流体力学第五章习题

P125 第五章习题5-1 流速为o u =10m/s 沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。

已知驻点位于（0，5），试求（1）点涡的强度；（2）点（0，5）的流速；（3）通过驻点（0，-5）的流线方程。

均匀流与位于原点的点涡叠加后的速度势为ϕ。

ϕ=0v θcos r ⋅θπ20Γ- 其中0Γ为沿顺时针方向点涡涡在极坐标下：θθϕcos 0cos 00v v rv r =-=∂∂= r v r v πθθϕθ2sin 100Γ--=∂∂⋅=驻点为（0，5），则5,23==r πθ（1）0)23cos(0==πv v r052)23sin(00=⨯Γ--=ππθv v π100=Γ⇒ π1000=v 即点涡强强度π1000=Γ（2）点（0，5）的流速 5,2==r πθ代入θv v r ,)/(20101002100sin 0cos 000s m v r v v v v r -=--=--==⋅=ππππθθθ s m u v /20,0==⇒即 负号表示θ以逆时针方向为正（3）通过驻点（0，5）的流线方程均匀流与位于原点点涡叠加后的流函数ψ r r v ln 2sin 00πθψΓ+⋅⋅= 将（0，5）对应5,23==r πθ代入上ψ式得：5ln 50505ln 501-510+-=⋅+⨯⨯=）（驻点ψ即55ln 5055ln 5ln 505ln 5050ln 500=++=+-++-=+⋅ry r y r y ψ5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为s m /2031=θ，点汇位于（2，0）点，其流量为s m /4032=θ，已知流体密度为3/8.1m kg =ρ，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0，1）和（1，1）的流速和压力。

解：平面势流点源和点汇构成的速度势为：222221222221222221)(2)(2)(2)(2)(ln 2)(ln 2y x x y m y x x y m v y x x x x m y x x x x m u y x x my x x m B A B B A A B A +-⋅-+-⋅=+--⋅-+--⋅=+--+-=ππππππϕ 因：2,1,/40,/20322311=-=====B A x x s m m s m m θθ则 22222222)2(220)1(10)2(220)1(110y x x y x y v y x x y x x u +--⋅-++⋅=+--⋅-+++⋅=ππππ(1)则点（0，1）的速度为：(2) )/(1522021101)20(1201)10(110)/(13522021101)20(20201)10(101022222222s m v s m u ππππππππππ=⋅-⋅=+-⋅-++⋅==⋅+⋅=+--⋅-+++⋅=因为全流场中任意一点满足伯努力方程的拉格朗日形式（p72,）即c z Pv =++ρ22 则（0，0），（0，1），（1，1）都满足上式，因0)0,0(=P )/(200)20(20200)10(101022)0,0()0,0(s m u v πππ=+--⋅-+++⋅==A （源） B（汇）则12)1()13(22)1,0(22)1,0()1,0(2)1,0()0,0()0,0(2)0,0(+++⇒++=++ρππρρP z P vz P v)/(17.192)1,0(m N P =⇒（2） （1，1）点 流速与压力)/(8212051101)21(1201)11(110)/(14212052101)21(21201)11(11102222)1,1(2222)1,1(s m v s m u ππππππππππ-=⋅-⋅=+-⋅-++⋅==-⋅-⋅=+--⋅-+++⋅=因：)/(97.101701226040012)8()14(2)20(222)1,1()1,1(2)1,1(22)1,1(222)1,1()1,1(2)1,1()0,0()0,0(2)0,0(m N P P P P z P v z P v =⇒=-=--+++=++=++ρπρππρπππρρ5-3直径为2m 的圆柱体在水下深度为H=10m 以平移速度0u 运动，试求（1）A 、B 、C 、D 四点的绝对压力 （2）若圆柱体运动的同时还受到本身轴线以角速度60r/min 转动，试决定驻点的位置以及B 、D 两点的速度和压力。

此时若水深增至100m ，求产生空泡时的速度（注：温度为c15时，水的饱和蒸汽压力为310332.2⨯N/2m 。

