中国石油大学数学建模试三
中国石油大学(华东)智慧树知到“油气储运工程”《工程力学》网课测试题答案卷3
中国石油大学（华东）智慧树知到“油气储运工程”《工程力学》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共10题)1.合力矩定理是合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。
该定理只适用于刚体，而不是适用于弹性体。
()A.正确B.错误2.若梁的某一段有分布载荷作用，则该段梁的弯矩图必为一斜直线。
()A.正确B.错误3.梁的弯曲正应力()。
A.与轴力正比B.与极惯性矩成反比C.与扭矩成正比D.与弯矩成正比4.质点动力学基本方程为()。
A.W=FSB.P=MVC.I=FTD.F=ma5.关于材料的弹性模量E的意义的说法有以下几种，哪一种是对的?()A.E表示材料抵抗弹性变形的能力B.E表示材料抵抗变形的能力C.E表示材料弹性变形的能力D.E表示材料变形的能力6.圆截面杆有两种不同的受力情况，如下图所示，若比较两杆的最大正应力值，则有()。
A.图(a)杆的最大拉应力比图(b)杆的最大应力小B.图(a)杆的最大拉应力比图(b)杆的最大应力大C.图(a)杆的最大拉应力与图(b)杆的最大应力相等D.图(a)杆的最大压应力比图(b)杆的最大应力大7.内、外直径分别是d和D的空心圆轴，其截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wn为()。
A.B.C.D.8.截面内力的大小()。
A.与截面的尺寸有关，但与截面的形状无关B.与截面的尺寸无关，但与截面的形状无关C.与截面的尺寸和形状有关D.与截面的尺寸和形状无关9.下图所示矩形截面中，Z。
为形心轴，已知该图形对Z1轴的惯性矩为Iz1，则图形对Z2轴的惯性矩Iz2为()。
{图}A.Iz2=Iz1+(a+H/2)2BHB.Iz2=Iz1-a2BH-(H/2)2BHC.Iz2=Iz1-a2BH+(H/2)2D.Iz2=Iz1+(H/2)2BH10.刚体是在力的作用下不变形的物体。
()A.正确B.错误第1卷参考答案一.综合考核1.参考答案：B2.参考答案：A3.参考答案：D4.参考答案：D5.参考答案：A6.参考答案：A7.参考答案：B8.参考答案：D9.参考答案：C10.参考答案：A。
大学生数学建模竞赛_炼油厂问题解
3、若油田高层已决定在该地区建两个炼油厂，若不考虑炼油厂的建造费用，仅考虑运费，两个炼油厂分别建在什么位置，各应服务于哪几个油井（假定一个油井的原油只能运往一个炼油厂），才能使总运费最低，立与预测结果基于精确的数据。
缺点如下：
单纯只是运用某软件进行分析，不能结合其他软件综合运算。
对于模型的预测结果缺少必要的检验。
xy4mn1=c(4)*((x(4)-m(1))^2+(y(4)-n(1))^2)^(1/2);
xy5mn1=c(5)*((x(5)-m(1))^2+(y(5)-n(1))^2)^(1/2);
xy6mn1=c(6)*((x(6)-m(1))^2+(y(6)-n(1))^2)^(1/2);
xy7mn1=c(7)*((x(7)-m(1))^2+(y(7)-n(1))^2)^(1/2);
执行上述循环直到i=9时求和上述所得到的MN1,MN2，记为Z1
当m1,m2=90,n1,n2=70,时结束循环，比较Z1,Z2……Zn,选出最小值Zmin.
