第一课时(课后跟踪强化训练)
第一课时（课后跟踪强化训练）
1．下列常用实验仪器中，不能直接用于混合物的分离或提纯的是()
A．分液漏斗B．普通漏斗
C．蒸馏烧瓶D．容量瓶
2．将CH3CHO(易溶于水，沸点为20.8℃的液体)和CH3COOH分离的正确方法是() A．加热蒸馏
B．加入Na2CO3后，通过萃取的方法分离
C．先加入烧碱溶液之后蒸出乙醛，再加入浓H2SO4，蒸出乙酸
D．和Na反应后进行分离
3．从碘水中分离出碘，所用萃取剂应具备的条件是()
①不与碘和水起反应②能溶于水③不溶于水④必须比水轻⑤碘在溶剂中的溶
解度比在水中大
A．①③⑤B．②④⑤
C．①③④D．③④⑤
4．下列实验操作中错误的是()
A．分液时，分液漏斗下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出
B．蒸馏时，应使温度计的水银球靠近蒸馏烧瓶支管口处
C．可用酒精萃取碘水中的碘
D．称量时，称量物放在称量纸上，置于托盘天平的左盘，砝码放在托盘天平的右盘
5．下列物质中各含有少量的杂质，能用饱和碳酸钠溶液并借助于分液漏斗除去杂质的
是()
A．苯中含有少量甲苯
B．乙醇中含有少量乙酸
C．溴苯中含有少量苯
D．乙酸乙酯中含有少量的乙酸
6．要从乙酸的乙醇溶液中回收乙酸，合理的操作组合是()
①蒸馏②过滤③静止分液④加足量钠⑤加入足量H2SO4⑥加入足量NaOH 溶液⑦加入乙酸与浓H2SO4混合液后加热⑧加入浓溴水
A．⑦③B．⑧⑤②
C．⑥①⑤②D．⑥①⑤①
7．现有三组混合液：①乙酸乙酯和碳酸钠溶液；②乙醇和丁醇；③溴化钠和单质溴的
水溶液，分离以上各混合液的正确方法依次是()
A．分液、萃取、蒸馏B．萃取、蒸馏、分液
C．分液、蒸馏、萃取D．蒸馏、萃取、分液
8.回答下列问题：
(1)分离沸点不同但又互不相溶的液体混合物的常用方法是________，实验中必不可少
的玻璃仪器是____________________________________
________________________________________________________________________。
(2)在分液漏斗中用一种有机溶剂萃取水溶液中某物质时，静置分层后，如果不知道哪
一层液体是“水层”，试设计一种简便的判断方法：_________________________ ________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
9．除去下列括号内的杂质通常采用的方法是什么？将答案填在横线上。
(1)H2O(NaCl、MgCl2)__________________________________；
(2)CH3OH(H2O)_______________________ __________________；
(注：CH3OH为甲醇，沸点为64.7℃)
(NaCl)_______________________________________；
(Br2)_____________________________________。
10．实验室制备苯甲醇和苯甲酸的化学原理是
已知苯甲醛易被空气氧化，苯甲醇的沸点为205.3℃；苯甲酸的熔点为121.7℃，沸点为249℃，溶解度为0.34 g；乙醚的沸点为34.8℃，难溶于水。
制备苯甲醇和苯甲酸的主要过
程如下所示：
试根据上述信息回答下列问题：
(1)操作Ⅰ的名称是________，乙醚溶液中所溶解的主要成分是________。
(2)操作Ⅱ的名称是________，产品甲是________。
(3)操作Ⅲ的名称是________，产品乙是________。
(4)
如图所示，操作Ⅱ中温度计水银球上沿放置的位置应是________(填“a”、“b”、“c”或“d”）
，该操作中，除需蒸馏烧瓶、温度计外，还需要的玻璃仪器是________________________，收集产品甲的适宜温度为________。
课后作业
1．D2．C3．A 4.C
5．D6．D[分离的具体流程如下]
7．C8．(1)蒸馏酒精灯、蒸馏烧瓶、温度计、冷凝管、牛角管、锥形瓶
(2)利用该有机溶剂和水互不相溶的性质，将下层液体放出少许于盛有少量蒸馏水的试
管中，若液体分层，则下层为“油层”，若不分层，则下层为“水层”
9．(1)蒸馏(2)蒸馏(可加入生石灰)(3)重结晶(4)萃取分液(常选用NaOH溶液做萃取剂)
10．(1)萃取苯甲醇(2)蒸馏苯甲醇(3)过滤苯甲酸(4)b冷凝管、酒精灯、锥形瓶、牛角管34.8℃。
【高中政治】政党制度类型知识复习技巧
【高中政治】政党制度类型知识复习技巧高三政治常识中有关政权组织形式，国家结构形式，政党制度类型的知识纷繁复杂，又因为学生对各国的历史背景，政治制度知之甚少，因此学习十分吃力，做题倍感棘手。
如何解决这一难题呢？我认为记忆是关键，如何记住记牢？我在教学实践中总结了一点经验。
一、政权组织形式当代资本主义国家政体的基本类型是君主立宪制和民主共和制，而君主立宪制主要是议会制君主立宪制，典型国家有：英国、日本、泰国、比利时、西班牙、瑞典、挪威……我运用联想记忆法把其归纳为：女王与天皇在瑞典看人妖与斗牛比威。
（英国女王、日本天皇。
、泰国人妖。
、西班牙斗牛巧妙联系起来，富有联想，记忆深刻）。
①民主共和制又分为议会制共和制和总统制共和制。
议会制共和制的典型国家：意大利、芬兰、奥地利、印度、新加坡……我运用谐音记忆法归纳为：北京申办新奥运，十分得意（新奥运分别是指新加坡、奥地利、印度；分得意分别指芬兰、德国、意大利）。
②总统制共和制的典型国家：美国、墨西哥、巴西、阿根廷、埃及、印度尼西亚。
我同样是用谐音法归纳为：莫怕印尼，埃及美啊！（墨西哥、巴西、印度尼西亚、埃及、美国、阿根廷）。
③二、国家结构形式国家结构基本形式有单一制和复合制两大类型，而复合制国家在当代主要是指联邦制国家。
如何区分某一国家属于单一制还是联邦制呢？因为现在世界上大多数国家是单一制国家，根据记少不记多的原则，只要记住实行联邦制的国家就可以了。
当今世界实行联邦制的国家有美国、德国、瑞士、俄罗斯、印度、缅甸、巴西等二十多个国家。
上述国家可归纳为：没得瑞士法郎又腼腆，饿肚吧！（美国、德国、瑞士、缅甸、俄罗斯、印度、巴西）。
④三、政党制度类型资本主义政党制度主要是两党制和多党制。
目前大多数资本主义国家实行两党制，同样依据记少不记多的原则，记住两党制的典型国家就可以了。
典型国家有英国、美国、加拿大、澳大利亚、新西兰。
可归纳为：英美加薪噢！（英国、美国、加拿大、、新西兰、澳大利亚）。
高中化学-物质的量第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思
物质的量教学设计[核心素养发展目标]1.了解物质的量及其单位摩尔质量、阿伏加德罗常数的含义与应用, 利用物质的量将宏观的物理量与微观粒子的个数联系起来,并能从宏观和微观结合的视角分析解决问题。
2.在有关物质的量计算过程中, 通过分析、推理等方法认识计算的方法, 建立摩尔质量、物质的量、阿伏加德罗常数等题目的解答模型教学重点：物质的量的基本概念及其单位。
教学难点: 物质的量的基本概念及其单位。
教学方法: 多媒体技术与黑板教学流程图:教学过程:问题一：现有最小刻度为0.1cm的尺子, 你能想办法用它测出一张纸的厚度吗？问题二: 现有最小刻度为0.1g的托盘天平, 你能想办法用它称量一粒大米的质量吗？一张纸, 一粒米均不能用尺或托盘天平进行测量, 因为它们太小。
我们想的办法是测量许多纸, 许多大米的质量。
我们的思想可以用几个字来形容, 即: 聚少成多, 聚微成宏。
生活中一些物品个体单位和生活中常用的单位分别是什么？（PPT）[讲述]我们发现生活中大的物件一般就用它的个体单位表示, 如电脑用“台”, 而小的物件一般用许多个体的集合, 当做一个整体来表示, 如大米, 一般用“个”的集合“包”、“斤”来表示那么我们怎么去计量微观粒子呢？需要用集合体的形式学生阅读课本完成学案1. 物质的量(1)物质的量是表示含有有一定数目粒子的集体的物理量,符号：n(2)单位: 摩尔, 是国际单位制七个基本单位之一, 符号为mol物质的量同长度, 质量, 时间等一样也是一个基本物理量, 摩尔是它的单位。
长度用来表示物体的长短, 温度表示物体的冷热程度, 物质的量是用来表示物质所含粒子集合体数目的多少。
注意: 1、物质的量是一个整体；2.物质的量所表示的是微观粒子或微观粒子的集合体。
3、物质的量的适用范围是微观粒子（分子、原子、离子、电子等）,使用物质的量时必须指明粒子的种类（一般使用化学式）。
表示: 数+单位+微粒名称设问: 每个基本物理量都有自己的基准, 如质量单位——千克的标准是国际千克原器, 那么物质的量的基准是什么呢？多少是一摩尔呢？问题1：我们需要100支粉笔, 同学们要去数100支粉笔吗？100支粉笔我们可以取两盒粉笔, 一盒是50支。
高二政治《人生价值的实现》教案
⾼⼆政治《⼈⽣价值的实现》教案 教案是教师为顺利⽽有效地开展教学活动，根据教学⼤纲和教科书要求及学⽣的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学⽅法等进⾏的具体设计和安排的⼀种实⽤性教学⽂书。
下⾯是店铺为⼤家整理的⾼⼆政治《⼈⽣价值的实现》教案，欢迎参考! ⾼⼆政治《⼈⽣价值的实现》教案 第⼆节⼈⽣价值的实现 ⼀、教学⽬标提⽰ (⼀)识记 1、个⼈的素质主要包括思想政治素质、道德素质、科学⽂化素质、⼼理素质和⾝体素质; 2、实现⼈⽣价值的主客观条件; 3、拜⾦主义的含义; (⼆)理解 1、实现⼈⽣价值需要社会提供⼀定的客观条件; 2、实现⼈⽣价值需要发挥主观能动性，创造必要的主观条件; 3、贡献与索取是相辅相成的两个⽅⾯; 4、拜⾦主义和享乐主义是社会主义的腐蚀剂，对社会主义物质⽂明和精神⽂明建设、对青少年的健康成长具有极⼤的腐蚀作⽤。
