巧解平行线的拐点问题高廖
小专题 12 巧解平行线中的拐点问题
(3)过点 F 作 FH∥EP. 由(2)知，∠EFD＝∠BEF＋30°. 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋30)°.
∵EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD， ∴∠PEF＝12∠BEF＝x°， ∠EFG＝12∠EFD＝(x＋15)°. ∵FH∥EP， ∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG. ∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝15°， ∴∠P＝15°.
＝∠B＋∠C ；
解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已 知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的 平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论．
1．(随州中考)如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三 角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若 ∠1＝65°，则∠2 的度数是( A )
第七章 平行线的证明 小专题12 巧解平行线中的拐点问题
教材母题】 (教材 P186 复习题 T15(1))已知：如图，直 线 AB∥ED.求证：∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
【解答】 过点 C 作 CF∥AB， 则∠BCF＝∠ABC. 又∵AB∥ED， ∴CF∥ED.∴∠DCF＝∠CDE. ∴∠ABC＋∠CDE＝∠BCF＋∠DCF， 即∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
(3)如图 3，若 AB∥CD，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠ E2＋…＋∠En 的度数为(n＋1)·180° 。
变式 2 当点 C 运动到平行线的外边 已知 AB∥ED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点． (1)如图 1，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＝
∠BCD＋∠D ； (2)如图 2，∠B，∠EDC，∠C 之间的关系是∠EDC
变式 1 当点 C 运动到平行线的右侧
如图，直线 AB∥ED，∠B，∠BCD，∠D 之间的关 系是∠B＋∠BCD＋∠D＝360°．
人教版七年级数学下册 平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明问题中的拐点问题解法探究平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。
已知：如图AB∥CD.探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。
解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。
（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,又∠CPH-∠BPH=∠BPC∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。
（3）(4)(5)与（2）证法相同结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。
（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。
结论应用举例1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。
试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。
解析：因为AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,所以2∠1+2∠2=1800，所以∠1+∠2=900.由上面的结论可知：∠BED=∠1+∠2=900，∴BE⊥DE。
2.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形，其中刀片的两条边缘线，看成两条平行线的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是_____。
初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题
初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题平行线间的拐点问题，一直是七年级下册的重难点，经常出现在解答题最后几题的位置。
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条直线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．解决平行线中拐点问题的方法：在“拐点”处作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，这样角之间的关系就比较明显，也就可以运用平行线平行线的性质判定轻松求证。
方法巧记：过拐点，作平行，几个拐点作几条。
内拐模型巧记：“左和”= “右和”详解：P作PN∥AB∵AB∥CD∴PN∥AB∥CD∴∠1=∠3，∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4∴∠B +∠C =∠P外拐模型巧记：180°×（n-1）详解：①过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B + ∠BCF =180°，∠FCD +∠D =180°∴∠B+∠BCF +∠FCD+∠D =360°∴∠B +∠C + ∠P =360°同理可得②：∠B+∠C+∠D+∠E=540°鹰嘴模型巧记：鹰嘴+小角=大角详解：如图②，过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B = ∠BCF =∠BCD +∠DCF ∠DCF =∠D ∴∠B =∠BCD+∠D靴子模型巧记：靴角+小角=大角详解：如图，过p作EF∥AB∵AB∥CD∴EF∥AB∥CD∴∠PAB = ∠APE ∠C =∠CPE ∠PAB =∠APF =∠CPE+∠APC ∴∠PAB=∠P+∠C学以致用。
(完整版)平行线拐点问题
如图1，直线AC // BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成(1 )、(2 )、(3 )、(4 )、( 5)、(6 )六个部分.点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察/ APB、/PAC、/PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB 上的各点不属于( 1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分.当动点P落在第(1 )部分时，可得：/ APB= ZPAC+ ZPBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由过点P 作EF// AC,如图2因为AC // BD (已知)，EF// AC (所作)，所以EF/ BD ______ .所以Z BPE= ZPBD _____ .同理Z APE= ZPAC.因此Z APE+ ZBPE= ZPAC+ ZPBD ______ ,即Z APB= ZPAC+ ZPBD .(1 )当动点P落在第(2)部分时，Z APB、/PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出Z APB、Z PAC、Z PBD之间满足的关系式，不必说明理由.(2 )当动点P在第(3)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．(3)当动点P在第(4)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．② ①5⑴ A②① ⑤ d c aa a Pb b b d c②如果点P 在A,B 两点之间运动 ，问/ 1,Z 2, / 3的关系是否变化 ③如果点p 在线段AB 外侧运动时，试探究/ 1,2 2,2 3之间的关系，不用说理由（点P 和A,B 不重合） ①试找出2 1,2 2,2 3之间的关系 ，并说岀理a,、 2、如图，已知直线 a// c,且 c 和 ~D备用图b 分别交于M 、N 两点，点P 在AB 上.。
陕西省八年级数学上册第7章巧解平行线中的“拐点”问题pptx课件新版北师大版
因为∠ POA ＝∠ NOD ，所以∠ NOD ＝ ∠ PAB .
