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全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
全国初中数学联赛浙江省复赛试卷一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．2．（20分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（△2）设ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．全国初中数学联赛浙江省复赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】由已知条件a2+b2＝1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b 的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．【解答】解：整理不等式（1）并将a2+b2＝1代入，得（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2）在不等式（2）中，令x＝0，得a≥0；令x＝1，得b≥0．易知1+a+b＞0，0＜＜1，故二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，所以它的判别式＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）a≤0，即ab≥．由方程组（3）消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，所以a2＝又因为a≥0，所以a＝或a＝或a2＝，．于是方程组（3）的解为或，所以ab的最小值为，此时a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．（ 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考．2．（20 分）如图，圆 O 与圆 D 相交于 A ，B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O 上，且AB ＝BC ．（1）证明：点 O 在圆 D 的圆周上．（△2）设 ABC 的面积为 S ，求圆 D 的半径 R 的最小值．【分析】 1）连 OA ，OB ，OC ，△AC ，可证 OBA ∽△OBC ，即可证明∠OBA ＝∠OBC ，所以 DB ＝DO ，即可证点 O 在圆 D 的圆周上；（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，设 AC ＝2y （0＜y ≤△a ）即可求证BDO ∽△ABC ，进而可以 r ，即可求 r 的最小值，即可解题．【解答】解：（1）连 OA ，OB ，OC ，AC ，因为 O 为圆心，AB ＝BC ，所以△OBA ∽△OBC ，从而∠OBA ＝∠OBC ．因为 OD ⊥AB ，DB ⊥BC ，所以∠DOB ＝90°﹣∠OBA ＝90°﹣∠OBC ＝∠DBO ，所以 DB ＝DO ，因此点 O 在圆 D 的圆周上．（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，易知 BE ⊥AC ．设 AC ＝2y （0＜y ≤a ），OE ＝x ，AB ＝l ，则 a 2＝x 2+y 2，S ＝y （a +x ），l 2＝y 2+（a +x ）2＝y 2+a 2+2ax +x 2＝2a 2+2ax ＝2a （a +x ）＝因为∠ABC ＝2∠OBA ＝2∠OAB ＝∠BDO ，AB ＝BC ，DB ＝DO ，所以△BDO∽△ABC，所以＝，即，故r＝．所以r2＝＝×＝×≥，即r≥，其中等号当a＝y时成立，这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了不等式的极值问题，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求点O在圆D的圆周上是解题的关键．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．【分析】首先将9（2a+b）2＝509（4a+511b）变形为＝，此时假设m＝，n＝，则可得到b＝＝与n＝m2．因而可转化为关于m的一元二次方程3m2﹣511m+6a＝0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．【解答】解：①式即＝，故设m＝，n＝，则b＝＝②∴3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0③由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m 为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△＝5112﹣72a为完全平方数．不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解．两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解．两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解．两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解．⑤⑥两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251．两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故舍去．综合可知a＝251．此时方程③的解为m＝3或m＝（舍去）．把a＝251，m＝3代入②式，得b＝＝7．答：a＝251，b＝7．【点评】本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题．解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】利用特殊值法可得出a、b的范围，把y＝1﹣x代入不等式，可整理成（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0，再利用二次函数的性质可得到关于a、b的不等式，可求得ab的最小值，结合条件a2+b2＝1，可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值．【解答】解：∵x+y＝1，xy≥0，∴0≤x≤1，0≤y≤1．在（1）式中，令x＝0，y＝1，得a≥0；令x＝1，y＝0，得b≥0．将y＝1﹣x代入（1）式，得a（1﹣x）2﹣x（1+x）+b x2≥0，即（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2），∵a2+b2＝1，∴1+a+b＞0，0＜＜1，∴二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．∵不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，∴＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）﹣a≤0，即ab．由方程组（3），消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，解得∵a≥0，∴a＝或a＝．∴方程组（3）的解为或或a2＝，∴满足条件的a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，构造二次函数，根据二次函数的性质得到ab≥，从而求得ab的最小值是解题的关键．本题综合性较强，涉及构造的思想，难度较大．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．【分析】先把（1）式化为完全平方的形式，再把原方程化为关于m、n、a的三元二次方程，再根据n＝m2，此方程化为二元二次方程，由（1）可判断出m为整数，再由一元二次方程的判别式可得5112﹣72a为完全平方数，设5112﹣72a＝t（t为自然数），再把关于t的方程进行因式分解，求出符合条件的a的值代入（2）即可求解．【解答】解：把（1）式化为＝，设m＝2b﹣c＝，n＝＝（3），则故3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0（4）（5分）由（1）式可知，（2a+2b﹣c）2能被509整除，而509是质数，于是2a+2b﹣c能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式＝511△2﹣72a为完全平方数．（10分）不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④⑤⑥舍去．两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解；两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解；两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解；两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解；两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251；两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故综合可知a＝251，此时方程（4）的解为m＝3或m＝把a＝251，m＝3代入（3）式，得2b﹣c＝（舍去）．（20分）＝7，即c＝2b﹣7．代入（2）式得b＝（2b﹣7）＝2，所以b＝5，c＝3，因此a（b+c）＝251×（5+3）＝2008．（25分）故答案为：2008．【点评】本题考查的是质数与合数的定义、奇数与偶数、一元二次方程根的判别式，涉及面较广，难度较大．。
