流体力学5

工程流体力学
流动图形的分析 ：
W(z) = ( A + Bi)ln z = ( A+ Bi)ln reiθ = ( Aln r − Bθ ) + i( Aθ + B ln r)
故速度势函数 ϕ = A ln r − Bθ ψ = Aθ + B ln r 流函数 ∂ϕ A vr = = 流场中速度分布 ∂r r ∂ϕ B vθ = =− r ∂θ r
dW = u + iv dz
复速度的模是速度的大小
dW = u 2 + v2 = U dz
复速度有可能写为
dW = Ue − i α dz
一旦得到复势，就可以得到流场的速度场
dW ( z ) u = Re dz dW ( z ) v = − Im dz
z = x + iy ,
i=
−1
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面 势流。
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5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动（均流） 1.均匀直线流动（均流） 均匀直线流动 当流动速度为 U 0 ，方向同x轴方向一致时，复势
W ( z ) = U 0 x + iU 0 y = U 0 ( x + iy ) = U 0 z
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5.3
求解平面势流复势的方法
在许多情况下直接找流动的复势要比求解 ϕ 和 ψ 来 得容易，本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流 复势的方法。
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5.3.1 奇点分布法
上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们 的复势，这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点 分布法： 1.绕圆柱无环量的流动 1.绕圆柱无环量的流动
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5.2.2 复速度的积分
1.速度环量 1.速度环量 Γ 在流场中，取一封闭的空间曲线 l，在l上取微分线段dl，如图5.3所 示 ，该处流体速度为 v ，则定义 ∫l v ⋅ dl 为沿曲线l的速度环量，以Γ l 表示（简称环量）。
z v dl l O x
图5.3 速度环量
Γ l = ∫l v ⋅ dl
dW ( z ) ∫l dz dz = ∫l dW ( z ) = ∫l (dϕ + idψ ) = ∫l dϕ + i ∫l dψ
物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该 曲线的速度环量 Γ l ，虚部等于由内向外通过该封闭曲线 的体积流量 Ql。
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【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是 W = az 2 (a > 0) ，在原点处压强为 p 0，试求：（1）上半 平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3） 沿x轴的压强分布。 【解】 （1）复速度
±m ±m iθ = ln re = ln z 2π 2π
±m W ( z) = ln( z − z0 ) 2π
±m ±m = (ln r + iθ ) = (ln r + ln eiθ ) 2π 2π
若源或汇置于复平面 z 0 处，则其复势
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3.环流 3.环流 （1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆 筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速 度 ω ，大小是 ω ，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径 是 a ，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度
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第5章 平面势流理论 章
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ϕ ，同时存在流函数ψ。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
= ∫ u ⋅ dl + vdy + wdz
l
y
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流动是势流，那么存在速度势 ϕ ( x, y , z , t )
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γl = ∫ dx + dy + dz = ∫ dϕ l ∂x ∂y ∂z l
2.复速度积分 2.复速度积分 在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l 的积分为
W ( z) = ( A + Bi)ln z = A ln z + Bi ln z
对于 W1 ( z ) = A ln z 是强度为m = 2πA的源（汇）放置于 （0,0）点的复势； 对于 W2 ( z ) = Bi ln z ，则是强度为Γ = 2πB的点涡放置于 （0,0）点的复势。（当 B > 0 时，点涡为顺时针方向 旋转，反之则为逆时针方向旋转）
dW ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ = +i = −i = u − iv dz ∂x ∂x ∂y ∂y
O y u+iv v θ θ u-iv x
复势导数的实部是 轴向的速度分量 ， 导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值， 如图5.2所示。
图5.2 复速度
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dW dW 通常称 dz 为复速度，称 为共轭复速度。显然 dz
y
将无限长圆柱体放置在 均流中，就是绕圆柱体无环 量的流动，其流动图形如图 5.6所示。观察流线图谱可 发现以下现象：
O
x
图5.6 绕圆柱体无环量流动
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（1）当均流叠加源流，会有半无限物体的流线形状， 如图5-7(a)所示。 （2）当均流叠加等强度源汇，会有绕朗金椭圆（如 图5.7(b)所示）和开尔文椭圆（如图5.7(c)所示）的流 线形状。
z −3
Γ z =2
Q z =2
dW ( z) z) = Re∫ dz z = 2 dz
dW ( z ) = Im∫ dz Z =2 dz
dW 1 1 = 2 − dz z z −3
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按留数定理
dW 1 1 ∫z =2 dz dz = 2(∫z =2 z dz − ∫z =2 z − 3 dz )
U0 +m U0 +m -m -m U0 +m (b) (c)
(a)
图5.7 均流和源叠加（a）、均流和源、汇叠加（b）、（c）
当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们 组合流场的复势为
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M 1 W ( z ) = W1 ( z ) + W2 ( z ) = U 0 z + ( M > 0) 2π z
