平行线间的拐点问题复习进程
平行线中的拐点(拐角)问题
专题一平行线中的拐点问题【学习目标】1.复习巩固平行线的性质和判定，找到解决平行线间拐点问题的基本方法，学会运用平行线转移角，建立分散的角之间的练习，提高几何推理能力。
2.在探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程，初步体会添加辅助线的目的。
【学习过程】一、复习填空.平行线的判定：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.④_____________________________________________.平行线的定理：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.二、探究新知假设，两根木杆AB与CD平行放置，木杆的两端B、D用一根橡皮筋连接，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P向里压：例1.如图，在平行线AB，CD内任取一点P，连接DP，BP.（1）若∠ABP=45°，∠CDP=15°则∠BPD=__________.（2）若∠BPD=50°，∠CDP=10°则∠ABP=__________.（3）试猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP之间的数量关系，并说明理由.变式练习：1.如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是__________. 2.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1的度数是_____________.（1）（2）拓展提升：如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．（2）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P水平向外拉：例2.如图，在平行线段AB、CD外取一点P，连接BP，DP，刚才的结论还成立吗？若不成立，你又有新的发现吗？变式练习：1.某小区地下停车场入口门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=110°，则∠ABC=__________.2.如图，如果a∥b，∠1=55°，∠2=130°，则∠3=___________.（1）（2）拓展提升：已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P斜上右上方拉或者斜上左上方拉：例3.如图①②，在平行线AB、CD外取一点P，连接BP，DP，这时∠ABP，∠CDP，∠BPC之间又有怎样的数量关系呢？变式训练：1.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为__________.2.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是___________.3.如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是______________.（1）（2）（3）三、课后练习1.如图，直线l2∥12，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝．2.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为．3.如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．则∠BFD的度数为____________．（1）（2）（3）4.如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为．5.直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=____________.（4）（5）6.如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°．求∠BFD的度数．7.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝110°，第二次拐角∠C＝150°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数为__________.8．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°9．如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°10．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°（8）（9）（10）11．阅读第（1）题解题过程，解答第（2）题．（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间的一点，已知∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．解：过点E作EM∥AB，∴∠B＝（）．∵AB∥CD，AB∥EM，∴EM∥（）．∴∠2＝（）．∴∠BEC＝∠1+∠2＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°．（2）如图2，AB∥ED，试探究∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系．。
七年级数学当平行线遇见拐点优秀教案
