初一数学讲义(简单的几何图形)(有详细答案)
七年级数学上册几何图形知识点梳理+例题详解
七年级数学上册几何图形知识点梳理+例题详解几何图形初步知识网络知识点梳理背诵1.我们把实物中的各种抽象图形称为几何图形。
2.一些几何图形(如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
)都不在一个平面上，都是立体图形。
3.一些几何图形(如线段、角、三角形、矩形、圆形等。
)都在同一个平面内，是平面图形。
4.将平面图形包围的立体图形的表面适当切割，即可展开成平面图形，称为相应立体图形的展开图。
5.几何体简称为体。
6.围绕身体的是一个曲面，有平面和曲面两种。
7.面相交形成线，线相交形成点。
8.点对面、面对线、线对体。
9.经过探索，可以得到一个基本事实:两点后有一条直线，且只有一条直线。
简单表述为:两点确定一条直线(公理)。
10.当两条不同的直线有一个公共点时，我们说这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
11.点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点。
12.经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实:线段是所有两点连线中最短的。
简单来说:两点之间，线段最短。
(公理)13.连接两点的线段的长度称为这两点之间的距离。
14.角∠也是一种基本的几何图形。
15.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
16.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
17.如果两个角的和等于90°（直角），就是说这两个叫互为余角，即其中的每一个角是另一个角的余角。
18.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
19.等角的余角相等，等角的余角相等。
例题精讲。
讲义-数学-七年级上册-第12讲-几何图形与线
讲义表示方法：（1）用一个小写字母表示直线，如直线l ．（2）用直线上的两点来表示直线，如直线AB ，如图1．点与直线的位置关系：（1）一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；（2）一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点．相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点． 7.射线、线段射线和线段是直线的一部分．表示方法：（1）线段AB 或线段a ,如图2． （2）射线OA 或射线l ，如图3．注意：1.把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线． 2.把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线． 3.把射段反向延长就得到了一条直线． 【例题精讲】例1. 正方体有 个面， 个顶点，经过每个顶点有 条棱.这些棱的长度 （填相同或不同）.棱长为a cm 的正方体的表面积为 cm 2 【考点】图形的点、线、面、体的计算.【解析】通过图形进行观察面、顶点、棱的个数，然后根据表面积公式进行计算. 【答案】6，8，3，相同， 26a【教学建议】根据所给条件，画出图形进行观察，然后将图形展开计算表面积. 例2. 下面图形中叫圆柱的是（ ）【考点】几何图形的分类判断.【解析】观察图形，通过圆柱性质来判断. 【答案】D【教学建议】熟悉掌握几何图形的分类和性质，然后根据题目要求进行判断.AB图1ABa图2 OA图3【巩固测试】1.观察下图，分别得它的主视图、左视图和俯视图，请写在对应图的下边.【考点】几何图形的三视图.【解析】对于一些立体图形的问题，常转化为平面图形来研究和处理，一般从立体图形的正面、左面、和上面看立体图形所得到的平面图形.【答案】俯视图左视图主视图【教学建议】根据已知几何体的形状，分别从它的正面、左面和上面看立体图形，从而观察出它的三视图. 2.下列图形中，是正方体表面展开图的是（）（A）（B）（C）（D）【考点】几何图形的展开图.【解析】将正方体的表面适当剪开，可以展开成平面图形，通过观察选项可以判断出来.【答案】C【教学建议】根据已知几何体的形状，将它的表面剪开，从而观察出它的展开图.二、尺规作图【知识梳理】8.用圆规作一条线段等于已知线段步骤：1、作一条射线AB；2、用圆规量出已知线段的长度（记作a）；3、以A为圆心，在射线AB上截取AC=a，则线段AC就是所求的线段．9.线段的概念及表示：如右图，表示的是一条线段．我们可以用两个大写的英文字母来表示一条线段的两个端点．线段可以用表示端点的两个字母A、B来表示，记作线段AB．我们也可以用一个小写的英文字母来表示，如a ，表示一条线段，记作线段a ． 10.线段大小的比较及其方法：通常，把两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．那么，线段大小的比较方法有：（1）叠合法：比较两条线段AB 、CD 的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点A 和C 重合，另一端点B 和D 落在直线上A 和C 的同侧，如果点B 和D 重合．则AB CD =；如果点D 在线段AB 上，则AB CD >；如果点D 在线段AB 外，则AB CD <（如下图所示）．（2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．【注意】线段是一个几何图形，而线段的长度是一个非负数，二者是有区别的，不能混为一谈. 11.线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短．【注意】(1)线段的这条性质是人们在日常生活中总结得出的，是一条基本事实，也称之为线段公理，所谓“公理”，简而言之就是“公认的真理”．(2)线段的性质在求最短路线问题时是一个重要的依据，在以后我们学习三角形时．还会用它来研究三角形三边关系，是一个很重要的性质． 12.两点之间的距离：两点之间的连线有无数条，它们的长度不一，两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.【注意】(1)距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身．(2)线段的长度可用刻度尺度量，如图所示，线段AB 的长度是2.2厘米；线段的长度也可以借助于圆规来度量，如图所示，线段AB 的长度也是2.2厘米.13.两条线段的和、差：两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）． 14.线段的倍分：（1）线段的倍：na （1n >为正整数，a 是一条线段）就是求n 条线段a 相加所得和的意义．na 也可以理1. 如图所示，比较线段AB 与AC ，AD 与AE ，AE 与AC 的大小. 【解析】解法一：用圆规截取可得：,,AB AC AD AE AE AC ><=解法二：用刻度尺测量长度，,,AB AC AD AE AE AC ><=【答案】,,AB AC AD AE AE AC ><=．【教学建议】根据线段的定义，只要两个线段的端点确定了，线段就可以确定. 在两条线段长度相差不大的情况下，目测法不一定可靠．