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题与答案
本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计962024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题与答案分）1.设集合10,21x A x x−=≤ − 集合2{20}Bx x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
答案 3m ≤− 解 集合11,2A xx=<≤要使A B ⊆，则21210m +×+≤，解得3m ≤−。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 []()1()f f x f x −=，则这样的函数有_______个. 答案：10 解 令()1{1,2,3}yf x =−∈，则()1f y y =+。
对(1)2f =以下三种情况都满足条件(2)(3)2;(2)(3)3;(2)(3)4f f f f f f ======，共3种。
同理对(2)3,(1)(3)f f f ==有3种情况；(3)4,(1)(2)f f f ==也有3种情况。
又(1)2,(2)3,(3)4f f f ===显然满足条件。
所以满足已知条件的函数共有331×+= 10个。
（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。
）3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
答案：34解 令sin ,11t x t =−≤≤ ，原式变形11,1y t t=++当0t ≠时13,22y ≤≤。
当0t =时，1y =。
所以y 的最大、最小值分别为3122，，其积为34。
4.已知数列{}n x满足：111n x x x n +=≥，则通项n x =__________。
答案解 将已知条件变形得22111111n n x x n n +−=−+，将上式从1到n 叠加得到 2211111n x x n−=−，即n x =。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，若1,60BC BDC =∠= ，球心到平面BDC 的距离为______________。
2006年浙江省初中数学竞赛复赛试题及答案-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-
2006年浙江省初中数学竞赛复赛试题及答案-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，则x3=17．当这5个自然数中最大一个x5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x1=0，x2=1，x4=18，此时x5=24．2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x，y，则3 x = 4 y，．∴ ．，x =2．∴ 长方形ABCD的周长为19．3．答案：A解：，∴ 0＜k＜1，∴ ＜0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形．5．答案：C解：将函数表达式变形，得，，．∴ x，y都是整数，∴ 也是整数．∴ 或或或或或解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）．6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克，28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：15解：，，，∴ ，．8．答案：解：连结OC，OP，则∴OCP=90°，∴COP=60°，OC = a，∴ PC =，PB =PC =，PA =．9．答案：解：y ==其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y最小为-1．10．答案：26解：连结AP，则PE+PC=PE+PA，当点P在AE上时，其值最小，最小值为．11．答案：20解：设A、B、C三种贺卡售出的张数分别为x，y，z，则消去y得，．由，得．12．答案：right，evght解：由题意得，（为非负整数）．由0≤≤25，可分析得出，三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由条件得，在B站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人．……………2分（2）在E站有2人下车，即在D—E途中有2个浙江人，5个上海人，……………2分从而C—D途中至少有2位浙江人，在D站至少有2人下车，……………2分∴ C站后车厢里至少有9个人．∴ 火车离开B站时车厢里有12人，离开D站时有7人，∴ 在C站至少有3人下车，即经过C站后车厢里至多9人，故经过C站后车厢里有9人，即在C站有3人下车．……………2分∴ B—C途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人．……………2分在D站有2人下车，C—D途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN，则PN∴AB，且．……………………2分∴∴ABF∴∴NPF，．∴ BF=2FP．……………………2分（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则MG∴EF，AG=GF=FN．……………………2分∴S∴NEF=S∴MNG……………………2分=×S∴AMN……………………2分=××S∴ABC =S．……………2分15．(15分)解：设…中有r个－1、s个1、t个2，则………………5分两式相加，得s＋3t＝1103，故．………………2分∴ …………………2分=．………………2分∴ 200≤…≤6×367+200=2402．当时，…取最小值200，………2分当时，…取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）．………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．………………2分理由如下：∴ a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∴ 如果a＞b，a和b的最大公约数=（a－b）和b的最大公约数，如果a＜b，a和b的最大公约数=（b－a）和b的最大公约数，∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分∴ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
年全国初中数学竞赛浙江赛区试卷
年全国初中数学竞赛浙江赛区试卷题号一二三总分1~5 6~10 11 12 13 14 得分1.如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB=6cm ，AD=8cm,E 是AD 上一点，且AE=6cm ，操作：⑴将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；⑵将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c ，则△GFC 的面积为( )A.2B.3C.4D.52.若M=3x 2－8xy ＋9y 2－4x ＋6y ＋13(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数3.已知点I 是锐角△ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°4.设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是( ) A.18 B.20 C.24 D.255.在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( )A.59B.120C.118D.60二、填空题(满分30分)6.在一个圆形的时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)。
若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB 的面积第一次达到最大。
7.在直角坐标系中，抛物线223(0)4y x mx m m =+->与x 轴交于A ，B 的两点。
若A ，B图c 图b图a G C F A D B(E )B(E )D C A F E D C F B A两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m=_____.8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，…，J ，Q ，K 的顺序排列。
八年级下数学竞赛试题浙
八年级下数学竞赛试题浙八年级下数学竞赛试题浙版一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个数的立方根等于它本身，这个数可以是：A. 1B. -1C. 0D. 1和-13. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. 0.333...C. πD. √25. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3和4，求其体积。