其对应程序如下：
sets:
zb/1..9/:x,y,c;
endsets
data:
x=26 8 4 51 38 17 81 19 62;
y=38 25 70 32 17 12 53 45 22;
该点对应如下图：
图1.2
（3）关于建造两个炼油厂的情况：
其算法思想是先假设两个炼油厂的位置（m1,m1）,（m2,n2）,(0<m1,2<90,0<n1,2<70),再计算油井到这两个炼油厂的运费，比较得出较小值，然后累加全部最小值，得出答案。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题
同上的解法求得方案一最佳。
问题一的解答：
2、当共用管线和非共用管线费用不相同时要考
虑方案二中的各部分管线的总费用并与方案一
中的费用对比，得出最优方案。经过查阅资料
得知某非共用管道5万元/千米；共用管道8万 元/千米；方案一的费用为
C1 5 l 2 (a b 方案二的费用为：) 2
；
2010高教社杯全国大学生数学建模 竞赛 C题 输油管线设计的数学模型
阐述的主要问题
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同 时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院 希望建立管线建设费用最省的模型。
针对这个问题，通过三个小问题 进行解答：
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形， 提出设计方案。若有共用管线，考虑其共用管线费用与非共用管 线费用相同或不同的情形。 B 2. 两炼油厂的具体位置其中A厂位于郊区（Ⅰ）， 厂位于城区 Ⅱ （Ⅱ），两个区域有明显的分界线。若所有管线的铺设费用均相 同， 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用， 根据三家工程咨询公司对此项附加费用的估计，为设计院给出管 线布置方案及相应的费用。 3. 为进一步节省费用，炼油厂根据生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用就各不相同，拆迁等附加费用同上。给出管 线最佳布置方案及相应的费用。
，
2 3 l ，解得 C1 C2 3
问题一的解答：
2）同理：当 a b
当 a b 时，解得C1 C 2。当 a
3 10 3 3a 3b l 时， 2 C l 3 3 3
3l
8
b时，解得
C1 C 2。即方案一最佳。
问题二的解答：
北石化数学建模入门练习题答案
《数学建模入门》练习题练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。
为什么哥伦布能做到呢？(参考答案：有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。
)答：首先从历史的角度看，当时欧洲各国对东方的贸易需求量大增，原有的航线不足以满足欧洲国内需求，所以各国需要开辟新航线扩大贸易量。
而指南针的引入以及造船技术的不断改进使得远洋航行成为可能。
其次，从哥伦布个人的角度来看，他有着坚定地信念和科学的头脑。
他坚持认为地球时圆的，一直向西方航行一定可以到达印度。
而且在航行途中，当所有的船员已经放弃向前、想要返航的时候，哥伦布依旧坚持自己的看法，执意继续向西，最终才发现的新大陆。
练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。
问能否用这些骨牌盖住这62个方格？答：不可以。
不能，如图所示。
图中共有 32 个红格,30 个蓝格,而每张骨牌必定盖住一蓝一红两格，那么最后两个红格用一个骨牌无论如何也盖不上。
练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。
最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。
为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？答：为了赢得比赛，决定先放。
具体做法如下：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方方硬币为止，有长方形的对称性，只有中心不存在对称为止，故先放者必定会赢。
练习题4：高速问题一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？答：不能使平均速度达到60km/h ，计算如下：假设返回的速度是x km/h ，A 、B 两地间距离为S km 。
那么往返的平均速度就是： V=x S S +⨯30S2=x 13012+=x+30x 60 若令v=60，解之得：x=30+x ，显然无解。
中国石油大学(华东)第二十一届高等数学竞赛试卷
中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx是等价无穷小，则=α.解题过程是：2. =-→3s i n a r c t a n limxxx x .解题过程是：3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： .解题过程是：4. =∂∂+∂∂=yz yxz xx y xy z 则设,tan.解题过程是：5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是： 6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： 7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩVz x yxz yxz d )(,12222计算所围成与由设空间区域=.解题过程是：10. 设曲线AnO 0)((0,0),0)(22>--=+a O a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰y y e x y y e x AnOx d 3cos d 3sin 计算.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）： .38)2()1(),0()0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.d d )1(3d d 2d d 2233y x z x z y z y x I ⎰⎰∑-++=解题过程是：.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vy xf z t f t t x f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>+∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是：{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：6. 