2010-第五章旋涡理论 流体力学

∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( ρ = ρ ( p ) ) 3. 在有势质量力作用下
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在 切向应力，不能传递旋转运动。 2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并 保持环量不变，原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无旋涡 和速度环量。 例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无 旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。 又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该 处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊 定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋运动。 注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄 一层为有旋运动。
l
∫∫Ω ⋅ nds
S
Biot-Savart 定理：
d s ∗ sin θ H = d i 电流诱导磁场强度 r2
i Γ
ds
S
r
P
dv
dH
旋涡诱导流体速度 d v = Γ d s ∗ sin θ 4π r2
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
Γ sin θ • ds v= 2 4π ∫ r s
4．旋涡强度（涡通量）--通过任一开口曲面的涡量总和的一半 dJ = ωn dσ 为任意微元面积dσ上的旋涡强度（涡通量）
J = ∫∫ ω •dσ = ∫∫ ωn dσ
σ σ



为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。 Γ AB= ∫ v • ds= ∫ vs ds = ∫ vx dx + v y dy + vz dz
Γ AB = Γ B′A′
ΓC + Γ L = 2 ∫∫ ωn dσ
σ
双连通区域的斯托克斯定理
推论一 单连通区域内的无旋运动，流体 中的旋度处处为零，则沿任意封 闭周线的速度环量为零，即：
ΓC = 2 ∫∫ ωn dσ = 2 ∫∫ 0dσ = 0
σ σ
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围 强度相同转向相反的旋涡）。 推论二 对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的， 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等， 即： ΓC = ΓL (与积分路径方向一致时)
平面点涡诱导速度场： = ， vθ vr 0= 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：
Γ φ ( r ,θ ) = ∫ vr dr + vθ rdθ = θ 2π Γ ln r ψ (r ,θ ) = ∫ − vθ dr + v r rdθ = 2π
例5.1 如图5-15（p136-137）所示。求两种情况下，两点的运 动（位移规律）。
ΓC = ∫ v • ds = ∫ vs ds
C C
AB
AB
规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向， 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γ = Vx dx + Vy dy + Vz= dz ∫ dx + dy + dz AB ∫ ∂x ∂y ∂z AB AB =
C s n
速度环量与旋 转角速度关系
推广到有限大平面
给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法
复连通区域的修正
2 ∫∫ ωn dσ Γ ABB ' A ' EA =
σ
Γ ABDB ' A' EA = Γ AB + ΓC + Γ B′A′ + Γ L
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量 ΓL ：沿内边界顺时针的环量
（2）亥姆霍兹第二定理（涡管保持定理） 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。
K
涡管上的封闭轴线 （3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理） 任一涡管强度不随时间变化。 综上所述， Thomson 、Lagrange及Helmholtz定理全面 地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律： 若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有 旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持 性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的 旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
1 ω= ∇ × v ≠ 0 2 用来描述流体微团的旋转运动。
1．涡线: 涡线是在给定瞬时和旋转角速度矢量相切的曲线。
dx dy dz 涡线的微分方程 = = ω x ( x , y , z , t ) ω y ( x , y , z , t ) ω z ( x, y , z , t )
2．涡管： 某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线(不是涡线)， 通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管 形曲面，截面无限小的涡管称为微元涡管。 3. 涡束： 涡管中充满着的作旋转运动的流体，微元涡管中 的涡束称为涡索或涡丝。
5-6、二维旋涡的速度和压强分布 如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr = 0, vθ = ωr
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理： ——涡管强度空间守恒 在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理
Γ abdb′a′ea = 2 ∫∫ ωn dσ
σ
因为σ内ωｎ＝０所以 由斯托克斯定理上式写成:
ΓΙ + Γ = 0
ω dσ = ∫∫ ω dσ ∫∫ σ σ
1 = a x π 1 = a y π 1 = a z π
dτ r τ dτ ω y ∫∫∫ r τ dτ ω z ∫∫∫ r τ
∫∫∫ω x
•
通过上式由漩涡场先求出辅助矢量 a
，再求出速度场。
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
水电比拟: 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。 电流诱导磁场强度 — 旋涡诱导流体速度。
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ 电流强度 i
∇⋅H = 0 H = −∇V
方程
∇⋅v = 0 v = ∇φ
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω 速度环量 Γ
∇ 2V = 0
∇×H =δ
i = ∫ H ⋅ dl =
l
∇ 2φ = 0
∇× v =Ω
∫∫δ ⋅ nds
S
Γ = ∫ v ⋅ dl =
泊松方程
∂ 2 ax ∂ 2 ax ∂ 2 ax + + = −4ω x 2 2 2 ∂ ∂ ∂ x y z 2 2 2 ∂ ay ∂ ay ∂ ay + = −4ω y 2 + 2 2 ∂ ∂ ∂ x y z ∂2a ∂ 2 az ∂ 2 az z + + = −4ω z 2 2 2 ∂y ∂z ∂x
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 ∂vz ∂v y − ω x = y z ∂ ∂ 2 1 ∂vx ∂vz ω = − y 2 ∂z ∂x 1 ∂v y ∂vx ω = z 2 ∂x − ∂y
方法：由（5-4-5）式求出两点的速度，在积分即得。 （a）积分常数由初始条件(t=0)确定。 （b）由于两点速度相反，故为绕原点的圆周运动。
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形流体象刚体一样 绕其轴线转动，角速度为ω。
例3.4-5已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就 是ω。 由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为 平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流 场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。