山东省德州市武城二中高中数学第二章《点到直线的距离》学案新人教A版必修2

山东省德州市武城二中高二数学必修二人教A版第二章《点到直线的距离》
【学习目标】
1.重点：点到直线的距离公式推导与应用。

2.难点：点到直线的距离公式的推导。

【学习过程】
(一)自主学习(阅读课本，完成下列问题
1•点P(x0, y0)到直线Ax By C
2.两条平行直线h ：Ax By C i
(二)思考
计算两平行线间的距离应注意哪些问题?
)
0( A2 B20)的距离d ____________ 0 与12： Ax By C2 0 的距离d —
【例题分析】
例1.求点P(3, 2)到下列直线的距离：
(1) 3x 4y 1 0 ；(2) y 6 ； (3) y 轴.
例2.已知ABC 中，A(1,1)，B(m, .. m)，C(4, 2) (1 m 4)，求m为何值时,
S最大。

例3.求两平行线11 : 3x 4y 10和12 : 3x 4y 15的距离。

ABC的面积
例4.巳知二直蝮疑社点（12人井且与点（2⑶和©―》时阳离栢察瑜此直蛾的方程°
【反馈练习】
1 1 1 1
1 A.0或 B. 或 6 C. 或 D. 0或―
2 2 2 2 2
4•点（0, 5）到直线y 2x 的距离是 __________________ 。

5. 经过点M （3, 2）且与原点距离为3的直线I 的方程为 _______________ 。

6. 求经过两直线x 2y 3 0和2x y 1 0的交点且和点（0,1）距离为1的直线的方程。

1•点（1,1）到直线x A.1 B.2 2. 已知点 A(a, 2) (a
A. .2
3. 已知两点 y 1
0的距离为（ cd
2 0）到直线 2 2 D. . 2 l : x y
3 C. 2 0的距离为1，则a ( ) 1 A(3, 2)和 B( 1,4)到直线 mx y 3 B. D. . 2 1 0的距离相等，则m 为（）。

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山东省德州市武城二中高中数学第二章《2.2.3两条直线的位置关系(第1课时)》学案新人教A版必修2

第1课时两条直线相交、平行与重合的条件【学习目标】 1. 重点：两直线相交、平行、重合的条件及其应用。

2. 难点：理解推导两直线平行条件的思路。

【学习过程】（一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）1. 已知两直线 l i : AxB i yC i 0, I 2: A 2X B ?y C 2 0（ A ： B ： 0，i 1,2）（1）I 1与I 2相交的条件： ____________________ 或 ___________________ 。

（2） l 1与l 2平行的条件： _____________________ 或 ___________________ 。

（3） I 1与I 2重合的条件： ____________________ 或 ___________________ 。

2. 已知两直线 I 1 : y k 1x b ， I 2 : y k 2x b 2.（1） I 1//I 2 的条件： _______________________ .（2） I 1与I 2重合的条件： __________________ .（3） I 1与I 2相交的条件： _________________ .（二）思考两直线方程对应方程组解的个数与直线的位置对应有哪些？【例题分析】例1.判断下列各组中两条直线的位置关系。

(1) I 1: y 3x 4, I 2 : 2x 6y 1 0 ；x 2 (2) I 1: 2x 6y 4 0, I 2: y ； 3 3 (3) I 1(2 1)x y 3， I 2 ： x (2 1)y 2(4) I 1: x 5, I 2: x 6. 例2.（ 1）求过点P （1, 4）且与直线2x 3y 5 0平行的直线方程；（2）求过两直线h ：x y 40，I 2：2x y 5 0的交点且与直线x y 2 0平行的直线方程。

例民巳知直践人"+测十6二:+ = 当肌为何值Bh 直錢与仃<1>相交i ⑵平行* 重合’ 例 4.已知两直线 I 1 : ax 3y 3 0，I 2：4x (a 4) y 2 0,若 I 1 //12，求 a 的值。