比较线段的长短有两种方法：一是把它们放在同一条直线上比较，先把两条线段的一端重合，再看另一端的位置，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的角度来进行比较；二是用刻度尺分别测量每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的角度进行比较．2. 在线段AB 上有一点M ，若6AB =厘米，2AM =厘米，则点M 与点B 之间的距离是多少？【考点】线段长度的计算． 【解析】因为6AB =厘米,2AM =厘米，所以624MB AB AM =-=-=（厘米）．即点M 、B 之间的距离为4厘米． 【答案】4厘米．【教学建议】题中要求的是点M 与点B 之间距离，即线段BM 的距离，是指线段BM 的长度，它是一个数值． 3. 已知线段a 、b ，利用尺规比较a 、b 的大小．【考点】用尺规作图比较两条线段的大小． 【解析】如图所示，画图：(1)画射线AH .(2)以点A 为圆心，线段a 的长度为半径画弧，交AH 于B ． (3)以点A 为圆心，线段b 的长度为半径画弧，交AH 于C ．(4)在射线AH 上截取线段AB =a ，在射线AH 上截取线段AC =b ．线段AB 的端点B 落在线段AC外，∴线段a 大于线段b ，即a b >．【答案】a b >．【教学建议】本题是利用叠合法比较线段的大小，若端点B 与C 重合，则a b =；若端点B 落在C 内，则a b <；若端点B 落在C 外，则 a b >．4. 如图所示，已知线段a 、b ．(1)画出一条线段，使它的长度等于a b +． (2)画出一条线段，使它的长度等于a b -．【考点】画线段的和、差．【解析】解法一：(1)①画射线OP .①在射线OP 上顺次截取,OA a AB b ==．线段OB 就是所画的线段．(2) ①画射线OP ;①在射线OP 上截取OC a =，在射线CO 上截取CD b =．线段OD 就是所画的线段．解法二：(1)量得线段 2.6a =厘米, 1.5b =厘米, 4.1a b +=厘米． 画线段 4.1OA =厘米．(2)量得线段 2.6a =厘米， 1.5b =厘米． 1.1a b -=厘米．画线段 1.1OB =厘米．【答案】略．【教学建议】引导学生回顾线段和与差的基本画法，并通过本题让学生进一步熟悉用尺规画线段的和与差．课堂练习。
七年级(初一)数学-几何图形初步-线段、射线、直线讲义
内容基本要求略高要求较高要求线段、射线、直线会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系和区别；结合图形理解两点之间的距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算会用尺规作图：做一条线段等于已知线段，做已知线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点间的距离解决有关问题板块一 基本概念直线、射线、线段的概念：① 在直线的基础上定义射线、线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点． ② 在线段的基础上定义直线、射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线． 点与直线的关系：点在直线上；点在直线外． 两个重要公理：① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 两点之间的距离：两点确定的线段的长度．⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A ，B ，C ，D ，…… ⑵ 直线的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB ，如下图⑴也可以写作直线BA ．(1) (2)lA B② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如上图⑵．注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序． ⑶ 射线的表示方法：① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ．② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．(3) (4)lAO注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．例题精讲中考要求线段、射线、直线⑷ 线段的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．(5) (6)AB注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．中点：【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 直线上一点一旁的部分叫做射线B. 直线是射线的2倍C. 射线AB 与射线BA 是同一条射线D. 过两点P Q 、可画出两条射线【巩固】 下列说法中正确的是（ ）A. 直线的一半是射线B. 延长线段AB 至C ，使BC ABC. 从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离D. 三条直线两两相交，有三个交点【巩固】 下面说法中错误的是( )A. 直线AB 和直线BA 是同一条直线B.射线AB 和射线BA是同一条射线 C. 线段AB 和线段BA 是同一条线段D.把线段AB 向两端无限延伸便得到直线BA【巩固】 下列叙述正确的是（ ）A ．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线B ．笔直的公路是一条直线C ．点A 一定在直线A B 上D ．过点A 、B 可以画两条不同的直线，分别为直线A B 和直线B A【例2】 根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（ ）D.C.B.B AA.【巩固】下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（）C.B.A.【例3】下列叙述正确的是( )A．可以画一条长5cm的直线B．一根拉紧的线是一条直线C．直线AB经过C点D．直线AB与直线BA是不同的直线【例4】如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．ABC板块二点线问题公理：两点确定一条直线【例5】如图，图中共有条线段.ED FCA【巩固】平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【例6】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【巩固】已知平面上任意四点A、B、C、D过其中每两点画一条直线，最多可以画（）A．6条B．4条C．1条D．6条，4条或1条【例7】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？【例8】在一个圆上有6个点，它们之间可以连一些线段，那么至少连多少条线段，可以使得这6个点钟任意三点之间都至少有一条线段？请说明理由。
第一节 简单几何图形(含答案)...七年级数学 学而思