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因为 DN 平分∠ PDC ，所以∠ ODN ＝ ∠ PDC .
所以∠ AND ＝180°－∠ NOD －∠ ODN ＝180°－
(∠ PAB ＋∠ PDC ).
由(2)得∠ PAB ＋∠ CDP －∠ APD ＝180°，
因为∠ BOF ＝∠ COF ＋∠β，所以∠ COF ＝∠α－∠β.
所以∠γ＋∠α－∠β＝180°.故④正确.故选B.
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8. 已知， AB ∥ CD ，点 M 在 AB 上，点 N 在 CD 上.
(1)在图①中，∠ BME ，∠ E ，∠ END 之间的数量关系
为
∠ BME ＝∠ E －∠ END
∠ END ，且 EQ ∥ NP ，则∠ FEQ 的大小是否发生变
化？若变化，请说明理由，若不变化，求出∠ FEQ 的
度数.
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解：∠ FEQ 的大小不发生变化.
由(1)知∠ MEN ＝∠ BME ＋∠ END . 因为 EF 平分∠ MEN ，
NP 平分∠ END ，所以∠ FEN ＝ ∠ MEN ＝ (∠ BME ＋∠
所以∠ ACD ＋∠ BAC ＝2(∠ ACE ＋∠ CAE )＝180°.
所以 AB ∥ CD .
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(2)如图②，在(1)的结论下，当∠ E ＝90°保持不变，移动直
平行线中拐点问题的解题突破与探究
试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀平行线中拐点问题的解题突破与探究∗◉贵州省凯里市第四中学㊀雷㊀懿◉凯里学院理学院㊀吴才鑫㊀㊀摘要:本文中以一道平行线中拐点问题为例,对 拐点在平行线内 和 拐点在平行线外 两种情形展开探究,得出解答此类题目主要分为两个步骤．首先,判断拐点与平行线的相对位置关系;其次,过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．同时,提出了平行线相关知识的教学建议．关键词:解题方法;平行线与拐点位置关系;教学启示１考题解析考题㊀(２０２２年苏州模拟)图１问题情景:如图１,A B ʊC D ,øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,求øA P C 的度数．小明的思路:过点P 作P E ʊA B ,通过平行线的性质来求øA P C 的度数．图２(１)按小明思路,易求得øA P C 的度数为㊀㊀㊀㊀．(２)问题迁移:如图２,A B ʊC D ,点P 在射线O M 上运动,记øP A B ＝α,øP C D ＝β,当点P 在B ,D 两点之间运动时,问øA P C 与α,β之间有何数量关系请说明理由．(３)拓展延伸:在(２)的条件下,如果点P 在B ,D两侧运动时(点P 与点O ,B ,D 三点不重合),请直接写出øA P C 与α,β之间的数量关系．思维突破:本题以线段㊁角㊁相交线与平行线为背景命题,让学生开展几何探究,属于动态几何问题．解题的关键在于把握图形运动规律,采用 化动为静 的策略[１],构建几何模型,利用性质定理求解．下面逐问展开探究．１．１第(１)问的探究第(１)问,求øA P C 的度数,问题中隐含了平行线拐点问题中的 铅笔 模型,构建平行线提取其中两直线平行,同旁内角互补 关系即可求得角的度数．图３如图３,过点P 作P E ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．故øA ＋øA P E ＝１８０ʎ,øC ＋øC P E ＝１８０ʎ．因为øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,所以øA P E ＝５０ʎ,øC P E ＝６０ʎ．故øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝１１０ʎ．１．２第(２)问的探究第(２)问是平行线拐点问题从特殊到一般的探究,本题过点P 构建平行线转变成 M型,提取其中 两直线平行,内错角相等 关系,实现角的转化,得出øA P C 与α,β之间的关系．图４如图４,过点P 作P E ʊA B 交A C 于点E ．因为A B ʊC D ,所以A B ʊP E ʊC D ．因此øA P E ＝α,øC P E ＝β．所以øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝α＋β．１．３第(３)问的探究第(３)问,同样通过构建平行线,将拐点问题转化为平行线问题．本题过点P 构建平行线转变成 鹰嘴 型．