.三、解答题（共78分）19、 (1)k=12；(2)32. 【分析】(1)过点A 作AH OB ⊥交x 轴于点H ，交OC 于点M ，易知OH 长度，在直角三角形OHA 中得到AH 长度，从而得到A 点坐标，进而算出k 值；（2）先求出D 点坐标，得到BC 长度，从而得到AM 长度，由平行线得到ADM BDC ∴△∽△，所以32AD AM BD BC == 【详解】解：(1)过点A 作AH OB ⊥交x 轴于点H ，交OC 于点M .4OA AB OB ===2OH ∴=6AH ∴=()2,6A ∴12k ∴= (2)124x y x ==将代入 ()4,3C 得3BC ∴=1322MH BC == 92AM ∴=AH x BC x ⊥⊥轴，轴AH BC ∴∥ ADM BDC ∴△∽△32AD AM BD BC ∴==【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k203【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可. 解：原式＝1322123122+⨯ 31318=+- 328=- 1673-= 21、（1）-4；（2）3m =【分析】（1）根据题意利用判别式的意义进行分析，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可； （2）由题意利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，进而再利用22212121184x x x x m ++=-，接着解关于m 的方程确定m 的值．【详解】解：（1）221(1)41(2)4m m ∆=+-⨯⨯- 22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴m 的最小整数值为4-.（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：22211[(1)](2)1844m m m -+--=- 13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=.【点睛】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，注意掌握若1x ，2x 是一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的两根时，则有1212a x c x a x x b+=-=，．22、（1）证明见解析；（2）1CD =．【分析】（1）根据题意先由BC=BA 求出∠ACB=∠CAB ，再根据三角形内角和求出∠ABC=90°，即可得出结论； （2）根据题意先求出半径OD ，再根据勾股定理即可求出OC ，进而得出CD ．【详解】解：（1）证明：BC BA =，45CAB ∠=︒，45ACB CAB ∴∠=∠=︒，180454590ABC ∠=︒-︒-︒=︒∴，即AB BC ⊥，因此BC 是O 的切线.（2）由（1）可知，90ABC ∠=︒，AB 是O 的直径，112OD OB AB ∴===，2BC =，OC ∴=1CD OC OD ∴=-=.【点睛】本题考查圆的切线的判定和等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，并据此进行推理计算是解决问题的关键．23、2512π． 【分析】根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，∴根据旋转可知：∠DAB =30°，△AED ≌△ACB ，∴S △AED =S △ACB ，∴图中阴影部分的面积S =S 扇形DAB +S △AED ﹣S △ACB =S 扇形DAB 23052536012π⨯==π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积是解题的关键．24、（1）12；（2）13【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能， ∴另一位选手恰好是乙同学的概率12； （2）画树状图如下：所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种， ∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为26＝13． 【点睛】考核知识点：求概率.运用列举法求概率是关键.25、（1）223y x x =--；（2）32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916；（3）32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点A B 、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OP x =，则3PB x =-，由POE CBP ∆~∆得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，由12MNB BMH MNH S S S MH OB ∆∆∆=+=⋅即可求解． 【详解】解：（1））∵抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，把A B 、两点坐标代入上式，10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；（2）∵()1,0A -，点()3,0B ，∴134AB OA OB =+=+=，∵正方形ABCD 中，90,ABC PC BE ∠=︒⊥，∴90OPE CPB ∠+∠=︒， 90CPB PCB ∠+∠=︒，∴OPE PCB ∠=∠，又∵90EOP PBC ∠=∠=︒，∴POE CBP ∆~∆， ∴BC OP PB OE=， 设OP x =，则3PB x =-， ∴43x x OE =-， ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵03x <<， ∴32x =时，线段OE 长有最大值，最大值为916． 即32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916． （3）存在．如图，过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，∵抛物线的解析式为223y x x =--，∴0,3x y ==-，∴N 点坐标为()0,3-，设直线BN 的解析式为y kx b =+， ∴303k b b +=⎧⎨=-⎩， ∴13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BN 的解析式为3y x =-，设()2,23M a a a --，则(),3H a a -， ∴()223233MH a a a a a =----=-+， ∴()221113273322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ∆∆∆⎛⎫=+=⋅=⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭， ∵102-<， ∴32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．26、（1）13；（2）抽到标有36、两个数字的卡片的概率是16．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和抽到标有3、6两个数字的卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）乙袋子里装有标有456，，三个数字的卡片共3张，则抽到标有数字6的概率为13；故答案为：13；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中抽到标有36、两个数字有1种，则抽到标有36、两个数字的卡片的概率是16．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨松北区四校联考数学九年级第一学期期末调研试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A．52B．154C．3 D．53．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为( )A．10 B．8 C．6 D．44．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x … ﹣1 0 1 2 …y … ﹣5 1 3 1 …A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根5．如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．±46．下列四个数中是负数的是（ ）A ．1B ．﹣（﹣1）C ．﹣1D ．|﹣1|7．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．50°D ．40°8．抛物线y=－(x －2)2＋3，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标（2，3）B ．开口向上，顶点坐标（2，－3）C ．开口向下，顶点坐标（－2，3）D ．开口向上，顶点坐标（－2，－3）9．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图1．则旋转的牌是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆O 与点P 在同一平面内，如果圆O 的半径为5，线段OP 的长为4，则点P （ ）A ．在圆O 上B ．在圆O 内C ．在圆O 外D ．在圆O 上或在圆O 内11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）A ．45B ．34C ．43D ．3512．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，OP=23，则⊙O 的半径为（ ）．A ．43B ．63C ．8D ．12二、填空题（每题4分，共24分）13．关于x 的一元二次方程x 2+nx ﹣12＝0的一个解为x ＝3，则n ＝_____．14．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y x ，点1Q 的坐标为(1,0)，以1O 为圆心，1O O 为半径画圆，交直线l 于点1P ，交x 轴正半轴于点2O ，以2O 为圆心，2O O 为半径的画圆，交直线l 于点2P ，交x 轴的正半轴于点3O ，以3O 为圆心，3O O 为半径画圆，交直线l 与点3P ，交x 轴的正半轴于点4O ，… 按此做法进行下去，其中弧20192020P O 的长为_______．16．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝a ，点E ，F 在对角线BD 上，且∠ECF ＝∠ABD ，将△BCE 绕点C 旋转一定角度后，得到△DCG ，连接FG ．则下列结论：①∠FCG ＝∠CDG ；②△CEF 的面积等于214a ； ③FC 平分∠BFG ；④BE 2+DF 2＝EF 2；其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）17．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm （即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm18．如图，点A是双曲线y＝﹣9x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝k x上运动，则k的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，O是AB所在圆的圆心，C是AB上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB=9.35cm，设A，D两点间的距离为x cm，O,D两点间的距离为1y cm，C，D两点间的距离为2y cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y,2y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y,2y与x的几组对应值：x /cm 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.10 8.00 9.351y /cm 4.933.99 m 2.28 1.70 1.59 2.04 2.88 3.674.93 2y /cm 0.00 0.94 1.83 2.65 3.23 3.34 2.89 2.05 1.26 0.00（2）①在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ,1y ）, （x ,2y ）,并画出（1）中所确定的函数1y ,2y 的图象；②观察函数1y 的图象，可得m cm(结果保留一位小数)；（3）结合函数图象，解决问题：当OD=CD 时，AD 的长度约为 cm （结果保留一位小数）．20．（8分）为迎接2019年中、日、韩三国青少年橄榄球比赛，南雅中学计划对面积为22400m 运动场进行塑胶改造.经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能改造的面积是乙队每天能改造面积的2倍，并且在独立完成面积为2400m 的改造时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成塑胶改造的面积；（2）设甲工程队施工x 天，乙工程队施工y 天，刚好完成改造任务，求y 与x 的函数解析式；（3）若甲队每天改造费用是0.55万元，乙队每天改造费用是0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过30天，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低的费用.21．（8分）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资. 已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利为z （万元）。