(三)运⽤ 1、根据充分发挥主观能动性的原理，结合个⼈的切⾝体验，分析实现⼈⽣价值需要的主观条件; 2、能够运⽤具体事例说明只讲索取不讲贡献是⽚⾯的、错误的认识，只有在⽆私奉献中才能实现⾃⼰的⼈⽣价值; 3、能够运⽤正反两⽅⾯的事实，⽐较、认识拜⾦主义和享乐主义的错误实质及危害性。
⼆、重点难点突破 (⼀)实现⼈⽣价值的主观条件 1、要全⾯提⾼个⼈素质。
个⼈素质包括思想政治素质、道德素质、科学⽂化素质、⼼理素质和⾝体素质。
对个⼈素质要做具体分析，明确个⼈素质的各个⽅⾯在实现⼈⽣价值中的作⽤。
第⼀，良好的思想政治素质能使我们正确认清社会发展的客观规律，把⾃⼰的⼈⽣选择建⽴在科学认识的基础上，不致迷失⽅向;能使我们较好地处理⼈⽣道路上遇到的⽭盾，全⾯地、辩证地对待⼈⽣。
第⼆，提⾼个⼈道德素质，既是个⼈成才、实现⼈⽣价值的需要，⼜是建设社会主义物质⽂明和精神⽂明的需要。
第三，为振兴中华⽽学习，努⼒把⾃⼰锻炼成为社会主义现代化建设的合格⼈材，是新世纪青年肩负的使命。
跟踪演练·强化提升 10.1
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跟踪演练·强化提升【课堂达标检测】1.利用所学物理知识,可以初步了解常用的公交一卡通(IC卡)的工作原理及相关问题。
IC卡内部有一个由电感线圈L和电容C构成的LC振荡电路,公交车上的读卡机(刷卡时“嘀”的响一声的机器)向外发射某一特定频率的电磁波。
刷卡时,IC卡内的线圈L中产生感应电流,给电容C充电,达到一定的电压后,驱动卡内芯片进行数据处理和传输。
下列说法正确的是( )A.IC卡工作所需要的能量来源于卡内的电池B.仅当读卡机发射该特定频率的电磁波时,IC卡才能有效工作C.若读卡机发射的电磁波偏离该特定频率,则线圈L中不会产生感应电流D.IC卡只能接收读卡机发射的电磁波,而不能向读卡机传输自身的数据信息【解析】选B。
IC卡工作所需要的能量来源于读卡机,IC卡本身没有能量,选项A错误;根据IC卡设计原理,只有读卡机发射特定的电磁波时,IC卡才能有效工作,选项B正确;若读卡机发射的电磁波偏离特定频率,根据电磁感应的原理,线圈L中也会有感应电流,但电容C不能达到一定的电压,IC卡不能有效工作,选项C错误;IC卡可以向读卡机传输自身的数据信息,否则读卡机不能正常工作,选项D错误。
2.两个大小不同的表面绝缘金属圆环如图所示叠放在一起,小圆环有一半面积在大圆环内,当大圆环通上顺时针方向电流的瞬间,小圆环中感应电流的方向是( )A.顺时针方向B.逆时针方向C.左半圆顺时针,右半圆逆时针D.无感应电流【解析】选B。
根据安培定则知,当大圆环中电流为顺时针方向时,大圆环所在平面内的磁场是垂直于纸面向里的,而环外的磁场方向垂直于纸面向外。
虽然小圆环在大圆环里外的面积一样,但环里磁场比环外磁场要强,净磁通量还是垂直于纸面向里。
由楞次定律知,感应电流的磁场阻碍向里方向的磁通量的增强,应垂直于纸面向外,再由安培定则得出小圆环中感应电流的方向为逆时针方向,B选项正确。
《上学路上》教学教案
《上学路上》教学教案一、教学目标：1. 让学生了解和掌握基本的交通规则和交通安全知识。
2. 培养学生自觉遵守交通规则和注意交通安全的良好习惯。
3. 提高学生对生活中可能遇到的交通安全问题的应对能力。
二、教学内容：第一课时：认识交通规则和标志1. 学习基本的交通规则，如红灯停、绿灯行、黄灯亮时要注意等。
2. 认识各种交通标志，如禁止通行、行人过街、车道指示等。
第二课时：交通安全的重要性1. 讨论交通安全对个人和社会的意义。
2. 分析常见交通事故的原因和预防措施。
第三课时：步行上学的安全常识1. 学习步行上学的正确路线和行为规范。
2. 了解步行上学时可能遇到的风险和应对方法。
第四课时：骑自行车上学的安全常识1. 学习骑自行车上学的正确方法和行为规范。
2. 了解骑自行车上学时可能遇到的风险和应对方法。
第五课时：综合实践活动1. 组织学生进行交通安全模拟活动。
2. 让学生结合所学知识，自己设计安全上学路线和行为规范。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解交通规则和交通安全知识。
2. 采用案例分析法，分析交通事故的原因和预防措施。
3. 采用模拟实践法，让学生在模拟环境中学习交通安全。
四、教学评价：1. 学生能熟练掌握基本的交通规则和交通安全知识。
3. 学生在综合实践活动中能运用所学知识，设计出安全的上学路线和行为规范。
五、教学资源：1. 交通安全宣传资料，如海报、宣传册等。
2. 交通安全模拟道具，如交通标志、交通信号灯等。
3. 交通安全教学视频或动画。
六、教学步骤：1. 引入新课：通过一个交通安全宣传短片，引导学生关注上学途中的交通安全问题。
2. 讲解交通规则：讲解基本的交通规则，如红灯停、绿灯行、黄灯亮时要注意等，并解释遵守交通规则的重要性。
3. 认识交通标志：介绍常见的交通标志，如禁止通行、行人过街、车道指示等，并让学生识别和理解这些标志的含义。
4. 讨论交通安全的重要性：组织学生展开讨论，让学生认识到交通安全对个人和社会的重要性，并分析常见交通事故的原因和预防措施。
安徽疫情期间网课跟踪训练必修一第1节从生物圈到细胞解析版
第1节从生物圈到细胞（解析版）[对点训练]题组一生命活动离不开细胞1．“艾滋病”是当今社会各界特别关注的一种疾病。
关于艾滋病病毒(HIV)，下列叙述正确的是()A．HIV是一种单细胞生物，在分类上属于原核生物B．由于HIV体内只有一种细胞器，所以其营寄生生活C．获取大量HIV的方法是将其接种在营养物质齐全的培养基上培养D．HIV的生命活动离不开最基本的生命系统答案D解析艾滋病病毒(HIV)不具有细胞结构，属于非细胞生物；艾滋病病毒不具有细胞器；病毒营寄生生活，因而培养病毒的方法是将其接种在含有宿主细胞的培养基上培养。
2．(2018·武汉调研)下列事实中，没有支持“生命活动离不开细胞”观点的是() A．HIV病毒由蛋白质和核酸组成B．乙肝病毒依赖人体肝细胞生活C．草履虫会逃避有害刺激D．父母亲通过精子和卵细胞把遗传物质传给下一代答案A解析蛋白质和核酸是病毒的化学组成，但并不能说明“生命活动离不开细胞”，A正确。
3．(2017·安徽师大附中高一上学期期中)下列实例中，能说明生命活动离不开细胞的是()①流感病人打喷嚏时，会有大量流感病毒随飞沫散布于空气中②手触碰到盛有沸水的电水壶会迅速缩回③体操运动员完成单杠动作离不开肌肉细胞的收缩和舒张④人的胚胎发育过程中，细胞不断地进行分裂增殖A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④答案B解析流感病毒没有细胞结构，必须寄生在活细胞中才能生存，但流感病人打喷嚏时，会有大量流感病毒随飞沫散布于空气中，这不能说明生命活动离不开细胞，①错误。
题组二生命系统的结构层次4．从生命系统的结构层次来分析，下列属于种群的是()A．池塘中的一群鱼B．培养基被污染后除大肠杆菌外，又滋生了别的细菌和真菌C．培养皿中的大肠杆菌菌落D．在一棵枯树枝上生活着蚂蚁，长满了苔藓答案C解析种群是指一定的自然区域内，同种生物的所有个体，培养皿中的大肠杆菌菌落属于一个种群。
5．(2017·河北省邯郸市高一上学期期末)小麦是我国北方的重要农作物，有关麦田中生命系统结构层次的说法正确的是()A．小麦是由不同系统构成的一种植物B．麦田中的所有植物和动物构成一个群落C．麦田中生物最基本的结构层次是化学元素D．麦田土壤中的一个酵母菌既属于细胞层次也属于个体层次答案D解析植物没有系统这一结构层次，A错误；群落为同一时间内聚集在一定区域中各种生物种群的集合，B错误；麦田中生物最基本的结构层次是细胞，C错误；酵母菌是单细胞生物，故一个酵母菌既属于细胞层次也属于个体层次，D正确。
《全等三角形》教学设计
新人教版八年级数学上册第12章《全等三角形》-----12.2三角形全等的判定（第一课时）教学设计一、教学内容解析：中学阶段重点研究的两个平面图形的关系是全等和相似。
本章以三角形为例研究全等。
对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路。
而且全等是一种特殊的相似。
全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。
本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理能力，主要包括用分析法--分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式。
以及掌握几何证明题的一般过程。
由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章内容也是后面将学习的等腰三角形、平行四边形、圆等内容的基础。
二、教学目标设置：【学习目标】:经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“边边边”判定的方法；体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，在探索过程中，培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.【学习重点】：探索三角形全等的条件，会用“边边边”判定两个三角形全等。
