北师大版八年级数学下册总复习专项测试题附答案解析
总复习专项测试题
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、已知关于、的方程组的解是负数，求的取值范围．
A. 无解
B.
C.
D.
2、若实数、、满足，则下列等式一定成立的是( ).
A.
B.
C.
D.
3、因式分解：_________.
A.
B.
C.
D.
4、利用因式分解计算：.
A.
B.
C.
D.
5、张老师和李老师住在同一个小区，离学校米，某天早晨，张老师和李老师分别于点分、点分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑
车的速度是张老师的倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是米/分，则可列得方程为（）
A.
B.
C.
D.
6、若解关于的方程产生增根，则常数的值可能为下列的( )
A.
B.
C.
D.
7、分式方程的解为（）
A.
B.
C.
D.
8、某中学三年一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有人次，二等奖的人次；获得语文一等奖的有人次、二等奖的有人次；获得英语一等奖的人次、二等奖的人次．如果只获得一个学科奖项的同学有人，那么三个学科都获奖的学生最多有（）
A. 人或人
B. 人
C. 人
D. 人
9、化简的结果为（）
A.
B.
C.
D.
10、化简：的结果为（）
A.
B.
C.
D.
11、用换元法解方程，若设，则原方程可化为（）
A.
B.
C.
D.
12、已知，且，则的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
13、对于任意的正数、定义运算为：计算
的结果为（）
A.
B.
C.
D.
14、若，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
15、分解因式：__________．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、对于分式方程，若设，则原方程可化为 .
17、化简的结果是__________.
18、方程的解是： .
19、已知二元一次方程组为则，．
20、若可以用完全平方式来分解因式，则的值为______．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做天后，再由两队合作天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天.
22、计算：.
23、“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的倍，且每盒花的进价比第一批的进价少元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
总复习专项测试题(七) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、已知关于、的方程组的解是负数，求的取值范围．
A. 无解
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
，
得，
解得，
把代入得，
解得，
所以，
由题意得，
解得，
因为，
所以不等式无解．
即不存在使关于、的方程组的解是负数，
故正确答案是：无解．
2、若实数、、满足，则下列等式一定成立的是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案应选.
3、因式分解：_________.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
故正确答案为：.
4、利用因式分解计算：.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
5、张老师和李老师住在同一个小区，离学校米，某天早晨，张老师和李老师分别于点分、点分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是米/分，则可列得方程为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：设张老师骑自行车的速度是米/分，
则李老师骑自行车的速度是米/分，
根据题意可得等量关系：
张老师行驶的路程他的速度李老师行驶的路程他的速度分钟，根据等量关系列出方程.
故正确答案为：.
6、若解关于的方程产生增根，则常数的值可能为下列的( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
去分母，得
移项，得
方程的增根为
故答案应选：.
7、分式方程的解为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
经检验：时，，
原方程的解为．
8、某中学三年一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有人次，二等奖的人次；获得语文一等奖的有人次、二等奖的有人次；获得英语一等奖的人次、二等奖的人次．如果只获得一个学科奖项的同学有人，那么三个学科都获奖的学生最多有（）
A. 人或人
B. 人
C. 人
D. 人
【答案】D
假设三个学科都获奖的学生有人，
则，
解得：，
故三个学科都获奖的学生最多有人．
9、化简的结果为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：
10、化简：的结果为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：
11、用换元法解方程，若设，则原方程可化为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：把代入原方程得：，
方程两边同乘以整理得：．
12、已知，且，则的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，
得，
代入已知不等式得：，
解得：．
13、对于任意的正数、定义运算为：计算
的结果为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】，
，
，
，
14、若，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】原式
原式．
15、分解因式：__________．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、对于分式方程，若设，则原方程可化为 .
【答案】
【解析】解：
原分式方程可化为：.
把代入可得，.
两边同乘以得，，
整理，得.
故答案为：.
17、化简的结果是__________.
【答案】
【解析】解：
故答案为：.
18、方程的解是： .
【答案】1
【解析】解：
经检验是原方程的解.
所以原方程有一个实数根为：.
故答案是：.
19、已知二元一次方程组为则，．
【答案】5、-1
【解析】解：由题意得，，则，即；
，则．
20、若可以用完全平方式来分解因式，则的值为______．【答案】或
【解析】解：
可以用完全平方公式来分解因式，
，
解得或．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做天后，再由两队合作天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天.
【解析】解：
设甲队独做需天，乙队独做需天，
依题意，得，
解得，经检验，是原方程的根.
（天），（天）.
答：甲队独做需天，乙队独做需天.
22、计算：.
【解析】解：
.
23、“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的倍，且每盒花的进价比第一批的进价少元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
【解析】解：设第一批盒装花的进价是元/盒，则
，
解得，
经检验，是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是元．。
北师大版2020八年级数学下册期末综合复习培优测试题C(附答案)
27．如图1,在四边形 中， , .
(1)求证： ;
(2)如图2,点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，连接 , ,求证： 是 的平分线;
(3)如图3,在(2)的条件下，点 在线段 的延长线上， 的平分线 交 于点 ,若 ．,求 的度数.