课题：当平行线遇见“拐点〞【设计意图】通过有目的、有设计地设计问题，引导学生进行观察、实验、猜测、推理等活动，从而使学生形成对待该类问题的理解和有效的学习策略.在平行线“拐点问题〞的探究过程中，引导学生通过观察以及实验的结果，运用归纳、类比的方法先得出猜测，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解，组织学生探索辅助线作法，并适当进行比拟讨论，有助于开阔学生的视野【教材分析】本节课是平行线的判定和性质的运用中提炼出的专题题型——平行线中的拐点问题，平行线与相交线在现实生活中随处可见，平行线的判定和性质是第二章《相交线与平行线》的主要内容。
在呈现具体内容是，教科书力求为学生提供生动有趣的问题情境，通过观察、操作、推理、交流等数学活动。
教学中应充分利用这一特点，使学生积累丰富的数学活动经验，以培养学生良好的空间观念和一定的创新意识，探索精神；同时鼓励学生通过独立思考、自主探索和小组合作，进一步体会判定和性质之间的联系，获得有关知识和成功体验，享受学习的乐趣。
【学情分析】学生在学习了平行线的判定和性质的根底上，针对平行线判定和性质的运用过程中，总结提炼特殊的专题题型指导学生进行的探索理解，掌握其解决的方法，通过基此题型的探究，提高学生的分析能力和解题能力。
因此，在教学过程中要关注学生个性化的学习需求以及对个性化的学习提出恰当评价。
【教学目标】1、经历探究平行线中“拐点〞问题方法的过程，掌握对该类问题作辅助线的方法以及处理该类问题的方法技能.2、经过转化探索题目所求角之间数量关系的方法，进一步深化数形结合的数学思想.3、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步培养推理能力以及有条理的表达能力.【教学重难点】教学重点：探索并掌握解决平行线中“拐点〞问题的方法.教学难点：平行线中“拐点〞问题中如何添加辅助线.【教学年级】七年级【教学准备】本节课主要利用PPT软件来进行教学，利用小黑板便于学生的成果展示【教学过程】一、复习稳固复习平行线的性质与判定〔展示PPT〕二、创设情境如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A=120°，第二次拐的角∠B=140°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，求∠C的度数.引出课题：在我们的生活中还有许多这样的图形，这节课我们就一起来研究：平行线之拐点问题。
平行线的拐点问题—教学设计
平行线的拐点问题—教学设计教学目标：1、能够准确识别平行线的拐点问题的几种基本图形2、通过典例分析，能够写出拐点问题中的角与角之间的数量关系3、巩固提升，能够借助添加辅助线的方法解决平行线的拐点问题难点：拐点模型中角与角的数量关系的探究，一题多解重点：探究拐点图形中角与角的数量关系教学过程:(一)复习回顾如图，已知a//b若∠1=70゜，则∠2=若∠3=60゜，则∠2=若∠4=80゜，则∠3=设计意图：通过题目回顾平行线的性质：两直线平行→ QUOTE（二）情境引入典例分析：如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形( 挖去一小半圆) ，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1 + ∠2 的度数．设计意图：通过实际模型—小刀让学生体会数学与实际生活的联系，引起学生兴趣，引出拐点模型，让学生初步感受拐角的数量关系。
（三）探究新知例1：如图，已知 AB∥CD，则∠AOC与∠ A、∠C有什么数量关系？变1：如图,已知 AB∥CD，若改变O点的位置，此时∠AOC与∠ A、∠C的数量关系还成立吗？若不成立它们又有什么数量关系？2、画一画在纸上画出余下的几种拐点图形，并探究∠AOC与∠ A、∠C的数量关系3、演示利用几何画板将拐点的几种基本图形明确4如图,已知 AB∥CD，此时∠AOC与∠ A、∠C有什么数量关系？5如图已知 AB∥CD，此时∠AOC与∠ A、∠C 有什么数量关系？6通过4、5两题类比得出∠AOC与∠ A、∠C有什么数量关系？小结（1）运用平行线的性质探究拐点问题中角与角的数量关系（六种基本图形）两直线平行→（2）拐点问题解题策略：添辅助线1.构造截线2.过拐点作已知直线的平行线，构造被截线（3）数学思想：建模转化分类讨论平行线的拐点问题概念：拐点解题策略：1…2…典例1、解一：2、解一：解二：解二：3、解一：4、解一：解二：解二5、6、（五）教学反思本节课通过对6个拐点的基本图形的探究，明确了相应的角的数量关系，主线明确，引导学生在思考拐点图形角的数量关系时，在掌握一般方法的基础上，鼓励学生一题多解，深层次地发展学生数学思维。
平行线的拐点问题归纳总结
平行线的拐点问题归纳总结平行线是数学中一个非常重要的概念，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。
特别是在几何学中，平行线的性质和拐点问题一直备受关注。
本文将对平行线的拐点问题进行归纳总结，并讨论其相关应用。
一、平行线的概念和性质在几何学中，两条直线被称为平行线，如果它们位于同一个平面中且没有交点。
根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：1. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 平行线与同一条直线的交点与对应角之和为180度。
3. 平行线与平行线之间的内角、外角关系特殊。
这些性质为平行线的拐点问题的研究提供了基础。
二、平行线的拐点问题拐点是两个平行线相交后再相交一次的点，也被称为反拐点。
为了更好地理解平行线的拐点问题，我们将从一维、二维和三维的角度来分析。
1. 一维拐点问题一维拐点问题是指两条平行线在一维空间中的相交问题。
显然，两条平行线在一维空间中永远不会相交，因此没有拐点存在。
2. 二维拐点问题二维拐点问题是指两条平行线在二维平面中的相交问题。
当我们在平行线上引入一点，并以这个点为顶点作两条射线时，这两条射线可能与另一条平行线相交。