【学习难点】：三角形全等的“边边边”判定方法的应用三、学生学情分析：在七年级的几何学习中，学生学习了线段、角等基本几何元素，研究了相交线与平行线、三角形等基本几何图形，积累了一些几何研究的经验。
在七年级学习的“平行线的性质与判定”的关系有利于学生理解全等三角形的性质与判定，对于研究几何图形的思想和方法形成了一定的认识。
因此在教学中充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿教学，从而通过本章的学习进一步强化这些经验。
另外经过一年的师生相处，师生彼此相当熟悉，配合默契，对于一些问题的处理和教学活动的安排已然形成了一定的做法，对于一些固有的规则和要求学生也心里很明确，也为教学活动的开展顺利进行奠定了良好的基础。
三、教学策略分析：三角形全等的判定是全等三角形中重要内容之一，在教学中主要通过分析“性质与判定”的关系，猜测将性质中的条件选取部分能否更简捷方便判断两个三角形全等入手。
高二选修椭圆教学案及课后巩固试题
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：① 清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,abc +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ． ※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）． A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程： ※ 当堂检测1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆 C ．无轨迹 D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． 课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-=．2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求n 的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)学习目标1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？ 小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程． ※ 当堂检测1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．课后作业1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．椭圆及其标准方程 第一课时 随堂巩固1．已知椭圆的焦点分别为)4,0(),4,0(-，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆的方程为（ ）A ．1162522=+y x B ．192522=+y x C ．1162522=+x y D ．192522=+x y 2．已知椭圆的方程为116222=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围为（ ） A ．044≠≤≤-m m 且 B ．044≠<<-m m 且 C ．44-<>m m 或 D ．40<<m3．设P 是椭圆1162522=+y x 上的点，若21F F 、是椭圆上的两个焦点，则21PF PF +=( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 （08年上海高考.12） 4．到两定点)0,2()0,2(21F F 、-的距离之和为4的点的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．圆 D ．两条射线5．椭圆192522=+y x 的两焦点之间的距离为 6．椭圆1922=+y x 与x 轴交点的坐标为 强化训练1．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．6 或 2 B ．3 C ．5 或 3 D ．82．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．83．设P 是椭圆1121622=+y x 上的点，P 到两焦点21F F 、的距离之差为2，则21F PF ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形4．椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．43±B ．22±C ．23± D ．43±（09江苏苏州质检）5．点)23,22(b a P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x （ ）A ．内部B ．外部C ．上D ．不确定6．两椭圆19722=+y x 与)70(17922<<=-+-k ky k x 有（ ） A ．相同的焦点 B ．不同焦点但焦距相同 C ．不同焦点且不同焦距 D ．以上都不对 7．已知动圆C 和定圆1C ：64)4(22=-+y x 内切而和定圆4)4(:222=++y x C 外切，设动圆C 的圆心为),(y x C ，则=+22925y x8．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若,1222=+B F A F 则AB =9．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点)4,3(P ，若21PF PF ⊥，试求椭圆方程10．求以椭圆455922=+y x 的焦点为焦点，且经过点)6,2(M 的椭圆的标准方程11．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积第二课时 随堂巩固1．若椭圆的焦距为6，椭圆上一点到两个焦点的距离的和为10，则椭圆的标准方程为（ ）A ．1162522=+y x B ．1162522=+y x 或 1162522=+x y C ．192522=+y x 或 192522=+x y D ．192522=+y x2．把椭圆1162522=+y x 上的每个点的纵坐标缩短为原来的一半，横坐标不变，所得的方程为（ ）A ．182522=+y x B ．1322522=+y x C ．142522=+y x D ．1642522=+y x 3．已知C B 、是两个定点，6=BC ，若顶点A 的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x ，则ABC ∆的周长为（ ）A ．6 B ．8 C ．10 D ．164．点P 是椭圆192522=+y x 上一点，以点P 以及焦点21F F 、为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是5．已知椭圆的焦点是21F F 、，P 是椭圆上的一个动点，如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是强化训练1．已知)1,0()1,0(B A 、-两点，ABC ∆的周长为6，则ABC ∆的顶点C 的轨迹方程（ ）A ．)2(13422±≠=+x y xB ．)2(13422±≠=+y x y C ．)0(13422±≠=+x y x D ．)0(13422±≠=+y x y 2．从圆3622=+y x 上任意一点P 作x 轴的垂线段P P '，M 在线段P P '的延长线上，且P P PM '=2，则M 的轨迹方程为（ ）A ．193622=+y x B ．193622=+x y C ．11083622=+y x D ．13243622=+y x 3．椭圆)0(12222>=+-k k m y m x 焦点在y 轴上，则m 的取值范围是（ ） A ．21>m B ．121<<m C ．1>m D ．121<<m 或1>m 4．直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．)5,0( C ．[)),5(5,1+∞ D ．)5,1(5B A 、,3=分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，若3231+=, 则点P 的轨迹方程为6．已知AB 为经过)0(12222>>=+b a by a x 中心的弦，)0,(c F 为椭圆的右焦点，则ABF ∆的面积最大值是7．已知椭圆的中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、, 求椭圆方程8．ABC ∆的三边c b a 、、成等差数列且满足C A c b a 、,>>两点的坐标分别是)0,1()0,1(、-，求顶点B 的轨迹9．线段AB 的两个端点B A 、分别在x 轴、y 轴上滑动，100=AB ，点M 是线段AB 上一点，且20=AM ，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程10．已知椭圆8222=+y x 和点),1,4(P 过P 任作直线交椭圆于B A 、两点，求AB 中点轨迹11．动圆与定圆032422=-++x y x 内切且过定点)0,2(A ，求动圆圆心M 的轨迹方程12．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案