【详解】
解：A、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边不能组成直角三角2≠132，
∴以11、12、13为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵82+152=172，
∴8、15、17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
A．4，5，6B．2，3，4C．11，12，13D．8，15，17
3．若 ，则下列各式正确的是
A． B． C． D．
4．下列欧洲足球俱乐部标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的中线AD＝2，AB+AC＝3+ ，则S△ABC等于（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点 ，点 在 上， ，求证： .
22．如图，已知 ，请解答下列问题：
（1）利用尺规作图方法，作 的角平分线 ；（保留做图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若 的长为 ， 的长为 ，请直接写出 与 的面积比值.
23．如图，在 中， ， ， 是 的角平分线， ，垂足为 .
专题09 分式的规律探究问题(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习(北师大版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题09 分式的规律探究问题【典型例题】1．观察下面的变形规律：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想()1n n 1=+________； （2）证明你猜想的结论；（3）求和：111112233420132014++++⨯⨯⨯⨯． 【答案】（1）11n n 1-+；（2）证明见解析；（3）20132014 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）利用分式的加减法则计算即可得到结果；（3）原式利用拆项方法变形，抵消即可得到结果．【详解】（1）()111n n 1n n 1=-++； 故答案为：11n n 1-+； （2）证明：11n n 1-+ ()()n 1n n n 1n n 1+=-++ ()n 1n n n 1+-=+ ()1n n 1=+； （3）原式＝111111112233420132014-+-+-++-＝112014- 20132014=． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减法法则以及通分、约分的方法为解题关键．【专题训练】一、选择题1．有下列等式：第1个等式：31144=-； 第2个等式，3117214=-；第3个等式：31110330=-； 第4个等式：31113452=-；… 请你按照上面的规律解答下列问题：（1）第5个等式是_________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：_______________________；（用含n 的等式表示），并证明其正确性．【答案】(1)31116580=- ；(2)猜想：()3113131n n n n =-++，理由见解析 【分析】（1）根据已知式子可得下一个：31116580=-； （2）根据观察可得第n 个等式：()3113131n n n n =-++；根据分式运算法则，从等式的右边进行通分合并，由右边=左边可证得；【详解】（1）31116580=-； （2）猜想：()3113131n n n n=-++； 证明：等式右边()()()3113313131n n n n n n n n+=-=+++331n =+=等式左边 故猜想成立.【点睛】 考核知识点：分式加减.观察规律，列出式子，运用分式加减法整理是关键.2．观察下列等式： 第一个等式：111122+-= 第二个等式：111134122+-= 第三个等式：111156303+-= 第四个等式：111178564+-= 按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第五个等式____________；（2）写出你猜想的第n 个等式____________（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）1111910905+-=；（2）11112122(21)n n n n n +-=--，证明见解析． 【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式；（2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．【详解】解：（1）1111910905+-=； 故答案为：1111910905+-=； （2）11112122(21)n n n n n+-=--． 证明：1112122(21)n n n n +--- 22112(21)2(21)2(21)n n n n n n n n -=+---- 22112(21)n n n n +--=-2(21)2(21)n n n -=- 1n=． 故答案为：11112122(21)n n n n n+-=--． 【点睛】 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．3．观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=； 第2个等式：111112323++⨯= 第3个等式：121213434++⨯= 第4个等式：131314545++⨯= 第5个等式：141415656++⨯= ……按照以上规律，解决下列问题（1）写出第8个等式：____________．（2）写出你猜想的第n 个等式：____________(用含有n 的等式表示），并证明这个等式．【答案】（1）171718989++⨯=；（2）1111111n n n n n n --++⋅=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第8个等式；（2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：（1）根据前面的规律，第8个等式是：171718989++⨯=； （2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++， 111111n n n n n n --++⋅++()()()()111111n n n n n n n n n n -+-=+++++ ()2111n n n n n n ++-+-=+ 22n n n n+=+ 1=，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．4．观察以下等式:第1个等式:11111122-+=⨯， 第2个等式:11212233-+=⨯， 第3个等式:11313344-+=⨯， 第4个等式:11414455-+=⨯， ……按照以上规律,解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n (n 为正整数)个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.【答案】（1）115-+=15566⨯；（2）111(1)1n n n n n -+=++，见解析. 【解析】【分析】（1）根据以上所总线的规律即可写出第6个等式；（2）同理，律即可猜想出第n 个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等．【详解】解：（1）115-+=15566⨯（2）第n 个等式为：111(1)1n n n n n -+=++ 2(1)+=+n n n n (1)1(1)+===+右边n n n n ∴等式成立【点睛】解答此题意的关键是根据前几个算式找出各分数的分子、分母与等式序数之间的关系找出规律，然后根据规律写出第n 个等式，再证明猜想是否正确．5．观察以下等式：第1个等式：11212+⨯=1， 第2个等式：1113232+=⨯， 第3个等式：1114343+=⨯， 第4个等式：1115454+=⨯， 第5个等式：1116565+=⨯， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ．(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）1117676+=⨯；（2）1111(1)n n n n +=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可；（2）第n 个等式是1111(1)n n n n+=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：(1)第6个等式为：111 7676 +=⨯．故答案为：111 7676 +=⨯，(2) 第n个等式：1111(1)n n n n+=++，故答案为：1111(1)n n n n+=++，证明：111111(1)(1)(1)(1)n nn n n n n n n n n n++=+==+++++，∴左边=右边，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．6．观察下列等式，探究其中的规律：①11+12﹣1＝12，②13+14﹣12＝112，③15+16﹣13＝130，④17+18﹣14＝156，…．（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；（2）猜想并写出第n个等式：_________；（3）请证明猜想的正确性．【答案】（1）115+116−18＝1240；（2）121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明见解析．