小专题 12 巧解平行线中的拐点问题

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第12讲解题技巧专题：平行线中的拐点问题--2023-2024学年七年级数学下学期

第思维导图核心考点聚焦与生活有关的平行线拐点问题【变式训练】2．如图，AB∥EF，则3．【变式】已知：AB EF∥、、满足的数量关系．∠∠∠B F C6．（1）如图①，如果AB ∥（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出___________．考点三、平行线中含多个拐点问题例题：7．如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为(1)如图1， 1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．A．28︒B．54︒【变式训练】11．“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道A ．110︒B ．11512．七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED 护眼灯示意图，MN 平行时，120,DEF ∠=︒∠过关检测一、选择题13．如图，AB DE ∥，BC CD ⊥，系正确的是（）A ．90αβ-=C ．180αβ+= 14．如图，平行于主光轴MN 的光线的反向延长线交于主光轴MN16．如图，AB CD ∥，B ∠为．三、解答题17．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：(1)如图①，AB CD ，BE DF ∥，直接写出1∠与2∠的关系__________________(2)如图②，AB CD ，BE DF ∥，猜想1∠与2∠的关系，并说明理由；(3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角__________________；(4)应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60︒，求出这两个角的度数分别是多少度？①当点P在A，B两点之间运动时，②当点P在A，B两点外侧运动时(点α∠，∠β之间的数量关系，并说明理由．．19．已知AB CD(1)如图1，AB CD ∥，点E 为AB 、CD 之间的一点．求证：12360MEN ∠+∠+∠=︒．(2)如图2，AB CD ∥，点E 、F 、G 、H 为AB 、CD 之间的四点．则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=______．(3)如图3，AB CD ∥，则123n ∠+∠+∠++∠= ______．1．66︒##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==︒==︒∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠，故答案为：66︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠是解题的关键．2．360A C E ∠+∠+∠=︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A ACE E ∠+∠+∠=︒，∴在原图中360A C E ∠+∠+∠=︒，故答案为：360A C E ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．3．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．（2）过点C 作CG AB ∥，即可得出BCG B ∠=∠，由平行线公理的推论可得出∥CG EF ，故GCF F ∠=∠，即可得出BCG GCF B F ∠+∠=∠+∠，即可得出C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：B F BCF ∠+∠=∠．【详解】（1）解：图（1）C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：B F C ∠+∠=∠．理由：过点C 作CG AB ∥，∴BCG B ∠=∠，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴GCF F ∠=∠，∴BCG GCF B F ∠+∠=∠+∠，∴B F BCF ∠+∠=∠；图（2）C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：F B C ∠-∠=∠．理由：过点C 作CG AB ∥，∴BCG B ∠=∠，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴GCF F ∠=∠，∴GCF BCG F B ∠-∠=∠-∠，∴F B BCF ∠-∠=∠；图（3）C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：B F C ∠-∠=∠．理由：过点C 作CG AB ∥，∴BCG B ∠=∠，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴GCF F ∠=∠，∴BCG GCF B F ∠-∠=∠-∠，∴B F BCF ∠-∠=∠；图(4)C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：360B F C ∠+∠+∠=︒．理由：过点C 作CG AB ∥，∴180BCG B ∠+∠=︒，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴180GCF F ∠+∠=︒，∴180180BCG B GCF F ∠+∠+∠+∠=︒+︒，∴360B F BCF ∠+∠+∠=︒；图（5）C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：B F C ∠-∠=∠．理由：过点C 作CG AB ∥，∴BCG B ∠=∠，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴GCF F ∠=∠，∴BCG GCF B F ∠-∠=∠-∠，∴B F BCF ∠-∠=∠；图（6）C ∠与B F ∠∠、之间的数量关系是：F B C ∠-∠=∠．理由：过点C 作CG AB ∥，∴BCG B ∠=∠，∵AB EF ∥，∴∥CG EF ，∴GCF F ∠=∠，∴GCF BCG F B ∠-∠=∠-∠，∴F B BCF ∠-∠=∠；故B C F ∠∠∠、、之间的数量关系如下表：∠=∠，∴BCG B∵AB EF∥，CG EF，∴∥∠=∠，∴GCF F【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．