北师大版八年级下册数学练习课件-第1章 4 第1课时角平分线的性质和判定
8
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
▪ A．30° ▪ B．35° ▪ C．45° ▪ D．60°
115°
▪ 3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， 若∠A＝50°，则∠BDC＝____________.
5
▪ 4．如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离 都相等，点D、E、F分别在边OC、OA、OB上，如果要想证 得OE＝OF，只需要添加以下四个条件①②中④ 的某一个即可，请 写出所有可能的条件的序号___________.
3
课时即练
▪ 1．【2018·广西梧州中考】如图，已知BG是∠ABC的平分 线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D F，DE＝6，则DF的长度 是( )
▪ A．2 ▪ B．3 ▪ C．4 ▪ D．6
4
▪ 2．【2018·黑龙江大庆中考】如图，∠B＝∠C＝90°，M是 BC的中点，DM平分∠ADC，且∠BADC＝110°，则∠MAB＝ ()
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
▪ A．30° ▪ B．35° ▪ C．45° ▪ D．60°
115°
▪ 3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， 若∠A＝50°，则∠BDC＝____________.
5
▪ 4．如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离 都相等，点D、E、F分别在边OC、OA、OB上，如果要想证 得OE＝OF，只需要添加以下四个条件①②中④ 的某一个即可，请 写出所有可能的条件的序号___________.
3
课时即练
▪ 1．【2018·广西梧州中考】如图，已知BG是∠ABC的平分 线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D F，DE＝6，则DF的长度 是( )
▪ A．2 ▪ B．3 ▪ C．4 ▪ D．6
4
▪ 2．【2018·黑龙江大庆中考】如图，∠B＝∠C＝90°，M是 BC的中点，DM平分∠ADC，且∠BADC＝110°，则∠MAB＝ ()
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北师大版八年级数学下册1.4第1课时角平分线的性质教学课件.ppt
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2014
第三节
教学准备
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
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导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
2014
第三节
教学准备
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请根据您的具体内容酌情修改。
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导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
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讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
北师大版数学八年级下册1.4第1课时角平分线的性质课件(共17张)
O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
情景导入
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中
点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建
一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到
两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在
什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不
A P
B
C
D
两边距离相等的点在这个角的平分线上).
A
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 E
F
角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . B
D
C
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
北师大版数学八年级下册第1课时 角平分线的性质与判定课件
互逆 命题
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
C
PF⊥AC，PE = PF，
F P
∴点 P 在∠BAC 的平分 D 线上（到角两边距离相等的
点在这个角的平分线上）.
A
E
B
√
随堂演练
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、 F，则下列四个结论：
①AD 上任意一点到点 C、点 B 的
PH⊥BC 于 H，PG⊥AC，交 AC 的延长线于点
G，
A
∵BP 是角平分线，
∴PE = PH. ∵PC 是角平分线， ∴PH = PG.
BH
C
E G
∴PE = PG，
∴P 在∠A 的平分线上.
P
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等.
定理 在一个角的内部，到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上.
D
C
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，
且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）.
A
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
1
1
E
F
∴ DE = 2 AD = 2 ×10 = 5（在直 B
角平分线(第1课时)课件北师大版八年级数学下册
.
A C
M P
O
B D
∴OP平分∠. AOB.
知识点2. 角平分线的判定
归纳总结：
角平分线的判定： 定理 在一个角的内部，到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
如图，∵PC⊥. OA，PD⊥OB， PC=PD， ∴OM平分∠AOB.
这个定理也常 常作为判定角 平分线的定理.
A C
M P
完成练习册基础知识部分 作业，巩固角平分线的性 质和判定定理
完成练习册提高部分作 业，提高解题技巧
下节课的预习内容与要求
预习内容：三角形三个内角平分线的性质. 预习要求：会证明三角形三个内角平分线的性质
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
我们曾经用折纸的方法探究了角平分线的性质，知道 角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个 结论吗？
反过来：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角
平分线上吗？
A
E
D
C
B F
知识点1.角平分线的性质
已知：如图，OM平. 分∠AOB，P是射 线OM上任意一点，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D.
.