黑龙江省哈尔滨市松北区2018-2019学年人教版五四学制九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．（3分）下列计算正确的是（）A．a3a2＝a6B．（﹣3a2）3＝﹣27a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．2a+3a＝5a23．（3分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）5．（3分）如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．6．（3分）方程解是（）A．B．x＝4C．x＝3D．x＝﹣47．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB ＝CD＝8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．48．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．（3分）已知A、B两地相距4km，上午8：00时，亮亮从A地步行到B地，8：20时芳芳从B地出发骑自行车到A地，亮亮和芳芳两人离A地的距离S（km）与亮亮所用时间t（min）之间的函数关系如图所示，芳芳到达A地时间为（）A．8：30B．8：35C．8：40D．8：45二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将0.00000516用科学记数法表示为．12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）代数式a2b﹣2ab+b分解因式为．14．（3分）计算﹣9的结果是．15．（3分）反比例函数过点A（m，2），则m的值是．16．（3分）不等式组的解集是．17．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是．18．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为．19．（3分）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝．20．（3分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE ＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题10分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝tan60°．22．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在格点上．（1）在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在格点上，且三角形ABC的面积为．（2）在方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为3，连接CE，请直接写出线段CE的长．23．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开放以下球类活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．排球、D．足球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图①，图②），请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少人？（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1900人，请你估计该校喜欢D项目的人数．24．（8分）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC 于E、F两点，（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段．25．（10分）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？26．（10分）如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F（1）求∠EDF的度数；（2）若AD＝6，求△AEF的周长；（3）设EF、AD相较于N，若AE＝3，EF＝7，求DN的长．27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象与直线y＝kx+3交于点A（﹣1，）、点C两点．（1）求a，k的值；（2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t，连接PC、P A，设△PCA的面积为S，求S关于t的函数关系式：（直接写出t的取值范围）（3）在（2）的条件下，作CE⊥x轴于E，点P直线y＝kx+3下方时，连接OP、BC交于D，连接ED，当∠ODE＝90°时，求t和S的值．。
2022年黑龙江省哈尔滨市松北区九上期末数学试卷(五四学制)
2022年黑龙江省哈尔滨市松北区九上期末数学试卷（五四学制）1.2的相反数是( )A．12B．2C．−2D．−122.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3.下列运算正确的是( )A．3x2⋅4x2=12x2B．x3+x5=x8C．x4÷x=x3D．(x5)2=x74.如图所示物体的俯视图是( )A．B．C．D．5.反比例函数y=2kx的图象经过点(−2,3)，则k的值为( )A．3B．−72C．72D．−36.一家公司招考员工，每位考生要在A，B，C，D，E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A，B两题，则他合格的概率为( )A．710B．12C．25D．157.关于x的方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )A．k≥−1B．k≥−1且k≠0C．k≤−1D．k≤1且k≠08.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为( )A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm29. 将二次函数 y =x 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 ( ) A ． y =(x −1)2+2 B ． y =(x +1)2+2 C ． y =(x −1)2−2D ． y =(x +1)2−210. 如图，以原点 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A ，B 两点，P 是 AB⏜ 上一点（不与 A ，B 重合），连接 OP ，设 ∠POB =α，则点 P 的坐标是 ( )A ． (sinα,sinα)B ． (cosα,cosα)C ． (cosα,sinα)D ． (sinα,cosα)11. 五年以来，我国城镇新增就业人数为 66000000 人，数据 66000000 用科学记数法表示为 ．12. 分解因式：a 3−4ab 2= ．13. 计算：√18−√2= ．14. 已知一组数据 2，7，9，10，x 的平均数与众数相等，则 x 的值为 ．15. 如图，点 O 是 ⊙O 的圆心，点 A ，B ，C 在 ⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB =38∘，则 ∠OAC 的度数是 度．16. 不等式组 {2x −4≤0,x +3>0 的解集是 ．17. 若一个多边形的内角和是 540∘，则这个多边形是 边形．18. 在 △ABC 中，AB =2√2，BC =1，∠ABC =45∘，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD ，使∠ABD =90∘，连接 CD ，则线段 CD 的长为 ．19. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm ，深为 30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A ，斜坡的起始点为 C ，现设计斜坡 BC 的坡度 i =1:5，则 AC 的长度是 cm ．20.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．21.先化简，再求代数式a+1a2−2a+1÷(1+2a−1)的值，其中a=3tan30∘+1．22.如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：(1) 画出△ABC绕点B顺时针旋转90∘的图形△AʹBCʹ；(2) 求点C所形成的路径的长度．23.某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：(1) 本次调查共抽取了多少名学生；(2) 通过计算补全条形图；(3) 若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？分别与x轴、y 24.如图，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A，C，直线y=mx+43轴交于点B，D，直线AC与直线BD相交于点M(−1,b)．的解集为．(1) 不等式x+3≤mx+43(2) 求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．25.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．(1) 购买一个足球、一个篮球各需多少元？(2) 根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？26.已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB=AC，连接BC交AD于点E，连接AC．(1) 如图1，求证：∠ABF=∠ABC；(2) 如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC=∠HCA=90∘时，求证：DA；CH=12(3) 在（2）的条件下，若OH=6，⊙O的半径为10，求CE的长．27.如图1，抛物线y=ax2−4ax+b经过点A(1,0)，与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；(3) 如图2，点M为直线BC上一点（不与B，C重合），连OM，将OM绕O点旋转90∘，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．答案1. 【答案】C2. 【答案】B【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．3. 【答案】C【解析】A．3x2⋅4x2=12x4，本选项错误；B．原式不能合并，错误；C．x4÷x=x3，本选项正确；D．(x5)2=x10，本选项错误．4. 【答案】D【解析】从上面向下看，易得到横排有3个正方形．5. 【答案】D的图象经过点(−2,3)，【解析】∵反比例函数y=2kx∴2k=−2×3=−6，∴k=−3．6. 【答案】A【解析】共有20种情况，合格的情况数有14种，．∴概率为7107. 【答案】A；【解析】（1）当k=0时，−6x+9=0，解得x=12（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x−1=0有实数根，∴Δ=22−4k×(−1)≥0，解得k≥−1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥−1．8. 【答案】B【解析】圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．9. 【答案】A10. 【答案】C【解析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=PQOP ，cosα=OQOP，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为(cosα,sinα)．11. 【答案】6.6×10712. 【答案】a(a+2b)(a−2b)【解析】a3−4ab2=a(a2−4b2)=a(a+2b)(a−2b).13. 【答案】2√2【解析】√18−√2 =3√2−√2 =2√2.14. 【答案】7【解析】∵数据2，7，9，10，x的平均数与众数相等，∴2+7+9+10+x5=x，∴x=7．15. 【答案】19【解析】∵∠AOB=38∘，∴∠C=38∘÷2=19∘，∵AO∥BC，∴∠OAC=∠C=19∘．16. 【答案】−3<x≤2【解析】解不等式2x−4≤0，得：x≤2，解不等式x+3>0，得：x>−3，∴不等式组的解集为−3<x≤2．17. 【答案】五【解析】设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180∘=540∘，解得n=5．18. 【答案】√5或√13【解析】①如图1，点A，D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD=√2AB=√2×2√2=4，∵∠ABC=45∘，∴BE=DE=12AD=12×4=2，BE⊥AD，∵BC=1，∴CE=BE−BC=2−1=1，在Rt△CDE中，CD=√CE2+DE2=√12+22=√5；②如图2，点A，D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=AB=2√2，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE=√22×2√2=2，∵BC=1，∴CE=BE+BC=2+1=3，在Rt△CDE中，CD=√CE2+DE2=√32+22=√13，综上所述，线段CD的长为√5或√13．