30°##30度【分析】过A点作AB∥直线l1，过C点作CD∥直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A点作AB∥直线l1，过C点作CD∥直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1∥l2，∴AB∥CD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．6．（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．7．360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．8．(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．【详解】（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P ，∠3+∠4=∠Q ∴∠A +∠B +∠Q =∠P +180°．（3）解：如图，分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ，∠DQM =∠EMQ ，∠EMB =∠5，∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠5+∠DQM ，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5+∠DQM =∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；C A AFC∠-∠∠＝（2）360（3）-1180n ⨯︒（）【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；（2）过点F 作AB 的平行线，利用平行线的性质，计算出A C AFC ∠∠∠＋＋的度数；（3）过点E 作AB 的平行线，过点F 作AB 的平行线，利用平行线的性质，计算出A AEF EFC C ∠∠∠∠＋＋＋度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n 个折点的结论；【详解】解：（1）如图1：A C AFC ∠∠∠＋＝，如图2：A C AFC ∠-∠∠＝，如图3：C A AFC ∠-∠∠＝，如图1说明理由如下：∵AB CD EF ∥∥，∴A AFE C EFC ∠∠∠∠＝，＝，∴A C AFE EFC ∠∠∠∠＋＝＋，即A C AFC ∠∠∠＋＝；（2）如下图：过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．10．B【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB CD ∥，77BAE ∠=︒，可得77CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．【详解】解：如图，延长DC 交AE 于F ，∵AB CD ∥，77BAE ∠=︒，77CFE BAE ∴∠=∠=︒，又131DCE ∠=︒ ，E CFE DCE ∠+∠=∠，1317754E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．11．C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．12．100︒##100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点E 作EH AB ∥，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．【详解】解：过点D 作DG AB ∥，过点E 作EH AB ∥，∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，∵AB MN ∥，∴AB DG EH MN ∥∥∥，∴180ACD CDG ∠+∠=︒，DEH GDE ∠=∠，90HEF MFE ∠=∠=︒∵120,110DEF BCD ∠=︒∠=︒，∴30GDE DEH ︒∠=∠=，18011070CDG ∠︒=︒-︒=，∴100CDE CDG GDE =∠+∠=︒∠．故答案为：100︒【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．13．A【分析】过C 作CM ∥AB ，得到CM ∥DE ，因此ABC BCM ∠=∠，MCD EDC β∠=∠=，由垂直的定义得到90ABC β∠=︒-，由邻补角的性质即可得到答案．【详解】解：过C 作CM ∥AB ，AB ∥DE ，CM DE ∴∥，ABC BCM ∴∠=∠，MCD EDC β∠=∠=，BC CD ⊥ ，9090BCM MCD β∴∠=︒-∠=︒-，90ABC β∴∠=︒-，180ABC ABF ∠+∠=︒ ，90180βα∴︒-+=︒，∴90αβ-= ．故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C 作//CM AB ，得到//CM DE ，由平行线的性质来解决问题．14．C【分析】首先求出ABP ∠和CDP ∠，再根据平行线的性质求出BPN ∠和DPN ∠即可．【详解】解：∵150160ABE CDF ∠=︒∠=︒，∴18030ABP ABE ∠=︒-∠=︒，18020CDP CDF ∠=︒-∠=︒，∵AB CD MN ∥∥，∴30BPN ABP ∠=∠=︒20DPN CDP ∠=∠=︒，∴50BPN D EPF PN ∠+∠=︒∠=，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．15．65︒##65度【分析】过点P 作PE AB ，得到PE AB CD ∥∥，进而得到1,2180A CDP ∠=∠∠=︒-∠，再利用12∠+∠计算即可．本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点作平行线．【详解】解：过点P 作PE AB ，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∴125,218040A CDP ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，∴1265APD ∠=∠+∠=︒；故答案为：65︒．16．120EFG BEF DGF ∠=∠+∠-︒【分析】如图，过E 作EQ AB ∥，过F 作FN AB ∥，过G 作GK AB ∥，再证明AB EQ FN GK CD ∥∥∥∥，再结合平行线的性质可得结论．