【分析】（1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案；（2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可；（3）利用分式的运算法则进行计算验证即可.【详解】（1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，∴第⑧个等式为：115+116−18＝1240，故答案为：115+116−18＝1240；（2）根据（1）中规律总结归纳可得：121n-+12n−1n＝12(21)n n-，故答案为：121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明：对等式左边进行运算可得：121n-+12n−1n=2212(21)2(21)n n nn n+----＝12(21)n n-，∴等式右边＝12(21)n n-，∴左边＝右边，∴121n-+12n−1n＝12(21)n n-成立．【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.7．观察下列各式及证明过程：=========（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．【答案】（1==，证明见解析；（2）=，证明见解析 【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；（2）利用规律写出不等式并验证即可．【详解】（1=====（2= 证明：===【点睛】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．8．观察下列各式：111122-=-+⨯；1112323-=-+⨯； 1113434-=-+⨯； (1)你发现的规律是 (用含n 的式子表示)；(2)用规律计算：111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯． 【答案】(1) ()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）；(2) 2019.2020- 【分析】 (1) 由观察部分可知：左边分母是两个连续正整数的积，分子是1的两个分数相乘的积的相反数等于以这两个正整数为分母，分子为1的两个分数的和，且绝对值大的分数为负数，从而可得答案；(2)利用(1)推导的规律直接拆分，再进行计算即可得到答案．【详解】解：(1)由题意得：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． 故答案为：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． (2)111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯ 1111111111223342018201920192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112020=-+ 2019.2020=- 【点睛】本题考查分数（式）的运算中数字的变化规律，找出数字之间的变化规律，运用规律是解答本题的关键． 9．观察下列各组式子：①2611513133⨯-+==⨯；②1262111353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ （1）请根据上面的规律写出第 4个式子；（2）请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】（1）1264123797963⨯-+==⨯；（2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，证明见解析． 【分析】（1）仿造①②③中的规律直接写出第4个式子即可；（2）仔细观察①②③④四个式子总结出规律()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，然后进一步将等式左边直接进行变形计算得出等式右边，由此证明结论即可.【详解】（1）1264123797963⨯-+==⨯ （2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+证明： 等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∴等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点睛】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.10．观察下列各组式子： ①1611723133⨯++==⨯；②2162113353515⨯++==⨯；③2163119575735⨯++==⨯（1）请根据上面的规律写出第5个式子；（2）请写出第n 个式子（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）216513191191199⨯++==⨯；（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+，证明见解析 【分析】（1）依据前三个式子的规律，第四个应为：2164257963179⨯++==⨯，第五个应为：216513191191199⨯++==⨯； （2）这些式子的规律是：等式左边是两个分数的和，分母为相邻两个奇数，前一个分式的分子为2，后一个分式的分子为1，等式的右边的分母是这两个分数分母的积，分子是等式的序号数的6倍与1的和，根据这个规律即可写出第n 个式子．【详解】（1）第5个等式：216513191191199⨯++==⨯（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+ ∴212121n n +-+ 2(21)21(21)(21)(21)(21)n n n n n n +-=+-+-+ 2(21)(21)(21)(21)n n n n ++-=-+ 61(21)(21)n n n +=-+ ∴等式成立【点睛】本题是一个带规律的探索题，考查了学生的观察归纳能力、分式的加法运算能力，关键是根据前三个式子找到规律．11．观察下列等式： ①11122=+，②111236=+，③1113412=+，④1114520=+， （1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)=(_______)+(________)； （2）写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）15，16，130；（2）1111(1)n n n n =+++，证明见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；（2）由（1）的规律发现第n 个式子为1111(1)n n n n =+++，利用分式的加减证明即可． 【详解】（1）11122=+ 111236=+ 1113412=+1114520=+1115630∴=+ 故答案为：15，16，130； （2）由规律可得：第n 个等式(用含n 的式子表示)为：1111(1)n n n n =+++， 右边111(1)(1)(1)n n n n n n n n n+=+==+++， ∴左边=右边，即1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题．12．观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…… （1）写出第四个等式是 ；（2）探索这些等式中的规律，直接写出第n 个等式（用含n 的等式表示）；（3）试说明你的结论的正确性.【答案】（1）（1）444455⨯=-；（2）11n n n n n n ⨯=-++；（3）见解析 【解析】【分析】（1）（2）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个因数减去第二个因数；由此规律解决问题；（3）把左边运用整式乘法计算，右边进行通分即可证明.【详解】 解：（1）观察题中等式可知，第四个等式是：444455⨯=-； （2）观察题中等式猜想第n 个等式为：11n n n n n n ⨯=-++；（3）∴左边＝211n n n n n ⨯=++，右边＝2(1)1111n n n n n n n n n n +-=-=++++， ∴左边＝右边，即11n n n n n n ⨯=-++． 【点睛】此题考查数字类变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．该规律实质上是运用了分式的加减运算法则．13．探索发现： 112⨯＝1－12 123⨯＝12－13 134⨯＝13－14根据你发现的规律，回答下列问题：（1）156⨯＝__________；1(1)n n ⨯+＝__________； （2）利用发现的规律计算：112⨯＋123⨯＋134⨯＋···＋1(1)n n ⨯+ （3）利用以上规律解方程：1(2)x x +＋1(2)(4)x x ++＋···＋1(48)(50)x x ++＝150x + 【答案】（1）1156-，111n n -+；（2）1n n +；（3）x =25. 【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可； （2）利用前面的运算规律得到原式=11111111223341n n -+-+-++-+，然后合并后通分即可； （3）利用运算规律方程化为11111111()2224485050x x x x x x x -+-++-=++++++ ， 合并后解分式方程即可．