第一节简单几何图形1．基本概念(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何，图形；(2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形：(3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形；(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形：(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2．点、线、面、体(1)几何体也可简称为体，如：长方体、正方体等；(2)包围着体的是面，面有平面和曲面两种；(3)面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种：(4)线与线相交成点；(5)点动成线、线动成面、面动成体；(6)几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素3．基本图形4．欧拉公式简单多面体的顶点数V ，面数F 及棱数E 之间的关系为：.2=-+E F V”“141)1(--型（六种）”“132)2(--型（三种）；”“33)3(-型（一种）；”“222)4(--型（一种）；6．截一个几何体截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．1．当一个平面去截一个几何体时，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．2．牢记圆柱体的侧面展开图是矩形或者正方形；直棱柱的侧面展开图也是矩形或者正方形；圆锥的侧面展开图形扇形，不可能是圆3．正方形的十一种展开图中，3-3型2-2-2型”只有一种．（河北中考）图4-1-1和图4-1-2所示中所有的正方形都全等，将图4-1-1的正方形放在图4-1-2中的①②③④例1．某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )1-4--24-11.B C.③④.D①⋅.A②检测1．下面图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )例2．一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数为( ).C19.D.A2120.B22检测2．正十二面体的棱数与顶点数之差为( ).C9.D.B1012.A11例3．把如图4-1-3所示的纸片按虚线折叠成纸盒，可以得到( )314--检测3．（福建建阳市模拟）明明用纸（如图414--所示）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中( )414-- 514--例4．（江苏下城区校级模拟）用一个平面去截正方体，截得的平面图形是矩形，这时正方体被截成的两部分可以是6面体和6面体（如图4-1-5所示）．如果截法不同，那么被截成两部分的多面体还可以是（ ）检测4．用一个平面去截一个正方体，最多会有( )种不同边数的截面．4.A5.B6.C7.D例5．（山东聊城模拟）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图4-1-7所示的几何体，其展开图正确的为( )714--检测5．（江苏省竞赛题）图814--是图914--中立方体的平面展开图，两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图814--中的线段AB 与图914--中对应的线段是( )e A . h B . k C . d D .4---91814-第一节简单几何图形（建议用时：25分钟）实战演习1．以下图形中，不是平面图形的是( )A．圆 B.角 C.圆锥 D．线段2．下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是( )3．如图114--所示是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是( )A ．中 B.钓 C.鱼 D ．岛4．如图214--所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是( )5．如图4-1-3所示是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计） 704040.⨯⨯A 807070.⨯⨯B 808080.C ⨯⨯ 807040.D ⨯⨯6．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )7．（北京丰台一模）将一正方体纸盒沿如图414--所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )正方体纸盒 纸盒剪裁线 8．如图514--所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b c a -的值等于( ) 43.-A 6.-B 43.C 6.D 9．如图614--所示，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是( )10.（北京中考）如图714--所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )114--214--314--414--514--614--714--11．将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是( )1.A 23.B 21.C 32.D 12．如图814--所示，这个几何体的名称是 ，它是由 个面组成，它有 个顶点，经过每个顶点有 条边．814-- 914-- 1014--13．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图914--所示的零件，则这个零件的表面积为14．（江苏盐城校级一模）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图1014--所示的顺时针方向滚动，每滚动ο90算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是15．（湖北荆州中考）如图1114--所示，将一张边长为6cm 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 .2cm1114-- 1214--16．阅读下面的材料：1750年，欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用F E ,,V 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有.2=+-F E V 这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：据资料介绍：60C 是一种由60个碳原子构成的分子，这种分子的微观结构是个多面体，形似足球，故名足球烯，60C 具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀等，在光、电、磁等领域有潜在的应用前景如图1214--所示，已知足球烯的分子具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．那么，这种多面体的棱数是17．