）等效于： 均匀流+偶极偶极强度：202a v M ⋅=πππ202,/10,12000=⋅⋅=⇒===a v M s m u v m au x均匀流与偶极叠加的速度势：)1(sin 1)1(cos cos 2cos cos 2cos 220220200ra v r v r a v r M v r v rM r v r +⋅-=∂∂⋅=-=⋅-⋅=∂∂=⋅+=θθϕθθπθϕθπθϕθ 代入r=a 的圆柱表面的速度分布为：{θθsin 2,00v v v r -==0=θ 0==C A v v πθ= ：2πθ= 02v v B -=：πθ23=02v v D = 从无穷远流体流向：A Q →，列出伯努力方程：)(10994.11081.91010013.15350帕⨯=⨯⨯+⨯=+=hg P P Q ρ注：0P 取1标准大气压)/(104.24910494.210105.010994.121212123523520220m N v P P v P v P Q A A A Q ⨯=⨯=⨯⨯+⨯=+=+=+ρρρ若取0P 为一个工程大气压： Pa P 5010981.0⨯=则 )/(102.24623m N P A ⨯= （与课后答案一致，暂取0P 为一个工程大气压） gh P P B A ρ+='gR P P A B ρ-=⇒'（静止状态，液体静力学方程） A 、B 两点列伯努力方程B B B A A A gz v P v P gz ρρρρ++=++22212102,0,,0v v v R z z B A B A -====gRV P P B A ρρ+-+=20)2(21)/(104.361081.910200102.246181.9101041021102.24642123333323320m N gRv P P A B ⨯=⨯-⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=-⋅-=⇒ρρA 、D 列伯努力方程)/(101.561041021181.910102.246)2(21)2(212323332020m N v P gR P v P P gR A D D A ⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯=-+=+=+ρρρρ)/(102.24623m N P P C A ⨯==（2）等效于绕圆柱有环量流动2020020)2(,1)/(260/260min /6022)(cos πππωπωθπθϕ=Γ⇒==⨯==⋅=ΓΓ-+=m a s rad r a r a r v速度分布：rr av r v ra v r v r πθθϕθϕθ2)1(sin 1)1(cos 0220220Γ-+-=∂∂⋅=-=∂∂= 圆柱表面r=a 上速度分布为：rv v v r πθθ2sin 2000Γ--==假设无穷远处0'0,v v P P ==由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力分布为： （质量力忽略不计）220'02121θρρv P v P +=+20020'02sin 22121⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ---+=a v v P P πθρρ其中)/(10962.11081.91010981.025350'0m N gH P P ⨯=⨯⨯+⨯=+=ρs m av v A /28.612)2(2sin 2200-=⋅-=Γ--=⇒=πππθπθsm v a v v D sm a v v C sm v a v v B C C B /72.1312)2()1(22sin 223:/28.62sin 20:/28.2612)2(122sin 22:2000002000=⨯--⋅⨯-=Γ--=⇒=-=Γ--=⇒==⨯-⋅⨯-=Γ--=⇒=πππθπθπθθπππθπθ 列A 、B 两点伯努力方程233232352220'028.61021181.91028.26102110102110962.1212121⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯=+--+=A B B v gR v v P P ρρρρ驻点位置：)314.0arcsin(314.0202sin 12)2(sin 1022sin 202sin 220000±=-=-=⨯-=⨯Γ-==Γ--=πθπθππθπθπθθa v av v当H 增加到100米,B v 速度>D v ,应B v 先产生气泡，其速为[][]sm a ac b b v v v v v v v v v v v gR v v v gH m N P v gR v P P B A A B B A A B /68.29)(3949657.1257.1224094957.125.10)281.9981332.2(57.125.12281.95.098145.081.95.0981332.22121212110332.2)/(10332.221212200202020202020202022********取正=⨯+±=-±-==--=++-+-++--⋅+=+⨯--⋅+=--+-+=⨯⨯=--+=ππππρρρρρρρρρ5-4写出下列流动的复势（1）;sin ,cos 00ααU v U u ==（2）强度为m ，位于（a ，0）点的平面点源；（3）强度为Γ位于原点的点涡；（3）强度为M ，方向为α，合于原点的平面偶极（1）αααααααααααααψϕααψααϕi e z U i z U z U i z U iy