【详解】（1）1115656=-⨯，111(1)1n n n n=-⨯++；（2）原式=111111111122334111nn n n n-+-+-++-=-=+++；（3）原方程可化为11111111() 2224485050 x x x x x x x-+-++-=++++++，即1111 ()25050 x x x-=++，解得x=25,经检验x=25是原方程的解.【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：111(1)1n n n n=-⨯++是解答本题的关键．14．数式规律；观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-；第2个等式：521(1)2533⨯+=-；第3个等式：921(1)2755⨯+=-；第4个等式：1321(1)2977⨯+=-；第5个等式：1721(1)2 1199⨯+=-；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）2121(1)2131111⨯+=-；（2）4321(1)2212121nn n n-⋅+=-+--，证明见解析．【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：212112131111⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭； （2）432112212121n n n n -⎛⎫⨯+=- ⎪+--⎝⎭， 证明：∴左边=432432143112212121212121n n n n n n n n n n --+-⎛⎫⨯+=⨯==- ⎪+-+---⎝⎭=右边， ∴等式成立．【点睛】 本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 15．观察下列式子，并探索它们的规律：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552().11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）根据以上式子填空： ①3531x x +=++ ． ②ax b a x c +=++ ． （2）当x 取哪些正整数时，分式4321x x +-的值为整数？ 【答案】（1）①21x +；②b ac x c -+ ；（2）1或3 【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x 取什么值时，4321x x +-的值为整数．即可得到答案． 【详解】解：（1）①3533+23322+3+11111x x x x x x x x +++===+++++． 故答案为21x +． ②+++ax b ax b ax b a x c x ac ac ac c x c ac b ac x c cx +++---===++++++故答案为b ac x c-+． （2）4342234255=22121212121x x x x x x x x +-++-=+=+----- 当x 为正整数，且21x -为5的约数时，4321x x +-的值为整数， 即21=1x -或21=5x -时，4321x x +-的值为整数． ∴1=1x ，2=3x ．即当x 为1或3时，4321x x +-的值为整数． 【点睛】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．。
最新北师大版八年级数学下册第五章复习测试题及答案全套
最新北师大版八年级数学下册第五章复习测试题及答案全套专训1 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m 中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．【 2017·武汉】若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＝4 B ．a>4 C ．a<4 D ．a ≠4 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．x ＜1C ．x ＞－2且x ≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( ) A .a b ＝a 2b 2 B .a b ＝ab a ＋b C .a b ＝a ＋c b ＋c D .a b ＝ab b 2 10．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2 C ．x ＜－2 D ．x ≠－211．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值．答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．D 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． 因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义． 6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b ≠±1.9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z7＝k(k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722.12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值．专训2 分式运算的八种技巧名师点金：分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．约分计算法1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.整体通分法2．计算：a －2＋4a ＋2.顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m3m －2n －1.裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．答案1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2 ＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－xx －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1）＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc ≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．解：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x ≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x ＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z.因为xyz ≠0，所以z ≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专训3 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围名师点金：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围主要体现在以下几方面：(1)利用分式方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．【 2017·聊城】如果解关于x 的分式方程m x －2－2x2－x ＝1时出现增根，那么m 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－44．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．【 中考·东营】若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值．答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m. ∵分式方程有解，∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m ≠3.解得m ≠1.∴当m ≠1时，原分式方程有解． 3．D4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0， 所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3， 解得m ＝12.综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形： (1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m 的值为－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.(1)因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a ≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．专训4 分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：直接代入法求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、设参数求值等．直接代入法求值1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z ≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y的值．巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x的值．设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz的值．答案1．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a ＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12. 2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0，∴x ＋1x＝5. ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527. 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）. 因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712. 4．解：因为x ＋y ＋z ≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y＝x ＋y ＋z. 所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z. 所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0. 点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1.∴2x ＋12x ＝1＋11＝2. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k. 所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．其主要考点可概括为：三个概念、一个性质、一种运算、一个解法、一个应用、四种思想．三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．式子A B一定是分式(A ，B 为整式) 2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m>1C ．m ≤1D ．m<1概念2 分式方程3．下列关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30； ③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x＝4； ⑥x a ＝35－x.其中分式方程有．(填序号) 4．【 2017·泰安】某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为( )A.10 000x －10＝14 700（1＋40%）xB.10 000x ＋10＝14 700（1＋40%）xC.10 000（1－40%）x－10＝14 700x D.10 000（1－40%）x＋10＝14 700x 概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( ) A ．x ＝6 B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝36．已知关于x 的方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值．7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，求m 的值．一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y .一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝⎛⎭⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎡⎦⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23.一个解法——分式方程的解法10．【 中考·嘉兴】小明解方程1x －x －2x＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……①去括号，得1－x －2＝1.……②合并同类项，得－x －1＝1.……③移项，得－x ＝2.……④解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥一个应用——分式方程的应用11．【 2017·辽阳】近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A ，B 两种设备．每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．(1)求A 种、B 种设备每台各多少万元？(2)根据单位实际情况，需购进A ，B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？四种思想思想1 数形结合思想12．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．(第12题)思想2 整体思想13．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值．思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z ≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值．思想4 类比思想15．化简：⎝⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b.答案1．B2．B 点拨：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1＋m －1＝(x －1)2＋m －1，∴当m －1>0，即m>1时，式子1x 2－2x ＋m 总有意义． 3．②④⑤ 4.B 5.B6．解：方程两边同乘x 2－1，得2(x －1)＋k(x ＋1)＝6.整理得(2＋k)x ＋k －8＝0.∵原分式方程有增根x ＝1，∴2＋k ＋k －8＝0.解得k ＝3.7．解：方程两边都乘x(x －3)，得(2m ＋x)x －x(x －3)＝2(x －3)，即(2m ＋1)x ＝－6.①(1)当2m ＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m ＝－0.5；(2)当2m ＋1≠0时，要使关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解， 则x ＝0或x －3＝0，即x ＝0或x ＝3.把x ＝0代入①，m 的值不存在；把x ＝3代入①，得3(2m ＋1)＝－6，解得m ＝－1.5.∴m 的值是－0.5或－1.5.8．解：(1)原式＝12x －30y 15x ＋40y. (2)原式＝5x ＋15y 25x －y. 9．解：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2＝2a a ＋b. 当a ＝－12，b ＝23时， 2a a ＋b ＝2×⎝⎛⎭⎫－12－12＋23＝－6. 10．解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ；步骤②括号前面是“－”，去括号时，没有变号；步骤⑥前没有检验．正确的解答过程如下：解：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ，去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3，解得x ＝32.经检验x ＝32是原分式方程的解． 11．解：(1)设每台A 种设备x 万元，则每台B 种设备(x ＋0.7)万元，根据题意，得3x ＝7.2x ＋0.7. 解得x ＝0.5.经检验，x ＝0.5是原方程的解且符合题意．∴x ＋0.7＝1.2.答：每台A 种设备0.5万元，每台B 种设备1.2万元．(2)设购买A 种设备m 台，则购买B 种设备(20－m)台，根据题意，得0.5m ＋1.2(20－m)≤15.解得m ≥907. ∵m 为整数，∴m ≥13.答：A 种设备至少要购买13台．12．解：由题意，得2x ＋23x －5＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．13．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a 2＋4a ＋3. 由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故4a 2＋4a ＋3＝411. 点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．14．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4z ，y ＝3z.所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z 22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320. 点拨：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．15．解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b ＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2a a ＋b. 点拨：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识．。