高中数学 3.3.3点到直线的距离精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。

逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课概念形成1．点到直线距离公式点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为0022||Ax By CdA B++=+推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+ C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，由11002A x By CAx By C++=⎧⎨++=⎩通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. 得0012,By C Ax Cx yA B----==所以0001||||||Ax By CPR x xA++=-=0002||||||Ax By CPS y yB++=-=22||RS PR PS=+=22||A BAB+00||Ax By C⨯++由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以0022||Ax By CdA B++=+可证明，当A = 0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离.解：22|3(1)2|5330d⨯--==+例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书例2 解：设AB边上的高为h，则221||2||(31)(13)22ABCS AB hAB=⋅=-+-=AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线方程为311331y x--=--即x + y– 4 = 0.点C到x + y– 4 = 0的距离为h2|104|5112h-+-==+，因此，1522522S ABC=⨯⨯=通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax+ By+ C1=l2：Ax + By + C2 = 01222||C CdA B-=+证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax+ By+ C1 = 0的距离为00122||Ax By CdA B++=+.又Ax0 + By0 + C2 = 0即Ax0 + By0= –C2，∴1222||C CdA B-=+教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3 求两平行线l1：2x + 3y– 8 = 0l2：2x + 3y– 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是22|243010|2131323d⨯+⨯-==+解法二：直接由公式22|8(10)|2131323d---==+课堂练习：已知一直线被两平行线3x+ 4y–7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.课后作业布置作业独立完成巩固深化备选例题例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.解得k = 0或12k =-.故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点. 若l ∥AB 且12AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0由P 点到两直线的距离相等，即=，所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离1d =到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d =所以d 1 = d 2=，所以12C =. 即l 的方程为：16802x y ++=. 例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【解析】已知BC 的斜率为23-，因为BC ⊥AC所以直线AC 的斜率为32，从而方程32(1)2y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||AC =，且||||AC BC ==.由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3B a a -，且点B 到直线AC2|32(2)7|a a ---=13|11|103a -= 所以1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =或313 所以6316(,)1313B -或324(,)1313B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113y x -++=--或242132(1)3113y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。

高中二年级数学人教A版必修二“点到直线的距离”【教学设计】

1.联系两点间距离公式的推导思路及公式推导的几何意义看点到直线距离公式的推导。

2.数形结合中对图的运用。

3.对建立直角三角形，运用勾股定理、等积法模型的熟悉程度。

4.对公式的理解，包括公式的特征及应用。

5.练习的完成程度。

1.解决问题思路多样性。

2.表述思路完整、有逻辑、表达清晰。

3.讨论积极主动，善于发现讨论过程中的问题。

4.课堂积极参与，提出问题。

1.生生互动，同学互相评价，提出问题。

2.师生互动，老师引导及最后补充和总结。

【温习旧知，建立新概念】1.回顾两点间的距离公式及公式推导的几何意义。

2.提出问题：“在铁路的附近，有一大型仓库。

现在要修建一条公路与之连接起来，那么怎样设计使公路最短？最短路程又是多少？”，根据学生已有的知识得到点到直线的距离的定义。

【设计意图】1.回顾两点间的距离公式及公式推导的几何意义，引导学生带着学过的知识看新的问题，进行知识迁移。

2.明确概念，增加学生探索新知的兴趣。

3.引导学生熟悉本堂内容与前沿知识的联系。

【学习目标，明确方向】1.展示本节课的学习目标：1、掌握点到直线的距离公式的推导过程。

2、能用点到直线的距离公式进行计算。

【设计意图】1.有利于学生后来有目的、有方向地学习，明确点到直线距离公式学习中的学习目标，调动积极性和主动性。

【讨论特例，得到思路】1.给出不含参数的特例题：已知点P（-1，2）和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离。