A. 24B. 12C. 36D. 486. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是：A. 7B. -7C. 0D. 147. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 08. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角为60°，求底角的大小。
A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°9. 一个正六边形的内角是：A. 120°B. 108°C. 90°D. 60°10. 已知一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的解是2和-3，求\( b \) 的值。
A. -7B. -5C. 7D. 5二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是________。
12. 一个数的绝对值是8，这个数可以是________。
13. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，斜边的长度是________。
14. 一个数的立方是-27，这个数是________。
15. 一个圆的直径是10，这个圆的周长是________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
17. 解方程 \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \) 并求出解。
2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案
2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2018年4月1日 下午1：00—3：00）答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a j i 01其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a aA（第2题）4．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．ABCEFO（第6题） （第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,22x x x x x x x x ±±==． 所以12000=x ，或2000x = 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36．三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．BACMN P E FQDG O初数复赛试题 第11页（共6页） 16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004， (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。
最新整理初中数学试题试卷初三数学竞赛试题[下学期]浙教版.doc
⎩⎨⎧=+=+my x n y 28112004ab a b a 135-=--初三数学竞赛试题班 姓名 一、选择题：(每小题5分,共30分)1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组 有整数解（x 0，y 0）则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ） A 、x 0，y 0均为偶数 B 、x 0，y 0均为奇数 C 、x 0为偶数，y 0为奇数 D 、y 0为偶数，x 0为奇数2．若ab ≠0,则等式 成立的条件是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）A 、a>0,b>0 B.a<0,b>0 C. a>0,b<0 D. a<0,b<03.设a,b,c,d 都是非零实数，则-ab,ac,bd,cd ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ( ) A 、都是正数 B 、都是负数 C 、是两正两负 D 、是一正三负或一负三正4．如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率（利润率=进价进价售价-）可由目前的a%增加到（a+15）%，则a 的值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）A 、185B 、175C 、155D 、1455．若x 0是一元二次方程ax 2+x+c=0(a ≠0)的根，则判别式△=b 2-4ac 与平方式M=（2ax 0+b ）2的大小关系是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ） A 、△=M B 、△>M C 、△<M D 、不能确定6．用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ （ ）A 、13．5B 、11.5C 、11D 、10.5 二、填空题(每小题5分,共30分)7．已知,4,042=-=++n m p mn 则m+n 的值是 . 8.一个均匀的立方体的六个面上分别标有数1，2，3，4， 5，6.右图是这个立方体的侧面展开图.抛掷这个立方体,则朝上一面的数恰好等于朝下一面上的数的21的概率是 .9.己知a,b 是方程x 2-4x+m=0的两根，b,c 是方程x 2-8x+5m=0的根.m= . 10.若x 1、x 2都满足条件∣2x-1∣+∣2x+3∣=4,且x 1<x 2,则x 1-x 2 的取值范围是 .11.如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°， AB=2，CD=1，则BC= .12 ..如图，OA=3,AB=1的矩形OABC 在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，点A 落在点A ’， 则点A ’的坐标是 .三、解答题(每小题15分,共60分)13. 已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x （1） 求证：无论k 取何实数值，方程总的实数根；（2） 若等腰三角形ABC 的一边长a=6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。
1mjt-浙江省数学竞赛复赛试题
bECDB2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )（A ）7.5秒 （B ）6秒（C ）5秒 （D ）4秒 解：答案：【D 】设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒，则100520(/)x y m s -=÷=，所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)2．将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )（A ） （B（C ） （D 解：答案：【A 】CPE CBA ∆∆2PE CP CP PE AB AB BC BC a⇒=⇒==2EF PE ⇒==3．如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：答案：【C 】 黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→ 白甲壳虫爬行的路径为：111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→(第3题)ABCD A 1B 1C 1D 1黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C ，白甲壳虫停在点D 1，因此1CD =4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 解：答案：【D 】 由m n mn +>，得(1)(1)1m n --<，因m ，n 是正整数，所以(1)(1)0m n --=， 即11m n ==或5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A ）11024 （B ）17041024（C ）17051024（D ）2 解：答案：【C 】设第n 层的最高点到水平线的距离记为：(1,2,,10)n a n =由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();;();222a a a a a a =+=+=+把这10条式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10条直线的交点个数最多有（ ）（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则AC的值是 ． 水平线第一层 第二层 第三层 第四层（第5题）x ，y ，zz y x ++11，x z y ++11,yx z ++11 （第10题）M解：答案：17如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=113367AG AE AE AE AG GC CM CD DMAE AE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-±=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 9．已知y =26x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 解：答案：332x --<<由26<0x mx +-，22mmx +<<=解得 -当1≤m ≤3时，1=3 22m ++-则 -的最大值为-； 32所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是3x -<<. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，yx z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为 ．（第8题）解：答案：1111 1132，， 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z kx k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列． 解：答案：45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．解：答案：18. 由题意，得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。