设曲面1:=++z y x ∑，计算曲面积分⎰⎰+∑Sy x d )(.解题过程是：).,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u jy x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>解题过程是：三、证明题（本题8分）：).()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得，存在证明：相等的最大值，内具有二阶导数且存在上连续，在在设函数中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx 是等价无穷小，则=a .解题过程是：若+→0x 时，x x -+11ln与αx是等价无穷小， ())()()(1ln )1ln(11lnx o x x o x x o x x x xx +=+++=--+=-+，则+→0x ，,~)(αx x o x +故21=α.2. =-→3s i n a r c t a n limx xx x .解题过程是：61)](6[)](3[limsin arctan lim333333-=+--+-=-→→xx o xx x o xx xxx x x .3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： 3 ..解题过程是：曲线)1ln(1xe xy ++=渐近线有3条：垂直渐近线0=x ，水平渐近线)(0-∞→=x y ，斜渐近线)(+∞→=x x y . 4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20tan 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y zx y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是：.1,1:,1,1,,d d 2,21d d .2,121,21,1d d ,1ln ln ln ,d d ,d d d d 0,0d d ,d d ,),(220221101112+=+==⇒=+=⇒=⇒=∴=⇒=⇒='=∴=⇒+-=-=⇒-=⇒-=≠=+='''='=''==⎰⎰x y x y C yC x yx y y yxy C C y yC xy y C P C y P yyP P y y P P P y P y P Py P yP yP P y y P y y f y x x 或通解，，时，代入型，令解：6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： .2)1(cos)sin 1()cos()cos()cos()cos(.22020222020202121-=---=+-+=+-+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πππππππππdx x dx x dyy x dx dy y x dx dxdyy x dxdy y x I D D D y x x xD D 两个区域、分为把区域解：用直线7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：解：令tx -=2π， ttsin sin 33--是奇函数，得xxx d )33(0cos cos ⎰--π=.0d )33()d ()33(22sin sin 22sin sin =-=--⎰⎰----t t ttttππππ8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：x x f x d )(⎰'==-=⎰⎰)()()(d x f x xf x f x C x xx+-2222ln 222.9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩdV)(,12222z x yx z y xz 计算所围成与由设空间区域=解题过程是：.8sin cos )(.0),,(124020πϕϕϕθΩππΩΩΩ=⋅==+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr rr d d zdv dv z x xdv x x z y x f yoz 利用球面坐标系的奇函数，有为面为对称，关于10. 设曲线AnO 0).((0,0),0)(22>-=+a O -a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰dy y e dx y y e x AnO x 3cos 3sin .计算.解题过程是： (),83221333cos cos ,22a a dxdy dxdy y e y e dxdy y P x Q OA D D xx D AnOOAAnOAππ=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，组成闭曲线解：补上线段()⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅⋅-=-=∴axOAAnOAAnOa edx e a 0228303083 ππ.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.38)2()1()0(,)0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：,),()1(ax xyy x f y L =-'=由题设得，的方程为设曲线解：由通解公式，这是一阶线性微分方程.,Cxax C ax x C x axee y xxx x+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-2d 1d 1)(d又,,0)1(a C f -=∴=故曲线L 的方程为：)0(2≠-=x ax ax y .围成的平面图形面积与直线)0()2(>=a ax y L()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰2.a =故2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=解题过程是： .1122，组成闭曲面的下侧为平面圆域解：补充Σyx xoy =+.)1(322)1(32211233233dxdy zdzdx y dydz x dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-++--++=dxdydzz yxdxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰++=-++∑+∑Ω)(6)1(322222331.2)]1()1(21[12)(62322102011022ππθπ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰-dr r r r r rdz r z dr d r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdydxdy zdzdx y dydz x π故.32πππ-=-=I.