让学生小组讨论得出思路。

2.学生对讨论出的思路进行评价，老师引导及最后补充和总结，思路不唯一。

【设计意图】1.由一道不含参的特例题引导学生得到解题思路，由易到难，保护学生兴趣，让更多的学生可以参与。

【特殊到一般，特例题的推广】1.从特殊到一般，将不含参的题目中已有的思路推广到一般情况。

2.重思路，轻计算。

让学生讲解自己的思路，如何得到各数据，但不计算，直接给出。

【设计意图】1.从特殊到一般，让学生更容易接受含参的问题。

新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行线间距离学案人教A版选择性必修第一册

两条平行线间距离【学习目标】1.点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线,则该点与之间的距离,就是该点到直线的距离． (2)公式：点P (x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝． 2.两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝．思考1：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？思考2：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？【小试牛刀】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点P (x 0,y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b .( ) (2)点P (x 0,y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |.( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2.( )2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B.3C ．2 D. 53.两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【经典例题】题型一点到直线的距离注意：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式．(2)点P 在直线l 上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中,A ＝0或B ＝0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解．例1 求点P (3,－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[跟踪训练]1 已知点(a ,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1题型二两平行线间的距离注意：求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l 1：y ＝kx ＋b 1,l 2：y ＝kx ＋b 2,且b 1≠b 2时,d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0,l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时,d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 但必须注意两直线方程中x ,y 的系数对应相等．例2 两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行,则它们之间的距离为________．例3 直线l 1过点A (0,1),l 2过点B (5,0),如果l 1∥l 2,且l 1到l 2的距离为5,求l 1,l 2的方程．[跟踪训练]2 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程．题型三距离公式的综合应用例4 已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0,x ＋y ＋1＝0的交点,正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0,求正方形其他三边所在直线的方程．[跟踪训练]3 求过点(3,5)的所有直线中,距原点最远的直线方程．【当堂达标】1．点(5,－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )A．7 B．5 C．3 D．22．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0,l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )A.75B.715C.415D.233．光线从点A(－3,5)射到x轴上,经反射以后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( ) A．5 2 B．2 5 C．510 D．10 54．已知两点A(－3,－2)和B(－1,4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等,则实数a为________．5．已知直线l经过点(－2,3),且原点到直线l的距离等于2,求直线l的方程．【参考答案】【自主学习】垂足|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2|C 1－C 2|A 2＋B 2要求直线的方程应化为一般式．两条平行直线的方程都是一般式,且x , y 对应的系数应分别相等．【小试牛刀】1.(1)× (2)√ (3)√2. D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x ＋2y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|12＋22＝ 5. 3. C [d ＝|－7－（－12）|32＋42＝1.] 【经典例题】例1 解 (1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0,由点到直线的距离公式得d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)法一：把方程y ＝6写成0·x ＋y －6＝0,由点到直线的距离公式得d ＝|0×3＋（－2）－6|02＋12＝8. 法二：因为直线y ＝6平行于x 轴,所以d ＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x ＝4平行于y 轴,所以d ＝|4－3|＝1. [跟踪训练]1 C 解析由点到直线的距离公式得：|a －2＋3|12＋（－1）2＝|a ＋1|2＝1,∴|a ＋1|＝ 2. ∵a >0,∴a ＝2－1.故选C.例2 由题意,得63＝m1,∴m ＝2,将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0,由两平行线间距离公式,得|－1＋6|62＋22＝540＝104. [跟踪训练]2[解] ∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋b ＝0, 根据两平行直线间的距离公式得|b －6|52＋（－12）2＝3,解得b ＝45或b ＝－33.所以所求直线方程为：5x －12y ＋45＝0,或5x －12y －33＝0. 例3 解 (1)若l 1,l 2的斜率存在,设斜率为k , 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1,即kx －y ＋1＝0, 由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5),即kx －y －5k ＝0,则点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k2＝5,∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25,∴k ＝125. ∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0,l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x ＝0,l 2的方程为x ＝5,它们之间的距离为5,同样满足条件．综上,满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0,l 2：12x －5y －60＝0或l 1：x ＝0,l 2：x ＝5.例4 解设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得正方形的中心坐标为P (－1,0), 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等,得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32,得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l 垂直,∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等, ∴|－3＋a |32＋（－1）2＝|－1－5|12＋32,得a ＝9或a ＝－3, ∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0,x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.[跟踪训练]3 解设过点(3,5)的直线方程为y －5＝k (x －3)或x ＝3.对于y －5＝k (x －3), 原点(0,0)到它的距离d ＝|3k －5|k 2＋1,化简整理得(9－d 2)k 2－30k ＋25－d 2＝0.当9－d 2≠0时,因k ∈R ,∴Δ＝(－30)2－4(9－d 2)(25－d 2)≥0.解得0≤d ≤34(且d ≠3)．对于x ＝3,原点到它的距离d ＝3.因此,过点(3,5)的所有直线与原点的距离d ∈[0,34]．故d max ＝34,当d ＝34时,|3k －5|k 2＋1＝34,解得k ＝－35.故所求直线方程为：y －5＝－35(x －3),即3x ＋5y －34＝0. 【当堂达标】1. A [直线x ＋2＝0,即x ＝－2为平行于y 轴的直线,所以点(5,－3)到x ＝－2的距离d ＝|5－(－2)|＝7.]2. C 解析 l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0,由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415. 3.C 解析 ∵点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3,－5),∴|A ′B |＝（－3－2）2＋（－5－10）2＝510,由光的反射理论可知,此即为光线从A 到B 的距离．4. 1或－13解析 ∵两点A (－3,－2),B (－1,4)到直线l ：x ＋ay ＋1＝0的距离相等,∴|－3－2a ＋1|a 2＋1＝|－1＋4a ＋1|a 2＋1,化为|2a ＋2|＝|4a |.∴2a ＋2＝±4a ,解得a ＝1或－13.5. 解当直线l 的斜率不存在时,直线的方程为x ＝－2,符合原点到直线l 的距离等于2. 当直线l 的斜率存在时,设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0,由d ＝|0－0＋2k ＋3|1＋k 2＝2, 得k ＝－512,即直线l 的方程为5x ＋12y －26＝0.。

