从正则表达式到有限自动机
形式语言与自动机课件-第04章 正则表达式
正则表达式和有穷自动机的关系
（2）r=ε, 对应的 NFA M是：
因为q0既是初始状态，又是终结状态，同时M也没有其他转移 动作，所以这个NFA 只能接受{ε}。 （3）r=a (a∈∑), 对应的 NFA M是：
因为这个NFA只有一个转移r函数δ(q0 ,a)={qf},而qf又是终 结状态，所以这个NFA 只接受{a}。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从q0出发有两个ε转移，一个是进入M1的初始状态 q1 ，开始模拟M1的动作；另一个是直接到M的终结状态f0，使M 能接受空串ε。当M1到达它的终结状态f1后，又有两个ε转移，一 个是返回到M1的初始状态q1，继续模拟M1的动作，以保证M能重 复接受M1所能接受的一切字符串；另一个是到M的终结状态f0，结 束M的动作。因此，M所接受的集合恰好是 M1所接受集合的闭包， 即L(M)=L(M1)*。定理证完。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从它的初始状态q1（也是M1的初始状态）出发，开 始模拟M1的动作，到达M1的终结状态f1以后，不用读任何符号马 上转移到M2的初始状态q2 ，然后继续模拟M2的动作，到达M2的 终结状态f2，也就是到达了M的终结状态。显然，M接受的集合恰 好是M1接受的集合和M2接受的集合的连接，也就是L(M)= L(M1)L(M2)。
正则表达式和有穷自动机的关系
定理4.1 设r是一个正则表达式，则存在一个具有ε-转移的有穷自 动机接受L（r）。
证明 我们对构成r的构造数目作归纳法证明一个比定理更强的命 题：存在一个具有ε-转移的有穷自动机 M，M只有一个终结状态 且没有从该状态出发的任何转移动作，使得 L(M)=L(r)。 归纳基础 设构成r的构造数目为0，即r是没有经过任何“+”、 “连接”和“*”构造的正则表达式，因此它只能是 φ，ε 或 ∑中 的某个符号a，下面针对这三种情况分别讨论。 （1）r=φ, 对应的 NFA M是：
【编译原理】词法分析：正则表达式与有限自动机基础
【编译原理】词法分析：正则表达式与有限⾃动机基础引⾔： 编译语⾔设计的精髓在于⾃动化过程，即如果要设计⼀门编程语⾔，那么⼀定要设计⼀个⾃动化系统，能够⾃⾏读⼊分析程序员写⼊的程序，将其翻译为机器能够识别的指令等信息。
当然⾼级语⾔的编译不是⼀蹴⽽就的，⽽是通过若⼲步的分解、规约、转换、优化，最后得到⽬标程序。
具体的编译步骤如下： 源程序就是我们写⼊的⾼级语⾔，编译的第⼀步叫做“词法分析”。
词法分析的本质，就是要拆解出语句的每⼀个单词，然后对这个单词的类型进⾏辨识。
⾸先拿中⽂来举例。
⽐如有⼀句话是“我喜欢你”，那么⾸先我们要把这句话拆成“我”、“喜欢”、“你”，然后再逐个分析他们的类型，得到“我”->主语；“喜欢”->谓语；“你”->宾语。
这样我们就把这句话每个单词都分析出来了，也就完成了中⽂的“词法分析”。
那么回到编程语⾔，它的词法分析就是将字符序列转换为单词（Token）序列的过程。
翻译成俗话，就是把我们写的⼤⽚语⾔⽂本分解为⼀个⼀个单词，再输出每个单词的类型。
举⼀个例⼦：int p = 3 + a; 这个语句⾮常简单，即定义⼀个变量p，它的初值为变量a与3的加和。