2008浙江数学竞赛及答案
bECDB2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )（A ）7.5秒 （B ）6秒（C ）5秒 （D ）4秒 解：答案：【D 】设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒，则100520(/)x y m s -=÷=，所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)2．将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )（A （B（C （D 解：答案：【A 】CPE CBA ∆∆2PE CP CP PE AB AB BC BC a⇒=⇒==2EF PE ⇒==3．如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：答案：【C 】 黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→ 白甲壳虫爬行的路径为：111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→(第3题)ABCD A 1B 1C 1D 1黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C ，白甲壳虫停在点D 1，因此1CD =4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 解：答案：【D 】 由m n mn +>，得(1)(1)1m n --<，因m ，n 是正整数，所以(1)(1)0m n --=， 即11m n ==或5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A ）11024 （B ）17041024（C ）17051024（D ）2 解：答案：【C 】设第n 层的最高点到水平线的距离记为：(1,2,,10)n a n =由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();;();222a a a a a a =+=+=+把这10条式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10条直线的交点个数最多有（ ）（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则AC的值是 ． 水平线第一层 第二层 第三层 第四层（第5题）x ，y ，zz y x ++11，x z y ++11,yx z ++11 （第10题）M解：答案：17如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AEAE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 9．已知y =26x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 解：答案：332x -<<由26<0x mx +-，22mmx +-<<=解得-当1≤m ≤3时，1=3 22m +-则 -的最大值为-； 所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是3x -<<. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，yx z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为 ．（第8题）解：答案：1111 1132，， 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z kx k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列． 解：答案：45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．解：答案：18. 由题意，得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。
全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题(Word版,含答案)
全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（ ）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k（B ）k k 12- （C ）k 1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A ）10个 （B ）14个 （C ）15个 （D ）30个5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个ADBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） （A ）15种 （B ）23种 （C ）28种 （D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是 ．9．函数1422-+=x x y 的最小值是 ．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是 ．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有 张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是 ．DE（第10题）。
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2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日 下午1：00—3：00）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a j i 01其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a a 4．若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个A（第2题）6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．AB EFO（第6题）（第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQ DG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n 个不同的数，（1）求证：当n =1007时，无论怎样选取这n 个数，总存在其中的4个数的和等于4017． （2）当n ≤1006（n 是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4．3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab +=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或2000x =11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ + =DNCQ AN +．又 =OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PN PQ DNCQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．BACMN P E FQDG O16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，...，2008分成1004对，每对数的和为2009， 每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，． 又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，， 于是1111200920084017m m k k +-++-=． （2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004， (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017； 当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017． 所以1006n ≤时都不成立．。