北师大版2020八年级数学下册期末复习综合训练题3(基础 含答案)
北师大版2020八年级数学下册期末复习综合训练题3（基础 含答案）1．上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：1x ，12，212x +，3xy π，3x y +，a ＋1m，其中正确的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知x y >，下列变形正确的是（ ）A ．11x y -<-B ．2121x y +<+C ．x y -<-D ．22x y < 3．如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k≠0)在第一象限交于点M(1,2)，若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则－2x ＋4> kx ＋b>0的解集 （ ）A ．－2＜xB ．－2＜x ＜1C ．x ＜2D ．-2＜x ＜24．如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长为3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．1.2cmD ．1cm5．如图，点A 的坐标是()2,2，若点P 在x 轴上，且APO ∆是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．()1,0B ．()2,0C ．()22,0-D ．()4,06．下列角度中，是多边形内角和的只有( )A ．270°B ．560°C ．630°D ．1 800°7．观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A ．-a 2+b 2B ．-x 2-y 2C ．49x 2y 2-z 2D ．16m 4-25n 2p 2 9．英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.00000005m 的光学显微镜，这是迄今为止观测能力最强的光学显微镜.将数据0.00000005用科学记数法表示为( )A ．0.5×10-7B ．5×10-8C ．5×10-9D ．50×10-6 10．下列各式: 116,,1,32b a x a b ++- 其中，分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.12．如图，Rt ABC ∆中，ACB=90∠︒，AC=CB=42，BAD=ADE=60∠∠︒，AD=5，CE 平分ACB ∠，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于_____.13．如图，有边长为1的等边三角形ABC 和顶角为120°的等腰DBC ∆，以D 为顶点作60MDN ∠=︒角，两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，则AMN ∆的周长为________.14．如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点为的中点，则的长为______.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 从点E 出发，沿EF 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时动点Q 从点B 出发，沿BF 方向匀速运动，速度为2cm /s ，连接PQ ，设运动时间为ts （0＜t ＜1），则当t ＝___时，△PQF 为等腰三角形．16．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，点F 是BC 的中点，作AE ⊥CD 于点E ，点E 在线段CD 上，连接EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF ＝∠C ；②EF ＝AF ；③S △ABF ＝S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF ．其中一定正确的是_____．17．直角△ABC 中，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，AB ＝5cm ，将△ABC 沿CB 方向平移3cm ，则边AB 所经过的平面面积为_______cm 2.18．分解因式：81x -=______．19．如果方程2a x -＋3＝12x x--有增根，那么a ＝________． 20．如图，在△ABC 中，∠C=70°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A'处，且A'C=A'E ，则∠A'ED=____°．21．某地组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2辆车．（1）设用x 辆车装运A 种苹果，用y 辆车装运B 种苹果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； 苹果品种 A B C每辆汽车（吨） 2.2 2.1 2每吨苹果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为W 百元，求W 与x 之间的函数关系式，当x 为何值时，W （百元）取得最大利润，并安排此时相应的车辆调配方案.22．某市政部门为了保护生态环境，计划购买A ，B 两种型号的环保设备．已知购买一套A 型设备和三套B 型设备共需230万元，购买三套A 型设备和两套B 型设备共需340万元．（1）求A 型设备和B 型设备的单价各是多少万元；（2）根据需要市政部门采购A 型和B 型设备共50套，预算资金不超过3000万元，问最多可购买A 型设备多少套？23．如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点E 是AC 边上的一点，过点E 作//DE AB 交BC 于点D ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F .（1）求证：CEF ∆是等腰三角形；（2）点E 满足__________时，点D 是线段BF 的三等分点；并计算此时CEF ∆的面积.24．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE ,若2,3AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED25．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将平移，使点到的位置.（1）画出平移后的； （2）连接、，则线段与的关系是______； （3）求的面积.26．阅读理解： 若一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M ＝x 2+2xy +2y 2＝（x +y ）2+y 2（x ， y 是整数），我们称M 也是“平和数”．（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．（2）已知S ＝x 2+9y 2+6x ﹣6y +k （x ，y 是整数，k 是常数，要使S 为“平和数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由．（3）如果数m ，n 都是“平和数”，试说明22()()4m n m n +--也是“平和数”． 27．分解因式：（1）22242x xy y -+. （2）()()229a b a b --+. 28．解不等式组3432(1)1x x x ①②>-⎧⎨+-≥⎩，并将解集在数轴上表示出来． 29．214416x x =--. 30．已知：∠AOB 和两点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，且点P 到∠AOB 的两边的距离相等．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）参考答案1．B【解析】【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】1 x ，3x y, a＋1m是分式，只有3个，故选B．【点睛】此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．2．C【解析】【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；B、两边都乘以2，不等号的方向不变，两边再加1，不等号的方向不变，故B错误；C、两边都乘以-1，不等号的方向改变，故C正确；D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3．B【解析】【分析】观察函数图象得到当-2＜x＜1时，－2x＋4> kx＋b>0．【详解】根据图象可得不等式－2x＋4> kx＋b>0的解集为：－2＜x＜1；故选：B【点睛】此题主要考查了一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．4．B【解析】试题分析：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可由BC的长为3cm，得DE=1.5．故选B．考点：三角形中位线定理5．A【解析】【分析】∆是等腰三角形时P点的位本题可先根据勾股定理求出OA的长，然后结合选项分析APO置，然后用排除法求解．