有一块长为,50cm 宽为cm 10的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为cm 10的无盖正方体铁盒，怎样下料，才能使得加工的盒子数最多；最多有几个．18.指出下列平面图形各是什么几何体的展开图．拓展创新19.（江苏句容市期末）一个正方体的表面涂满了同种颜色，按如图1314--所示将它切成27个大小相等的小立方块．设其中仅有i 个面涂有颜色的小立方块的个数为,2,1(=i x i ),3则321,,x x x 之间的数量关系为1314-- 1414--拓展1．如图1414--所示，一个333⨯⨯的魔方，每个小正方体的边长为1，从上层拿掉最中间的一个小正方体，则剩下的几何体的表面积为拓展2．在拓展1的条件下，从上层拿掉一个小正方体，则剩下的几何体的表面积为极限挑战20.将一个正方体的表面全涂上颜色．(1)如图1514--所示，如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a 个，则=a(2)如图1614--所示，如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a 个，各个面都没有涂色的有b 个，则=+b a(3)如图1714--所示，如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c 个，各个面都没有涂色的有b 个，则=+b c(4)如果把正方体的棱n 等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c 个，各个面都没有涂色的有b 个，则c =+b1514-- 1614-- 1714--课堂答案培优答案。
七年级数学几何图形初步讲义
几何图形初步【知识梳理】一、几何图形1、立体图形：各部分（顶点，棱边）不都在同一个平面内。
2、平面图形：各部分（顶点，边长）都在同一个平面内。
3、展开图：立体图形表面剪开之后展开的平面图形。
4、不同方向观察立体图形：正面、左面、上面。
5、点、线、面、体的认识。
二、直线、射线、线段1、直线、射线、线段的区别和表示名称 端点个数 延伸情况 长度 表示方法 直线 0 向两方无限延伸 不确定，不可度量 直线l 或直线AB 射线 1 一端固定，一端无限延伸不确定，不可度量 射线l 或射线OA 线段2两段固定，不延伸确定，可以度量线段a 或线段AB方位角点、线、面、体立体图形从不同的方向看物体---三视图展开立体图形平面图形直线、射线、线段直线的性质线段的有关性质几何图形比较大小两点之间线段最短 线段的中点 角角的度量及分类角的比较与运算，角平分线余角和补角余角和补角的性质作图: (尺规)画一条线段等于已知线段 画一个角等于已知角2、基本定理（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
（两点确定一条直线）（2）两点的所有线段中，线段最短，（两点之间线段最短）。
又称为两点之间的距离。
3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法5、中点、三等分点、四等分点：将线段分别分成相等的2、3、4段。
三、角1、角：由有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（3种）：.1∠∠∠、、αAOB3、角的度量单位及换算：度（°）、分（′）、秒（″） 1°=60′；1′=60″。
1周角=360°；1平角=180°；4、角的分类∠β 锐角（小于90°）、 直角（等于90°）、 钝角（大于90°）、 平角（等于180） 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° 5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法6、角的和、差、倍、分7、画一个角等于已知角 （1）确定公共顶点和一条边（2）借助量角器能画出给定度数的角. 8、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.9、余角和补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.【例题精讲】1. 常见几何体例1：将下列图形绕其一边所在的直线旋转一周能得到圆柱的几何体是（）。
17几何图形(解析版)-2021-2022学年七年级数学上册课堂讲义(人教版)
学科教师辅导教案几何图形知识讲解【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．要点诠释：(1)常见的立体图形有两种分类方法：(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.【典型例题】类型一、几何图形1．如图所示，请写出下列立体图形的名称．【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称．【答案与解析】解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．举一反三：【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）．1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．【答案与解析】解：若按构成划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有若按形状划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、从不同方向看2．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．【思路点拨】注意观察的角度和方向.【答案与解析】解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．举一反三：【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.【答案】主视图左视图俯视图【变式2】如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．3. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球【答案】B【解析】此题可采用排除法．棱柱的三视图中不存在圆，故A不对；圆锥的主视图、左视图是三角形，故C 不对；球的三视图都是圆，故D不对，因此应选B．【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有扇形和圆，一般考虑圆锥．举一反三：【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱【答案】D5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．举一反三：【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数： 3222110++++=， 最多需要小方块的个数： 3323116⨯+⨯+=．类型三、展开图4．如图四个图形中，每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是( )【答案】C【解析】可动手折叠发现答案．【总结升华】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：举一反三：【变式】下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．