有限自动机的最小化
DFA的最小化
DFA的最小化
1.什么是最小化? 2.能不能最小化? 3.怎样最小化?
1.什么是最小化？
定义：DFA的最小化就是寻求
状态数最小的 与原DFA等价的
DFA
意义：最小化可以降低编译器构造的复杂度、 提高编译器的运行效率。
最小化的例子
a A1:
0
b b b
2
a b
b
2
b 等价状态， 等价状态，合并
b
怎么最小化－－例子2小结
合并等价状态
什么是等价状态？ 如何寻找等价状态？ 如何合并？
等价状态
在有穷自动机中，两个状态s和t等价的条件是：
一致性条件——状态s和t必须同时为终态或非终态。 蔓延性条件——对于所有输入符号，状态s和状态t 必须转换到等价的状态里。
如果状态s和状态t不等价，则称这两个状态是 可区别的。
6
b b
合并等价状态 －－－分割法
a 3 4 4 b 2 2 6 7 6 6 c d
b b
2
4
b b 2 2 6 7 6 6 c d
7
1 Π1 2 5 Π3 3 4 Π2 6 7
Π1 Π4
3 3
5 5
Π3 Π2
1 2 5 3 4 6 7
3 3
5 5
Π1 Π4 Π3 Π2
1 2 5 3 4 6 7
a 3 4 4
1
1 C 1
2
E 1 F
2
2 2 D 2 1
2
S 1 2 A B
Π1
B A D
A C B
Π3
C C E
D F D
E F D
Π2
F C E
dfa极小化算法
dfa极小化算法
DFA极小化算法是一种用于将确定性有限状态自动机(DFA)进行最小化的算法。
这个算法可以用于优化DFA，减少它的状态数，从而提升其性能。
DFA极小化算法的基本思路是将DFA中的状态分组，使得同一组内的状态在所有输入上都有相同的转移行为，而不同组之间的状态则有不同的转移行为。
这样，一个具有n个状态的DFA就可以被分成不同的组，每个组都有相同的转移行为，这样就可以用更少的状态来表示DFA，从而提高效率。
DFA极小化算法的具体步骤包括：
1. 将所有状态分成两个组：接受状态和非接受状态。
2. 对于每个组，检查它们在所有输入上的转移行为是否相同。
3. 如果两个组的转移行为相同，则将它们合并成一个组。
4. 重复步骤2和3，直到不能再合并为止。
5. 最终，每个组都代表了DFA中的一个等价类，可以使用等价类来表示DFA。
总之，DFA极小化算法是一种非常有效的算法，可以用于优化和简化DFA。
它通过将DFA中的状态分组来减少状态数，从而提高了DFA 的性能。
- 1 -。
基于信息系统的确定有限自动机最小化算法
Ｃ０Ｄ ＹＩＤＵ ＥＮ Ｊ Ｉ
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基 于 信 息 系统 的确 定 有 限 自动 机 最 小 化 算 法
杨传健 ， 浩 姚光顺 王 葛 ， ， 波
Ａｂｔａｔ ｔ ｒｓｎ，Ｄ ｔｒ ｉａｏ ｉｉ ｕｏ ａ ｏ Ｄ Ａ ｓ ｃ：Ａ ｅｅｔ ｅｅｍｎ ｔ ｎＦｎｔ Ａ ｔｍ ｔ ｎ（ Ｆ ）ｍ ｎｍｚｔｎｍｏ ｃｓｓｏ ｅｒｔ ａ ｒｓａ ｈ ｎ ｒ ｐ ｉ ｅ ｉ ｉｉ ｉ ｉ ｒ ｆ ｕｅ ｎｔ ｏｅ ｃｌ ｅｅｒ ，ａｄ ａｏ ｅｏ ｈ ｉ ｃ
（． １滁州学院 计算机与信息工程学院， 安徽 滁州 ２９ １ ； ２ 滁 州学院 机械与电子工程学院， ３０ ２ ． 安徽 滁州 ２９ １） ３ ０ ２ （ 通信作者 电子 邮箱 ｔｃ ４ ４ ２ ．ｏ ） ｏｊ ７ ＠１６ ｃｒ ｙ ｎ
摘
要： 目前 ， 确定有限 自动机（ Ｆ 最小化 问题 多侧重 于理论研 究 ， Ｄ Ａ） 尚无太 多便 于 实现 的算法 ， 为此 ， 对确定有
ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ． Ｆ ｒｔ Ｄ Ａ ｗａ ｏ ｖ ￣ ｄ ｉ ｔ ｎ ｏ ａｉ ｎ ｓ ｓｅ ｅ ｅｒｈ ｄ ｉ ， Ｆ ｓ ｅ ｎ ｅ ｅ ｎ ｏ ｉ ｆｒ ｔ ｙ ｔｍ； ａ ｄ ｔ ｅ ｈ ｎ ｏ ａｉ ｎ ｓ ｓｅ ｗ ｓ ｓｍｐｉ ｅ ， ｗ ｉｈ ｗａ ｓ ｍ ｏ ｎ ｈ ｎ ｔ ｅ ｉｆ ｒ ｔ ｙ ｔｍ ａ ｉ ｌ ｄ ｍ ｏ ｉ ｆ ｈｃ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ａ ｔ ｉｎ ｏ ｑ ｉ ａｅ ｃ ｌｓ ｅ ； ａ ａ ｔｔ ｅ ｓ ｌ ｅ ｎｏ ａ ｉｎ ｓ ｓ ｍ ｓ ｃ ｎ ｅ ｅ ｎｏ ｍｉｉ ｚ ｄ ＤＦ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｐ ｒｉ ｏ ｆｅ ｕｖ ｌ ｎ ｅ ｃａ ｓ ｓ ｔ ｌｓ ｈ ｉ ｉ ｄ ｉ ｆｒ ｔ ｙ ｔ ｗａ ｏ ｖ ｒ ｄ ｉ ｔ ｎ ｍｉｅ Ａ． ｔ ｍｐ ｆ ｉ ｍ ｏ ｅ ｔ Ｃ ｎ ｅ ｉ ｇ ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ａ ｇ ｒｔｍ ｆｍｉ ｉ ｚｎ Ａ ｂ ｓ ｄ ｏ ｔ ｔｇ ｆｄｖ ｄ ｎ ｏ ｑ ｅ ａ ｒ ｐ ｓ ｄ ｎ ｔ ｅ ｏ ｃ ｒ ｎ ｈ ｂ ｖ ｒ ｃ ｓ ， ｎ ａ ｏ ｉ ｎ ｌ ｈ ｏ ｎ ｍｉ ｇ ＤＦ ａ ｅ ｎ ｓ ａｅ ｙ ｏ ｉ ｉｅ ａ ｄ ｃ ｎ ｕ ｒｗ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ．Ｉ ｉ ｒ ｈ
编译原理实验dfa的最小化
编译原理实验dfa的最小化编译原理是一门基础学科，是计算机科学和工程中的重要分支之一。
在现代计算机系统中，编译器扮演着重要的角色，它们能将高级语言编写的程序转化为机器可执行的二进制代码，从而实现程序的正确性和高效性。
自动机理论是编译原理中一个重要的知识点，特别是有限状态自动机（DFA）的最小化。
DFA最小化是实现语言识别和编译器优化的重要方法之一。
DFA最小化是指将一个给定的DFA自动机，构造出一个等价的、状态数量最小的DFA自动机。
在编译器优化中，通过对DFA的最小化，可以减小指令译码的复杂度，加快程序的执行速度。
DFA最小化的方法主要有两种，分别是Hopcroft算法和划分算法。
这里主要介绍Hopcroft算法。
Hopcroft算法Hopcroft算法是一种直接的构造算法，其基本思想是先将DFA的所有状态按不可区分性划分成若干个集合，然后根据每个字符的转移关系，对划分后的集合进行合并，最后得到一个等价的、状态数量最小的DFA自动机。
Hopcroft算法所需的时间复杂度为O(m log n)，m为DFA的边数，n为DFA的状态数。
下面分步骤介绍该算法。
第一步，将所有状态分为接受状态和非接受状态，并将它们分别放入两个集合中。
即S = {S acc, S non-acc}，S acc为所有接受状态的集合，S non-acc为所有非接受状态的集合。
第二步，对S中的每个集合进行划分。
这里采用动态规划的思想，从初始状态开始，不断重复以下操作，直到不能再继续为止：步骤1：将当前状态集合划分成若干个等价的子集，得到新的状态集合。
步骤2：检查新的状态集合是否与前一个状态集合相等，如果是，则停止操作；否则，将新的状态集合作为下一轮操作的初始状态。
步骤1中，可以采用如下的方法进行划分。