x U i z U ix y U iy x U x U y U i y U x U i z w xv y u x U y U y U x U y v x u -⋅⋅=-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=+⋅⋅⋅-+⋅⋅=-⋅⋅++⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅=000000000000000000)sin (cos sin cos )(sin )(cos )(sin )(cos )sin cos (sin cos )(sin cos sin cos（2）强度为m ，位于（a,0）点源的复势，只需求强度为m ，位于（0，0）点的复势源强 []zme r m e r m m i r m i z w md m rd v dr v r m dr r m rd v dr v v rmv v r m i i r r r r ln 2)ln(2ln ln 22ln 2)(22ln 220,22πππθππψϕθπθπθψππθϕππθθθθθ=⋅=+=+=+==⎰=⋅+-⎰==⎰=⋅+⎰===⋅=则合于（a ，0）的点源复势为)ln(2)(a z m z w az -==π（3）位于原点点涡复势---⋅Γ=⋅⋅Γ=+⋅Γ=⋅+-Γ=Γ+Γ-=+=Γ=Γ-=z i e r i i r i r i r i i z w r i ln 2)(ln 2)(ln 2)ln (2)ln 2(2)(ln 2,2ππθπθππθπψϕπψθπϕθ 位于（a,0）点涡的复势为：)ln(2)(a z iz w a z -⋅Γ==π（4）强度为M ，方向为α，位于原点的平面偶极0220tan x yy x δδαδδδε=+=）点汇位于（）点源现在位于（汇位于原点汇的速度势：源位于原点源的速度势：000000,x ,,x )(ln 2)(ln 2y y x y r mr mδδπψπϕ++-------=--------=求解推导如下：点源位于（00,y x ） 点汇位于),(0000y y x x δδ++ 则源和汇叠加流场的速度势为：[][][][][]2020002020200200002002002020)()(ln ,,,f )()(ln )(()((ln 4lim )(()((ln 4)()(ln 400y y x x y y x x y y x x y y y x x x m y y y x x x my y x x m y x -+-=-+--+-++--=+-++---+-=→→）（令偶极的速度势为，δεδδπϕδδππϕδδ汇),000y y x δ+可知上式就是),,,(00y y x x f 在δε方向上的方向导数 它等于：ααεsin cos 00⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂y f x f f 则：)()(tan arc 22tanarc 22sin sin 2cos cos 2sin sin 12cos cos 12sin )()()1()(22cos )()()1()(24)sin cos (40000002020020200x x x y y y MM x x y y MM rM r M r M r M y y x x y y My y x x x x M yfx f M δδπθπψπθπψαθπαθπαθπαθπαπαπααπϕ+-+--=-=--==⋅+⋅=⋅⋅-⋅-⋅⋅-⋅-=⋅-+--⋅-⋅-⋅-+--⋅-⋅-=∂∂+∂∂-=汇的流函数为：同样：源的流函数为：则源和汇叠加的流场的速度势为：求导），对方向上的方向导数（注在令0000000000000000000000000),,,()arctan()()(arctan 2lim )arctan()()(arctan 2lim )()(arctan )arctan(2limy x y y x x g x x y y x x x y y y M x x y y x x x y y y m x x x y y y x x y y mδεδεδδπδεδδπεδδπψδεδεδε⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+----=→→→θπαθπαθαθπααπϕθθααπϕco sin 2sin cos 2sin cos cos sin 2sin cos 2cos 1)()()(111arctansin )()()()()(11arctan sin cos 200020202002000000200202020200200000000⋅-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂+⋅∂∂-=-=--⋅-+--=--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂=∂∂=--⋅-+--=--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂+⋅∂∂-=r