这种情况下，我们可以得到一个拐点。
3. 三维拐点问题三维拐点问题是指两条平行线在三维空间中的相交问题。
与二维情况类似，在平行线上引入一个平面，并以这个平面为基准作两个平面时，这两个平面可能与另一条平行线相交，从而产生一个拐点。
三、平行线拐点问题的应用平行线的拐点问题在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用场景：1. 几何学中的角度问题：通过研究平行线的拐点，我们可以更好地理解和计算一些几何学中的角度问题，如内角、外角和对应角等。
2. 折线的设计和分析：在图形设计和计算机图形学中，我们经常需要处理复杂的折线，平行线的拐点问题为折线的设计和分析提供了重要的参考依据。
3. 光学中的反射和折射：平行线的拐点问题在光学中有重要应用。
通过研究平行线的反射和折射现象，我们可以更好地理解光的传播和折射规律。
平行线专题复习---平行线与拐点 教学设计
平行线的性质与判定专题复习----“平行线与拐点”一、内容及内容解析1、内容：平行线的性质与判定专题复习------平行线与“拐”点2、内容解析：平行线的性质与判定方法是研究几何图形位置关系与角的数量关系的基础和重要依据，而平行线与拐点的组合，是平行线的一个重要应用内容，是锻炼学生数学建模能力、学习分类讨论数学方法、培养学生逻辑推理与观察能力的重要素材，它为今后学习三角形、四边形及其他数学知识的基础。
二、目标及目标解析1、目标：（1）平行线的性质与判定方法的综合应用（2）经历对问题“平行线背景下，改变拐点的位置，角的数量关系发生了什么变化？”的探究过程，从中体会数学建模与分类讨论的方法。
2、目标解析：达成目标（1）的标志是：能利用性质和判定方法进行合理推理，并用准确的几何语言加以描述。
达成目标（2）的标志是：学生通过独立思考与小组合作探究、动手操作，发现图形的构建、种类，并归类整理。
三、教学问题诊断分析平行线的性质与判定方法的应用是在“三线八角”的前提下，在基础应用过程中，学生对“三线八角”的基本图型已有比较好的认知，但拐点与动点的出现，对学生在复杂环境下图形的构建方面加大了应用的难度。
为此，需要通过大量的实践与实验，让学生充分感受图形的变化，在实践操作中构建图形，发现辅助线，形成三线八角，从而解决问题。
本节课的教学难点：拐点运动过程中图形的构建与推理。
四、教学支持条件分析本节课教学目标的实现，可以借助班级优化大师、希沃白板学科教学工具、几何画板等教学软件，调动学生学习的积极性，帮助学生在运动变化过程中寻求图形的种类，培养学生的建模意识。
学生在进行探究活动时还需要准备直尺等学习用具。
五、教学过程设计1、知识梳理、导入新知问题：平行线的性质有哪些？平行线的判定方法有哪些？师生活动：利用班级优化大师随机点名的方式点学生回答，若学生不能回答，或答题不完整，其他同学补充、修正，教师利用希沃白板“思维导图”同步呈现学生答案；教师引导学生归纳并板书：由两线平行的位置关系可以得到两角的数量关系，由两角的数量关系可以得到两线平行的位置关系。
初中数学 中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型
模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。
专题19 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题19解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (9)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (14)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (20)【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，AB CD ∥，若40A ∠=︒，26C ∠=︒，则∠E =______．【答案】66︒##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==︒==︒∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠，故答案为：66︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠是解题的关键．【变式训练】1．如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E ∠+∠+∠=︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A ACE E ∠+∠+∠=︒，∴在原图中360A C E ∠+∠+∠=︒，故答案为：360A C E ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．如图，若AB ∥CD ，则130α∠=︒，70β∠=︒，则γ∠=______．【答案】20︒##20度【分析】过点E 作EF AB ∥，利用平行线的性质可得1∠的度数，进而可得2∠的度数，再结合CD AB ∥可得//CD EF CD EF ∥，进而可得γ∠的度数．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ∥，则118018013050α∠=︒-∠=︒-︒=︒，2705020AEF β∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，C D A B ∥ ，CD EF ∴∥，220γ∴∠=∠=︒．故答案为：20︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．3．已知直线12l l ∥，3l 和1l ，2l 分别交于C ，D 点，点A ，B 分别在线1l ，2l 上，且位于3l 的左侧，点P 在直线3l 上，且不和点C ，D 重合．