那么接下来我们要对这个语句进⾏词法分析，⾸先我们要把这段⽂本拆解成单词，拆出来就是'int'、'p'、'='、'3'、'+'、'a'、';'。
对这些单词再进⾏类型的辨识，那么就得到以下结果：语素语⾔类型int关键字p标识符=运算符3数字+运算符a标识符 这样我们就把这段⽂本中的每个单词的类型都分析出来了。
乍⼀看⾮常简单对不对，对于⼈类⽽⾔你只需要⽤⾁眼就可以轻松观察出来每个单词的类型，但对于计算机⽽⾔，它可没有⼈类那样的智能。
如果想要计算机能够识别并分析语素的类型，那就需要我们⼈类来为它构造⼀个⾃动化输⼊和分析的系统。
乔姆斯基和句法分析
乔姆斯基和句法分析乔姆斯基之于语言学和认知科学，就像图灵之于计算机科学。
没有这些“先知”，我们不知还要在黑暗中摸索多久。
这个说法不只是比喻性的：乔姆斯基的句法频谱后来被证明和几种自动机有着深刻的关联：乔姆斯基3型文法（正则表达式）等价于有限自动机，2型文法（上下文无关文法）等价于下压自动机，1型文法（上下文相关文法）等价于线性有界非确定图灵机，0型文法等价于图灵机。
乔姆斯基的句法研究导致了乔姆斯基在哲学上的理性主义立场，这与英美的经验主义主流不合拍。
其实乔姆斯基的理性主义与欧陆传统的理性主义并不完全一致，倒是和丘奇-图灵论题可互为佐证。
这话展开了讲太长，语言学和哲学系找不到课题的博士生可以试试这个。
乔姆斯基决定干语言学其实缘于他的政治兴趣。
他是结构主义语言学开山哈里斯（Zellig Harris）的学生，他们都是犹太人，有同样的政治主张。
大二时，乔姆斯基对学业困惑，准备退学，哈里斯劝他说：你干嘛不试试语言学呢，可先从数学和哲学入手。
哈里斯给了他一本自己尚未出版的《结构语言学方法》一书的草稿，乔姆斯基从此开了窍，走上了语言学之路。
传统的人文范儿的语言学家必是那些懂多种语言的人才。
但哈里斯把语言学从人文转变成科学，他在宾夕法尼亚大学（UPenn）建立了美国第一个语言学系。
乔姆斯基在宾大得了本科和硕士学位后，在那时还在宾大哲学系教书的古德曼（Nelson Goodman）的影响下，前往哈佛投奔当时美国哲学界的领袖蒯因（Quine），他在哈佛还被选为初级研究员（Fellow）。
哈佛的这个Fellow是给那些明日学术之星准备的，在乔姆斯基之前，王浩、库恩等都得过。
在哈佛期间，乔姆斯基发表了他的第一篇学术论文“句法分析系统”（Systems of Syntactic Analysis）。
值得一提的是，这篇文章并未发表在语言学杂志上，而是在数理逻辑最权威的《符号逻辑杂志》（JSL ）上。
这本杂志由丘奇创办，从杂志创刊开始，丘奇就为JSL 写评论，一直写到他80岁高龄。
第二章 正则表达式 (2)
另外一种定义 式的集合：
设∑为有限字母表， R表示∑上的所有正则表达
✓是正则表达式，即 R，则有： L( )={ };
✓是正则表达式，即
R ，则有：
L(
)={};
✓a 是正则表达式，即a R，则有： L(a )={a};
（一）正则表达式和正则集的定义
定义1：设∑为有限字母表，∑上的正则表达式和 正则集可递归定义如下：
(1) 和是∑上的正则表达式，它们表示的正 则集分别为{ε}和；
(2) 对任何a∈∑,a 是∑上的正则表达式，它所 表示的正则集为{a};
(3) 若r,s都是正则表达式，它们表示的正则集 分别为R和S, 则(r)、r|s、r•s、(r)*也是正 则表达式，它们分别表示的正则集是：R， R∪S , RS和R*.