求证：PC=PD.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质Байду номын сангаас
证. 明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠P. CO=∠PDO=90°， ∵OM平分∠. AOB， ∴∠A. OP=∠BOP， 又∵PO. =PO，
.
.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质
归纳总结：
角平分线的性质： 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
A C
M P
O
B D
∴OP平分∠. AOB.
知识点2. 角平分线的判定
归纳总结：
角平分线的判定： 定理 在一个角的内部，到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
如图，∵PC⊥. OA，PD⊥OB， PC=PD， ∴OM平分∠AOB.
这个定理也常 常作为判定角 平分线的定理.
A C
M P
完成练习册基础知识部分 作业，巩固角平分线的性 质和判定定理
完成练习册提高部分作 业，提高解题技巧
下节课的预习内容与要求
预习内容：三角形三个内角平分线的性质. 预习要求：会证明三角形三个内角平分线的性质
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
我们曾经用折纸的方法探究了角平分线的性质，知道 角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个 结论吗？
反过来：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角
平分线上吗？
A
E
D
C
B F
知识点1.角平分线的性质
已知：如图，OM平. 分∠AOB，P是射 线OM上任意一点，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D.
.
求证：PC=PD.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质Байду номын сангаас
证. 明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠P. CO=∠PDO=90°， ∵OM平分∠. AOB， ∴∠A. OP=∠BOP， 又∵PO. =PO，
.
.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质
归纳总结：
角平分线的性质： 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
角平分线第1课时课件北师大版八年级数学下册
3.如图，某地有两所大学M，N和两条交叉的公路OA,OB.现计划修建一座物 资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，在 下图中作出仓库P的位置.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如下图所示:
A
MP
O
N
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角 的平分线上，到两点距离相等的点在两 点连线的垂直平分线上.
练一练
判断下面的推理是否正确.
(1)∵如下左图,AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ×
B
B
A
D
C
A
D
C
(2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD ，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ×
任务二：探索并证明角平分线的判定定理
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线 第1课时
1.会证明角平分线的性质及判定定理 2.会应用角平分线定理解决简单问题
任务一：证明角平分线的性质定理
活动：如图，已知OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，取点P的
三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.
OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
D C
P
E
B
活动小结
1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.应用格式： ∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD=PE.
A
D C
P
O
E
B
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
北师大版八年级数学下册课件1.4角平分线(第1课时)
新知新授
课堂检测
O
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂 足分别是C，D，则下列结论错误的是（ D）
A.∠COP＝∠DOP B.PC＝PD C.OC＝OD D.∠COP＝∠OPD
2.如图，OC 平分∠AOB，若点C到OB的距离是2.4，OD=4.则
△OCD的面积等于（ B ）
逆命题
利用角平分线的性质及判定解决实际问题,培养学生解决问题的能力.
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 你认为上面这种说法正确吗？为什么？
到角两边距离相等的点在这个角的
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
认真阅读课本第29页例1，体会角平分线 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD与∠CDA的平分线交于点M，点M在BC上.
的判定定理在解题中的应用。 求证：AD=AB+DC
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ） 你能用逻辑推理的方法来证明角平分线的这条性质吗? ∴MC=MN（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 上面逆命题的准确说法应该怎样说？ 第1课时 角平分线的性质及判定 ∴OP平分∠AOB（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理： 求证：DM平分角ADC. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ） 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
北师大版八年级下册1.4角平分线课件(共19张PPT)
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。O
1 2
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中，
C P
EB
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别 点在角平分线上
点到角两边的距离相等
命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
为D,E，且PD=PE. ∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．
2.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
求证:点P在∠AOB的平分线上. ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.
性质定理和判定定理的关系
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC
AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？ ∴ AD平分∠BAC（到角两边距离相等
O
∠AOC=∠BOC. 命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
要在Ｓ区建一个集贸市场
E
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC
∴ AD平分∠BAC（到角两边距离相等
B
问题解决
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
北师大版八年级下册义务教育课程
第一章 三角形的证明 第四节 角平分线
北师大版八年级数学下册1.4 角平分线的性质和判定课件
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 几何语言： ∵____P__B_=_P_C_______， _P_B_⊥__A_B__，P__C_⊥__A_C__， ∴AP平分∠BAC.
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝____5____cm.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点，∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
Байду номын сангаас
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.