(1)如图1，有一动点P 在线段CD 之间运动时，求证：12APB ∠=∠+∠；(2)如图2，当动点P 在C 点之上运动时，猜想APB ∠、1∠、2∠有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)21APB ∠=∠+∠，理由见解析．【分析】()1过点P 作1//PE l ，根据12l l //可知2//PE l ，故可得出1APE ∠=∠，2.BPE ∠=∠再由APB APE BPE ∠=∠+∠即可得出结论；()2过P 作//PE AC ，依据12l l //，可得//PE BD ，进而得到2BPE ∠=∠，1APE ∠=∠，再根据BPE APE APB ∠=∠+∠，即可得出21APB ∠=∠+∠．（1）证明：如图1，过点P 作1//PE l ，12//l l ，2//PE l ∴，1APE ∴∠=∠，2BPE ∠=∠．又APB APE BPE ∠=∠+∠ ，12APB ∴∠=∠+∠；（2）解：21APB ∠=∠+∠．理由如下：如图2，过P 作//PE AC ，12//l l ，//PE BD ∴，2BPE ∴∠=∠，1APE ∠=∠，BPE APE APB ∠=∠+∠ ，21APB ∴∠=∠+∠．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG+∠B=180°，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【答案】540【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l 1∥l 2，∴AB ∥CD ，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．如图，AB CD EF ∥∥，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．【答案】123∠+∠=∠【分析】根据AB CD EF ∥∥可得1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又因为2DCE BCD ∠=∠+∠，所以可得123∠+∠=∠．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，∴1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又∵2DCE BCD ∠=∠+∠，∴123∠+∠=∠，故答案为：123∠+∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．3．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，由平行线的性质可得出180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ；④过点P 作PF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ．【详解】解：①如图1，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF =180°，∠C +∠CEF =180°，∴∠A +∠AEC +∠C =∠A +∠AEF +∠C +∠CEF =180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ，∠DQM =∠EMQ ，∠EMB =∠5，∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠5+∠DQM ，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5+∠DQM =∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥，分别就图1、图2、图3写出A ∠，C ∠，AFC ∠的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知//AB CD ，77BAE ∠=︒，131DCE ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．28︒B ．54︒C ．26︒D ．56︒【答案】B 【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB CD ∥，77BAE ∠=︒，可得77CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．【详解】解：如图，延长DC 交AE 于F ，∵AB CD ∥，77BAE ∠=︒，77CFE BAE ∴∠=∠=︒，又131DCE ∠=︒ ，E CFE DCE ∠+∠=∠，1317754E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O 照射到抛物线上的光线OA 、OC 等反射以后沿着与PQ 平行的方向射出，已知25OAB ∠=︒，OA OC ⊥，那么OCD ∠的度数是（）【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG AB ∥，过点∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，【答案】210【分析】过2∠顶点做直线l∥支撑平台，直线【详解】解：过2∠顶点做直线l∥∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠=∠= 、531801430∠+∠= ，【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（22·23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知120MAC ∠=︒，60NBE ∠=︒．