19. 【答案】210【解析】过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，∵斜坡BC的坡度i=1:5，∴BD:CD=1:5，∴CD=5BD=5×54=270(cm)，∴AC=CD−AD=270−60=210(cm)，∴AC的长度是210cm．20. 【答案】103【解析】过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG:EF:GF=AB:BC:AC=3:4:5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，，∴k=56．∴EF=4k=10321. 【答案】原式=a+1(a−1)2÷a−1+2a−1=a+1(a−1)2⋅a−1a+1=1a−1.当 a =3tan30∘+1=3×√33+1=√3+1 时，原式=√3+1−1=√33.22. 【答案】(1) 如图，△AʹBCʹ 为所作； (2) 点 C 所形成的路径的长度 =90π⋅2180=π．23. 【答案】(1) 本次调查共抽取的学生数是：16÷32%=50（名）； (2) 不大了解的人数有 50−16−18−10=6（名）， 补图如下： (3) 根据题意得： 750×1850=270（名），答：该学校选择“比较了解”项目的学生有 270 名．24. 【答案】(1) x ≤−1(2) ∵ 直线 y =x +3 过点 M (−1,b )， ∴b =−1+3=2，M (−1,2)， 将 M (−1,2) 代入 y =mx +43，得 2=−m +43，解得 m =−23， ∴ 直线 BD 的解析式为 y =−23x +43， ∴ 当 y =0 时，x =2， ∴B (2,0)．∵ 直线 AC 的解析式为 y =x +3， ∴ 当 y =0 时，x =−3， ∴A (−3,0)．∴AB =5，∴S △ABM =12×5×2=5．【解析】(1) ∵ 直线 y =x +3 与直线 y =mx +43 相交于点 M (−1,b )，∴ 不等式 x +3≤mx +43 的解集为 x ≤−1．25. 【答案】(1) 设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元，根据题意得：{3x +2y =3102x +5y =500.解得：{x =50y =80.∴ 购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元．(2) 方法一：设购买 a 个篮球，则购买 (96−a ) 个足球，80a +50(96−a )≤5720，a ≤3023，∵a 为正整数，∴a 最多可以购买 30 个篮球，∴ 这所学校最多可以购买 30 个篮球．【解析】(2) 方法二：设购买 n 个足球，则购买 (96−n ) 个篮球，50n +80(96−n )≥5720，n ≥6513，∵n 为整数，∴n 最少是 66 个，96−66=30 个．∴ 这所学校最多可以购买 30 个篮球．26. 【答案】(1) ∵BD 为 ⊙O 的直径，∴∠BAD =90∘，∴∠D +∠ABD =90∘，∵FB 是 ⊙O 的切线，∴∠FBD =90∘，∴∠FBA +∠ABD =90∘，∴∠FBA =∠D ，∵AB =AC ，∴∠C=∠ABC，∵∠C=∠D，∴∠ABF=∠ABC．(2) 如图2，连接OC，∵∠OHC=∠HCA=90∘，∴AC∥OH，∴∠ACO=∠COH，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC+∠CBO=∠ACB+∠OCB，即∠ABD=∠ACO，∴∠ABD=∠COH，∵∠H=∠BAD=90∘，∴△ABD∽△HOC，∴ADCH =BDOC=2，∴CH=12DA．(3) 由（2）知，△ABD∽△HOC，∴ABOH =BDOC=2，∵OH=6，⊙O的半径为10，∴AB=2OH=12，BD=20，∴AD=√BD2−AB2=16，在△ABF与△ABE中，{∠ABF=∠ABE,AB=AB,∠BAF=∠BAE=90∘,∴△ABF≌△ABE，∴BF=BE，AF=AE，∵∠FBD=∠BAD=90∘，∴AB2=AF⋅AD，∴AF=12216=9，∴AE=AF=9，∴DE=7，BE=√AB2+AE2=15，∵AD，BC交于E，∴AE⋅DE=BE⋅CE，∴CE=AE⋅DEBE =9×715=215．27. 【答案】(1) 由题意知：抛物线的对称轴为：x =1，则 B (3,0)；已知 OB =OC =3，则 C (0,−3)；设抛物线的解析式为：y =a (x −1)(x −3)，依题意有：a (0−1)(0−3)=−3，a =−1；故抛物线的解析式为：y =−x 2+4x −3．(2) 设 AE 交 y 轴于点 F ．易证得 △FOA ∽△FEC ，有 OF EF =OA CE =13，设 OF =x ，则 EF =3x ，∴FA =3x −1；在 Rt △FOA 中，由勾股定理得：(3x −1)2=x 2+1，解得 x =34，即 OF =34，F (0,34)；求得直线 AE 为 y =−34x +34，联立抛物线的解析式得：{y =−34x +34,y =−x 2+4x −3, 解得 {x =154,y =−3316,{x =1,y =0, 故点 P (154,−3316)． (3) ∵B (3,0)，C (0,−3)，∴ 直线 BC:y =x −3；设点 M (a,a −3)，则：①当点 M 在第一象限时，OG =a ，MG =a −3；过 M 作 MG ⊥x 轴于 G ，过 N 作 NH ⊥x 轴于 H ；根据旋转的性质知：∠MON =90∘，OM =ON ，则可证得 △MOG ≌△NOH ，得：OG =NH =a ，OH =MG =a −3，故 N (a −3,−a )，将其代入抛物线的解析式中，得：−(a −3)2+4(a −3)−3=−a ，整理得：a 2−11a +24=0，a =3（舍去），a =8，故 M (8,5)，N (5,−8)．②当点 M 在第三象限时，OG =−a ，MG =3−a ，同①可得：MG =OH =3−a ，OG =NH =−a ，则 N (3−a,a )，代入抛物线的解析式可得：−(3−a )2+4(3−a )−3=a ，整理得：a 2−a =0，故 a =0，a =1，由于点 M 在第三象限，∴a <0，故 a =0，a =1 均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG=a，MG=3−a；同①得：N(3−a,a)，在②中已经求得此时a=0（舍去），a=1，故M(1,−2)，N(2,1)．综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N(2,1)或(5,−8)．。
2020-2021学年哈尔滨市松北区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年哈尔滨市松北区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若a是3的相反数，则a的倒数是()A. 3B. −3C. 13D. −132.下列计算正确的是()A. (3a)3=3a3B. a3⋅a4=a12C. a8÷a2=a4D. (a2)3=a63.如图所示是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有()A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种4.如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是()A. 11B. 8C. 7D. 65.抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式()A. y=2(x+3)2+1B. y=2(x−3)2+1C. y=2(x+3)2−1D. y=2(x−3)2−16.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x=2时，y=20.则y与x的函数图象大致是()A. B.C. D.7.如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕B点按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么这个角度等于()A. 30°B. 60°C. 90°D.120°8.如图，已知A，B两点的坐标分别为(2,0)，(0,2)，⊙C的圆心坐标为(−1,0)，半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，△ABE面积的最小值是()A. 2B. 1C.D.9.阅读下列材料：如果(x+1)2−9=0，那么(x+1)2−32=(x+1+3)(x+1−3)=(x+4)(x−2)，则(x+4)(x−2)=0，由此可知：x1=−4，x2=2.根据以上材料计算x2−6x−16=0的根为()A. x1=−2，x2=8B. x1=2，x2=8C. x1=−2，x2=−8D. x1=2，x2=810.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE//BC，△ADE与四边形DBCE的面积之比为1：3，则AD：AB为()A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 1：5二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.地球上陆地面积约为148000000km2.则数据148000000用科学记数法表示为______．12.函数f(x)=2+x的定义域是______ ．2−x13.分解因式：2m2−2=______．14.计算：√5+√5=______ ．15.若使代数式3x−1的值在−1和2之间，则x可以取的整数是______．216.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个,0)；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是______．点(−ca17.一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是______．18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移5米，半圆的直径为2米，则圆心O所经过的路线长是米．19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2.则最大的正方形E的面积是______ ．20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，AC=AD，∠B=2∠ADE，则∠EDC的大小为______°.三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.(1)计算：(12)−1−√(−3)2+(π−3.14)0−√2cos45°；(2)先化简代数式(aa+2+2a−2)÷1a2−4，然后选取一个合适的a值，代入求值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，(1)若AC：CB=3：2，求AD：DB的值；(2)∠ABC的角平分线分别交AC，DC于E，F两点，求证：1CA +1CD=1CE；(3)延长CD至G，使DG=23CG，连接AG，F为AG，CB延长线上的交点，AG=5，sin∠AGD=35，直接写出CF的长．23.为了了解中学生参加体育活动的情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：A.1.5小时以上；B.1～1.5小时(不包含1小时)；C.0.5−1小时；D.0.5小时以下．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)本次调查活动采取了______调查方式，样本容量是______．(2)扇形统计图中选项D的圆心角为______度，条形统计图中选项B部分补充完整．(3)若该校有300名学生，你估计该校可能有______名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．24.已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF//AB交AE的延长线于点F．(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)求证：四边形ACFD是平行四边形．(3)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．25.列方程解应用题今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？26.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6.P是底边BC上的一个动点(P与B、C不重合)，以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．(1)若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)当BP=2√3时，试说明射线CA与⊙P是否相切．S△ABC，求BP的长．(3)连接PA，若S△APE=1827.已知抛物线C1：y=a(x−1)2+4交x轴的负半轴于点A(−1,0)，交x轴的正半轴于点B(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，直线AP、BP分别交y轴于M、N两点，当OM⋅ON最大时，求点P的坐标；(3)如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得抛物线C2，E为抛物线C2的x轴上方的一点，过E作EG⊥x轴于G，交直线y=−2x−4于点F，求EG的最大值．GF参考答案及解析1.答案：D解析：本题主要考查的是相反数、倒数的定义，掌握相关定义是解题的关键．依据相反数的定义求得a的值，然后再依据倒数的定义求解即可．解：∵a是3的相反数，∴a=−3．∵−3的倒数是−1，3∴a的倒数是−1．3故选：D．2.答案：D解析：解：A、(3a)3=27a3，故此选项错误；B、a3⋅a4=a7，故此选项错误；C、a8÷a2=a6，故此选项错误；D、(a2)3=a6，正确．