M r M r r M y g x g M r x x y y x x x x x x x x y y y x x y y y g r x x y y y y x x x x x x y y x x y y x x x y y x g y gx g M 则方向为α的平面偶极的复势为：[][][]z e M e r e M i r e M i r e M e i r M e r M i rM i r M r M r M i r M r M i z w i i i i i i i ⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅-⋅=-⋅⋅+⋅⋅=⋅-⋅+⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+=ππθθπθθπθπθπααθπααθπαθπαθπαθπαθπψϕαθααααα22sin cos 12sin cos 2)(sin 2cos 2cos sin sin 2sin cos cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2)(5-5设在A （a,0）点放置一强度为2π的平面点源，x=0是一固壁面，试求（1）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置，（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为∞P ；（3）若点源源强m=m(t),其中t 为时间变量，求壁面上的压力分布对应的复势为：x222222''121111)()ln()ln()ln(2)ln(2)()()()ln()ln(2)(y a iy y a iy a y a iy a a iy a iy V iyz a z a z dz z dw V a z a z a z ma z m z f z f z w a z a z mz w +-=+-++--=++-==++-==++-=++-=-+=-=-=壁面处：映像据奇点映像法：平壁面πππ（1）aa a V V a y a a y y a ya y a y y y a y V yVV y a yV u 122max ,0a 00)(22)(22)(202,02222222222222±=±=±=-±=⇒=+-=+⋅-+=∂∂=∂∂⇒----------⎩⎨⎧+==，则代入当）），（，点为（即速度达到最大值对立达最大值当固壁上流体速度分布(2)固壁上压力分布`)y (y 2)y (y 421y y 221v 21210,,211)ln()ln()(222222222222222+-=+-=++=+=+=⇒∞→∞→=+=++-==⇒-+-=∞∞∞∞∞a P P a P P a P P P v P v y z o u y a yv az a z dz dw V a z a z z w ρρρρ壁壁壁）（时壁面所受的合力为下：据普拉休斯合力公式：[][][]πρπρπρπϕπρρεπρρρ-==-=-=⋅==-===+-⋅-==-=--==+∞→∞-==∑⎰∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→∞+∞∞+∞∞+∞P P P i i z z R s i dz a z z i P a a a z a z z a z z z R s z z z R s dx x R P dxx R dz a z z dz a z z dz az z i dz dz dw i P z x c dz dz dw i P k c a z a z k k k c c c c 则为实部，无虚部因则为奇），（复变函数的留级中无穷积分公式的积分，参考复变函数属于其中变化从的壁面，为22),(Re i 22)2(2144lim )()(4)(lim ),(Re ,),(Re i 2)(164)()2()2()2(2)(20,)(2222222222---22222222222（3）222222222222222222)()(2121)(44)(22)(,022)(112)()ln(2)()ln(2)()(y a y t m P V P P y a y t m V y a yt m v u y a iy t m a z a z t m dz dw V a z t m a z t m z w +-=-=+=+==+-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-==++-=∞∞πρρππππππ5-6已知复势为z i zz z w ln 382)(++=，求（1）流场的速度分布及绕圆周1022=+y x 的环量；（2）验证有一条流线与422=+y x 的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力(1)[]zi zz z w y x xy x xy v y x y y x y x u y x xiy x i xy y x y y x y x y x iy x i y x xyi y