主视图俯视图【答案】A．4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )【答案】D【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影，这就可排除B 、C，所以选D．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．举一反三：【变式】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A B C D【答案】 B类型四、点、线、面、体5．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．6．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案与解析】连线如下：【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体从正面看到的图形是( )．【答案】A2. 如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．（1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；（2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．【思路点拨】（1）根据图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可；（2）顶点共有10个，棱有5×3条；（3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可．【答案与解析】解：（1）侧面有5个，底面有2个，共有5+2=7个面；侧面积：2×5×4=40（cm2）．（2）顶点共10个，棱共有15条；（3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n．【总结升华】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形的形状．3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（）A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同 D．三个方向都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C=90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（）A．B．C．D．【答案】C【巩固练习】一、选择题1．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是()．2．如图所示的四种物体中，哪种物体最接近于圆柱()．3．如图是一正方体纸盒的展开图，每个面上都标注了字母或数字，则面a在展开前所对的面上的数字是()．A．2 B．3 C．4 D．54．按如图所示的图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是()．5．如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是()6.下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．二、填空题7．四棱锥，五棱锥，四棱柱，五棱柱中，有五个面的是_____.8．柱体包括________和________，锥体包括________和________．9．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是________．10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体是________．11．圆锥的底面是__________形，侧面是__________的面，侧面展开图是__________形.12．当笔尖在纸上移动时，形成_______，这说明：_____；表针旋转时，形成了一个，这说明：；长方形纸片绕它的一边旋转，形成的几何图形就是，这说明：.三、解答题13.将图中的几何体进行分类，并说明理由．14．如图所示是一个机器零件从正面看和从上面看所得到的图形，求该零件的体积(π取3.14，单位：mm)(提底面积×高)．示：V=圆柱15. 如图所示的一张硬纸片，它能否折成一个长方体盒子？若能，说明理由，并画出它的立体图形，计算它的体积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B【解析】要求面a在展开前所对的面上的数字，我们可以把正方体的展开图折叠起来，则面a、2、3、4按照第一、三个对应，第二、四个对应，于是面a在展开前所对的面上的数字为3．4. 【答案】C【解析】A、D中两个底面不能放在同一侧，B中侧面个数与底面边数不等，故选C．5. 【答案】D【解析】选项A、B、C、D中的图形旋转一周分别形成圆台、球、圆柱和圆锥，故选D．6.【答案】B.二、填空题7.【答案】四棱锥.【解析】四棱锥有一个底面，四个侧面组成，共5个面．8. 【答案】圆柱，棱柱；圆锥，棱锥9. 【答案】自【解析】要弄清立体图形与其平面展开图各部分间的关系，需要较强的空间想象能力，这种能力是建立在动手操作、认真观察与善于思考的基础上．10.【答案】三棱柱(或填正三棱柱)【解析】考查空间想象能力．11.【答案】圆，曲，扇【解析】动手操作或空间想象，便得答案．12.【答案】一条线，点动成线；圆面，线动成面；圆柱体，面动成体三、解答题13.【解析】解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．（1）长方体是由平面组成的，属于柱体．（2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体．（3）球体是由曲面组成的，属于球体．（4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体．（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体．（6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体．（7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体．若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面，若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．14．【解析】解：22032302540400482π⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭(mm3)，即该零件的体积为40048 mm3．提示：由该零件从正面看和从上面看所得到的图形可以确定该零件是由上、下两部分组成的，上面是一个高为32 mm，底面直径为20 mm的圆柱；下面是一个长为30 mm，宽为25 mm，高为40 mm的长方体，零件的体积是圆柱与长方体体积之和．15. 【解析】解：能折成一个长方体盒子，因为符合长方体的平面展开图的所有条件，该几何体的立体图形如图所示．