设定两个状态x和y，如果存在一个字符a，使得x经过字符a的转移后所到达的状态与y经过字符a的转移后所到达的状态在S中属于不同的集合，则称状态x和y不可区分，将它们放入同一个集合中。
有限自动机最小化算法的实现
有 限 自动机最小化算法的实现
韩 光 辉
（ 武汉 商业服务 学院， 湖北 武汉 ４０ ５） ３ ０６
摘 要： 实现 ＤＦ ＝（ ∑ ， ｑ， 最 小 化 算法 的 关键 问题 是 如 何编 程 求 取 商 集 Ｑ ／Ｒ 即状 态 ＡＭ Ｑ， ８，ｔ） ｌ Ｆ （
的ｋ 阶区分） 。本文引入等价关系 Ｓ 与商集 Ｑ／ 状 态的严格 ｋ ｓ（ 阶区分）证 明了 Ｒ ＝Ｒ ｎ Ｓ， ， 因此 Ｑ ／ Ｑ／ 中等价类与 Ｑ ／ Ｒ是 Ｒ ｓ 中等价类的非空交集全体。 为了求取 Ｑ／ 引入 Ｑ 的子集 Ｈ ， ｓ， 利
收稿 日期 ： ０ ５ ｌ — Ｏ ２ ０ 一 ２ ２
作者简 介： 韩光辉（９ ６ ） 湖北武汉人． １５ 一． 男． 武汉商业服 务学院教育技术中心副教授． 硕士扁 级程序员
维普资讯
应
用 研
究
韩光辉 有限 自动机最小化算法的实现
：
的基 数 ， Ｒ表 示集 合 Ｑ关 于等 价 关 系 Ｒ的商 集 ， Ｑ／ ∑ 表 示 字 母 表 ∑ 上 串 全 体 的 集 合 ， Ｉ 示 串 Ｉ入 表
１ 引言
状 态 系统都 可 以用有 限 自动 机描述 。 近年来 ， 由于多
路 自动 机 的可学 习性ｌ 激发 了对 有 限 自动机 与 多路 １ １ ，
价且 状态 数 最小 的 Ｄ Ａ， Ｆ 即等 价最 小 Ｄ Ａ Ｆ 。许 多 文
献给 了一个最小化算法 ， 算法的思想是 ， 构造状态
中图分 类号 ： Ｐ３ １１ Ｔ ０ ． 文献 标识 码 ： Ｂ 文章编 号 ： ０ ９ ２ ７ （ ０ ６） １ ０ ６ — ３ １０— ２７２０ ０ —０ ０ ０
间的内在联系 １ ５ １ ，便于其存储实现 ［ ６ １ ，便于建立用 Ｆ Ｉ ， 有限自动机理论已广泛应用于计算理论 、编译 Ｄ Ａ描述 的任 务 模 型ｎ 一 些 理 论 问题 也 与 最 小 化 ｌ。Ｄ Ａ ＿ ３ 构 技术 、 模式识别 、 人工智能等领域 ， 几乎所有的有限 思 想有关 ｌ１ Ｆ 的最小 化 是指 ， 造 一个 与 之 等
dfa最小化 填表算法
dfa最小化填表算法DFA minimization is a critical technique in automata theory that seeks to reduce the number of states in a deterministic finite automaton while maintaining the same language recognition capabilities. By minimizing a DFA, we can simplify its structure, making it easier to understand and potentially more efficient to use in practical applications. The process of DFA minimization typically involves identifying equivalent states and merging them to create a smaller automaton.DFA最小化是自动机理论中的一项重要技术，旨在减少确定性有限自动机中的状态数，同时保持相同的语言识别能力。
通过最小化DFA，我们可以简化其结构，使其更易于理解，并在实际应用中可能更有效。