故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.答案：A解析：解：如图所示：使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有1种．故选：A．根据中心对称图形的特点进行判断即可．本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：C解析：解：该几何体的主视图的面积为1×1×4=4，左视图的面积是1×1×3=3，所以该几何体的主视图和左视图的面积之和是3+4=7，故选：C．根据从左面看得到的图形是左视图，从前面看的到的视图是主视图，再根据面积求出面积的和即可．本题考查了简单几何体的三视图，确定左视图、主视图是解题关键．5.答案：B解析：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2x2向上平移1个单位所得的抛物线的表达式是y=2x2+1，由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位所得的抛物线的表达式是y= 2(x−3)2+1．故选：B．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6.答案：C解析：(k≠0)，根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．设y=kx此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象．(k≠0)，解：设y=kx∵当x=2时，y=20，∴k=40，∴y=40，xx=1时，y=40，x=2时，y=20，则y与x的函数图象经过点(1,40)，(2,20)，故y与x的函数图象是C，故选：C．7.答案：D解析：∵∠A=30°，∠C=90°，△A′BC′是△ABC旋转得到，∴∠ABC=∠A′BC′=60°，∴∠ABA′=180°−∠A′BC′=180°−60°=120°，即旋转角为120°．故选D．8.答案：C解析：本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质等内容，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C 相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD，Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2√2；∵CD⊥AD，∴∠ADC=90°，∴∠ADC=∠AOE，∴△AOE∽△ADC，∴EOCD =AOAD，即OE1=2√2，解得EO=√22，∵点B(0,2)，∴OB=2，∴BE=OB−OE=2−√22，∴△ABE面积的最小值=12×BE×AO=12×(2−√22)×2=2−√22故选C．9.答案：A解析：解：x2−6x−16=0，(x−3)2−52=0，(x−3+5)(x−3−5)=0，解得：x1=3−5=−2，x2=3+5=8．故选：A．把x2−6x−16=0的左边整理为平方差公式的形式，然后进行因式分解并解答．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，正确的理解题意是解题的关键．10.答案：C解析：解：∵S△ADE：S四边形DBCE=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：4，又∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，∴AD：AB=1：2．故选：C．先根据已知条件求出△ADE∽△ABC，再根据面积的比等于相似比的平方解答即可．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方．11.答案：1.48×108解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于148000000有9位，所以可以确定n=9−1=8．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．解：148000000=1.48×108km2．故答案为：1.48×108．12.答案：x≠2解析：解：根据题意得，2−x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．根据分母不等于0列式进行计算即可得解．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．13.答案：2(m+1)(m−1)解析：解：2m 2−2， =2(m 2−1)， =2(m +1)(m −1)． 故答案为：2(m +1)(m −1)．先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．14.答案：2√5解析：解：√5+√5=2√5． 故答案为：2√5．直接利用二次根式加减运算法则求出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．15.答案：0，1解析：解：{3x−12>−1①3x−12<2②，解不等式①，得：x >−13， 解不等式②，得：x <53， ∴不等式组的解集为−13<x <53， 则x 可以取的整数是0、1， 故答案为：0、1．先根据题意列出不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.答案：②④⑤解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定． 由开口方向、对称轴及抛物线与y 轴交点位置逐个判断五个选项即可．解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca时，y=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．17.答案：38解析：解：∵一个箱子里装有8个球，其中5个红球，3个白球，∴从中任意摸出一个球，是白球的概率是38；故答案为：38．用白球的个数除以球的总个数即可．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.答案：(π+5)圆弧，后再平移5米，即可得出答解析：试题分析：根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为12案．圆的周长，由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即14圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转14然后后向右平移5米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上5米，由已知得圆的半径为1米，=π(米)，设半圆形的弧长为l，则半圆形的弧长l=(90+90)π×1180故圆心O所经过的路线长=(π+5)米．故答案为：(π+5)．19.答案：30解析：解：由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+42=25，同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+12=5，∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=30，故答案为：30．根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20.答案：45解析：解：∵∠B=2∠ADE，∴设∠ADE=α，则∠B=2α，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°−2α，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=1(180°−90°+2α)=45°+α，2∴∠EDC=45°+α−α=45°，故答案为：45．设∠ADE=α，则∠B=2α，根据三角形的内角和得到∠A=90°−2α，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC=12(180°−90°+2α)=45°+α，于是得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．21.答案：解：(1)原式=2−3+1−√2×√22=−1．(2)原式=a2+4(a+2)(a−2)÷1a2−4=a2+4(a+2)(a−2)⋅(a+2)(a−2)=a2+4，由分式有意义的条件，可知a=1，∴原式=1+4=5．解析：(1)根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案本题考查实数与分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及实数的运算法则，本题属于基础题型．22.答案：解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A=∠DCB∵∠ADC=∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD =CDDB=ACCB=32，∴AD=32CD，CD=32DB，∴AD=94DB，∴AD：DB=9：4．(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，连接FG，∵CD⊥AB，∴EG//CF，∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠GBE，EC=EG，∵EG//CD，∴CECA =DGDA，∵△AEG∽△ACD，∴EGCD =AGAD，∴CECA +EGCD=DGDA+AGAD=1，∵CE=EG，∴1CA +1CD=1CE；(3)如图3，在Rt△ADG中，AG=5，sin∠AGD=35，∴AD=AG⋅sin∠AGD=3，根据勾股定理得，DG=4，∵DG=23CG，∴CG =32DG =6， ∴CD =2，在Rt △ADC 中，根据勾股定理得，AC =√AD 2+CD 2=√13， 由(1)知， ∴△ADC∽△CDB ， ∴AD CD =CD DB=AC CB，∴32=2DB =√13CB， ∴DB =43，CB =2√133，过点G 作GH ⊥CF 于H ， ∴∠CHG =∠CDB =90°， ∵∠BCD =∠GCH ， ∴△BDC∽△GHC ， ∴BD GH =CD CH =BCCG ， ∴43GH=2CH=2√1336， ∴GH =12√1313，CH =18√1313，∵∠ACB =90°=∠FHG ，∠F =∠F ， ∴△FHG∽△FCA ， ∴GH AC=FH CF，∴12√1313√13=CF−18√1313CF，∴CF =18√13．解析：此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判断和性质，勾股定理，锐角三角函数，构造出相似三角形是解本题的关键．(1)利用同角的余角相等判断出∠A =∠DCB ，进而得出△ADC∽△CDB ，得出AD =32CD ，CD =32DB ，即可得出结论；(2)先判断出EC =EG ，再根据平行线分线段成比例定理得出CECA =DGDA ，再判断出△AEG∽△ACD ，得出EGCD =AGAD ，即可得出结论；(3)根据三角函数求出AD，进而得出DG，CD，进而求出AC，BC，DB，再构造出△BDC∽△GHC，得出BDGH =CDCH=BCCG，求出GH=12√1313，CH=18√1313，再判断出△FHG∽△FCA，得出GHAC=FHCF，即可得出结论．23.答案：抽样调查2001815解析：解：(1)根据题意知，本次调查活动采取了抽样调查的调查方式，样本容量是：60÷30=200，故答案为：抽样调查，200；(2)选项D的圆心角度数为：10200×360°=18°，选项B的人数为：200−(60+30+10)=100(人)，补全图形如下：故答案为：18；(3)10200×300=15(人)．即该校可能有15名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．故答案为：15．(1)根据题意可得这次调查是抽样调查；利用选A的人数÷选A的人数所占百分比即可算出样本容量；(2)利用360°×选D的人数所占百分比即可得到圆心角度数；再用总数减去选A、C、D的人数即可得到选B的人数，再补全图形即可；(3)根据样本估计总体的方法计算即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.答案：解：(1)∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵CF//AB，∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，在△ADE和△FCE中，{∠ADE=∠FCE ∠DAE=∠CFE DE=CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)；(2)证明：∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF，又CF//AB，∴四边形ACFD是平行四边形；(3)∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∵AD=CF，∴BD=CF，又CF//AB，∴四边形DCFB是平行四边形，∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，∴DC=AD=BD，∴平行四边形DCFB是菱形，∵∠DCF=120°，∴∠CDB=60°，∴△CDB是等边三角形，∴BC=CD=2DE=4．解析：(1)根据点E是CD的中点，可得DE=CE，根据CF//AB，可得∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，进而利用AAS可以证明△ADE≌△FCE；(2)结合(1)的CF=AD，再由CF//AB，即可证明四边形ACFD是平行四边形；(3)结合(1)先证明四边形DCFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DB，得平行四边形DCFB是菱形，由∠DCF=120°，可得△CDB是等边三角形，由DE=2，即可求BC的长．