(1)已知驱逐舰在AC 方向上航行，巡洋舰在BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C 后沿C D -继续航行，巡洋舰到达点E 后沿E F -继续航行，且MN EF ∥，140ACD ∠=︒．若驱逐舰在原航向上向左转动()0180αα︒<<︒后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．【答案】(1)不会，理由见解析(2)20︒【分析】（1）根据平行线的判定证明AC BE ∥，利用平行线的定义判断即可；（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF CG ∥，利用平行公理得到CG MN ∥，求出ACG ∠，即可求出α的值．【详解】（1）解：不会，理由是：∵120MAC ∠=︒，∴60CAN ∠=︒，∵60NBE ∠=︒，∴CAN NBE ∠=∠，∴AC BE ∥，∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．6．（22·23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得126DOP DOE∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP∠=则15∠=∠=︒，COF OCG，∠=︒116CODFOQ COD COF∴∠=∠+∠=︒+︒11615 ，OF CGCG MN∥∥，OF MN∴∥，∴∠+∠=︒，180OQM FOQ(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD 并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC 能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，AB∥CD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．。
平行线中的拐点问题
A F ④ B
D
E
C
A F ④ B
P
D
E
C
A F ④ B
P
D
E
C
P
A
④
B
F
D
EC
A F
P
④B
D
E
C
综合合作练学习习达提成高目技标能
猜想1．当点P在区域①中时，如图所示： 探究∠PEC，∠PFB，∠EPF 之间的关系．
A F ④ B
字形和“凹” 字形的结构图．如图所示：
④
A
F
B
P
D
E
C
A F ④ B
P
D
E
C
图1
图3
综探合索练本习质 达发成展目思标维
1.在图1中，当AF∥DE时，∠F+∠E=∠P，试探究图2
中，当AB∥CD时∠A，∠E，∠F和∠D之间存在怎
样的数量关系？
A
B
E
Q
L
F
G
P
N
H
C 图2 D
P
猜想：∠PEC+∠PFB+∠EPF=360°理由如下： 过点P作PN∥AB， 则∠PFB+∠1=180° ∵AB∥CD ∴PN∥CD ∴∠PEC+∠2=180° ∵∠1+∠2=EPF ∴∠PFB+∠EPF+∠PEC=360°
D
E
C
A F ④ B
P
1
2
N
D
E
C
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平行线间的拐点问题
平行线中的拐点问题
学习目标：
1. 能正确解决常见的拐点问题。
2. 灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。
复习回顾：
1. 如图(1), AB//CD ,那么/ B + / E+ / D=( ).
A、1800 B > 2700 C、360°D 540°
2. 如图(2), AB//CD,则x, y, z之间的关系是( )
A、x+y+z=360°
B、x-y+z=180 °
C、x+y-z=180 °
D y+z-x=180 °
A B
C D
方法指导：解决平行线中的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。
合作探究一:
(1) 已知：如图1, AB // CD,求证：/ B+ / D= / BED;
(2) 已知：如图2, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说
明理由.
(3) 已知：如图3, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说合作探究二：
已知：如图，AB//CD,试解决下列问题：
(1)_______________ Z 1+Z 2= ;
(2)__________________ Z 1+Z 2+Z 3= ;
(3)______________________ Z 1+Z 2+Z 3+Z 4= ;
(4)试探究Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+・・+Z n=( )
跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角ZA是105度，第二次拐的角ZB是135度，第三次拐的角是Z C,这时
课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？
当堂检测：
1 •如图，直线I 1 //l，Z A=125，Z B=85，则Z 1+Z 2=( )
A. 30°
B. 35°
C. 36°
D. 40°
2.如图，已知AC// BD Z CAE=30，Z DBE=35。
，贝UZ AEB等于( )
A. 30°
B. 45°
C. 65°
D. 75°
明理由.
拓展提升：如图，已知AB// DE BF, EF分别平分/ ABC与/CED若 / BCE=140，求/ BFE的度数.。