DFA最小化的过程通常涉及识别等价状态并将它们合并以创建一个较小的自动机。
The table-filling algorithm is a common method used to minimize DFAs by constructing an equivalence table and merging equivalent states. This algorithm is based on the idea that states are equivalent if they produce the same output for every possible input string. By systematically comparing states and merging equivalent ones, thetable-filling algorithm can efficiently minimize a DFA while preserving its language recognition properties.填表算法是一种常用的方法，通过构建等价表和合并等价状态来最小化DFA。
nfa确定化和最小化程序的设计与实现
一、概述在计算机科学领域中，有限自动机（NFA）确定化和最小化是重要的概念，它们被广泛应用于编译器、自然语言处理和计算理论等领域。
NFA确定化和最小化的设计与实现对于优化程序性能和提高系统效率至关重要。
二、NFA确定化的设计与实现1. NFA的定义NFA是一种抽象的计算机模型，它由一组状态、一个初始状态、一组终止状态和一组转移函数组成。
在NFA中，一个输入符号可以导致多个状态转换。
NFA的非确定性使得它在实际应用中存在一定的局限性。
2. NFA确定化的原理NFA确定化的目的是将NFA转换为等价的确定性有限自动机（DFA），DFA中每个输入符号只会导致一个唯一的状态转换。
确定化的过程包括状态集合的合并、转移函数的重新定义和终止状态的重新标记等步骤。
3. NFA确定化的算法NFA确定化的算法包括子集构造法和状态消除法两种常见的方法。
子集构造法通过遍历NFA的状态集合，构造对应的DFA状态集合和转移函数；状态消除法则通过消除DFA中的等价状态，以达到最小化DFA的目的。
4. NFA确定化的实现NFA确定化的实现可以通过编程语言或者工具实现，例如使用Python、C++等编程语言编写确定化算法的代码，或者使用工具如JFLAP、Automata Editor等进行可视化的NFA确定化。
三、最小化DFA的设计与实现1. DFA的定义确定性有限自动机（DFA）是一种数学模型，它由一组状态、一个初始状态、一组终止状态和一组转移函数组成。
与NFA不同的是，DFA 中每个输入符号只会导致一个唯一的状态转换。
2. 最小化DFA的原理最小化DFA的目的是消除DFA状态中的等价状态，使得最终的DFA 包含尽量少的状态，以减少系统的复杂性和提高程序性能。
最小化DFA的过程包括状态等价划分、状态合并和转移函数重定义等步骤。
3. 最小化DFA的算法最小化DFA的算法包括Hopcroft算法、初始划分算法和状态表填充算法等多种方法。
NFA的确定化和最小化
一、实验名称NFA的确定化和最小化二、实验原理NFA，也称不确定的有穷自动机，是由一个五元式定义的数学模型，特点是它的不确定性，即在当前状态下，读入同一个字符，可能有多个下一状态。
DFA，也称确定的有穷自动机，也是由一个五元式定义的数学模型，相对的特点是它的确定性，即在当前状态下，读入同一个字符，最多有一个后继状态。