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、菱形的判定与性质.解决本题的关键是综合运用以上知识．25.答案：解：设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为(x+0.2)元，依题意，得：24000x =2×13200x+0.2，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，∴x+0.2=2.2．答：A厂生产的口罩单价为2.2元，B厂生产的口罩单价为2元．解析：设B厂生产的口罩单价为x元，则A厂生产的口罩单价为(x+0.2)元，根据数量=总价÷单价结合在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26.答案：解：(1)过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC⋅cos30°=6×√32=3√3，∴∠ADE=30°，∴∠DAE=∠CPE=60°，∴∠CEP=90°，∴CE=AC+AE=6+y，∴PC=CEsin60∘=2√3(6+y)3，∵BC=6√3，∴PB+CP=x+2√3(6+y)3=6√3，∴y=−√32x+3，∵BD=2BH=√3x<6，∴x<2√3，∴x的取值范围是0<x<2√3；(2)∵BP =2√3，∴CP =4√3， ∴PE =12PC =2√3=PB ，∴射线CA 与⊙P 相切； (3)当D 点在线段BA 上时， 连接AP ，∵S △ABC =12BC ⋅AF =12×6√3×3=9√3，∵S △APE =12AE ⋅PE =12y ⋅√33×(6+y)=18S △ABC =9√38，解得：y =√63−62，代入y =−√32x +3得x =4√3−√21．当D 点BA 延长线上时， PC =2√33EC =2√33(6−y)，∴PB +CP =x +2√33(6−y)=6√3，∴y =√32x −3，∵∠PEC =90°， ∴PE =EC √3=AC−AE √3=√33(6−y)，∴S △APE =12AE ⋅PE =12x ⋅=12y ⋅√33(6−y)=18S △ABC =9√38，解得y =32或92，代入y =√32x −3得x =3√3或5√3．综上可得，BP 的长为4√3−√21或3√3或5√3．解析：(1)过A 作AF ⊥BC 于F ，过P 作PH ⊥AB 于H ，根据等腰三角形的性质得到CF =AC ⋅cos30°=6×√32=3√3，推出∠CEP =90°，求得CE =AC +AE =6+y ，列方程PB +CP =x +2√3(6+y)3=6√3，于是得到y =−√32x +3，根据BD =2BH =√3x <6，即可得到结论；(2)根据已知条件得到PE =12PC =2√3=PB ，于是得到射线CA 与⊙P 相切； (3)D 在线段BA 上和延长线上两种情况，根据三角形的面积列方程即可得到结果．本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，求一次函数的解析式，证得PE ⊥AC 是解题的关键．27.答案：解：(1)将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：a =−1，故抛物线的表达式为：y=−(x−4)2+4；(2)令y=0，则x=3或−1，故点B(3,0)，设P(m,n)，则n=−(m−4)2+4=(m+1)(3−m)，如下图(左侧图)，过点P作x轴、y轴的垂线交于点D、C，∵NC//x轴，则NCNC+n =m3，∴NC=mn3−m ，ON=NC+n=3n3−m，∵MO//PD，∴OMn =11+m，∴OM=n1+m，∴OM⋅ON=n1+m ⋅3n3−m=(m+1)(3−m)⋅3n(1+m)(3−m)=3n，又∵OM⋅ON最大，∴3n最大，∴n最大，即P在顶点处最大，∴P(1,4)；(3)如上图(右侧图)，设直线NF交x轴于点M，连接EM，平移后的抛物线解析式为：y=−(x−3)2+1，EG GF =EG2MG=12⋅EGMG=12tan∠EMG，∴当∠EMG最大时，tan∠EMG最大，此时，ME与抛物线只有一个交点，设MG：y=k(x+2)，与y=−(x−3)2+1联立得−x2+(6−k)x−8−2k=0，△=0，得k2−20k+4=0，解得k1=10+4√6(舍)，k2=10−4√6，∴EGGF 的最大值为12×(10−4√6)=5−2√6．解析：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−1，即可求解；(2)利用NC//x轴，求出ON=NC+n=3n3−m ，同理求出：OM=n1+m，即可求解；(3)EGGF =EG2MG=12⋅EGMG=12tan∠EMG，当∠EMG最大时，tan∠EMG最大，此时，ME与抛物线只有一个交点，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等，其中(3)，当∠EMG最大时，tan∠EMG最大，ME与抛物线只有一个交点，是本题的重点．。
初中数学哈尔滨市松北区九年级上期末数学考试卷含答案解析
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:的倒数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．试题2:下列运算中，正确的是（）A．2x+2y=2xy B．（x2y3）2=x4y5 C．（xy）2÷=（xy）3 D．2xy﹣3yx=xy 试题3:反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2试题4:如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）评卷人得分A． B． C． D．试题5:松北某超市今年一月份的营业额为50万元．三月份的营业额为72万元．则二、三两个月平均每月营业额的增长率是（）A．25% B．20% C．15% D．10%试题6:若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+3 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣3）2 D．y=2（x+3）2试题7:．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E、F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点B′重合，若∠B′FC=50°，则∠AEF等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°试题8:在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（）A．6 B．2 C．3 D．2试题9:如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=1，则EC=（）A．2 B．3 C．4 D．6试题10:甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲、乙两地相距210千米；②甲速度为60千米/小时；③乙速度为120千米/小时；④乙车共行驶3小时，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个试题11:数字12800000用科学记数法表示为．试题12:函数y=中，自变量x的取值范围是．试题13:计算：= ．试题14:把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是．试题15:不等式组的解集为．试题16:分式方程=的解为x= ．试题17:若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为．试题18:已知，平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积= ．试题19:已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B= ．试题20:如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，点P为CD上一动点，当BP+CP最小时，DP= ．试题21:先化简，再求代数式÷（1﹣）的值，其中x=2sin45°﹣tan45°．试题22:如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点A、C、E、F均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形：（1）在图1中，画一个以AC为一边的△ABC，使∠ABC=45°（画出一个即可）；（2）在图2中，画一个以EF为一边的△DEF，使tan∠EDF=，并直接写出线段DF的长．试题23:为便于管理与场地安排，松北某中学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计．并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：（1）在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人？并补全条形统计图．（2）如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．试题24:如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．试题25:某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元．（1）求这种衬衫原进价为每件多少元？（2）经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折？试题26:已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B=∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．试题27:如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC=AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．试题28:如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题1答案:D【考点】实数的性质．【分析】的倒数是，但的分母需要有理化．【解答】解：因为，的倒数是，而=故：选D试题2答案:C【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；分式的乘除法．【分析】分别利用合并同类项法则以及分式除法运算和积的乘方运算得出即可．【解答】解：A、2x+2y无法计算，故此选项错误；B、（x2y3）2=x4y6，故此选项错误；C、此选项正确；D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此选项错误；故选：C．试题3答案:C【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k﹣2＞0，解得k＞2．故选C．试题4答案:D【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形．试题5答案:B 考点】一元二次方程的应用．【分析】可设增长率为x，那么三月份的营业额可表示为50（1+x）2，已知三月份营业额为72万元，即可列出方程，从而求解．【解答】解：设增长率为x，根据题意得50（1+x）2=72，解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2，所以每月的增长率应为20%，故选：B．试题6答案:A【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，试题7答案:B【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据平角的性质及折叠的性质可求出∠EFB′的度数，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵四边形A′EFB′是四边形ABFE折叠而成，∴∠BFE=∠EFB′，∵∠B'FC=50°，∴∠EFB===65°，∵AD∥BC，∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°．试题8答案:B【考点】解直角三角形．【分析】根据三角函数的定义及勾股定理求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，∴sinA===，∴AB=6．∴AC==2．试题9答案:A【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求EC．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴EC=2．试题10答案:C【考点】一次函数的应用．【分析】根据题意和函数图象可以分别计算出各个小题中的结果，从而可以判断各小题是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可知，甲车的速度为：60÷1=60千米/时，故②正确，则A、B两地的距离是：60×=210（千米），故①正确，则乙的速度为：（60×2）÷（2﹣1）=120千米/时，故③正确，乙车行驶的时间为：2﹣1=1（小时），故④错误，试题11答案:1.28×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将12800000用科学记数法表示为：1.28×107．故答案为：1.28×107．试题12答案:x≠﹣2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得x+2≠0，解得x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．﹣．【考点】二次根式的加减法．【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=2﹣3=﹣．