【详解】解：如图，过E 作EQ AB ∥，过F 作FN AB ∥，过G 作GK AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EQ FN GK CD ∥∥∥∥，∵120B D ∠=∠=︒，∴18060QEB B ∠=︒-∠=︒，18060DGK D ∠=︒-∠=︒，∵QE FN GK ∥∥，∴QEF EFN ∠=∠，KFG GFN ∠=∠，∴EFG EFN GFN QEF KGF ∠=∠+∠=∠+∠，∵6060120QEF KGF BEF DGF BEF DGF ∠+∠=∠-︒+∠-︒=∠+∠-︒，∴120EFG BEF DGF ∠=∠+∠-︒；故答案为：120EFG BEF DGF ∠=∠+∠-︒【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．17．(1)12∠=∠(2)12180∠+∠=︒，理由见解析(3)相等或互补(4)这两个角的度数分别为30︒，30︒，或60︒，120︒【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可作答；（2）根据两直线平行，内错角相，同旁内角互补，即可作答；（3）根据（1）、（2）结论直接归纳即可；（4）①当两角相等时，设一个角为x ，另一个角为()360x -︒，可得方程360x x =-︒，解方程即可求解；②当两角互补时，设一个角为x ，另一个角为()360x -︒，可得方程()360180x x ︒+-=︒，解方程即可求解．【详解】（1）∵AB CD ，BE DF ∥，∴13∠=∠，32∠=∠，∴12∠=∠，故答案为：12∠=∠；（2）12180∠+∠=︒，证明：∥ AB CD ，13∠∠∴=，BE DF ，23180∴∠+∠=︒，12180∴∠+∠=︒；（3）根据（1）、（2）的结果可知：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补，故答案为：相等或互补；（4）①当两角相等时，设一个角为x ，另一个角为()360x -︒，360x x ∴=-︒，30x ∴=︒，36030x ∴-︒=︒②当两角互补时，设一个角为x ，另一个角为()360x -︒，()360180x x ︒∴+-=︒，60x ∴=︒，360120x ︒∴-=︒．综上所述：这两个角的度数分别为30︒，30︒，或60︒，120︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相，同旁内角互补，是解答本题的关键．18．(1)110APC ∠=︒；(2)①CPD αβ∠=∠+∠；②CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P 作PE AB ∥，构造同旁内角，利用平行线性质，可得110APC ∠=︒；（2）①过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P 在BA 的延长线上，点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】（1）解：过P 作PE AB ∥，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∵130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．∴18050APE PAB ∠=︒-∠=︒，18060CPE PCD ∠=︒-∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒；（2）解：①CPD αβ∠=∠+∠：如图3，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；故答案为：CPD αβ∠=∠+∠；②当P 在AB 延长线时，CPD βα∠=∠-∠；理由：如图4，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠-∠=∠-∠；当P 在BO 之间时，CPD ∠理由：如图5，过P 作PE ∥∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠CPD αβ∴∠=∠-∠综上所述，CPD ∠，α∠，∠βCPD αβ∠=∠-∠．19．（1）见解析；（2）见解析；【分析】()1过点E 作EM AB ∥∴∠=∠，ABE BEMAB CD，∥∴ ，CD EM∴∠=∠，CDE DEM∥AB CD，∴ ，AB EM FN CD∥，EM FN∴∠+∠=︒，MEF NFE180∥AB CD，∴ AB EM FN GH∥EM FN∥，FN GH ∴∠+∠=180 MEF NFE20．(1)证明见详解；(2)900︒；(3)()1801︒-n ；【分析】（1）过点E 作OE ∥A B ，可得OE AB CD ∥∥，根据平行线的性质可得1180MEO ∠+∠=︒，2180OEN ∠+∠=︒，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E 、F 、G 、H 作AB 的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n 和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点E 作OE ∥A B ，∵AB CD ∥，OE ∥A B ，∴ OE CD ，根据两直线平行同旁内角互补可得：1180MEO ∠+∠=︒，2180OEN ∠+∠=︒，∴12360MEO OEN ∠+∠+∠+∠=︒，∴12360MEN ∠+∠+∠=︒；（2）解：如下图，分别过点E 、F 、G 、H 作1O E AB ∥，2O F AB ∥，3O G AB ∥，4O H AB ∥，结合（1）解答在两相邻平行线间可得：1180AME MEO ∠+∠=︒，12180O EF EFO ∠+∠=︒，23180O FG FGO ∠+∠=︒，34180O GH GHO ∠+∠=︒，4180O HN HNC ∠+∠=︒，将所有角度相加可得：1234561805900∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯=︒；（3）解：由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当AB 、CD 之间有2条线段时，3n =，当AB 、CD 之间有3条线段时，4n =，当AB 、CD 之间有4条线段时，5n =，当AB 、CD 之间有5条线段时，6n =，…，当AB 、CD 之间有()1n -条线段时，n n =，∴()1231801n n ∠+∠+∠++∠=︒- ；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．。