高中数学《点到直线的距离》说课教案新人教A版必修2

《点到直线的距离》说课教案各位评委、各位老师，大家好！今天，我说课的题目是“点到直线的距离”。

下面从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法与学法、教学过程设计、设计说明等七个方面进行说课。

一、教材分析：（一）教学内容“点到直线的距离”是人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修2)《数学》第三章第三节的内容，本节内容分1课时进行学习，现在就来说一说本节内容的地位和作用。

（二）教材的地位和作用解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础，而且点到直线距离公式得推导过程也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。

而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，如曲线与方程、分类讨论等数学思想、（三）重难点分析点到直线的距离公式是高中数学中重要的公式之一，是解决许多数学问题的重要工具。

因此，我将本节课的重点确定为“公式的推导和应用”，要把握住这个重点，关键在于理解并掌握点到直线的距离公式的推导过程，其本质是利用几何图形建立代数关系。

由于学生难以想到用构造辅助线的方式解决公式的推导问题，因此我将本节课的难点确定为“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造Rt△，从而推出公式”。

二、学情分析学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，并且学习了函数、三角函数、向量、不等式等相关知识，这就为学生利用已学过的知识探讨点到直线的距离公式做好了铺垫。

在能力上高二的学生心思、思维日渐成熟，初步具备了运用所学知识解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性及运算的推理能力还需进一步的培养和加强。

在情感方面多数学生具有积极的学习态度，能主动参与教学活动，但少数学生的学习主动性还需要教师营造良好的学习气氛加以调动。

高中数学 3.3.3点到直线的距离教案新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案

《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。

二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法；〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用．〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。

高中数学人教A版必修2导学案设计：3.3.3--点到直线的距离--3.3.4--两条平行线间的距离(

x yP 0(x 0,y 0)P 0 (x 0,y 0)1y y =1x x =x 1科目：数学课堂教学导学案课题：点到直线距离、两条平行线间的距离.高一年级部主备人：张云刚时间：20 年月日任课教师：__________一、学习目标1.了解点到直线距离公式的推导；（难点）2.点到直线的距离公式及其应用；（重点）3.会求两条平行线之间的距离.二、复习回顾两点间的距离公式是什么？已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则________________________21=P P 三、学习新课问题：在铁路MN 附近P 地要修建一条公路使之连接起来,问:如何设计才能使公路最短?课堂探究、1.点到直线的距离（1）如图，求点P 到x 轴，y 轴的距离；（2）如图，求点P 到直线11,y y x x ==的距离；()000,P x y 0:l Ax By C ++=l 0P（3）已知点 ,直线，如何求点到直线的距离？结论：点P 0(x 0 , y 0)到直线 l : A x +B y +C=0的距离为:____________________________________=d注意: 1. 当A=0或B=0，此公式________________2. 用此公式时直线要先化成一般式.变式训练：求下列点到直线的距离：例2 已知点，求的面积．变式训练：若点P 在直线3x+y-5=0上，且点P 到直线x-y-1=0的距离为，则点P 的坐标为( )()()()1P 1,2.12x y 100;23x 2.-+-==例求点到下列直线的距离(1)(0,0),:32260;(2)(0,0),:;(3)(2,0),:3430;(4)(1,0),0;(5)(1,2),:430.O l x y O l x y A l x y B l y C l x y +-==-++=+=-+=()()()133110A B C ，，，，－，ABC ∆(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(1,2)或(2，-1) (D)(2，1)或(-1，2)探究二：2.两条平行直线间的距离（1）两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.（2）探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？已知两条平行直线求它们之间的距离。