要找øA P C 与α,β之间的关系,由于P 点会发生位置变化,可知点P 在B D 延长线上运动时会存在一种关系,在D B 延长线上运动时会存在另一种关系,因此,必须分情况讨论利用平行线的性质找出角的关系．图５如图５,当点P 在B D 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊC D 交O N 于点E ．因为０６∗项目信息:本文系２０２２年贵州省教学内容和课程体系改革项目师范专业认证背景下 三习育人 实践教学体系改革研究 (项目编号:２０２２３２３),２０２２年凯里市第四中学课堂改革与研究项目 信息技术与初中数学课堂教学的融合研究 (项目编号:２０２２０１)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．于是øC P E ＝β,øA P E ＝α．由此可得,øA P C ＝øA P E －øC P E ＝α－β．图６如图６,当点P 在D B 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊA B 交A O 于点E ．因为A B ʊD C ,所以A B ʊPE ʊC D ．于是øA P E ＝α．øC P E ＝β．由此可得,øC P A ＝øC P E －øA P E ＝β－α．２深入探究上述考题,涉及了众多的知识点和几何模型,如平行线的性质㊁角的转化㊁动点问题,以及 铅笔 模型,考查学生综合分析和解决问题的能力．其中,第(３)问为考题的核心,主要考查学生对几何图形运动规律的把握,发展学生的空间观念和几何直观素养．从本质上看,可以将其归为平行线中的拐点问题,下面对此类型问题作进一步的深入探究．２．１平行线中拐点问题归纳对于平行线中的拐点问题,需要关注两点:一是平行线的对数和拐点的个数;二是两者的相对位置关系．特别是平行线与拐点的相对位置关系,将直接决定图形的形状,以及适用的平行线相关性质．下面以一组平行线和一个拐点的相对关系为例,分两类共四种情形加以探究．(１)一组平行线单拐点在两条平行线之间拐点在平行线之间,其图形会出现两种情况,如图７Ｇ１㊁图７Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图７Ｇ１,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ３),因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,则øB E D ＝øB ＋øD ．对于图７Ｇ２,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ４),则øB ＋øD ＋øB E D ＝３６０ʎ,这就是考题第(１)问中的模型．㊀㊀图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２㊀㊀㊀图７Ｇ３㊀㊀㊀图７Ｇ４(２)一组平行线单拐点在两条平行线之外拐点在平行线之外,其图形也会出现两种情况,如图８Ｇ１㊁８Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图８Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＝øD ＋øB E D ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ２如图８Ｇ２,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＋øD －øB E D ＝１８０ʎ．２．２考题关联探究平行线拐点问题在初中数学中十分常见,其中平行线与拐点之间的规律在解题中应用广泛．不同情形的平行线与拐点位置关系之间有不同的联系,但本质上同为平行线性质的应用问题．在实际命题中,通常采用几何变换的方式,下面结合实例进一步探究．问题㊀已知直线A B ʊC D ,M ,N 分别是A B ,C D上的点．㊀图９(１)若E 是A B ,C D 内一点．①如图９所示,请写出øB M E ,øD N E 和øM E N 之间的数量关系,并证明;㊀图１０②如图１０所示,若ø１＝１３ øB M E ,ø２＝１３øD N E ,请利用①的结论探究øM F N 与øM E N 的数量关系．㊀图１１(２)若E 是A B ,C D 外一点．①如图１１所示,请直接写出øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系;㊀图１２②如图１２所示,已知øB M P ＝１４øE M B ,在射线M P 上找到点G ,使得øM G N ＝１４øE ,请在图中画出点G 的大致位置,并求出øE N G ʒøG N D 的值．分析:上述四个小问题都属于平行线单拐点问题,实则就是平行线单拐点的两种情形,只需根据总结的规律过拐点作平行线即可求解．解:(１)该情形为拐点在平行线内．①øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ．证明:如图９Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,于是øB M E ＋øF E M ＝１８０ʎ,øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ,从而øB M E ＋øF E M ＋øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ＋１８０ʎ＝３６０ʎ．１６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀图１０Ｇ１②如图１０Ｇ１,过点F 作F G ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以F G ʊC D ,则ø１＝øM F G ,ø２＝øN F G ,于是øM F N ＝ø１＋ø２．又因为ø１＝１３øB M E ,ø２＝１３øD N E ,所以øB M E ＝３ø１,øD N E ＝３ø２．又因为øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ,所以３ø１＋３ø２＋øM E N ＝３６０ʎ,即３øM F N ＋øM E N ＝３６０ʎ．(２)①øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系为øD N E －øB M E ＝øM E N ．理由如下:如图１１Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ．故øD N E ＝øF E N ,øB M E ＝øF E M ．又因为øF E N －øF E M ＝øM E N ,所以øD N E －øB M E ＝øM E N ．㊀㊀㊀㊀㊀图１１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２Ｇ１②点G 的大致位置如图１２Ｇ１所示．设M G 与N E 交于点Q ,N G 与A B 交于点F ,设øG M B ＝α,øG ＝β．因为øB M P ＝１４øE M B ,øG ＝１４øE ,所以øE M Q ＝３α,øE ＝４β．因为øE Q M ＝øG Q N ,所以øE ＋øE M Q ＝øG ＋øG N Q ,即øG N Q ＝øE ＋øE M Q －øG ＝４β＋３α－β＝３α＋３β．因为ø１是әG F M 的外角,所以ø１＝øG ＋øG M F ＝β＋α．又因为A B ʊC D ,所以øG N D ＝ø１＝β＋α．故øE N G ʒøG N D ＝(３α＋３β)ʒ(β＋α)＝３ʒ１．评析:上述四个小问题均为平行线拐点探究题,涉及到拐点在平行线内和拐点在平行线外两类情形,问题的解析可以分如下两个步骤展开．第一步:判断拐点与平行线的相对位置关系;第二步:过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．３教学建议上文中以一道平行线拐点考题为例,立足本题的核心问题(第３问),围绕拐点在平行线内和拐点在平行线外的两类情形展开深度探究并总结规律㊁构建模型,这对深入理解和运用平行线性质,强化和巩固平行线知识有一定的帮助．下面基于教学实践,对平行线相关内容提出几点教学建议．３．１关注知识,探寻本质上述考题以平行线单拐点问题为背景开展几何探究,拐点是平行线问题的重要形式,对掌握和运用平行线的性质及判定十分重要．以上述考题为例,过点E 作EF ʊA B ,构造内错角,依据两直线平行,同旁内角互补进行推导．在实际教学中,要引导学生关注知识本身,深入理解并探寻数学本质;要创设相关的问题情境引导学生理解平行线的性质和判定．以上通过拐点构造平行线来促进学生理解平行线拐点特性,进一步培养学生会用数学的思维思考问题,并能够发现线段㊁角㊁相交线与平行线之间的规律,发展学生的空间观念和几何直观素养．３．２归纳模型特征,发展数学思想在考试中,几何压轴题的命题,往往会综合众多几何模型,考查学生利用模型对知识点融合的能力．因此,解题教学时,要引导学生关注问题中已有的模型,通过观察和分析提取问题中已有模型的特征,充分利用已有模型的性质;引导学生利用转化和化归的方法来转化问题条件,渗透转化和化归的思想方法．如上述考题实则以 平行线和三角形 为背景创设命题,该问题中的模型具有 平行线拐点 特性,包括单拐点在平行线内和单拐点在平行线外两类情形．教学中要积极引导学生从已有条件中提取模型,分析和归纳模型的核心特性,并结合相关几何知识加以证明,强化对数学模型的理解,培养学生的模型观念,进而发展学生会用数学的语言表达现实世界的核心素养．３．３总结规律,积累经验考题第(２)问中第②小问本质上是考查单拐点在平行线外的情形,并且结合三角形外角性质进行推导计算,这是问题的本质特征,也是解决问题的关键所在．上述基于平行线单拐点不同情形问题进行了深度探究,并立足两类情形总结规律及解题策略,其探究过程具有一定的参考价值．教学中要引导学生基于问题本质特征开展深度分析与探究,总结解题规律,积累解题经验,发展学生的数学核心素养．参考文献:[１]黄玉霞,蔡德清,陈纪韦华．由何而来,为何而解,因何而去 一道几何压轴题命制的实践与反思[J ]．中学数学,２０２１(１４):４８Ｇ５０．Z ２６Copyright ©博看网. 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2022年人教版七年级下册数学同步培优小专题(一)平行线中的拐点问题