试题14答案:2（m+2n）（m﹣2n）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】直接提取公因式2，进而利用平方差公式分解即可．【解答】解：2m2﹣8n2=2（m2﹣4n2）=2（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：2（m+2n）（m﹣2n）．试题15答案:﹣2≤x＜．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，故答案为：﹣2≤x＜．3 ．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，故答案为：3试题17答案:8 ．【考点】弧长的计算．【分析】利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，∴l=，即4π=，则扇形的半径r=8．故答案为：8．试题18答案:4 ．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣4，0），B（0，2），∴△AOB的面积=×2×4=4．故答案为：4．试题19答案:72°或18°．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度数和∠ABC的度数即可．【解答】解：分为两种情况：①如图1，∵PE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，∴∠A=∠ABP=36°，∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC==72°；②如图2，∵PE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，∴∠PAB=∠ABP=36°，∴∠BAC=144°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC==18°，故答案为：72°或18°．试题20答案:5．【考点】轴对称-最短路线问题；解直角三角形．【分析】如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．易知PB+PC=PB+PE，所以当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB==，设BE′=5，CE′=3k，则AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根据BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，∴PE=PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4，∴PB+PC=PB+PE，∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，∵tan∠ACB==，设BE′=5，CE′=3k，∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，∴（12﹣6k）2+48=9k2+75k2，整理得k2+3k﹣4=0，∴k=1或﹣4（舍弃），∴BE′=5，∴PB+PC的最小值为5．故答案为5．试题21答案:【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（1﹣）===，当x=2sin45°﹣tan45°=2×﹣1=，原式=．试题22答案:【考点】作图—复杂作图；锐角三角函数的定义．【分析】（1）利用网格特点，AB在水平格线上，BC为4×4的正方形的对角线；（2）由于tan∠EDF=，则在含∠D的直角三角形中，满足对边与邻边之比为1：2即可．【解答】解：（1）如图1，△ABC为所作；（2）如图2，△DEF为所作，DF==4．试题23答案:【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据跳绳人数除以跳绳人数所占的百分比，可得抽查总人数，根据有理数的减法，可得参加篮球项目的人数，根据参加篮球项目的人数，可得答案；（2）根据全校学生人数乘以参加篮球项目所占的百分比，可得答案．【解答】解：（1）抽查总人数是：20÷40%=50（人），参加篮球项目的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人），即小明所在的班级参加篮球项目的同学有5人，补全条形图如下：（2）800×=80（人）．答：估计全校学生中大约有80人参加篮球项目．试题24答案:【考点】菱形的判定与性质．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE=AD=BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN=AM+MC=AC=6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，∴BC=AB，CD=AB=AD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BDC=30°+30°=60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD=OB，∴DE=BE，∵DE=AD，∴CD=BC=DE=BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN=MC=BM，∠ABM=∠A=30°，∴AM=BM，∵AC=6，∴BM+MN=AM+MC=AC=6；即两条分割线段长度的和为6．试题25答案:【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设这种衬衫原进价为每件x元．根据“用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元”列出方程并解答，注意需要验根；（2）设打m折，根据题意列出不等式即可．【解答】解：（1）设这种衬衫原进价为每件x元=，解得：x=40．经检验：x=40是原分式方程的解，答：这种衬衫原进价为每件40元；（2）设打m折，8000÷40×3=600，58=29000，29000+58×100×≥8000+17600+6300，解得：m≥5．答：最多可以打5折．试题26答案:【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，连接OA．欲证明∠B=∠C，只要证明△AOC≌△AOB即可．（2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一条直线上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC为等边三角形，即可解决问题．（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．设ME=x，则BE=2x，BM=x，在△BCM中，根据BC2=BM2+CM2，可得BM=5，推出sin∠BCM==，推出NE=，OK=CK=，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，连接OA．∵AB=AC，∴=，∴∠AOC=∠AOB，在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB，∴∠B=∠C．解：（2）连接BC，∵OH⊥AC，∴AH=CH，∵H、O、B在一条直线上，∴BH垂直平分AC，∴AB=BC，∵AB=AC，∴AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°．解：（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．∵CH=7，∴BC=AC=14，设ME=x，∵∠CEB=120°，∴∠BEM=60°，∴BE=2x，∴BM=x，△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，∴142=（x）2+（6+x）2，∴x=5或﹣8（舍弃），∴BM=5，∴sin∠BCM==，∴NE=，∴OK=CK=，∵NE∥OK，∴DE：OD=NE：OK=45：49．试题27答案:【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用三角形的面积求出a即可得出抛物线解析式；（2）先判断出∠OBC=45°，而点P在第一象限，所以得出CP∥OB即：点P和点C的纵坐标一样，即可确定出点P坐标；（3）根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；得出点Q （4﹣m，﹣m2+6m﹣5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，∵S△ABC=6，∴AB•OC=6，∴×4×|3a|=6，∴a=﹣1或a=1（舍），∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a），∴C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠OBC=45°，∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，∴PC∥OB，∴P点的纵坐标为3，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，∴x=0（舍）或x=2，∴P（2，3）；（3）如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），∵A（﹣1，0）．∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]∵PC=AQ，∴81PC2=25AQ2，∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，∵0＜m＜1，∴[（m﹣1）2+1]≠0，∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2，∴9（m﹣3）=±5（m﹣5），∴m=或m=（舍），∴P（，），Q（，﹣），∵C（0，3），∴直线CQ的解析式为y=﹣x+3，∵P（，），∴D（，﹣），∴PD=+=，∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD=PD×x P+PD×（x Q﹣x P）=PD×x Q=××=．试题28答案:【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（5，0）两点，∴解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|①若﹣m2+m+2=﹣m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（﹣m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴==，即=，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P坐标为（0，5）或（﹣，）或（4，5）或（3﹣，2﹣3）．。
哈尔滨松北区七校联考2025届数学九上期末监测试题含解析
哈尔滨松北区七校联考2025届数学九上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣4x +5＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根3．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ）A ．最小值―3B ．最小值3C ．最大值―3D ．最大值34．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：DB ＝1：2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：9D ．1：166．如图，正比例函数y x =与反比例函数4y x=的图象交于A 、B 两点，其中(2,2)A ，则不等式4x x >的解集为（ ）A ．2x >B ．2x <-C ．20x -<<或02x <<D ．20x -<<或2x >7．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．ACADAB AC =8．如图，,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，则ACB ∠的度数是（ ）A ．30B ．36C ．45D ．729．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣D ．﹣210．下列运算正确的是（ ）A ．a •a 1＝aB ．（2a ）3＝6a 3C ．a 6÷a 2＝a 3D ．2a 2﹣a 2＝a 211．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin a AO β=C ．tan BC a β=D ．cos a BD β= 12．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ）A ．5人B ．6人C ．4人D ．8人二、填空题（每题4分，共24分）13．若a ，b 是一元二次方程22510x x -+=的两根,则11a b+=________. 14．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长为_____．15．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52米，并且建筑物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2米到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4米到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．16．