Sε
a
ab|ba
12
a
5 b 6ε Z
Sε
a 1
2
(ab|ba )a*b
6ε Z
a(ab|ba )a*b
S
Z
单元总结
两个工具：
有限自动机、正则表达式
四个算法：
NFA到DFA的转换 DFA的化简 正则表达式与FA的相互转换
一个实现：
DFA的实现
练习题：将下述自动机最小化.
a
1
a
0
ba
3
a,b
| 的可结合性
A•B•C =A•(B•C)=(A•B)•C
合性
连接的可结
A•(B|C) =A•B|A•C
连接的可分配性
(A|B)•C =A•C|B•C
正则表达式转换成nfa
正则表达式（Regular Expression）是一种用于匹配字符串的强大工具，而NFA（Non-deterministic Finite Automaton，非确定性有限自动机）是一种可以用于匹配正则表达式的模型。
下面是将正则表达式转换为NFA的一般步骤：1. 将正则表达式转换为Brzozowski标准形式。
Brzozowski标准形式是一种将正则表达式转换为后缀形式的方法。
在Brzozowski标准形式中，每个操作符都被放在括号中，例如(ab)*c表示匹配零个或多个ab，后面跟着一个c。
2. 将Brzozowski标准形式转换为Thompson构造法。
Thompson构造法是一种通过构建一组字符串来模拟正则表达式的匹配过程的方法。
在Thompson构造法中，每个操作符都被表示为一个特定的字符串，例如星号(*)表示重复零个或多个次数的字符串，括号()表示匹配括号内字符串的重复次数。
3. 将Thompson构造法转换为NFA。
在Thompson构造法中，每个字符串都表示一个状态转换。
因此，可以将每个字符串转换为一个状态，并根据字符串之间的顺序将这些状态连接起来。
在NFA中，每个状态都表示一个可能的输入序列，而状态之间的转换则表示输入序列的下一个可能的输入。
4. 确定NFA的起始状态和终止状态。
在NFA中，起始状态是开始匹配正则表达式的状态，而终止状态是匹配结束的状态。
可以根据Thompson构造法中每个字符串的顺序来确定起始状态和终止状态。
例如，如果最后一个字符串是正则表达式的结尾，那么它对应的状态就是终止状态。
5. 确定NFA的转换函数和接受集。
转换函数是将一个状态和一个输入字符映射到下一个状态的函数。
接受集是一个状态集合，当自动机达到这个状态集合时，它就匹配成功。
可以根据NFA中的状态转换来确定转换函数和接受集。
通过以上步骤，可以将正则表达式转换为NFA，以便进行字符串匹配。
有限自动机的应用
有限自动机的概念起源于20世纪30年代，由数学家和计算机 科学家提出。随着计算机科学的发展，有限自动机在理论计 算机科学、编译器设计、自然语言处理等领域得到了广泛应 用。
工作原理与结构组成
工作原理
有限自动机根据当前状态和输入信号，通过状态转移函数 确定下一个状态，并根据输出函数产生相应的输出。它能 够在接收输入序列的过程中，根据预先设定的规则进行状 态转移和输出。
像素状态
将图像中的每个像素视 为一个状态，通过定义 状态之间的转换条件， 实现边缘的检测和识别 。
阈值设定
根据图像特点和需求， 设定合适的阈值，用于 判断像素状态是否发生 转换，从而确定边缘的 位置和形状。
THANKS
分词算法
有限自动机可用于自然语言处理中的分词技术，将连续的文本切 分为具有语义的单词或词组。
状态转移
通过定义不同的状态和状态之间的转移条件，实现文本中单词或词 组的正确切分。
词典匹配
结合词典信息，利用有限自动机实现高效、准确的分词匹配。
图像处理中的边缘检测算法
边缘检测
有限自动机可用于图像 处理中的边缘检测算法 ，识别图像中的边缘和 轮廓信息。
网络流量控制策略探讨