在非确定的有限自动机NFA中,由于某些状态的转移需从若干个可能的后续状态中进行选择，故一个NFA对符号串的识别就必然是一个试探的过程。
这种不确定性给识别过程带来的反复，无疑会影响到FA的工作效率。
而DFA则是确定的,将NFA转化为DFA将大大提高工作效率,因此将NFA转化为DFA是有其一定必要的。
得到新的DFA之后，并没有完成任务，因为通过NFA转化成DFA不一定是最简的，也就是说，有多余的状态可以被删除，而我们需要的是得到一个唯一的最简的DFA[12]，也就是说，NFA转化为DFA之后，还需要化简，也就是最小化。
DFA的化简是指：寻找一个状态数最少的DFA M，使得L（M）=L（M’）。
化简的方法是消去DFA M中的多余状态（或无用状态），合并等价状态。
DFA中的多余状态是指这样的状态：从开始状态出发，读入任何输入串都不能到达的那个状态；或者从这个状态没有通路到达终态。
两个状态S 和T等价是指：如果从状态S出发能读出某个字W而停于终态，从T出发也能读出同样的字W而停于终态；反之，从T出发能读出同样的字W而停于终态，从S出发也能读出某个字W而停于终态。
化简DFA的基本思想是指导它的状态分成一些互不相交的子集，每一个子集中的状态都不是等价的，不同子集中的状态可以由某个输入串来区别，最后将不能区别的每个子集用一个状态来做代表[13-15]，这种方法称为“分割法”。
具体过程是：（1）将M的所有状态分成两个子集——终态集和非终态集；（2）考察每一个子集，若发现某子集中的状态不等价，将其划分为两个集合；（3）重复第（2）步，继续考察已得到的每一个子集，直到没有任何一个子集需要继续划分为止。
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有限自动机的最小化
(齐齐哈尔大学)
本文2000年5月14日收到.图2
M ’的转移图
摘要引进有限自动机中的不可区分状态概念,并给出一些已知结果新的、更简单的证明.
关键词有限自动机状态不可区分状态等价类
定义1设M =(Q ,Σ,δ,q 0,F )为有限自动机,且令q 1和q 2为不同的状态.如果存在x ∈
Σ3,使q 1,x —3q 3,e ,q 2,x —3
q 4,e ,且恰好q 3和q 4中只有一个在F 内,则称x 使得q 1和q 2可以区分.
定义2设q 1和q 2为不同的状态且属于定义1中的Q .称q 1和q 2是K 阶不可区分,且写成q 1≡K q 2,当且仅当不存在x ≤K 的x ,使q 1和q 2可以区分.称两个状态q 1和q 2是不可区且写成q 1≡q 2,当且仅当对于所有的K ≥0存在q 1和q 2的K 阶不可区分.
称状态q ∈Q 是不可到达的,假使不存在使得q 0,x —3
q ,e 的输入字符串x .
称M 是经过简化的,假使Q 没有一个状态是不可到达的和没有两个不同的状态是不可区分的.例1考虑转移图1所示的有限自动机M .|||第20卷第3期
高师理科学刊Vol.20No.32000年8月Journal of Science of Teachers ’Colle g e and U niversit y A u g .2000
图1M 的转移图
为了简化M ,首先消去状态F 和G 不可到达的.在下面的算法中,将看出在等价关系
“≡”之下的等价类是[A ]、[B ,C ]、[C ,E ],并依次以状态p 、q 、
r 表示,从而得到图1经过简化有限自动机M ’.丁春欣
定理设M =(Q ,Σ,
δ,q 0,F )为具有n 个状态的有限自动机.若状态q 1和q 2是不可区分的,当且仅当它们是(n -2)阶不可区分.
证由状态q 1和q 2不可区分的定义,定理中必要性结论显然.