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2.如图,AB∥CD,BE 平分∠ABF,DE 平分∠CDF,∠BFD＝120°.
求∠BED 的度数.
小专题(一) 平行线中的拐点问题
解:过点 F 作 FG∥AB(点 G 在点 F 的右侧),
∴∠BFG＝∠ABF.
∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠CDF＝∠DFG,
∴∠ABF+∠CDF＝∠BFG+∠DFG＝∠BFD＝120°.
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE＝60°.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型2 多拐点问题
3.如图,直线 l1∥l2,∠CAB＝125°,∠ABD＝85°,则∠1+∠2 等于
(
A
A.30°
)
B.36°
C.40°
D.85°
小专题(一) 平行线中的拐点问题
4.如图,直线 a∥b,∠1+∠分∠ABF,DE 平分∠CDF,
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1
2
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∴∠ABE＝ ∠, ∠＝ ∠CDF,
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∴∠ABE+∠CDE＝ (∠ABF+∠CDF)＝60°.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
过点 E 作 EH∥AB(点 H 在点 E 的右侧),
∴∠BEH＝∠ABE.
∵AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠DEH＝∠CDE,
小专题(一) 平行线中的拐点问题
值得注意的是,多拐点问题均可拆分为单拐点问题,然后再利
用上述模型解决.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型1 单拐点问题
1.如图,AB∥CD,∠BAP＝120°,∠APC＝40°,则∠PCD＝( D )
专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （ ），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （ ），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系 ．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。
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A
B
A
B
C 图6 D E
C
D
图7
E
4
A
B
E
F
C
D
图3
解：过点E 作EF∥AB。 ∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换） ∴∠B+∠D=∠BED
5
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、
∠D的数量关系会发生变化吗？
E
E
A
B
A
B
D
C
图4
D
∠BED=∠B－∠D
A
B
C
图6 D
E
∠BED=∠D－∠B
C
图5
∠BED=∠D－∠B
A
B
C
D
图7
E
∠BED=∠B－∠D
6
7
大家好
1
巧用平行解决“拐点”问题
例1. 如图1，AB∥CD，点E是平面内一点，那么 ∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
F C
图1
E D
2
巧用平行解决“拐点”问题
A
B
FEຫໍສະໝຸດ CD图2解：∵AB∥EF（已知）
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°
即∠B+∠BED+∠D=360°
3
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、
∠D的数量关系会发生变化吗？ 它们之间的关系又是
什么呢？
E
A
B
A
B
A
B
E
E
C
图2
D
C
D
图3
C 图4 D
E
A
B
D
C
图5