网络流量控制是确保网络性能和数据传 输质量的关键方面之一。有限自动机可 以用于设计和实现网络流量控制策略。
通过使用有限自动机，可以描述网络节 点的不同状态和它们之间的转移条件。 例如，在拥塞控制中，有限自动机可以 表示节点的拥塞状态和相应的拥塞避免
、拥塞恢复等操作。
有限自动机还可以用于实现速率限制和 优先级调度等流量控制策略。根据网络 的状态和流量需求，有限自动机可以动 态地调整发送速率或优先处理特定的数
02
有限状态自动机
有限状态自动机是正则表达式处理的基础，用于匹配字符串中的特 定模式。
05
有限状态自动机的优缺点
优点
简单易理解
有限状态自动机是一种简单直观的模型，其结构和行为都 可以很容易地理解和描述。
01
高效处理
由于其有限的状态集合，有限状态自动 机在处理某些类型的问题时非常高效。
02
03
可预测性
有限状态自动机的行为是确定性的， 也就是说，给定相同的输入，有限状 态自动机将始终产生相同的结果。
研究方向
并发有限状态自动机
研究并发有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在并发系统中的
应用。
模糊有限状态自动机
研究模糊有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在模糊系统和模
糊控制中的应用。
概率有限状态自动机
研究概率有限状态自动机的理论、性 质和算法，以及它们在随机系统和不 确定性处理中的应用。
03 FPGA实现
使用现场可编程门阵列（FPGA）实现有限状态自 动机，通过配置逻辑门实现状态转移。
软件实现
01 编程语言实现
使用高级编程语言（如Python、Java、C）编写 有限状态自动机的程序，通过编程语言语法实现 状态转移。
02 脚本语言实现
使用脚本语言（如Shell脚本、Python脚本）编写 有限状态自动机的程序，通过脚本语言执行状态 转移。
缺点
适用范围有限
01
有限状态自动机在处理复杂问题时可能会遇到困难，因为这些
问题可能需要无限的或连续的状态。
缺乏灵活性
02
由于其有限的状态集合，有限状态自动机在处理某些问题时可
能不够灵活。
无法处理非确定性问题
编译原理2.2自动机理论
contents
目录
• 自动机概述 • 有限自动机 • 正则文法和正则表达式 • 确定有限自动机（DFA） • 非确定有限自动机（NFA）
01 自动机概述
定义与分类
定义
自动机是一个抽象的机器，用于模拟有限状态系统的行为。它由一组状态、一 组输入符号和一组转移函数组成，根据输入符号和当前状态来决定下一个状态。
正则文法与正则表达式的转换
正则文法转换为状态机
通过构造一个状态机来描述正则文法的语言，状态机中的每个状态对应一个产生式，状态之间的转移 对应于产生式的应用。
正则表达式转换为状态机
将正则表达式转换为状态机的方法包括确定化和非确定化两种。确定化是将一个不确定的状态机转换 为确定的状态机，非确定化是将一个确定的状态机转换为不确定的状态机。
工具辅助
使用自动机生成工具或编译器工具集中的工 具，如Lex或Yacc等，根据语言规范生成 DFA。
DFA的应用实例
词法分析
01
DFA可以用于实现词法分析器，将输入的字符串分割成一个个
单词或符号。
正则表达式匹配
02
DFA可以用于实现正则表达式匹配算法，判断一个字符串是否
符合正则表达式的模式。
语法分析
正则表达式的应用实例
1 2
文本匹配
正则表达式可以用来匹配文本中的特定模式，例 如查找字符串中的数字、邮箱地址等。
文本替换
正则表达式可以用来替换文本中的特定模式，例 如将字符串中的所有数字替换为特定字符。
3
文本解析
正则表达式可以用来解析文本中的结构化数据， 例如从CSV文件中提取数据。
04 确定有限自动机（DFA）
正则文法的性质