2019-2020年高中数学点到直线的距离教案新人教A版必修2

2019-2020年高中数学点到直线的距离教案新人教A版必修2一、教材分析1．教学内容《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．2．地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．二、目标分析１．学情分析我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．２．教学目标根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．【知识技能】⑴理解点到直线的距离公式的推导过程；⑵掌握点到直线的距离公式；⑶掌握点到直线的距离公式的应用．【数学思考】⑴通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；⑵通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力；⑶通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．【解决问题】由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力．【情感态度】结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣．３．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重点设置为：【重点】⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；⑵点到直线的距离公式的应用．【难点】点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．【难点突破】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．三、教学方法根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节．环节１创设情境在教学环节1中，以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏，以及一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险．创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，从而有效调动学生的学习兴趣．（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效调动学生的学习兴趣．）那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2．环节２点到直线的距离公式的推导过程首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础．）接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．问题1 如何求点到直线的距离？补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．方法①利用定义由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决．解：过点作的垂线，设垂足为方法②利用直角三角形的面积公式结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．解：过点作的垂线，交点为点在Rt方法③利用三角函数根据定义作出图象后，由于涉及到Rt和直线倾斜角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题．解：过点作的垂线，垂足为方法④利用函数的思想在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决．解：设直线上的点，则当时，取得等号，即此时点对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点和直线的位置，引出补充问题2．问题2如何求点到直线的距离？组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．问题3 如何求点到直线（）的距离？方法①利用定义的推导方法通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．方法②利用直角三角形的面积公式的的推导方法学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法．方法③利用平面向量的推导方法由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生，可能会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度，但根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图象，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中，学生可能会遇到，无法表示与直线垂直的向量的坐标的困难，我给予提示：可以借助于，向量与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后，在自学教材阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成．这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础．（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）点到直线的距离公式点到直线（其中）的距离在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．环节３点到直线的距离公式的应用在本环节，我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材，由于例题中所给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件，我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问．例1 求点到下列直线的距离：⑴⑵⑶⑷（设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．）在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．例2 ⑴ 已知点到直线的距离为，求的值；⑵ 已知点到直线的距离为，求的值．由于例2的两个问题中，直线方程所含参数都具有明显的几何意义：一个表示直线的斜率，另一个表示直线在轴上的截距．所以解出参数的值后，在“几何画板”中，以数学实验的形式，通过度量进行操作确认．其中⑴随直线的不断变化，学生可观察点到直线距离的度量值、直线斜率的度量值的变化趋势．当时，可发现此时两条直线的斜率的度量值，与计算结果吻合．同时，度量出，说明点落在两条直线所成角的角平分线上（如图1）；在⑵中，学生可观察点到直线距离的度量值、直线在轴上截距的变化趋势．当时，直线在轴上的截距的度量值，也与计算结果吻合（如图2）．本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔，并由问题⑵中两平行线间距离为，引出教材的例题．图图2 （设计意图：点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容．在例1的基础上，增补直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中，通过数学实验，让学生感受在利用代数方法研究几何问题后，再回归几何本身的重要性．）例3 求平行线和的距离．教材上采用了类比化归的思想，将两平行直线之间的距离，转化为点到直线的距离来解决问题．由于两平行线间的距离处处相等，所以教材选择了一条直线上的特殊点，便于简化计算．学生可能会提出如果在直线上任选一点能否得到这两条平行线之间的距离的问题，由此引出了教材的习题15．根据课堂剩余时间，此题作为机动练习．此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4．（设计意图：紧扣教材，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔．）环节４课堂总结由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路；⑵点到直线的距离公式；⑶点到直线的距离公式的应用前提条件．（设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）课后作业①在自学教材阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的距离公式；②教材13、14、16板书设计五、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下五点反思：1．对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2．点到直线的距离的推导过程，含有比较抽象的字母运算．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式推导和自学阅读；3．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式；4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以我重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置，以期达到强化训练的目的．2019-2020年高中数学知识精要 25.高考数学应试技巧教案新人教A版经过紧张有序的高中数学总复习，高校招生考试即将来临，不少同学认为高考数学的成败已成定局。

高中数学 3.3.2《点到直线的距离》导学案新人教A版必修2

【学习目标】知识与技能：让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；情感态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验【重点难点】学习重点：点到直线距离公式及其应用．学习难点：发现点到直线距离公式的推导方法．【学法指导】1、先阅读教材106—108页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

（尤其两点间的距离公式及点到直线的距离公式牢记）3、A：自主学习；B：合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题。

平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。

【知识链接】：1．两点间的距离公式特别的：原点O与任一点P（x,y）的距离22yxOP+=2．平面内点与直线的位置关系有几种？【学习过程】自主探究A问题1：已知点P(x0，y0)，直线l：A x+C=0，求点P到直线的距离．A问题2：已知点P(x0，y0)，直线l：B y+C=0，求点P到直线的距离．B问题3：已知点P(x0，y0)，直线l：A x+B y+C=0，求点P到直线的距离．A例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；②3x=2; ③2y+3=0的距离。

A问题4：两条平行直线间的距离的定义A问题5：设直线l1∥l2，如何求l1与l2之间的距离？B例2已知直线,l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－l＝0，l l与l2是否平行？若平行求l l与l2间的距离。

由上面的例题可知，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，取点时可考虑取x轴上的点或y轴上的点，运算可以简便点。

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