充分性
如果F 中没有元素(空集)或F =Q ,则充分性也是显然的.以下假设F 含有大于0但小于n 个状态.按照K 阶不可区分性的定义,易知关系“≡K ”是Q 上的等价关系,Q 关于≡K 的商集记为Q /≡K
,并以|Q /≡K |记为Q /≡K 中元素的个数,则下列情况成立:
Q ≡0≤Q ≡1≤…≤Q ≡n -3≤Q ≡n -2=Q ≡n -1
.
为此,对于Q 中的q 1和q 2有
(1)q 1≡0q 2当且仅当q 1和q 2都在F 中或都不在F 中,
(2)q 1≡K q 2当且仅当q 1≡K -1q 2,同时对于Σ上的所有a ,δ
q 1,a ≡K -1δq 2,a .等价关系≡0对Q 是第一次等分类,它只是将状态集Q 划分成终态和非终态两类.如果存在≡K ≠≡K -1,
则Q ≡K >Q ≡K -1.由于F 或Q -F 中至多有n -1个元素,故对于≡0
至多只能进行n -2次相继分
类.于是≡是使得≡K -1=≡K 的第一次的关系≡K
,再由(2)必然得出k =n -2.证毕.
下面的算法给出了如何使有限自动机的状态数极小化方法.
算法构造规范的有限自动机
输入:有限自动机M =(Q ,Σ,
δ,q 0,F ).输出:简化的等价有限自动机M ’.
方法:
步骤1:使用参考文献[1]中算法0.3,按照M 的转移图找出由q 0出发的所有那些可以到达的状态,并且删去所有不可到达的状态.
步骤2:依照前面定理的描述,构造等价关系≡0,≡1…,直到
≡K =≡K -1,选取≡K
作为等价关系.步骤3:构造有限自动机M ’=(Q ’,Σ,δ’,q 0’,F ’
)其中(1)Q ’是≡之下的等价类的集合.令[p ]是≡之下状态p 的等价类.
(2)若δ(p ,a )=q ,则δ’([p ],a )=[q ].
(3)q 0’=[q 0].
(4)F ’={[q ]|q ∈F }.
易见L (M ’)=L (M ).以下证明不可能再有另外的等价自动机能接受L (M ),而它的状态却比M ’还
要少.以下证明M ’的状态是最小的.
假设M "
比M ’的状态少且L (M ")=L (M ).由于在等价关系≡之下的每个等价类是非空的,所以M ’的每个状态都是可以到达的,于是有字符串序列
x 1,x 2,…,x m (m =|Q ’|)
使M ’每一个状态都可达.由于M "的状态少于M ’,那么在序列x 1,x 2,…,x m 中存在x ≠w ,使
q 0",w —M "3q ,e 和q 0",x —M "3q ,e
,其中q 0"是M "的初始状态,但w 和x 却推导M ’到不同的状态.因此,w 和x 同样推导M 到不同状态,记为p 和r ,且它们是可以区分的,即存在某个y ,使得只有w y 和x y 中之一属于L (M ).但w y 和x y 必定推导M "到相同状态,这与w y 和x y 之属于L (M ")相矛盾.||第3期丁春欣:有限自动机的最小化9
10高师理科学刊第20卷
参考文献
1[美]阿霍A V,厄尔曼J D.形式语言及其句法分析.科学出版社,1987
2[美]J E.霍普克罗夫特,J D厄尔曼.自动机理论、语言和计算导引.北京:科学出版社,1986
3谢邦杰.抽象代数学.上海科学技术出版社,1982
Minimizatio n of Finite A uto matio n
Din g Chunxin
(Qi q ihar U niversit y)
Abstract The indistin g uishable state in finite automation is int roduced in t his p a p er.The aut hor g ives new and ver y sim p le p roof s to some known result s.
K e y Words Finite automation E q uivatence class State Indistin g uishable state
重要声明
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特此声明。
《高师理科学刊》编辑部
2000年8月。