x y x iy x i y x y x xyi y x iy x i xyi y x z iy x i iy x z V iyx z z i z z dz z dw V zi zz z w ln 382)(3)(16,3)()(823)(163)()(82)(3)(16)(82)(34)(2)(823283)(838)(ln 382)(22222222222222222222222222222222222222222222++=+-+-=+⎩⎨⎧++--=+++⋅++++--=+-++---=+-++----=+++--=+++-=+=+-==++=则令为均匀流，偶极，点涡叠加后的复势πππππππ610632ln 3ln 2)(w 168282)(w /22)(2232001=Γ=+=Γ⇒=Γ⇒=Γ==⇒=⇒===⇒==的环量为则绕圆周点涡复势：偶极复势：均匀流复势：y x z i z i z M Mz z M z sm v z z v z w(2)422216,2,0)1(cos 02)(cos 2220220r 020=+⇒±=⇒±=⇒=⋅==⇒=-=∂∂=∂∂Γ-+==y x r a M a v M a r ra v r rr a r v a 的圆周物面为半径为又因为则将速度势代入物面条件ππθϕϕθπθϕ (3)πρπρπρπρπππρρ12,01212)24(2241222)4812329644()382()382(2)(21322422222==⇒+=⇒⋅=⋅-=-=-=⋅=⋅=-+--+=+-+-==-⎰⎰⎰⎰Y X iY X P i P ii P i i c i dz z iz i z z z dz z i z dz zi z i dz dz dw i P C C C 因：5-7如题5-3图所示，设直径为2m 的圆柱体在水下深度为H=10m 的水平面上以速度s m u /100=做匀速直线运动，（1）试写出流动的绝对速度势，牵连速度势，相对速度势及对立的单位速度势；（2）求出圆柱体表面上A 、B 、C 、D 及θ=45、135六点的绝对速度解：圆柱直航相当于均匀流与偶极叠加{2202202202202020020200200200sin )sin (1,cos cos cos )2(cos ,cos cos cos cos cos cos cos ,2cos 2cos r a v r a v r v r a v r a v r v r a v ra r ra r r a v r u ra v r u a v M r M r u r e e e θθθθϕθϕθϕθϕθθϕθϕϕϕθϕθθϕπθπθϕθ⋅-=⋅-=⋅-=-⋅=∂∂=⇒⋅=⋅=-=⋅+=⋅=+=-=⋅+==⋅+=****单位速度势：绝对速度势：牵连速度势：相对速度势： 0000000022,2213522,2245,01,23:0,1,0:,01,2:0,1,:v v v v v v v v v v v r D v v v r C v v v r B v v v r A r r r r r r -==⇒=-=-=⇒===⇒===-=⇒==-==⇒====⇒==θθθθθθθθπθθπθπθ5-8若一半径为0r 的圆球在静水中从速度为零加速到0u ，试求需对其做多少功B203020303030211030112)2(31)3234(2134)(2132,21u r u r r w r m u m w T T r mv T u πρρρπρπρπλρπλ球水水球球+=+==+==-==5-9无限深液体中有一长为L ，半径为R 的垂直圆柱体，设其轴心被长度为l 的绳子系住，它一方面以角速度Ω在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度w 绕自身轴线自转，已知圆柱体重量为G ，假定R l >>，试求绳子的拉力同向时为负，反向为正与）（流动此时圆柱相当于有环量自转圆柱可以认为均匀流作用于则公转切向加速度自转：由于方向相反与力绳子受到反向力，离心）（）（公转向心力：长圆柱体的附加质量：加质量：公转：单位圆柱体的附水水物环公总水环环水物水物w L l R w L l R F F F R w L l R w F L l L v F l v R l F F Ll R l L R L R l F LR R Ω⋅⋅⋅⋅Ω±⋅Ω⋅+=+=⋅=Γ⋅⋅⋅⋅Ω=⇒⋅Γ⋅Ω=⋅Γ⋅⋅=Ω=>>⋅Ω⋅+=Ω⋅+⋅=Ω+=⋅==222202000'22222211211211222)(m L πρπρρππρρρπρρπρπρλρπλρπλ5-10设有一半径为R 的二元圆柱体在液体中以水平分速度)/(0s m t U u =运动，设t=0时，它静止于坐标原点，液体密度为ρ，圆柱体密度为λ，试求出流体作用于圆柱体上的推力及t=2s 时圆柱体的位置w0200220002112022)2(2121212221)()()(U dl U dl U U dl v dl dt dv v T U U t v s t U a dtdv x dl x v T U R t i m F =⇒⋅=⋅=⇒⋅===⋅==⋅==⋅==⋅⋅+=+=λλρπλλπσρλ时，tU u ⋅=0。