【详解】解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA＝-，当OA＝OP＝，且点P在点O左侧时，P点坐标为：()4,0，当OA＝AP时，由对称性可知P点坐标为：()2,0，当OP＝AP时，则P点坐标为：()1,0∴点P的坐标不可能是()故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和性质，分情况讨论．6．D【解析】【分析】n（n≥3）边形的内角和是（n-2）180°，因而多边形的内角和一定是180°的整数倍，由此即可求出答案．【详解】∵多边形的内角和是（n-2）180°（n≥3），∴多边形的内角和一定是180°的整数倍，四个选项中，只有1800°是180°的整数倍，故选D.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的内角和是（n-2）180°（n≥3），熟记定理并灵活运用是解题关键.7．D【解析】【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），当x＞1时，ax＞bx+c，∴关于x的不等式ax-bx＞c的解集为x＞1．故选：D．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．8．B【解析】【分析】根据平方差公式的特点：两平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法就可．【详解】A、-a2+b2=(b+a)(b-a)；B、-x2-y2=-(x2+y2)，提取公因式-1后是两数的平方和，不能用平方差公式分解因式；C、49x2y2－z2 =(7xy+z)(7xy-z)；D、16m4－25n2p2=(4m2+5np)(4m2-5np)，故选B．【点睛】本题考查用平方差公式分解因式的多项式的特点，熟记平方差公式结构是解题的关键. 9．B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式写出即可.【详解】解：数据0.00000005用科学记数法表示为：0.00000005=5×10－8.故选：B.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．10．B【解析】【分析】根据分式的概念判断即可.【详解】解：在116,,1,32b axa b++-中，是分式的有：1a和62ab+，共2个.故选：B.【点睛】本题考查了分式的定义，属于基础概念题，熟知分式的概念是关键.11．9.36【解析】【分析】设裁判员有x名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．【详解】设裁判员有x名，那么总分为9.84x；去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．故答案是：9.36.【点睛】考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．12．3【解析】【分析】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，由∠BAD=∠ADE=60°可得三角形ADH是等边三角形，根据等腰直角三角形的性质可知CG⊥AB，可求出AG的长，进而可得GH的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出EH的长，根据DE=DH-EH即可得答案.【详解】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，∵∠BAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴AB=22AC CB=8，AG=12AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，∵∠DHA=60°，∴∠GEH=30°，∴EH=2GH=2∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案为3【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键.13．2【解析】【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在△BDF和△CND中，∵BF CNFBD DCN DB DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CND(SAS)，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，在△DMN和△DMF中，∵DM MDFDM MDN DF DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMN≌△DMF(SAS)∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=1+1=2，故答案为：2【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理.14．5【解析】【分析】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，根据矩形性质可得四边形MNCD是矩形，MD=NC，MN=CD，根据EC=2BE可求出CE的长，由三角形中位线的性质可求出NG、NC的长，进而可得MG、AM的长，利用勾股定理求出AG的长即可.【详解】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，MN=CD，∵EC=2BE，BC=6，∴EC=4，∵F为CD的中点，CD=AB=4，∴CF=2，∵G为EF中点，MN//CD，∴NC=EC=2，NG=CF=1，∴MG=MN-NG=4-1=3，AM=AD-MD=6-2=4，∴AG===5.故答案为：5【点睛】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半；三角掌握相关性质是解题关键.15．2． 【解析】【分析】 由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质先分别求出AC 和BC ，然后根据题意把PF 和FQ 表示出来，当△PQF 为等腰三角形时分三种情况讨论即可.【详解】解：∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，∴AC ＝2AB ＝4cm ，BC ＝∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ＝12BC ，BF ＝12AC ＝2cm ， 由题意得：EP ＝t ，BQ ＝2t ，∴PF t ，FQ ＝2﹣2t ，分三种情况：①当PF ＝FQ 时，如图1，△PQF 为等腰三角形．t ＝2﹣2t ，t ＝2；②如图2，当PQ ＝FQ 时，△PQF 为等腰三角形，过Q 作QD ⊥EF 于D ，∴PF ＝2DF ，∵BF ＝CF ，∴∠FBC ＝∠C ＝30°，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∴∠PFQ ＝∠FBC ＝30°，∵FQ ＝2﹣2t ，∴DQ ＝12FQ ＝1﹣t ，∴DF ＝ 1﹣t ），∴PF＝2DF＝23（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝3，∴t+23（1﹣t）＝3，t＝6+311；③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∴∠FPQ＝120°，而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；综上，当t＝2﹣3或6+3时，△PQF为等腰三角形．故答案为：2﹣3或6+3．【点睛】勾股定理和含30°角的直角三角形的性质及等腰三角形的判定和性质都是本题的考点，本题需要注意的是分类讨论不要漏解.16．①②④．【解析】【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM，∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠F AE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EF A＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF ＝90°﹣x ，∴∠BFE ＝3∠CEF ，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF ≌△DME ．17．9【解析】【分析】根据平移的性质，AB 经过的平面是底边长等于平移距离，高为AC 的平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，边AB 所经过的平面是底边为3cm ，高为AC 的平行四边形，面积=3×3=9cm 2． 故答案为：9cm 2．【点睛】本题考查平移的性质，判断出AB 所经过的平面的形状是解题的关键．18．()()()()421111x x x x +++- 【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可.【详解】解：()()()()()()()()()844422421111111111x x x x x x x x x x -=+-=++-=+++- 故答案为：()()()()421111x x x x +++-. 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用平方差公式因式分解是解决此题的关键.19．1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程有增根得到x=2,将x=2代入整式方程计算即可求出a 的值.