此长方体的长为5m，宽为2m，高为3m，所以它的体积为：5×2×3＝30(m3)．【巩固练习】一、选择题1．小亮在观察如图所示的热水瓶时，从左面看得到的图形是( )．2．如图所示：桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，从左面看到的图是图中的( )．3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )．4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）．A．5 B．6 C．7 D．85.如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）．A． B． C． D．二、填空题7．在圆、正方形、圆锥、长方体、线段、球、三棱柱、直角三角形中，是立体图形的有个．8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A，B，C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．9．如图是由小正方体堆积组成，图形看不见的地方也同样有小正方体，每个小正方体的体积为1个立方单位，则这堆正方体的体积是________个立方单位．10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．11．给出下列各结论：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中：1个是平的，1个是不平的；③球仅由1个面围成，这1个面是平的；④正方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的为________(写出序号即可)．12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)．三、解答题13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是10 cm、8 cm、6 cm，有一只蚂蚁从A点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．14． (1)一个梯形ABCD，如图所示，画出绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．(2)梯形绕BC所在直线旋转一周形成什么图形?(3)梯形绕DC所在直线旋转一周形成什么图形?15．如图，是一个正六棱柱，它的底面边长是3cm，高是6cm．（1）这个棱柱的侧面积是多少？（2）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？（3）这个棱柱共有多少个顶点？（4）通过观察，试用含n的式子表示n棱柱的面数与棱的条数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】从左面看到的平面图形，仍是热水瓶的轮廓，可排除C、D．而从左面看时热水瓶的柄恰在正中，所以排除A，故选B．2．【答案】C3．【答案】D【解析】选项A中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D．4．【答案】B【解析】如右图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数．5.【答案】B.6．【答案】C【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．二、填空题7.【答案】4．8．【答案】6【解析】与l相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B可知3的对面为4，由A可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．9．【答案】33【解析】由下向上各层的立方单位为：9、8、6、5、3、1、1，则总共正方体的个数为33个．所以这一堆正方体的体积为33个立方单位．10．【答案】4【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个数．11．【答案】②④【解析】认识立体图形，观察是重要的环节，解题时如果凭想象得出答案较困难，那么可以动手制作图形，进行观察．12．【答案】 (1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．三、解答题13．【解析】解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．14．【解析】解：(1)如图所示．(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．15.【解析】解：（1）正六棱柱的侧面积3×6×6=108（cm2）；（2）这个棱柱共有6+6+6=18条棱；所有的棱长的和是12×3+6×6=36+36=72（cm）；（3）这个棱柱共有12个顶点；（4）n棱柱的面数是（n+2）面，n棱柱棱的条数是3n条．。
七年级数学第一章讲义
七年级上册第一章：立体图形知识点1：几何图形1、几何图形长方体、圆锥、球、圆、线段、直线、点、三角形、四边形等都是几何图形。
几何图形分为立体图形和平面图形。
2、常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；3、常见的平面图形：图形各个部分在同一平面内，他们是平面图形。
例：如图所示是一个正方体．（1）写出三对互相垂直的棱，并用符号表示．（2）写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离．（3）观察棱AB 和B 1C 1，它们所在的直线相交吗？它们所在的直线平行吗？请你说明理由．知识点2：从不同的方向观察立体图形观察一个物体，从不同的方向和角度看，可能看到不同的图形，因此，从正面、左面、和上面3个不同方向看一个物体，然后描绘出3次观察后看到的图，这样就可以把一个立体图形转化为平面图形。
平面图形与原图分别相等长和宽上面看到与原图分别相等高和宽左面看到与原图分别相等长和高正面看到立体图形⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧------------------------------例：如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．知识点3：立体图形的展开图1、定义：有些立体图形是由平面图形围成的，将他们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
2、正方体的展开图正方体的表面展开图有11种不同的形式，可以概括为4种基本类型：（1）一四一型（2）二三一型（3）三三型（4）二二二型例1如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“最”字一面的相对面上的字是（）A．能B．我C．行D．棒例2．下列平面图形不能够围成正方体的是（）A．B．C．D．知识点4：点、线、面、体1、从运动的观点看，点动成线，线动成面，面动成体（1）点动成线：线是由无数个点组成的（2）线动成面：一条线段平移，扫过形成一个平面（3）面动成体：直角三角形绕着直角边旋转，形成一个圆锥体2、旋转成的立体图形一般地，某些含有曲面的几何体可以由某一个平面旋转得到例：如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（）A．绕着AC旋转B．绕着AB旋转C．绕着CD旋转D．绕着BC旋转。