初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题

初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题平行线间的拐点问题，一直是七年级下册的重难点，经常出现在解答题最后几题的位置。

在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条直线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．解决平行线中拐点问题的方法：在“拐点”处作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，这样角之间的关系就比较明显，也就可以运用平行线平行线的性质判定轻松求证。

方法巧记：过拐点，作平行，几个拐点作几条。

内拐模型巧记：“左和”= “右和”详解：P作PN∥AB∵AB∥CD∴PN∥AB∥CD∴∠1=∠3，∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4∴∠B +∠C =∠P外拐模型巧记：180°×（n-1）详解：①过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B + ∠BCF =180°，∠FCD +∠D =180°∴∠B+∠BCF +∠FCD+∠D =360°∴∠B +∠C + ∠P =360°同理可得②：∠B+∠C+∠D+∠E=540°鹰嘴模型巧记：鹰嘴+小角=大角详解：如图②，过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B = ∠BCF =∠BCD +∠DCF ∠DCF =∠D ∴∠B =∠BCD+∠D靴子模型巧记：靴角+小角=大角详解：如图，过p作EF∥AB∵AB∥CD∴EF∥AB∥CD∴∠PAB = ∠APE ∠C =∠CPE ∠PAB =∠APF =∠CPE+∠APC ∴∠PAB=∠P+∠C学以致用。

平行线中的拐点(拐角)问题专题

①已知：AB∥CD，结论：∠AEC+∠A+∠C=360°
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
B
A 证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∴∠A=∠1
E1
F
2
∵∠AEC=∠1+∠2 ，且∠AEC=∠A+∠C ∴∠2=∠C
D
C
∴EF∥CD
∴AB∥CD
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
B
A
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
E
F ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF ∵∠AEC=∠CEF-∠AEF
∴∠AEC=∠C-∠A
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
第二章相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明：过点E作EF,使得EF∥AB

平行线中的几何探究——“拐点”问题(优秀教案)

专题：平行线中的几何探究之——“拐点”问题（教案）K学习目标》知识技能：1、经历探索在平行线间识别或构造基本图形的方法，逐步掌握解决这类问题的技能;2、能从基本图形的数量关系出发，实现角的转化：进一步深化数形结合的数学思想;3、能用一般方法解决基础变式问题.过程与方法：1、经历探索如何将无关量转化为有关量的过程，感知事物的一般关系；2、通过猜想、探究、类比、总结等，发展逻辑思维能力和综合应用能力.情感态度和价值观：体会几何的思维价值，提升解决问题的幸福感.核心素养：学生感知问题本质，促进深度学习.K学习内容》重点：拐点问题中，将无关的量联系起来的一般思想、方法：难点：寻找或构造基本图形的突破口.核心问题：基本图形的识别与构造：角的等量转化。

K教学过程］1一、知识奠基・'师生共同篇理本章重要图形和知识点。

二、找找感觉：如图，AB/7EF, CD_LEF 于点D.若NABC=40° ,则NBCD 的度数为（）设计意图：通过特殊例子的引入，让绝大多数学生能够感知猜想答案；学力较强的孩子找到解决问题的方法。

让更多的孩子有信心投入到后续学习当中。

三、一般探究:引入：如图，A B〃C D,探讨下而四个图形中N A P C与N P A B,N P C D的数量关系.师：这几个图形中都有两条平行线AB〃CD, 一点P运动到平面的不同区域，形成了不同姿态的角。

数学中通常称这样的点P为拐点，NP为拐角。

我们能否得到NP与NA, NC （这里可以用一个大写字母）的数量关系呢？1、自主探究（图①出发）如图①，AB 〃CD,请探讨下图中NAPC 与NPAB 、NPCD 的数量关系。