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：),,,(,932),,(:000222z y x M z y x z y x F 切点设解-++=,.},2,3,2{},2,6,4{},2,6,4{},,{000000n n n z y x n z y x F F F n z y x∥由题意-==='''=,,2,2,223624000000λλλλ=-====-=z y x z y x.2,92322,132),,(222202020000±==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++λλλλ解得在椭球面上z y x z y x M.),2,1,1(),2,1,1(代入得切平面方程切点---.9232,9232-=+-=+-z y x z y x 及).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vyxf z t f t t t f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是： dz)]2r f([zrdr dθ1f(t)式可写为解：在柱坐标系下，等2π2th2⎰⎰⎰++=⎰++=2t2)]dr2r f(3hr[2πh1即，f(t) 等式两边对t 求导得)],(3[8)(2t f hht t f +='π⎰⎰=+'8πhtdtdt f(t)3h(t)f 分离变量并积分2C4πh t f(t))3hln(得22+=+1),3hln(C 1,f(t)lim f(0)由原等式可得2t +=⇒==+→.3h )e h 31(1f(t)24πht22-+=∴{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：解：（1）,24,2222y x y f xy x f y x-='-='22222),(y x y x y x f -+=求函数的驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='024,02222y x y f xy x f y x {}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 区域内的驻点为：)1,2(±.（2）.2),(2222边界上的极值在区域求函数D y x y x y x f -+=构造拉格朗日函数： )4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂040)2(240)2(222222y x L y y x y y L x xy x x L λλλ条件极值驻点为：)23,25(±（3）比较.2),(2222在这些点的值的大小，函数y x yx y x f -+=最小值为0。
2010数学建模竞赛C题解答
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C题输油管的优化布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由图1所示，其中A厂位于郊区（图中的Ⅰ区域），B厂位于城区（图中的Ⅱ区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
图1 两炼油厂的具体位置图若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答问题1：如图1，设P的坐标为(x, y)，(x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为2222)()()(),(min ybxlyaxkyyxf-+-+-++=只需考虑21<≤k的情形（不妨假设ba≤）。
对上述二元费用函数求偏导，令()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+----+--==-+----+=,,22222222ybxlybyaxyakyxfybxlxlyaxxyxfyx（＊）结合图1，将（＊）式改写为⎩⎨⎧=+=-kβαβαsinsincoscos，易知：24coscos,2sinsin2kk-====βαβα所以24tantankk-==βα，故经过AP和BP的直线方程分别为：xkkay24--=-①()lxkkby--=-24②联立①、②解方程组得交点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=22421,421kklbayabkklx因为x≥ 0，y≥ 0，所以l应满足：()a b k k l --≥24 且()a b kk l +-≤24 （a ）当 )(42a b kk l --≤时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。
数学模型试卷0712A参考答案与评分标准
开课系室数学与计算科学学院学生班级石油工程06级1-14班考试日期 2008.1课程性质选修课课程名称数学模型学时总数 32数学模型试题(0712A)参考答案与评分标准一（20分）、(a) 用英语解释如下概念:序列,动力(态)系统,数值解,猜测法,动 态系统的平衡值(不动点).Solution: A sequence is a function whose domain is the set of all nonnegative interges and whose range is subset of the real numbers. Adynamical system is a relationship among terms in a sequence. A numerical solution is a table of values satisfying the dynamical system. The method of conjecture means:(1)observe a patern,(2)conjecture a form of the solution to the dynamical system,(3)teset the conjecture by substitution,(4) Accept or reject the conjecture .A number a is called an equilibrium value or fixed point of a dynamical system )(1n n a f a =+ if a a k = for all k=1,2,... when a a =0.