A2 + B 2 v= r ψ =C
流线
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y
即
Aθ + B ln r = C
ln e Aθ + ln r B = C
x
Ψ=c' φ=c
ln r B e Aθ = C
也即
r = C1e
A − θ B
同理，等势线为 r = C 2 e 图5.5 它们都是对数螺线，如图5.5所示。
B θ A
平面涡源流
W ( z) =
Γ
2π
θ −i
Γ
= =
Γ
2π
ln r
2π
(θ − i ln r ) = ln z
Γ
2πi
(ln r + iθ )
Γ
2πi
点涡置于复平面处，则其复势
W ( z) =
Γ
2πi
ln( z − z0 )
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4.偶极子 4.偶极子 当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠 近，并置于原点时，复势
对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度 M 和均流速度 U 0的大小，使一条零流线与圆柱表面 (r = a) 正好重合即可。 z = reiθ ，得 首先引入 M − iθ iθ W ( z ) = U 0 re + e 2πr 展开上式可得
M ϕ = U 0 r cos θ + cos θ 2πr M ψ = U 0 r sin θ − sin θ 2πr
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（1）解析下式： W ( z ) = 2 ln z = 2 ln z − 2 ln( z − 3) 对于 2 ln z ， 是源强度 m = 4π 放置于（0,0）点的复势； 对于 − 2 ln( z − 3) ，是汇强度 m = 4π 放置于（3,0）点的复势。
2 2 （2）沿 x + y = 4圆周的环量和通过该围线的流量为
= 2 ( 2πi ⋅1 + 0 ) = 4πi
故
Γ z =2 = 0
Q z =2 = 4π
由于在 x 2 + y 2 = 4 区域内无点涡存在，故环流的强 度为零。由于在 x 2 + y 2 = 4 内有强度为 4π 的源存在，故 体积流量为 4π。
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【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函 数 W ( z ) = ( A + Bi) ln z （A，B为实常数）；试分解这种流 动为最简单的流动和绘制流动图形。 【解】有以下解析式：
y
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布 ρ 2 p+ V =C 2 式中 V = u 2 + v 2 = 2ar ；
图5.4
O
x
2
W = az 的流线图
r ——原点到该点的距离。
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C 当 r = 0 处，p = p0， = 0， = p0 ，此时 V
p0 = p +
2 2
ρ
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由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
Γ = 2πa 2 ⋅ ω
式中 a ——涡束的半径；
ω ——内部流体质点旋转角速度大小；
Γ ——速度环量。
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（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将引起一个 诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。 若点涡的强度是 Γ ，将它置于原点，点涡的旋转方向是 逆时针，则Γ > 0 ，若是顺时针，则Γ < 0 。其复势
M cos θ M sin θ W ( z) = ⋅ −i ⋅ 2π r 2π r
M 1 M 1 (cos θ − i sin θ )(cos θ + i sin θ ) = ⋅ ( cos θ − i sin θ ) = ⋅ 2π r 2π r cos θ + i sin θ
M 1 = ⋅ 2π z
dW dW = 2az = 2a ( x + iy ) = 2ax + i2ay dz
则流场的速度分布
u = 2ax v = −2ay
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（2）由复势 W = az 2 = a ( x + iy ) 2 = a ( x 2 − y 2 ) + i2 axy 得流函数 ψ = 2axy xy 流线方程 ψ = 常量， = C ( y ≥ 0) 上半平面的流线图如图5.4所示。
2
百度文库⋅ 4a 2 r 2
即 p = p 0 − 2 ρa r 为平面中各点压强分布。 【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为W(z) = 2ln
z z −3 ，
（1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周 x 2 + y 2 = 4 的环量和通过这一围线的流量。 【解】 平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单 平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须 将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。
y
v 若均流的 u = U 0 cos θ ， = U 0 sin θ ， 如图5.1所示，则复势
U0
W ( z ) = U 0 e − iα z
α O x
图5.1 不同方向的均流
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2.源和汇 当将源或汇置于极坐标的原点时，复势
±m ±m W ( z) = ln r + i θ 2π 2π
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5.1
平面势流的复势
5.1.1 复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 ϕ 和流函数ψ， 流速场在直角坐标系中有关系式
∂ϕ ∂ψ u= = ∂x ∂y ∂ϕ ∂ψ v= =－ ∂y ∂x
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这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数 W ( z ) = ϕ + iψ 式中
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若偶极子放置在 z = z 0 处，且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴，则复势
1 M W ( z) = ⋅ 2π z − z0
若偶极子中源到汇的方向与 x 轴成 α 角，则复势
M eiα W ( z) = 2π z - z0
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5.2
复速度
5.2.1 复速度和共轭复速度
平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导， 若复势 W ( z ) = ϕ + iψ 对 z 进行微分，得