图①设计意图：从较简单的图形出发，通过教师带有引导性的语言（如你能猜想结果吗？你能验证你的结果吗？你能通过不同方式进行验证吗？……）,由浅入深，层层推进，给不同层次的孩子提出不同的要求，激发学生的思维，引领学生逐步去探索问题。

平行线中的拐点问题乐乐学堂

平行线中的拐点问题乐乐学堂
在数学中，平行线是指在同一个平面内不相交的直线。

平行线之间的关系一直是数学中的热门话题之一。

而在研究平行线时，人们常常遇到一个有趣的问题，即平行线中的拐点问题。

拐点问题是指，当有两组平行线相交时，是否存在某个点，使得在该点处的两条平行线向不同方向转弯。

换句话说，平行线是否可以有拐点。

为了解决这个问题，我们需要先了解平行线的定义和性质。

平行线的定义是两条直线在同一个平面内不相交。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：
1. 平行线具有相同的斜率：两条平行线的斜率相同，可以通过斜率的定义进行证明。

2. 平行线之间的距离是恒定的：两条平行线之间的距离是它们相邻两点之间的距离的恒定值。

这是因为两条平行线上的任意两点之间的距离都是相等的。

基于以上性质，我们可以得出结论：平行线是不可能有拐点的。

因为如果两条平行线相交，并且在交点处出现拐点，那么就意味着这两条
直线在该点处的斜率不同，违背了平行线的性质。

此外，我们还可以通过反证法来证明平行线中不存在拐点。

假设在两条平行线相交处存在一个拐点，那么根据平行线的定义，这两条平行线必须是相交的，与前述结论相矛盾。

总之，平行线中的拐点问题的答案是不存在拐点。

平行线是具有相同斜率且之间距离恒定的直线，它们永远不会相交或出现拐点。

这个结论在数学中有广泛的应用，特别是在几何学和解析几何学中。

小专题_巧解平行线中的拐点问题

小专题12 巧解平行线中的拐点问题【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠.【解答】变式1，当点C 运动到如图所示的位置如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________.【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________；（2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________；（3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+⋅⋅⋅+∠的度数为_________.变式2 当点C 运动到如图所示的位置已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点.（1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________；（2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________.方法指导解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.针对训练1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（）A. 25B. 35C. 45D. 65︒︒︒︒2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ︒∠=，25CDE ︒∠=，则DEF ∠的度数是（）.110︒A .115︒B C.120︒ D.125︒3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ︒∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（）.149︒A .149.5︒B C.150︒ D.150.5︒4.如图1，已知//30120AB CD B D ︒︒∠=∠=，，.（1）若60BEF ︒∠=，则EFD ∠=____________；（2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.参考答案【教材母题】过点C 作//CF AB ，则BCF ABC ∠=∠.又//,//AB ED CF ED ∴.DCF CDE ∴∠=∠.ABC CDE BCF DCF ∴∠+∠=∠+∠，即ABC CDE BCD ∠+∠=∠.变式1360B BCD D ︒∠+∠+∠=【拓展】（1）540︒（2）720︒（3）1180n ︒+⋅（）变式2（1）B BCD D ∠=∠+∠（2）EDC B C ∠=∠+∠ 针对训练1.A2.C3.B4.解：（1）90︒（2）30EFD BEF ︒∠=∠+.理由：分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB .////EM AB FN ∴. 30B BEM ︒∴∠=∠=，MEF EFN ∠=∠.又//,//AB CD AB FN ，//.180CD FN D DFN ︒∴∴∠+∠=. 又120,60.D DFN ︒︒∠=∴∠=30BEF MEF ︒∴∠=∠+,60.60.EFD EFN EFD MEF ︒︒∠=∠+∴∠=∠+30EFD BEF ︒∴∠=∠+（3）15P ︒∠=.。

专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是，根据这个思路可得∠AEC＝．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。

平行线的拐点问题归纳总结

平行线的拐点问题归纳总结平行线是数学中一个非常重要的概念，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。