第一节 不等式和绝对值不等式第一课时 不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．（2）如果a －b ＞0，则 ；如果a －b ＝0，则 ；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： （1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)． （8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得 不等式；②c ＝0时得 ；③c <0时得 不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以 ；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为 时，可以相乘，但不可以 ．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 ，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一 实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结 比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二 不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由． （1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ； （2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三 利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时 基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的 ，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域． （2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； （3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三 利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 （1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时 三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 不小于它们的 ．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是： ，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当 时，等号成立．二、考点例题考点一 用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结 （1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二 用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结 （1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三 用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结 本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时 绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为： ．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当 时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一 含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二 绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结 （1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<<b a ，则b a b a -++与2的大小关系是 ( )A ．2>-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时 绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为 或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式： （1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三 含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解； （2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节 证明不等式的基本方法第一课时 比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论． 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若 ，则a >b ；若 则a <b ； ②b <0，若 则a <b ；若 则a >b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定 ；⑤得出结论．二、考点例题考点一 作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结 （1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二 作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三 比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 方法规律小结 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时 综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或 法，是由 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推出所要证明的结论成立． （2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或 法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的 条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止． （2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二 用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆． 跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三 综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明． （2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。
对数——精选推荐
对数（第一课时）【自学导引】1．如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数等于零；(2)底的对数等于1；(3)零和负数没有对数． 3．通常将以10为底的对数叫做常用对数；以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lgN ，log e N 简记为lnN ．【思考导学】1．在对数定义中，为什么也要限定a ＞0且a ≠1?答： 因为对数概念源出于指数，对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 转化而来，对数的底数就是指数的底数，而a b＝N 中要使它对任意实数b 都有意义，必须a ＞0且a ≠1，所以对数式中也必须要求a ＞0且a ≠1．2．为什么1的对数等于零，底的对数等于1，零和负数没有对数？ 答： 当a ＞0且a ≠1时，a 0＝1，即a 的零次幂为1，所以0就是以a 为底1的对数；a 1＝a ，即a 的1次幂为a ，所以1就是以a 为底a 的对数；在a b ＝N 中，对任意实数b ，都有a b＞0，即N ＞0，所以不存在实数b ，使a b≤0，即零和负数是没有对数的．【典例剖析】［例1］根据对数定义，把下列指数式写成对数式：(1)3x ＝271； (2)(41)x ＝64； (3)(21)x ＝161； (4)215 ＝51．解： (1)log 3271＝x (2)log 4164＝x (3)log 21161＝x (4)log 551＝－21 点评： 由于指数式a b ＝N 和对数式log a N ＝b(a ＞0，a ≠1)可以相互转化．因此，本题容易由指数式改写成对数式，但要注意两种表示形式中a 、b 、N 的相应位置．改写时首先弄清指数式中谁是b ，谁是N ，注意对数符号的写法，特别是底数和真数位置要书写规范．［例2］根据对数定义，把下列对数式写成指数式： (1)log a 1＝0(a ＞0且a ≠1) (2)log 1621＝－41 (3)lg0.0001＝－4(4)lg2＝0.3010解： (1)a 0＝1(a ＞0且a ≠1) (2)1641-＝21 (3)10－4＝0.0001 (4)100.3010＝2点评： 对数式改写成指数式仍然依据对数定义，利用指数和对数式的转化关系．但改写的指数式必须是恒等式时原对数式才是正确的，改写时也要注意a ，b ，N 的位置．［例3］求下列各式中的x 值: (1)x ＝log 2791； (2)log 21x ＝－4；(3)log x 8＝－3． 解： (1)把x ＝log 2791化为27x＝91，即33x ＝3－2∴x ＝－32(2)把log 21x ＝－4化为x ＝(21)－4＝16 (3)把log x 8＝－3化为x －3＝8， 即x ＝831-＝21 点评： 对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化求出另外一个．【随堂训练】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．2731-＝31与log 2731＝－31 C ．log 39＝2与921＝3D ．log 55＝1与51＝5解析：log 39＝2应改写成指数式为32＝9． 答案：C2．如果N ＝a 2(a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log N a ＝2D ．log a N ＝2解析：N ＝a 2改写成对数式正确的写法为：logaN ＝2． 答案：D3．若log (x －1)(x －1)＝1，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ＞1 C ．x ≠2D ．x ＞1且x ≠2解析：使log (x －1)(x －1)＝1有意义 需x －1＞0且x －1≠1，∴x ＞1且x ≠2． 答案：D4．若log a N ＝b(a ＞0且a ≠1)，则下列等式正确的是( ) A ．N ＝a 2b B ．N ＝2a b C ．N ＝b 2a D ．N 2＝a b解析：把log a N ＝b 写成N ＝a b ，∴N ＝(a b)2＝a 2b答案：A5．log 22＝______，log 24＝______，log 28＝______，log 216＝______， log 21＝______， log 221＝______， log 241＝______， log 281＝______． 解析：令x ＝log 22n ，则2x ＝2n ，∴x ＝n答案：1 2 3 4 0 －1 －2 －36．(1)若x ＝lg0.01，则10x ＝______，x ＝______． (2)若y ＝lg 10，则10y ＝______，y ＝______． (3)若y ＝x 3(x ＞0且x ≠1)则log x y ＝______．解析：(1)写成指数式：10x＝0.01，∴10x＝10－2，∴x ＝－2． (2)写成指数式：10y＝10，∴10y＝1021，∴y ＝21． (3)写成对数式：log x y ＝3． 答案：(1)0.01 －2 (2)10 21(3)3【强化训练】1．下列说法中错误的是( ) A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可化为对数式C ．以10为底的对数叫做常用对数D ．以e 为底的对数叫做自然对数解析：A 是对数的性质，C 是常用对数定义，D 是自然对数定义，显然正确．对于B ，如果任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但对于整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(－5)2＝25，但不能写成log (－5)25＝2．答案：B2．指数式b 2＝a(b ＞0且b ≠1)相应的对数式是( ) A ．log 2a ＝b B ．log 2b ＝aC ．log a b ＝2D ．log b a ＝2解析：由b 2＝a 得log b a ＝2． 答案：D 3．在对数式logN a 1-＝b 中，下列对a ，b ，N 的限制条件中正确的是( )A ．a ＞1，N ≥0，b ∈RB ．a ＞1且a ≠2，N ≥0，b ＞0C ．a ＞1且a ≠2，N ＞0，b ∈RD ．a ＞1且a ≠2，N ＞0，b ＞0解析：在对数式中底数是1-a ，∴1-a ＞0且1-a ≠1 ∴a ＞1且a ≠2，N 是真数，∴N ＞0，即N ＞0，b 是对数值．它可以是任一实数，即b ∈R ． 答案：C4．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝10；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2，其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0；由10＝lgx ，则x ＝1010≠10；由e ＝lnx 得x ＝e e ≠e 2． 答案：C5．若log 3(921x -)＝1，则x ＝_______；若log 2003(x 2－1)＝0，则x ＝______． 解析：由已知921x-＝3解得x ＝－13由1的对数等于零得x 2－1＝1，∴x 2＝2 ∴x ＝±2． 答案：－13 ±26．log 6［log 4(log 381)］＝________．解析：log 6［log 4(log 334)］＝log 6(log 44)＝log 61＝0答案：07．将下列指数式写成对数式： (1)27＝128， (2)54＝625， (3)3431＝7－3 (4)0．000001＝10－6， (5)(101)b＝m ， (6)100．6990＝5．解： (1)log 2128＝7，(2)log 5625＝4， (3)log 73431＝－3，(4)lg0．000001＝－6 (5)log101m ＝b ，(6)lg5＝0.69908．将下列对数式写成指数式： (1)log 3243＝5， (2)log 22561＝－8， (3)log 4164＝－3， (4)lg π＝n ，(5)lnN ＝e ， (6)log a 3＝2． 解： (1)35＝243， (2)2－8＝2561， (3)(41)－3＝64，(4)10n ＝π，(5)e e ＝N ，(6)a 2 ＝3(a ＞0且a ≠1)9．求下列各式的值：(1)lg1000 (2)log 21024 (3)log 0.110(4)log 3.512.25 解： (1)∵103＝1000，∴lg1000＝3， (2)∵210＝1024，∴log 21024＝10， (3)∵0.1－1＝10，∴log 0.110＝－1， (4)∵3.52＝12.25，∴log 3.512.25＝2．10．求出log 39，log 327，log 381，log 3243的值，由此推测出log 33n 的值，并利用对数定义证明你的结论．解： ∵32＝9，33＝27，34＝81，35＝243．∴log 39＝2，log 327＝3，log 381＝4，log 3243＝5， 一般地log 33n ＝n ．证明如下：∵3n ＝3n 把等式左边的3看成底数a ，n 看成指数b ，把等式右边的3n 看成N ，改成对数式即：log 33n ＝n ．【学后反思】1．理解对数定义，应结合指数，掌握对数概念的同时也加深了指数概念的理解，过去指数式写成a b，现在写成a b＝N ，这里的N 就是a 的b 次幂的值，由a b＝N 改写成log a N ＝b ，即转化到对数概念了．注意a 、N 、b 的位置和取值范围．2．对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．另外要熟练运用对数的性质．教学内容：对数（第二课时）【自学导引】1．若a ＞0且a ≠1，则a b ＝N ⇔log a N ＝b ．2．设a ＞0且a ≠1，则a b＝N 可化为log a N ＝b ，log a N ＝b 可化为a b＝N ．将a b＝N 中的b 用b ＝log a N 中的log a N 代替可得Na a log ＝N ，将log a N ＝b 中的N 用N ＝a b 中的a b 代替可得log a ab＝b ．