把抛物线2y x bx c =++的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为223y x x =-+,则b 的值为___________．17．一组数据：2，3，4，2，4的方差是___．18．□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于O ，现从下列条件：①AC ⊥BD ②AB=BC ③AC=BD ④∠ABD=∠CBD 中随机取一个作为条件，可推出□ABCD 是菱形的概率是_________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝2k x的图象分别交于C ，D 两点，点C （2，4），点B 是线段AC 的中点．（1）求一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x 的解析式； （2）求△COD 的面积；（3）直接写出当x 取什么值时，k 1x +b ＜2k x． 20．（8分）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ．（1）当PE ⊥AB ，PF ⊥BC 时，如图1，则PE PF的值为 ； （2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PE PF 的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，PE PF 的值是否变化？证明你的结论． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点坐标分别为A （-2,1）、B （-1,4）、C （-3,2）.（1）画图：以原点为位似中心，位似比为1:2，在第二象限作出ΔABC 的放大后的图形111A B C ∆（2）填空：点C 1的坐标为 ，111tan C A B ∠= .22．（10分）关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？23．（10分）解方程2213x x +=24．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x 在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？25．（12分）将一元二次方程232=1x x --化为一般形式，并求出根的判别式的值．26．如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ；（2）若DB=9，求BM ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】根据中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．【详解】A.不是中心对称图形，故错误；B.是中心对称图形，故正确；C.不是中心对称图形，故错误；D.不是中心对称图形，故错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．2、A【解析】首先求出一元二次方程2450x x -+=根的判别式，然后结合选项进行判断即可．【详解】解：∵一元二次方程2450x x -+=，∴△＝()2445162040--⨯=-=-<，即△＜0，∴一元二次方程2450x x -+=无实数根，故选A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3、A【解析】把点（-1，-3）代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n=-4+m ，再代入mn +1进行配方即可.【详解】∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n ，∴n=-4+m ，代入mn+1，得mn+1=m 2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn +1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键． 4、B【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数．【详解】∵BC 的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC ⊥AB ，∴=AC BC ，∴∠ADC=12∠BOC=25°． 故选B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．5、C【分析】根据DE ∥BC ，即可证得△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵AD ：DB ＝1：2，∴AD ：AB ＝1：3，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ＝（13）2＝19． 故选：C ．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6、D【分析】由题意可求点B 坐标，根据图象可求解．【详解】解：∵正比例函数y=x 与反比例函数4y x =的图象交于A 、B 两点，其中A （2，2）， ∴点B 坐标为（-2，-2）∴由图可知，当x ＞2或-2＜x ＜0，正比例函数y x =图象在反比例函数4y x =的图象的上方， 即不等式4x x >的解集为x ＞2或-2＜x ＜0 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象的性质是解决．7、D【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意；若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．8、C【分析】根据直径的定义与等腰三角形的性质即可求解．【详解】∵,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，∴AC ⊥BD又OB=OC∴ACB ∠=180902︒-︒=45 故选C ．【点睛】 此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知圆内等腰三角形的性质．9、D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n 的方程即可． 【详解】∵点（1，-4）和点（4，n ）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)， ∴n=-1．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．10、D【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．【详解】A ．a •a 1＝a 2，故本选项不合题意；B ．（2a ）3＝8a 3，故本选项不合题意；C ．a 6÷a 2＝a 4，故本选项不合题意；D .2a 2﹣a 2＝a 2，正确，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是幂的运算，比较简单，需要牢记幂的运算公式.11、B【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；B 、在Rt △ADC 中，cos ∠ACD=DC AC , ∴cos β=2a AO ,∴AO=2cos a ，故B 选项错误； C 、在Rt △BCD 中，tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BC a∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=DC DB , ∴ cos β=a BD ∴cos a BD β=，故D 选项正确. 故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键. 12、B【解析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次， ∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】将11a b+通分变形为a b ab +，然后利用根与系数的关系即可求解.【详解】∵a 、b 是一元二次方程210x -+=的两根∴+=a b 1ab =∴11=++=a b a b ab故答案为：【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握12b x x a +=-，12c x x a =是解题的关键. 14、4 【解析】试题解析：∵3cos 5BDC ∠=， 可∴设DC =3x ，BD =5x ，又∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AD =DB =5x ，又∵AC =8cm ，∴3x +5x =8，解得，x =1，在Rt △BDC 中，CD =3cm ，DB =5cm ，4.BC ===故答案为:4cm.15、54【解析】设建筑物的高为x 米，根据题意易得△CDG ∽△ABG ，∴CD DG AB BG =，∵CD ＝DG ＝2，∴BG ＝AB ＝x ，再由△EFH ∽△ABH 可得EF FH AB BH =，即24x BH=，∴BH ＝2x ，即BD ＋DF ＋FH ＝2x ，亦即x －2＋52＋4＝2x ，解得x ＝54，即建筑物的高是54米．16、4【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后的抛物线解析式，化为一般形式即可得解.【详解】由题意，得平移后的抛物线为：()()()22332673y x b x c x b x b c =-+-+-=--+-+即62b -=∴4b =故答案为：4.【点睛】此题主要考查根据抛物线的平移规律求参数，熟练掌握，即可解题.17、0.1【分析】根据方差的求法计算即可． 【详解】平均数为2342435++++= ， 方差为：()()()()()222221[2333432343]0.85-+-+-+-+-= ，故答案为：0.1．【点睛】本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．18、34 【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率． 【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法；ABD CBD ∠=∠，//AB CD ，∴=ABD CBD BDC ∠=∠∠∴BC=CD ，∴ABCD □是菱形，故④符合题意；∴推出菱形的概率为：34P =．故答案为34． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案．三、解答题（共78分）19、（1）y 1＝x +2；y 2＝8x ；（2）S △COD ＝6；（3）当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，k 1x +b ＜2k x． 【分析】（1）把点C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE x ⊥轴于E ，根据题意求得B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）联立方程求得D 的坐标，然后根据COD BOC BOD SS S =+即可求得△COD 的面积； （3）根据图象即可求得21k k x b x+＜时，自变量x 的取值范围． 【详解】（1）∵点C （2，4）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴2248k ⨯＝＝，∴28y x＝；如图，作CE ⊥x 轴于E ，∵C （2，4），点B 是线段AC 的中点，∴B （0，2），∵B 、C 在11y k x b +＝的图象上，∴1242k b b +=⎧⎨=⎩， 解得112k b ＝，＝， ∴一次函数为12y x +＝；（2）由28y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣2）， ∴1222462COD BOC BOD S S S +⨯⨯+⨯⨯＝＝＝； （3）由图可得，当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，21k k x b x+＜． 【点睛】 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B 点的坐标是解题的关键．20、（1（2）PE PF=；（3）变化.证明见解析. 【分析】（1）证明△APE ≌△PCF ，得PE=CF ；在Rt △PCF 中，解直角三角形求得PE PF的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME ∽△PNF ，并利用（1）的结论，求得PE PF 的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM ∽△PCN ，求得PM PN =然后证明△PME ∽△PNF ，从而由PE PM PF PN =求得PE PF 的值.与（1）（2）问相比较，PE PF的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ，PA=PC.∵PE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴PE ∥BC.∴∠APE=∠PCF.∵PF ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴PF ∥AB.∴∠PAE=∠CPF.∵在△APE 与△PCF 中，∠PAE=∠CPF ，PA=PC ，∠APE=∠PCF ，∴△APE ≌△PCF （ASA ）.∴PE=CF.在Rt △PCF 中，0PF PF 3tan 30CF PE 3===，∴PE 3PF =； （2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN. ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME ∽△PNF.∴PM 3PN=. 由（1）知，PM 3PN 2=， ∴PE 3PF=. （3）变化.证明如下：如答图2，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则PM ⊥PN ，PM ∥BC ，PN ∥AB.∵PM ∥BC ，PN ∥AB ，∴∠APM=∠PCN ，∠PAM=∠CPN.∴△APM ∽△PCN.∴12PM AP CN PC ==，得CN=2PM. 在Rt △PCN 中，PN PN 3tan 30CN 2PM 3︒===，∴32PM PN =. ∵PM ⊥PN ，PE ⊥PF ，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME ∽△PNF. ∴32PE PM PF PN ==. ∴PE PF的值发生变化. 21、（1）见解析；（2）（-6,4），2 【分析】（1）利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标．【详解】（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求；（2）∵C 点坐标为(-3，2)，∴C 1点坐标为（-6，4）；∵22112222C A =+=22114442C B =+=221126210B A =+=，∵((222240+=，(221040=，∴222111111C A C B B A +=，∴111C A B 是直角三角形，且11190B C A ∠=︒，∴111111142tan 222C B C A B C A ∠===.【点睛】本题主要考查了位似变换和锐角三角函数的知识，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键．22、（1）∴12m 1x x 1m 1+==-，． （2）ｍ=2或3 ．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，∴()()122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1+==+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．23、11x =，212x =. 【解析】分析：用配方法解一元二次方程即可.还可以用公式法或者因式分解法.详解：方法一：移项，得2231x x -=-，二次项系数化为1，得23122x x -=-， 22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由此可得3144x -=±， 11x =，212x =. 方法二：方程整理得：22310x x -+=，分解因式得：(x −1)(2x −1)=0，解得：11x =，212x =.点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法.24、(1) y=﹣2x2+400x+25000，0＜x≤1，且x为正整数；(2) 件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；(3) 每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，根据月利润=单件利润×数量，则可以得到月销售利润y的函数关系式；（2）由月利润的函数表达式y=﹣2x2+400x+25000，配成顶点式即可；（3）当月利润y=40000时，求出x的值，结合（1）中的取值范围即可得．【详解】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，由题意得：y=(130﹣80+x)(500﹣2x)=﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤1∴y与x的函数关系式为y=﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤1，且x为正整数；故答案为：y=﹣2x2+400x+25000；0＜x≤1．(2)∵y=﹣2x2+400x+25000=﹣2(x﹣100)2+45000∴当x=100时，y有最大值45000元；∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元，故答案为：每件商品的涨价100元时，月利润最大是45000元；(3)令y=40000，得：﹣2x2+400x+25000=40000解得：x1=50，x2=150∵0＜x≤1∴x=50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元，由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元，故答案为：每件商品的涨价为50元；50≤x≤1；【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，方案设计类营销问题，二次函数表达式的求解，二次函数顶点式求最值问题，由函数值求自变量的值，掌握二次函数的实际应用是解题的关键．25、23210x x -+=，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:23210x x -+=∴a=3,b=－2,c=1∴ 根的判别式的值为224(2)4318b ac -=--⨯⨯=-．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根．26、（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）要证明△EDM ∽△FBM 成立，只需要证DE ∥BC 即可，而根据已知条件可证明四边形BCDE 是平行四边形，从而可证明相似；（2）根据相似三角形的性质得对应边成比例，然后代入数值计算即可求得线段的长．试题解析：（1）证明：∵AB="2CD" , E 是AB 的中点，∴BE=CD ，又∵AB ∥CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BC ∥DE, BC=DE ，∴△EDM ∽△FBM ；（2）∵BC=DE ， F 为BC 的中点，∴BF=DE ，∵△EDM ∽△FBM ，∴，∴BM=DB ，又∵DB=9，∴BM=3.考点：1. 梯形的性质；2. 平行四边形的判定与性质；3. 相似三角形的判定与性质.。
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．
15．（3 分）圆心角为 120°，弧长为 12π 的扇形半径为
．
16．（3 分）不等式组
的解集是
．
17．（3 分）四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三
角形．现从中随机抽取 2 张，全部是中心对称图形的概率是
．
18．（3 分）点 P 在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上，AP＝5，则△ADP 的面积
（1）如图 1，求证：AG⊥BC； （2）如图 2，连接 EF，DG，求证：EF∥DG； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，若∠ABG＝2∠BAG，EF＝15，AB
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工 1 天需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元，该
工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工 程的工程款不超过 186 万元，求甲、乙两队最多合作多少天？ 26．（10 分）如图，在⊙O 中，弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，点 M 在 CD 上， 连接 AM 并延长交 BC 于点 F，交圆上于点 G，连接 AD，AD＝AM．
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A． ＝
B． ＝
C． ＝
D． ＝
8．（3 分）某商店购进甲、乙两种商品共 160 件，甲每件进价 15 元，售价 20 元；
乙每件进价为 35 元，售价 45 元；售完这批商品利润为 1100 元，则购进甲商
品 x 件满足方程（ ）
A．30x+15（160﹣x）＝1100
B．5（160﹣x）+10x＝1100
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（3 分）对于双曲线 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值
范围为（ ）
A．m＞0
B．m＞1
C．m＜0
D．m＜1
5．（3 分）如图，该几何体由 6 个相同的小立方体无缝隙地搭成，在它的三视图
中，面积相等的视图是（ ）
A．主视图与俯视图
二、填空题：（每小题 3 分，共 30 分）
11．（3 分）哈尔滨地铁 2 号线总投资约 2 000 000 000 元，这个数用科学记数法
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可表示为
．
12．（3 分）函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是
．
13．（3 分）计算： × ＝
．
14．（3 分）把 a﹣ab2 因式分解的结果是
B．主视图与左视图
C．俯视图与左视图
D．主视图、主视图、俯视图
6．（3 分）有一坡角为 20°的滑雪道，滑雪道长为 100 米，坡顶到坡底的竖直高
度为（ ）
A．
B．
C．100cos20° D．100sin20°
7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AD 边上，EF∥CD，交对角线 BD 于点 F，则下列结论中错误的是（ ）
10．（3 分）明君社区化组
工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积 S（单位：m2）
与工作时间 t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效
率前每小时完成的绿化面积是（ ）
A．300m2
B．150m2
C．330m2
D．450m2
黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）下列各实数中，是有理数的是（ ）
A．π
B．
C．
D．0.
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a3
B．3a+2a2＝5a2 C．2﹣3＝﹣8
D． ＝±3
3．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
（1）求证：四边形 ADCE 是为平行四边形； （2）若 EB 是∠AEC 的角平分线，请写出图中所有与 AE 相等的边．
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25．我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成 这项工程需要 60 天，若又甲队先做 20 天，再由甲、乙合作 12 天，共完成总 工作量的三分之二．
是
．
19．（3 分）如图，直线 y＝﹣x+3 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，抛物线 y＝﹣x2+bx+c
经过点 A 和点 B，与 x 轴的另一个交点为点 C．点 P 为抛物线上直线 AB 上方
部分上的一点，过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 E，且点 P 的横坐标为 t，
若 PE 的长为 d，求 d 关于 t 的函数关
C．20x+25（160﹣x）＝1100
D．5x+10（160﹣x）＝1100
9．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，将△ABC 绕点 B 顺
时针旋转得到△A′BC′，连结 CC′，若点 C 在边 A′B 上，则∠A′C′C
的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
格纸中各有一条线段 AB，其中点 A、B 均在小正方形的顶点上，请按要求画 图：
（1）在图 l 中画一直角△ABC，使得 tan∠BAC＝ ，点 C 在小正方形的顶点上； （2）在图 2 中画一个▱ABEF，使得▱ABEF 的面积为图 1 中△ABC 面积的 4 倍，
点 E、F 在小正方形的顶点上． 23．（8 分）为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教
系式是
．
20．（3 分）在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于 D，BE 平分∠ABD 交 AC 于 E，
sinA＝ ，BC＝2 ．则 AE＝
．
三、解答题（共 60 分，其中 21、22 题各 7 分．23、24 题各 8 分，25、26、27 题各 10 分）
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21．（7 分）先化简，再求值： ÷（x﹣ ），其中 x＝2sin60°+2cos60°． 22．（7 分）图 l、图 2 均为 8×6 的方格纸（每个小正方形的边长均为 1），在方
学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩，绘制成了如下两幅不完 整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校九年级共有 1000 人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学 生的学习成绩达到优秀．
24．（8 分）如图，AD 是△ABC 的中线，AE∥BC，BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 G，F 是 AD 的中点．