(b) 给出线性动力系统与非线性动力系统的例子,求一阶非齐次动力系统b ra n +=+1n a 的求解公式,并讨论平衡点及稳定性.简述与动力系统对应的各种反问题.solution :线性动力系统b ra a n n +=+1,非线性动力系统:)(1n n n n a M ra a a -+=+ 设平衡点为a ,则有b ra a +=,则)1(1≠-=r r b a ,与动力系统相减得到 )1(1),()(0110111r b a r r b a a a r a a a r a a n n n n n n --+-=-=>--=-+++++ 或)1(10rb a r r b a n n --+-= (c) Your grandparents have an annuity. The value of the annuity increases each month as l % interest on the previous month's balance is deposited. Your gran-parents withdraw $1000 each month for living expenses. Currently' they have $50,000 in the annuity Model the annuity with a dynamical system. Find the equilibrium value. What does the equilibrium value represent for this problem? Build a solution to determine when the annuity is depleted.solution : model :01.0100001.1,100001.11+=-=+c a a a n n n nequilibrium value is 1000001.01000==a 500000=a ，5000010000050000-=-=c ,201.1,100000)50000(01.10=+-=n n ,6607.69)01.1ln(/2ln ==n 取70=n评分标准:第1题 10分, 重点考察概念的阐述,关键词语的表达,第2题5分, 重点考察基本模型与结果,第3题5分二(20分)、(a) 用英语解释如下概念:系统,数学模型,建模过程,建模步骤. Solution: A system is an assemblage of objects joint in some regular interaction or interdependence. Mathematical model is a mathematical construct designed to study a particular real-world system or phenomenon. The modeling processes include simplification, analysis , interpretation, verification.Modeling steps include: step1. identify the problem; step 2.make assumptions( identify and classify the variable,determine interrelationship between the variable and submodels);step 3 solve the model;step 4. verify the model; step 5. implement the model; step 6 maintain the model .(b) 以一个具体问题为例阐述数学建模的步骤,简述数学建模的比例方法和相似性方法.Solution:以刹车距离为例,识别问题确定距离为速度的函数,把整个距离分解为刹车距离和反应距离之和,应用比例方法确定两个子模型,确定易于实施的分段表示的使用规则.比例方法是从代数(分析)角度来考察两个变量之间的关系,基于两个变量成比例来简化变量之间的关系,相似方法是从几何方面来简化量之间的关系.(c) Determine whether the following data support a proportionality argument for 2/1z y ∝. If so, estimate the slope.解:变换数据,对变换后的数据作散点图,估计斜率约为 2.1. 也可以说明不是比例关系,但理由阐述要合理.评分标准:第1题 10分, 重点考察概念的阐述,关键词语的表达,第2题5分,考察实例的阐述的合理性,第3题5分,确定比例关系的,要有散点图和斜率结果,否定的要有明确合理的依据.三（20分）、(a)用英语解释如下概念:模型拟合与插值,建模过程的误差及其分类,拟合曲线的标准.本小题10分.评分标准:模型拟合不要求满足插值条件,要求反应整体的变换规律,使整体误差达到最小,一般关系式比较简单,具有特殊的结构.插值要求模型满足插值条件.(b)简述用最小二乘法用线性模型B A x y +=拟合数据的步骤,推导计算公式,讨论评价模型优劣的方法.本小题5分.评分标准:阐明整体思路,写出误差表示式,推导方程求解. (c)The following table gives the elongation e in inches per inch (in./in.) for a given stress S on a steel wire measured in pounds per square inch (lb/ln.2). Test the model S c e 1= by plotting the data. Estimate 1c本小题5分,用最小二乘法,要求有求解过程,也可用图解法,要有散点图.参数在3-4之间,数据处理不同可以得到不同的结果.四（20分）、(a) 用英语解释如下概念: 最优化模型一般形式,线性规划,整数规划.本题10分,最优化模型的三要素,线性规划和整数规划的要点明确,关键词语使用合适.(b) 简述在Matlab 中求解优化模型的一般方法(主要函数的参数和使用方法) 本题5分, 格式,参数说明和使用.(c)Nutritional Requirements-A rancher has determined that the minimum weekly nutritional requirements for an average-sized horse include 40 lb Of protein, 20 lb of carbohydrates, and 45 lb of roughage. These are obtained from the following sources in varying amounts at the prices indicated: (数据略)本题5分.