3．3log 22＝ 3，10lg5＝5， 21log33＝21， log 39＝2，lg10－3＝－3，lne 7＝7．【思考导学】1．对数式与指数式互化的依据是什么？答： 对数式与指数式互化的依据是由对数的定义，可以把a b ＝N 写成log a N ＝b ，从而为对数的计算、化简、证明等问题开辟了广阔的前景和提供了更多的解题途径．2．在指数式a b＝N 和对数式log a N ＝b(a ＞0且a ≠1)中已知a 、b 、N 中的两个值可求另外一个的值，应怎样求？答： 若已知a ，b 的值求N ，利用指数式求，即N ＝a b． 若已知a ，N 的值求b ，利用对数式求，即b ＝log a N ． 若已知b ，N 的值求a ，则利用a b ＝N 解关于a 的方程． 但应注意a 的范围及问题对a 的范围的要求．【典例剖析】 ［例1］计算：(1)110log 255- (2)log12-(3＋22)解：(1) 110log 255-＝2510log 5÷5＝102÷5＝20 (2)log12-(3＋22)＝ log12-(2＋1)22)12(loglog 212)12(1122-=-==----点评： Na alog ＝N ，log a a b ＝b 是两个重要的对数恒等式，利用它们可以有效地进行对数式的恒等变形，达到化简或求值的目的．［例2］已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值．解： log a 2＝m 与log a 3＝n 可化为a m＝2，a n＝3． ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12．点评： 本题充分体现了指数式和对数式的相互转化功能．将对数式化为指数式后就把对数运算转化为指数运算，从而可运用已学的指数运算性质求值．【随堂训练】1．下列各式不正确的是( ) A ．4log a a ＝4(a ＞0且a ≠1) B ．log a a 2＝2(a ＞0且a ≠1) C ．x 2log 2＝x D ．3log 3＝1解析：3log 3＝3log (3)2＝2． 答案：D 2．对数式)32(log 32+-的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．不存在 解析：)32(log 32+-＝321log 32)32)(32(log 3232-=--+--＝132)32(log ---＝－1 答案：A3．若3x ＝2，则log 38－log 34，用x 表示为( ) A ．3x B ．2xC ．xD ．x 3－x 2解析：∵3x ＝2，∴log 32＝x ．∴log 38－log 34＝log 323－log 322＝3x －2x ＝x 答案：C4．10lg100＝______，e ln π＝______． 解析：根据对数恒等式10lgN ＝N 得 10lg100＝100，e ln π＝π 答案：100 π 5．log12-(2＋1)＝______，log327＝______．解析：根据对数恒等式log a a b ＝b 得 log 12-(2＋1)＝ log 12-(2－1)－1＝－1， log327＝ log333＝ log3(3)6＝6．答案：－1 6【强化训练】1．使对数式log 22-x (x －2)有意义的x 的范围是( ) A ．x ＜－2或x ＞2 B ．x ＞2C ．x ＞2且x ≠2＋1D ．x ＞2且x ≠2＋1解析：由得⎪⎩⎪⎨⎧≠->->-12020222x x x ⎪⎩⎪⎨⎧±≠>-<>3222x x x x 或，∴x ＞2答案：B2．下列等式成立的有( ) ①lg1001＝－2，②log 333＝23，③5log 22＝5，④e lne ＝1，⑤3lg3＝3，⑥5ln5＝5 A ．①②③ B ．①②③④C ．①②③④⑤D ．①②③④⑤⑥解析：④e lne ＝e ，⑤、⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等． 答案：A 3．log (tt ++1)(t t -+1)的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．随t 的变化而变化 解析：∵(t t ++1)(t t -+1)＝1 ∴t t ++1＝1)1(11-++=++t t tt∴log (tt ++1)(t t -+1)＝log (tt ++1)(t t ++1)－1＝－1答案：C4．e ln(lg10)＝______，(21)2213log ＝______解析：e ln(lg10)＝lg10＝1，(21)2213log ＝32＝9．答案：1 95．log 3127＝______，log 4121＝______ 解析：log 3127＝.3)31(log 3log 331231-==-21)41(log 21log 214141==答案：－3216．计算：(10)54lg22-解：(10)54lg22-＝22554101010101054lg54lg1)54lg 22(21=÷=÷==-- 7．求证：log a N n＝nlog a N(a ＞0且a ≠1，N ＞0)． 证明：设log a N ＝b ，则N ＝a b ． ∴N n ＝(a b )n ＝a nb ，即a nb ＝N n∴log a N n＝nb ＝nlog a N ．8．已知lg3＝m ，lg5＝n ，求1003m －2n 的值． 解：∵lg3＝m ，lg5＝n ∴10m ＝3，10n ＝5．∴1003m －2n ＝102(3m －2n)＝106m ÷104n ＝(10m )6÷(10n )4＝36÷54＝625729．【学后反思】1．理解对数式的意义是非常重要的，也是最容易在解题中被忽略的，只要有对数符号存在，就必须使真数大于零，底数大于零且不等于1．2．要充分认识指数式和对数式相互转化的功能，熟练掌握对数式的恒等变形．对数（第三课时）【自学导引】1．如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N ； (2)log aNM＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝nlog a M(n ∈R )．2．对数的运算性质用语言叙述为：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n 次幂的对数等于这个正数的对数的n 倍．【思考导学】1．对数运算性质的实质是什么？答：对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2．运用对数运算性质时应注意什么？答：运算性质只有当M ＞0，N ＞0，a ＞0且a ≠1时才有意义，如log 220＝log 2［(－4)×(－5)］是成立的，但log 2［(－4)×(－5)］＝log 2(－4)＋log 2(－5)就不成立，这是因为log 2(－4)和log 2(－5)没有意义．【典例剖析】［例1］(1)用lg2和lg3表示lg75． (2)用log a x ，log a y ，log a z 表示log a3324xyzz y x ⋅．解：(1)lg75＝lg(25×3)＝lg(52×3)＝2lg5＋lg3＝2lg 210＋lg3＝2(1－lg2)＋lg3＝2－2lg2＋lg3(2)原式＝log a (x 4·32z y )－log a3xyz＝4log a x ＋31log a (y 2z)－21log a (xyz 3) ＝4log a x ＋31(2log a y ＋log a z)－21(log a x ＋log a y ＋3log a z)＝27log a x ＋61log a y －67log a z 点评：用已知对数表示未知对数，就是把要表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质．注意运算性质只有在同底的情况下才能运算．第(2)题中没有指明a 、x 、y 、z 的范围，这时我们就认为是使每个对数符号都有意义的a 、x 、y 、z 的最大范围，即a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，z ＞0．［例2］计算下列各式(1)log 3(813) (2)lg20＋lg50(3)125lg )5(lg 2+-解： (1)log 3813＝log 381＋log 33＝log 334＋log 3321＝4＋21＝29． (2)lg20＋lg50＝lg(20×50)＝lg1000＝lg103＝3．(3)125lg )5(lg 2+-＝222)1210(lg)15(lg 15lg 2)5(lg -=-=+-.2lg )12lg 1(2=--=点评： 对数运算性质可以正用，也可以反用．关键是如何用好的问题，只有通过练习，才能掌握运用技巧．［例3］求证：(1)lg5＝1－lg2，(2)log a b ·log b a ＝1(a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)． 证明：(1)∵lg5＋lg2＝lg10＝1 ∴lg5＝1－lg2．(2)设log a b ＝p ，则a p＝b ∴a ＝b p1 ∴p1＝log b a ∴log a b ·log b a ＝p1·p ＝1 点评： 证明对数等式时，首先考虑运算性质，如果不能运用性质，则应考虑把对数式化成指数式，然后用指数运算性质变形后再化成对数式．