人教版七年级数学上册 几何图形初步(基础篇)(Word版 含解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.2．已知，AB//CD,（1）如图，若E 为DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.（1）求证：AF//CG.（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵AB//CD∴∠BAC=∠ACE，∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,∴∠CAF=∠ACG∴AF//CG.（2）解：AF⊥CG，理由如下：如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,∵AB//CD,∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，∴AF⊥CG.【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.3．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.（1）求的度数.（2）若，求的度数(用含的代数式表示).（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.【答案】（1）解：∵平分，，.（2）解：如图，过点作∵，，， .∵平分，平分，，，，，..（3）解：如图2为平移后的图形.的度数发生了改变.过点作，平分，平分，，，， .∵，，，，.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：，进而可由求得答案.4．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度数；（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α，β的式子表示)；（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=64°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB ∠ACB=32°.∵CD是AB边上的高，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；（2）解：∵∠A=α，∠B=β，∴∠ACB=180°﹣α﹣β.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).∵CD是AB边上的高，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α；（3）解：如图所示.∵∠A=α，∠B=β，∴∠ACB=180°﹣α﹣β.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).∵CD是AB边上的高，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α，由平移可得：GH∥CD，∴∠HGE=∠DCE β α.【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据角平分线的定义得到∠ECB的度数，根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B，于是得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB= ∠ACB= （180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）运用（2）中的方法，得到∠DCE=∠ECB-∠BCD= β- α，再根据平行线的性质，即可得出结论.5．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.（1）如果∠A=80∘，求∠BPC=.（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示).（3）将直线MN绕点P旋转。
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初一数学讲义（几何图形认识初步） 知识梳理 1、【立体图形与平面图形】(1)几何图形包括立体图形和平面图形。
各部分不都在同一平面内的图形是 图形；如 各部分都在同一平面内的图形是 图形。
如 ▲会画出同一个立体图形从不同方向（正面、上面、侧面）看得的平面图形（主（正）视图，侧（左）视图，俯视图）▲知道并会画出常见几何体的表面展开图.(2)、点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的 基本元素。
点、线、面、体之间有如图所示的联系：▲ 知道由常见平面图形经过旋转所得的几何体的形状。
2、【直线、射线、线段】、(1)直线公理：经过两点有一条直线， 一条直线。
简述)为： .·两条不同的直线有一个 时，就称两条直线相交， 这个公共点叫它们的 。
·射线和线段都是直线的一部分。
(2)、直线、射线、线段的记法【如下表示】类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。
把线段分成相等的n 条线段的点，叫线段的n 等分点。
(4)、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。
简述为： 之间， 最短。
·两点之间的距离的定义：连接两点之间的 ，叫做这两点的距离。
▲会结合图形比较线段的大小；会画线段的“和”“差”图。
▲会根据几何作图语句画出符合条件的图形，会用几何语句描述一个图形。
3、【角】的定义点 线 面点 体点 动 交 交 交 动 动(从构成上看)Ⅰ: 有的两条组成的图形叫做角。
(从形成上看)Ⅱ: 由一条射线而形成的图形叫做角。
(1)、角的表示方法（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；(2)、角的度量●1个周角=2个平角=4个直角=360°●1°=60′=3600″●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍。
(3)、角的平分线——从一个角的出发，把这个角分成的两个角的，叫做这个图形语言的n条线段的点，叫线段的n等分点。
(4)、角的比较与运算●会结合图形比较角的大小。
●进行角度的四则运算。
(5)、互余、互补（1）如果两个角的和为90º，那么这两个角互为余角。
·锐角α的余角是（2）如果两个角的和为180º，那么这两个角互为补角。
·角α的补角是。
（3）互余、互补的性质同角（或等角）的余角（或补角）相等。
(6)、用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA方向可表示为北偏西60º。
60º基本问题：1. 长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（）立方厘米.(A)36（B）72（C）96（D）1442.伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V）、棱数（E）、面数（F）之间关系的公式为_______________。