评分标准: 确定变量,写出模型的三部分.解:设各饲料的量为x1,x2,x3,x4,成本为1.8*x1+3.5*x2+0.4*x3+1*x4,目标是成本最小化.各约束条件为:0.5*x1+1*x2+2*x3+6*x4>=40;2*x1+4*x2+0.5*x3+1*x4>=20;5*x1+2*x2+x3+2.5*x4>=45;五（20分）、（a ）简述预测人口的两个模型-指数模型与阻滞增长模型及其求解过程.本题10分,每个模型5分,重点是求解过程.(b)原题略社会学家发现了一种被称为社会流传的现象．指的是一条信息、一项技术创新或一种文化时尚在人群中的传播. 这样的人群同以可以分为两类:一类接收到该信息，另一类没有. 在一个人口数量已知的固定人群中，有理由假设流传率与已接收到信息的人数和待接收的人数的乘积成正比. 若X 表示N 个人的居民中已接收到信息的人数，那么关于社会流传的数学模型为)(/x N x dt dx -=λ，其中t 表示时间，λ是正常数(a)解这个模型，并证明它的解是一条逻辑斯蒂曲线(b)什么时候此信息传播最快?(c ）最终会有多少人接收到此信息?解: dt x N x dx λ=-)(,)11(1)(1xN x N x N x -+⨯=-,因此 C t N N x x dt N xN dx x dx +=-→=-+λλ))/(ln( 求解得到te x N Nt x λN --+=)1(1)(0,其解为Logist 曲线,即S-曲线.当2/N x =传播最快,)1ln(11)1(0*0-=→=--x N N t e x N t N λλ 当∞→t 时,N t x →)(。
全国大学生数学建模大赛储油罐模型
图1-2 搭接式（交互式）卧式罐
图1-3 各种类型的顶板
按材质可分金属油罐和非金属油罐。
金属油罐是采用钢板材料焊成的容器。普通金属油罐采用的板材是一种代号叫A3F的平炉沸腾钢；寒冷地区采用的是A3平炉镇静钢；对于超过 的大容积油罐采用的是高强度的低合金钢。
常见的金属油罐形状，一般是立式圆柱形、卧式圆柱形、球形等几种。立式圆柱形油罐根据顶的结构又可分为桁架顶罐、无力矩顶罐、梁柱式顶罐、拱顶式罐、套顶罐和浮顶罐等，其中最常用的是拱顶罐和浮顶罐。拱顶罐结构比较简单，常用来储存原料油、成品油和芳烃产品。浮顶罐又分内浮顶罐和外浮顶罐两种，罐内有钢浮顶浮在油面上，随着油面升降。浮顶不仅降低了油品的消耗，而且减少了发生火灾的危险性和对大气的污染。尤其是内浮顶罐，蒸发损耗较小，可以减少空气对油品的氧化，保证储存油品的质量，对消防比较有利。目前内浮顶罐在国内外被广泛用于储存易挥发的轻质油品，是一种被推广应用的储油罐。
本文分析了一些油罐的测量方法，提出建立油量和油位高度之间的精确理论积分模型来进行罐容表的标定。采用平顶和球缺顶卧式储油罐为例来建立模型。在无变位情况下，建立了储油量 与油位高度 的关系式，即 ，然后通过模型计算得到罐容表；在变为情况下，同样建立了储油量 与油位高度 、倾斜角 的一般关系，即 ，并采用穷举法和非线性最小二乘法，对每一组 导出的理论体积差逐一和实测值作比较，选取平均偏差最小的 作为倾斜罐体最优的变位参数，最后计算得出罐容表。
本科数模教材(讲稿版)3-3——补充内容(2)
﹤1﹥显式差分解法
差分通式： p 边界条件： p
n+1 i
= (1− 2δ ) pin + δ ( pin+1 + pin−1)
=p
n+1 2
n+1 1
−∆x ⋅ f 2(t )
n+1
p = p +∆x ⋅ g2(t n+1)
p4 p5
n+1 5
n+1 4
p1
p2
p3
0
L
x
求解步骤：
t = 2∆t
2 2 2 p = p − ∆ x ⋅ f 1 2 2,
…… …… ……
求解该5阶方程组得到
2 1
(内部网格)
2
p 5 = p 4 + ∆x ⋅ g 2
2 2
(边界网格)
共5个方程，5个未知量， 组成封闭的线性方程组。
p , p , p , p , p
2 2
2 3
2 4
2 5
7
t=任意时刻， 同理求解。
p0
p1 0
p2
p3
p4
p5 L
p6 x
求解步骤（第一种方式）：
t = 3∆t 时刻（时间步 n=2 ，n+1=3 ）：
与前述步骤同理可解。
…… …… ……
t = 任意时刻， 同理求解。
至此原问题得解。
14
﹤2﹥隐式差分解法
n+1 n+1 n+1 n (1 2 δ ) p ( p p ) p + + − δ = 差分通式： i i −1 i +1 i n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 x⋅ g2(tn+1) 边界条件： p0 = p2 − 2∆x ⋅ f 2(t ) , p6 = p4 + 2∆
2010全国研究生数学建模c题
2010全国研究生数学建模c题（原创实用版）目录一、2010 年全国研究生数学建模竞赛 C 题概述二、题目背景及问题描述三、解题思路和方法四、案例分析五、结论与启示正文一、2010 年全国研究生数学建模竞赛 C 题概述2010 年全国研究生数学建模竞赛是由中国数学会主办的一场全国性数学建模竞赛，旨在培养和提高研究生的数学建模能力。
本次竞赛共有 A、B、C 三个题目，其中 C 题涉及到的问题是“储油罐的变位识别与罐容表标定”。
二、题目背景及问题描述在实际应用中，加油站的储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，可能会发生纵向倾斜和横向偏转等位置变化，这种现象被称为变位。
变位会导致罐内油位高度和储油量的测量数据不准确，进而影响加油站的正常运营。
因此，如何准确识别储油罐的变位并标定罐容表，成为了亟待解决的问题。
三、解题思路和方法对于这个问题，我们可以采用以下步骤进行求解：1.首先，收集相关数据，包括储油罐的初始位置、油位计和流量计的初始读数等。
2.其次，通过数据分析，判断储油罐是否发生变位。
如果发生变位，需要进一步确定变位的程度和方向。
3.接着，根据变位情况，重新标定罐容表，即重新建立罐内油位高度与储油量的对应关系。
4.最后，通过实际测量数据，验证所标定的罐容表的准确性。
四、案例分析假设有一个容量为 100 立方米的储油罐，初始时油位计读数为 0，流量计读数为 0。
经过一段时间后，油位计读数为 30，流量计读数为 20。
我们可以通过以下步骤计算出储油罐的变位情况：1.根据初始数据，计算出初始时的罐内油位高度，设为 H0。
2.根据油位计读数，计算出此时的罐内油位高度，设为 H1。
3.计算出储油罐的体积变化量，即 V1 - V0 = 30 立方米。
4.根据流量计读数，计算出进/出油量，设为 Q1。
5.根据储油罐的体积变化量和进/出油量，计算出储油罐的变位情况，包括变位程度和方向。
6.根据变位情况，重新标定罐容表。