【随堂训练】1．设a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R 且n ≠0，则下列等式正确的是( ) A ．log a (M ＋N)＝log a M ＋log a N B ．log a (M －N)＝log a M －log a N C ．log a (MN)＝log a M ·log a N D ．log a n M ＝n1log a M 解析：运用幂的运算性质：log a n M ＝log a M n1＝n1log a M ． 答案：D2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是( ) A ．lg(x 2y z )＝(lgx)2＋lgy ＋z lg B ．lg(x 2y z )＝(lgx)2＋lgy ＋2lgz C ．lg(x 2y z )＝2lgx ＋lgy －2lgzD ．lg(x 2yz )＝2lgx ＋lgy ＋21lgz解析：lg(x 2y z )＝lgx 2＋lgy ＋lgz 21＝2lgx ＋lgy ＋21lgz 答案：D3．下列等式成立的是( )A ．log 2［(－3)(－5)］＝log 2(－3)＋log 2(－5)B ．lg(－10)2＝2lg(－10)C ．log 2［(－3)(－5)］＝log 23＋log 25D ．log 3(－3)3＝－log 333解析： 真数为负数时对数没有意义，A 、B 、D 均不成立． 又log 2［(－3)(－5)］＝log 2(3×5)＝log 23＋log 25 答案：C4．已知a ＝lgx ，则a ＋3等于( ) A ．lg(3x) B ．lg(x ＋3) C ．lgx3D ．lg(1000x)解析：a ＋3＝lgx ＋lg103＝lgx ＋lg1000＝lg(1000x) 答案：D5．求下列各式的值(1)log 354－log 32＝______； (2)lg1000－lg100＋lg10－lg 101＝______； (3)log 441＋log 481＝______； (4)log 24·log 42＝______． 解析：(1)原式＝log 3254＝log 327＝3 (2)原式＝3－2＋1－(－1)＝3 (3)原式＝log 44－1＋log 4341＝－1＋log 4423＝－1－23＝－25 (4)原式＝log 222·log 4421＝2×21＝1． 答案：(1)3 (2)3 (3)－25(4)1 6．若lg2＝0．3010，则lg5＝______，lg20＝______，lg200＝______，lg21＝______， lg201＝______，lg2n ＝______． 解析：lg5＝lg 201＝1－lg2＝1－0．3010＝0．6990lg20＝1＋lg2＝1.3010， lg200＝2＋lg2＝2.3010， lg21＝lg2－1＝－lg2＝－0.3010lg201＝－lg20＝－(1＋lg2)＝－1.3010 lg2n ＝nlg2＝0.3010n答案：0.6990 1.3010 2.3010－0.3010 －1.3010 0.3010n【强化训练】1．下列结论中不正确的是( ) A ．lgM n1＝n1lgM(M ＞0) B ．lg nM n 1lgM(M ＞0) C ．lgM n1＝nlgM(M ＞0) D ．lgM nm ＝nmlgM(M ＞0) 解析：四个结论均是幂的对数运算性质的特例．其中lgM n1＝n1lgM(M ＞0) 答案：C2．已知lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)，则log yx2的值的集合是( ) A ．2 B ．2或0 C ．4D ．4或0解析：由已知xy ＝(x －2y)2，∴x 2－5xy ＋4y 2＝0 ∴x －y ＝0或x －4y ＝0 ∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＝1或yx＝4 ∴log2yx＝log 21＝0或log 2yx＝log 24＝log 2(2)4＝4． 答案：D3．2log 525＋3log 264－8ln1等于( )A ．220B ．8C ．22D ．14解析：原式＝2×2＋3×6－8×0＝4＋18＝22． 答案：C4．设log 3a －log 3b ＝k(k ∈N )，则a 是b 的( ) A ．k 倍 B ．3k 倍 C ．3k 倍 D ．3k倍解析：log 3a －log 3b ＝k ，即log 3ba＝k ∴ba ＝3k ，即a ＝3k·b 答案：D5．已知lna 2＝2，则a ＝______． 解析：∵lna 2＝2，∴e 2＝a 2∴|a|＝e ，∴a ＝±e 答案：±e6．求下列各式的值(1)log 3281－log 3216＋log 3220－log 3230＝______．(2)log 2148－log 213＝______．(3)lg1225＋lg48＝______． 解析：(1)原式＝log 3016208132⨯⨯827log 32=＝log 3)32(332-=-(2)原式＝ log 21348＝log 2116＝log 21(21)－4＝－4 (3)原式＝ lg(1225×48)＝lg100＝2 答案：(1)－3 (2)－4 (3)27．求log 2［log 2(log 381)］的值．解： ∵log 381＝log 334＝4∴log 2［log 2(log 381)］＝log 2(log 24)＝log 22＝1 8．用log 32表示log 96．解： ∵log 96＝log 9(2×3)＝log 92＋log 9921＝21＋log 92 令log 92＝b ，则9b ＝2，即(3b )2＝2 ∴3b ＝2，∴log 32＝b ，即b ＝log 3221＝21log 32． ∴log 92＝b ＝21log 32∴log 96＝21＋21log 32 9．计算下列各式： (1)log (23+)(5＋26)；(2))lg(lg 2)lg(lg 2100a a +；(3)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++；(4)lg4＋lg9＋2136lg )6(lg 2+-．解：(1)log (23+)(5＋26)＝2)23(log 2)23(=++(2))lg(lg 2)lg(lg 2100a a +2)lg(lg 2)]lg(lg 2[2)lg(lg 2)lg 100lg(2=++=+=a a a a(3)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++＝12lg 12lg 2lg 6.0lg 112lg =++＝1 (4)lg4＋lg9＋2136lg )6(lg 2+-＝lg36＋216lg 2)6(lg 2+-＝lg36＋2｜lg6－1｜ ＝lg36＋2(1－lg6)＝lg36＋2－lg36＝210．已知a ＋b ＝lg 32＋lg 35＋3lg2·lg5，求a 3＋b 3＋3ab 的值． 解：∵a ＋b ＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2lg5＋lg 25)＋3lg2·lg5＝lg 22－lg2lg5＋lg 25＋3lg2lg5＝(lg2＋lg5)2＝1．∴a 3＋b 3＋3ab ＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＋3ab ＝a 2－ab ＋b 2＋3ab ＝(a ＋b)2＝1．【学后反思】1．准确地掌握对数的运算性质是正确地进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把通过乘、除、乘方、开方运算得到的积、商、幂的对数转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数计算的优越性．2．正确地进行对数运算，要注意底和真数的关系，将真数转化为积、商、幂，并注意对数性质和对数的两个恒等式的运用．3．掌握对数运算性质的正用、反用，了解运算性质的变形用法．对数（第四课时）【自学导引】1．如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，那么由幂的对数的运算性质可得(1)log a M n1＝n 1log a M ，log a M n 1-＝－n 1log a M ．(2)log a M nm＝n m log a M ，log a M n m-＝－nmlog a M ．(3)log a nM n ＝log a M ，log a n M m ＝nmlog a M ． (4)log n a M n ＝logaM ，log m a m n ＝Mnlog a M ． 2．如果a ＞0且a ≠1，那么可利用指数式与对数式的互化可得到：log a b ＝abm m log log (m＞0且m ≠1)，log a b ＝ablg lg ．其中当b ＝m 时有log a b ＝a b log 1．【思考导学】1．证明对数运算性质的依据是什么？简述证明方法．答：依据是对数定义，即对数式与指数式的相互转化．具体证法是：通过把对数式转化为指数式，用指数运算性质变形后，再化为对数式．2．指数式和对数式可以相互转化，那么指数运算性质和对数运算性质有什么联系？ 