特别是在几何学中，平行线的性质和拐点问题一直备受关注。

本文将对平行线的拐点问题进行归纳总结，并讨论其相关应用。

一、平行线的概念和性质在几何学中，两条直线被称为平行线，如果它们位于同一个平面中且没有交点。

根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：1. 平行线之间的距离始终保持相等。

2. 平行线与同一条直线的交点与对应角之和为180度。

3. 平行线与平行线之间的内角、外角关系特殊。

这些性质为平行线的拐点问题的研究提供了基础。

二、平行线的拐点问题拐点是两个平行线相交后再相交一次的点，也被称为反拐点。

为了更好地理解平行线的拐点问题，我们将从一维、二维和三维的角度来分析。

1. 一维拐点问题一维拐点问题是指两条平行线在一维空间中的相交问题。

显然，两条平行线在一维空间中永远不会相交，因此没有拐点存在。

2. 二维拐点问题二维拐点问题是指两条平行线在二维平面中的相交问题。

当我们在平行线上引入一点，并以这个点为顶点作两条射线时，这两条射线可能与另一条平行线相交。

这种情况下，我们可以得到一个拐点。

3. 三维拐点问题三维拐点问题是指两条平行线在三维空间中的相交问题。

与二维情况类似，在平行线上引入一个平面，并以这个平面为基准作两个平面时，这两个平面可能与另一条平行线相交，从而产生一个拐点。

三、平行线拐点问题的应用平行线的拐点问题在数学和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用场景：1. 几何学中的角度问题：通过研究平行线的拐点，我们可以更好地理解和计算一些几何学中的角度问题，如内角、外角和对应角等。

2. 折线的设计和分析：在图形设计和计算机图形学中，我们经常需要处理复杂的折线，平行线的拐点问题为折线的设计和分析提供了重要的参考依据。

3. 光学中的反射和折射：平行线的拐点问题在光学中有重要应用。

通过研究平行线的反射和折射现象，我们可以更好地理解光的传播和折射规律。

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(3)过点 F 作 FH∥EP. 由(2)知，∠EFD＝∠BEF＋30°. 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋30)°.
∵EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD， ∴∠PEF＝12∠BEF＝x°， ∠EFG＝12∠EFD＝(x＋15)°. ∵FH∥EP， ∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG. ∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝15°， ∴∠P＝15°.
＝∠B＋∠C ；
解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论．
1．(随州中考)如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若 ∠1＝65°，则∠2 的度数是( A )
第七章平行线的证明小专题12 巧解平行线中的拐点问题
教材母题】 (教材 P186 复习题 T15(1))已知：如图，直线 AB∥ED.求证：∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
【解答】过点 C 作 CF∥AB，则∠BCF＝∠ABC. 又∵AB∥ED， ∴CF∥ED.∴∠DCF＝∠CDE. ∴∠ABC＋∠CDE＝∠BCF＋∠DCF，即∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
(3)如图 3，若 AB∥CD，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠ E2＋…＋∠En 的度数为(n＋1)·180° 。
变式 2 当点 C 运动到平行线的外边已知 AB∥ED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点． (1)如图 1，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＝
∠BCD＋∠D ； (2)如图 2，∠B，∠EDC，∠C 之间的关系是∠EDC
变式 1 当点 C 运动到平行线的右侧
如图，直线 AB∥ED，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＋∠BCD＋∠D＝360°．
【拓展】(1)如图 1，若 AB∥CD，则∠B＋∠D＋∠ E1＋∠E2 的度数为 540°；
(2)如图 2，若 AB∥CD，则∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2 ＋∠E3 的度数为 720°；
A．25° B．35° C．45° D．65°
2．(聊城中考)如图，直线 AB∥EF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝ 25°，则∠DEF 的度数是( C )
A．110° B．115° C．120° D．125°
3．(莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则∠DFB＝( B )
向延长 FG 交 EP 于点 P，求∠P 的度数．
解：(2)∠EFD＝∠BEF＋30°.
理由：分别过点 E，F 作 EM∥AB，FN∥AB. ∴EM∥AB∥FN. ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN.
又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN. ∴∠D＋∠DFN＝180°. 又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°. ∴∠BEF＝∠MEF＋30°，∠EFD＝∠EFN＋60°. ∴∠EFD＝∠MEF＋60°＝(∠MEF＋30°)＋30° ＝∠BEF＋30°.
A．149° C．150°
B．149.5° D．150.5°
4．如图 1，已知 AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°. (1)若∠BEF＝60°，则∠EFD＝90° ； (2)探索∠BEF 与∠EFD 之间满足的数量关系，并说
明理由； (3)如图 2，已知