3.已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条侧棱。
4.将长方形截去一个角，剩余几个角（）.（A）三个角（B）四个角（C）五个角（D）不能确定5.下面的四个图形,能折叠成三棱柱的有( )个.(A)1(B)2(C)3(D)46.下图是()的平面展开图.(A)六棱柱(B)五棱柱(C)四棱柱(D)五棱锥7.从上面看下图，能看到的结果是图形（）.8.一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是（）A 长方形、圆、长方形B 长方形、长方形、圆C 圆、长方形、长方形 D长方形、长放形、圆ππππ（C）（A）（B）（D）9. 如图所示的圆锥，从它的前面、上面、左面三个方向看到的图形分别是 、 、 .10. 判断下列说法是否正确（1）直线AB 与直线BA 不是同一条直线（ ） （２）用刻度尺量出直线AB 的长度 （ ）（3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（ ）（4）线段AB 中间的点叫做线段AB 的中点 （ ）（5）取线段AB 的中点M ，则AB-AM=BM （ ）（6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离 （ ）11．C 为线段AB 上的一点，点D 为CB 的中点，若AD=4，求AC+AB 的长。
12．把一条长24cm 的线段分成三段，使中间一段的长为6cm ，求第一段与第三段中点的距离。
13. 如图：已知∠AOB=2∠BOC ，且OA ⊥OC ，则∠AOB=_________014.已知有共公顶点的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。
15.如图所示：已知OE ⊥OF 直线AB 经过点O ，则∠BOF —∠AOE=__________若∠AOF=2∠AOE ，则∠BOF=___________16.2点30分时，时钟与分钟所成的角为 度．17. 如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，最近的路线为 （填序号），理由是 ；18.42.79= 度 分 秒；19.如果∠α=29°35′，那么∠α的余角的度数为 ；A B FE O AOBC B20. 如图，把书的一角斜折过去，使点A 落在E 点处，BC 为折痕，BD 是∠EBM 的平分线，则∠CBD ＝综合问题：21. 下列图形中是正方体的展开图的是（ ）(A) （B ）（C ） （D）22. 下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是 （ ）（A ）（B （C ） （D ）23.（1） 经过平面内四点中的任意两点画直线，总共可以画 条直线；（2）经过平面内n 个点（任意三点不共线）中的任意两点画直线，总共可以画 条直线；24. 如图，将两块三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC=24题 25题25. 用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块。
26. 已知下图为一几何体的三视图：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出它的一种表面展开图；（3）若主视图的长为10，俯视图中三角形的边长为4，求这个几何体的侧面积。
27. 探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形①按图示规律填写下表：②按照这种方式摆下去，摆第个正方形需要多少个棋子？③按照这种方式摆下去，第第个正方形需要多少个棋子？28. 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
29.已知线段AB 的长度为4cm ，延长线段AB 到C ，使得BC ＝2AB ，取AC 的中点D ，画出草图，并求出BD 的长．cm cm n 20俯视图：等边三角形左视图：长方形主视图：长方形第18题D CB A O30.直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数。
31.已知:A 、B 、C 、D 、E 在一条直线上，线段AB=15cm ，点C 为线段AB 的中点，点D 为线段AE 的中点,DE=6cm ，求:线段CE 的长.课后作业1.下列各图形中，不是正方体的展开图（填序号）.①② ③ ④2.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm.3.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm.4.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度.5.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 .6.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为.7.如图，是由7块正方体木块堆成的物体，请说出图⑴、图⑵、图⑶分别是从哪一个方向看得到的？EFDB C AO132第24题图3x －2A 1－2x 3第25题图E A /DC B A(1)⑵⑶8. 如图是一个正方体的平面展开图，标注了A 字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等. ⑴ 求x 的值.⑵ 求正方体的上面和底面的数字和.9.如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A 落在A /处，BC 为折痕，BD 平分∠A /BE ，求∠CBD 的度数.作业答案：1.（3）；2.12；3.18；4.12.5 ；5.60 ；6.356085 ，，；7.（1）上面；（2）前面；（3）左面；8.（1）1；（2）4；9.90答案：1.D ；2.2V F E +-= ；3. ，，;4.D;5.C;6.B;7.D;8.A ；9. 等腰三角形，圆，等腰三角形；10.略；11.略；12.略；17. 两点之间，线段最短18. 79 25 12 ； 19. 60°25′ ；20. 90°；21.D ；22.D ；23. 一或四或六；24.52度；25.9,13；26.略；27. 二、（2）需要个棋子；（3）第20个正方形需要80个棋子；28. 设这个角的度数为x °则180-x=4（90-x ） ∴x=60答：这个角的度数为60°29.∵AB=4cm ，BC ＝2AB ，∴BC ＝8cm ∴AC=AB+BC=12cm ∵D 为AC 的中点∴AD=0.5AC=6 cm ∴BD=AD-AB=2 cm30 ∵∠FOC=90°，∠1=40°且AB 为直线∴∠3=180° -∠FOC-∠1=50° ∵CD 为直线∴∠AOD=180°-∠3=130°∵OE 平分∠AOD ∴∠2=0.5∠AOD=65° 31.∵D 为线段AE 的中点,且DE=6cm ，∴AE=2DE=12 cm 又AB=15cm ∴E 在线段AB 上或在BA 延长线上⑴当E 在线段AB 上，…CE=CE-EB=0.5AB-（AB-AE ）=4.5 ⑵当E 在BA 延长线上，…CE=AE+AC=12+0.5AB=19.52+n n 2n n 4。