答：指数的运算性质说明同底的指数幂的乘、除、乘方的运算可以化为幂指数的加、减、乘运算；对数的运算性质说明对真数进行乘、除、乘方运算后求对数可以转化为先求对数再进行加、减、乘法运算．它们都使运算简单化，指数的三条运算性质和对数的三条运算性质是对应的，它们也可以相互转化．如a m · a n ＝a m ＋n 与log a (MN)＝log a M ＋log a N 对应．令a m ＝M ，a n ＝N ，则log a M ＝m ，log a N ＝n ．由a m ＋n ＝MN 知log a (MN)＝m ＋n ＝log a M ＋log a N ，这是对数运算性质的又一证明．【典例剖析】［例1］证明：(1)log n a b ＝n1log a b ； (2)log a b ＝ablg lg ．证明：(1)设n1log a b ＝p ，则log a b ＝np 即(a n )p ＝b ∴log n a b ＝p 因此log a n b ＝n1log a b (2)设lgb ＝p ，lga ＝q ，则10p ＝b ，10q ＝a ∴log a b ＝abq p q p p q q p lg lg 10log 10log 10log 101010==== 即 lg a b ＝ablg lg 点评：本题证明方法和对数运算性质证明方法相同，用此法类似地可证明等式：log a M nm ＝n m log a M ，loga n M m＝n m log a M ，log a b ＝a b m m log log 等，其中log a b ＝ab m m log log 称为对数的换底公式，利用它可以把不同底的对数化为同底的对数，把任一对数化为常用对数和自然对数进行运算．［例2］求下列各式的值：(1)log 84；(2)lg25＋32lg8＋lg5·lg20＋lg 22． 解：(1)log 84＝log2322＝32(2)lg25＋32lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝lg25＋lg832＋lg210lg(10×2)＋lg 22 ＝lg100＋(1－lg2)(1＋lg2)＋lg 22＝3点评：由指数式和对数式的互化推导出了对数的运算性质，对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活应用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用．［例3］(1)若lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg 45； (2)已知log 189＝a ，18b ＝5试用a ，b 表示log 365． 解：(1)lg 45＝lg35＝lg3＋lg 5＝lg3＋21lg 210＝lg3＋21(1－lg2) ＝0.4771＋21(1－0.3010)＝0.8266 (2)由18b ＝5得log 185＝b ∴log 365＝ab-=+-=+=29log )9log 1(25log 9log 2log 25log 36log 5log 1818181818181818点评：已知lg2和lg3的值，可以求2和3的任何积、商、幂的对数值，本例(2)利用了换底公式和指数式化为对数式，充分体现了换底公式的作用．此题也可转化为指数式求得，方法是：由log 189＝a 得18a＝9，又18b＝5，令x ＝log 365，则36x＝5，即(9182)x ＝5．∴xa x )18(182＝18b ，∴182x －ax ＝18b，∴2x －ax ＝b ，∴x ＝a b -2，即log 365＝a b -2．【随堂训练】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2C ．3a －(1＋a)2D ．3a －a 2－1解析：由log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2． 答案：A2．下列各式错误．．的是( ) ①log 101001＝－2，②log 333＝23，③log a 2＋log a 21＝0(a ＞3)，④log 318－log 32＝3， ⑤log 1041－log 1025＝－2， ⑥2log 510＋log 50．25＝2． A ．④ B ．⑤ C ．⑥ D ．全错解析：∵log 318－log 32＝log 3218＝log 39＝2． 答案：A3．设ab ＝M(a ＞0，b ＞0，M ≠1)且log M b ＝x ，则log M a 的值为( ) A ．1－x B ．1＋x C ．x1 D ．x －1解析：∵ab ＝M ，∴a ＝Mb ∴log M a ＝log M Mb＝log M b －log M M ＝x －1． 答案：D4．已知lg2＝a ，lg3＝b ，那么log 36等于( )A ．a ba + B ．b b a +C ．b a a +D ．ba b +解析：log 36＝1＋log 32＝1＋.13lg 2lg bba b a +=+= 答案：B5．已知lg18＝m ，lg108＝n ，则lg375＝______． 解析：∵lg18＝lg2＋2lg3，lg108＝2lg2＋3lg3 由⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=+=+nm mn n m 23lg 322lg 3lg 32lg 23lg 22lg 解得 ∴lg375＝lg(3×53)＝lg3＋3lg5＝lg3＋3(1－lg2)＝(2m －n)＋3－3(2n －3m)＝11m －7n ＋3．答案：11m －7n ＋36．(log 25＋log 4125)(log 54＋log 2564)＝______． 解析：原式＝(log 25＋log 2253)(log 522＋log 2526)＝(log 25＋23log 25)(2log 52＋3log 52) ＝25log 25·5log 52＝225log 25·log 52＝225． 答案：225【强化训练】1．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5的值为( ) A ．4 B ．1 C ．6 D ．3解析：原式＝(lg2＋lg5)3－3lg 22lg5－3lg2lg 25＋3lg2lg5＝1－3lg2lg5(lg2＋lg5)＋3lg2lg5＝1答案：B2．若lnx －lny ＝a ，则ln(2x )3－ln(2y )3等于( ) A ．2aB ．aC ．23a D ．3a 解析：ln(2x )3－ln(2y )3＝3(ln 2x －ln 2y)＝3(lnx －ln2－lny ＋ln2)＝3a 答案：D 3．5log 21122+等于( )A ．2＋5B ．25C ．2＋25 D ．1＋25 解析：5log 21122+＝52225log 2=⋅答案：B4．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则15lg 12lg 等于( ) A ．b a ba +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．ba b a +-+12解析：2lg 13lg 3lg 2lg 2)2103lg(3lg 2lg 215lg 12lg -++=⨯+=a b b a -++=12 答案：C 5．4log 5log 6log 5677⋅⋅＝______．解析：原式＝47774log 7lg 4lg 5lg 4lg 6lg 5lg 7lg 6lg 7===⋅⋅答案：46．已知lg3＝0.4771，lgx ＝－3.5229，则x ＝__________．解析：∵lgx ＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x ＝0.0003答案：0.00037．已知lg2＝a ，lg7＝b ，求log 89.8的值．解：log 89.8＝log 8549＝log 849－log 85 ＝log 3272－log 325＝32log 27－31log 25 ＝aa b a a a b 312131322lg 5lg 312lg 7lg 32-+=-⋅-⋅=⋅-⋅． 8．计算：(1)log 2(8b ·16a )； (2)31log 618＋2log 613．解：(1)由log 2(8b ·16a )＝log 28b ＋log 216a＝blog 28＋alog 216＝3b ＋4a ．(2)由31log 618＋2log 613＝log 61831＋log 61(3)2＝log 612＋ log 613＝ log 61(2×3)＝－1． 9．若2.5x ＝1000，0.25y ＝1000，求证：.3111=-y x 证明：∵2.5x ＝1000，∴x ＝log 2.51000＝3log 2.510＝5.2lg 3 ∴311=x lg2.5，∵0.25y ＝1000 ∴y ＝log 0.251000＝25.0lg 3 ∴25.0lg 311=x ∴3111=-y x (lg2.5－lg0.25)＝31lg 3125.05.2=【学后反思】1．将对数运算性质变形出另外几种表现形式，再推导出对数换底公式后，进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的．2．如果同底的幂相等，幂指数必定相等，同样可知如果两个同底的对数相等，真数也必相等．但在去掉对数符号的同时，一定注明真数大于零．而指数式可以在等式两边取对数，这也是常用的解题技巧．。