【详解】解:分式方程去分母得:a+3(x-2)=x-1,根据分式方程有增根,得到x-2=0,即x=2,将x=2代入得:a=2-1=1,故答案为:1【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.20．55°【解析】【分析】根据等边对等角即可证出∠A'EC=∠C=70°，再根据翻折的性质即可求出∠A'ED.【详解】解：∵A'C=A'E∴∠A'EC=∠C=70°由翻折的性质可知：∠A'ED=∠AED=12（180°－∠A'EC ）=55°. 【点睛】此题考查的是翻折的性质和等腰三角形的性质，根据翻折的性质找到相等的角和掌握等边对等角是解决此题的关键.21．（1）220y x =-+， 2≤x ≤9；（2）当2x =时，W 的值最大，315.2W =最大值（百元），安排车辆的方案如下：装运A 种苹果2车，B 种苹果16车，C 种苹果2车.【解析】【分析】（1）先表示出C 种苹果所用的车辆的数量，根据全部装满得到()2.2 2.122042x y x y ++--=,再由每种苹果不少于2辆车得到22202x x ≥⎧⎨-+≥⎩,解不等式组即可解题,（2）利用（1）中的数量关系表示出利润W 与x 之间的函数关系,再利用函数的增减性找到函数的最值即可解题.【详解】（1）根据题意，运A 种苹果x 车，B 种苹果y 车，∴运C 种苹果()20x y --车，由题意得：()2.2 2.122042x y x y ++--=，整理得220y x =-+由题意可知22202x x ≥⎧⎨-+≥⎩，解得2≤x ≤9 ∴y 与x 之间的函数关系式是220y x =-+，自变量x 的取值范围是2≤x ≤9.（2）由题意可知：W ()6 2.28 2.12205233610.4x x x x =⨯+⨯-++⨯=-∵10.40k =-<∴W 随x 的增大而减小∴当x 取最小值时，W 的值最大即当2x =时，W 的值最大，max 33610.42315.2W =-⨯=（百元）∴安排车辆的方案如下：装运A 种苹果2车，B 种苹果16车，C 种苹果2车.【点睛】本题考查了一次不等式与一次函数的实际应用,中等难度,综合性强,认真审题,找到题干中的等量关系是解题关键.22．（1）A 型设备的单价是80万元，B 型设备的单价是50万元；（2）最多可购买A 型设备16套．【解析】【分析】（1）设A 型设备的单价是x 万元，B 型设备的单价是y 万元，根据“购买一套A 型设备和三套B 型设备共需230万元，购买三套A 型设备和两套B 型设备共需340万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A 型设备m 套，则购进B 型设备（50-m ）套，根据总价=单价×数量结合预算资金不超过3000万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】（1）设A 型设备的单价是x 万元，B 型设备的单价是y 万元，依题意，得：323032340x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8050x y =⎧⎨=⎩． 答：A 型设备的单价是80万元，B 型设备的单价是50万元．（2）设购进A 型设备m 套，则购进B 型设备(50)m -套，依题意，得：8050(50)3000m m +-„， 解得：503m „． m Q 为整数，m ∴的最大值为16．答：最多可购买A 型设备16套．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程.23．（1）见解析；（2）E 是AC 的中点，CEF S ∆.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到60EDC B ∠=∠=︒，根据三角形的内角和求出30F ∠=︒，根据三角形外角的性质求出603030CEF ∠=︒-︒=︒，得到 CEF F ∠=∠，即可证明.（2）过点E 作EP DF ⊥，交DF 于点P ,当点E 是AC 的中点时，2AE EC CD DB CF =====,求出高，即可求出CEF ∆的面积.解：证明：（1）∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==，60A B ACB ∠=∠=∠=︒∵//DE AB ，∴60EDC B ∠=∠=︒∵EF DE ⊥∴90DEF ∠=︒∴30F ∠=︒∵ACB ∠是CEF ∆的外角，且60ACB ∠=︒，∴603030CEF ∠=︒-︒=︒，∴CEF F ∠=∠，∴CE CF =，∴CEF ∆是等腰三角形.（2）E 是AC 的中点（或AE CE =）.过点E 作EP DF ⊥，交DF 于点P∵//DE AB ，∴60CED A ∠=∠=︒，∴CDE ∆是等边三角形.当点E 是AC 的中点时，2AE EC CD DB CF =====在CEF ∆中，90EPC ∠=︒，60ECP ∠=︒，∴30PEC ∠=︒，∴11,32CP CE PE ===. ∴11·23322CEF S CF EP ∆==⨯=. 【点睛】考查平行线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，难度一般.24．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.【详解】如图，四边形ABCD是矩形了（1）正确作出AB的垂直平分线下结论：点E为所求（2）∵E是AB的中点∴AE=11 2AB=∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AB=CD=2∴222DE AD AE=+=∴DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵AB∥CD∴∠CEB=∠DCE∴∠CEB=∠DEC∴CE平分∠BED【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．25．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）4.【分析】（1）根据网格结构找出点B、C的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）由平移的性质即可解答；（3）利用经过点的长方形的面积减去3个小直角三角形的面积即可求得的面积.【详解】（1）如图所示：（2）由平移的性质可得线段与的关系是平行且相等；（3）的面积为：3×4-×1×2-×2×4-×2×3=4.【点睛】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．26．（1）2（答案不唯一），是；（2）10，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“平和数”的定义可得；（2）利用配方法，将S配成平和数，可求k的值；（3）根据完全平方公式，可证明22()()4m n m n+--也是“平和数”．【详解】（1）∵2=12+12∴2是平和数∵34=52+32∴34是平和数（2）∵S=x 2+9y 2+6x-6y+k=（x+3）2+（3y-1）2+k-10∴k=10时，S 是平和数（3）设m=a 2+b 2，n=c 2+d 2 ∴22()()4m n m n +--=mn=（a 2+b 2）（c 2+d 2） =a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2+2abcd-2abcd∴mn=（ac+bd ）2+（ad-bc ）2∴mn 是平和数 ∴22()()4m n m n +--也是“平和数”． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是解决本题的关键．27．（1）()22x y -；（2）()()422a b a b -- 【解析】【分析】（1）首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．（2）先用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）原式()()222222x xy yx y =-+=-； （2）原式()()223a b a b ⎡⎤=--+⎣⎦()()()()33a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()4224a b a b =--()()422a b a b =--.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，注意分解要彻底．28．0x≥【解析】【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．【详解】3432(1)1x xx>-⎧⎨+-≥⎩①②由①得：x>-2；由②得：x≥0；所以不等式组的解集为：x≥0.在数轴上表示为：【点睛】本题在分别解完不等式后可以利用数轴或口诀“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果，此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的运用能力的考查．29．0x=【解析】【分析】先通过方程两边乘最简公分母216x-将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是不是分式方程的解.【详解】214416x x=--解：44x+=x=经检验0x=是分式方程的解.【点睛】本题考查解分式方程. 切记解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.30．见详解.【解析】【分析】由所求的点P满足PC=PD，利用线段垂直平分线定理得到P点在线段CD的垂直平分线上，再由点P到∠AOB的两边的距离相等，利用角平分线定理得到P在∠AOB的角平分线上，故作出线段CD的垂直平分线，作出∠AOB的角平分线，两线交点即为所求的P点．【详解】解：如图所示：作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于两点；（2）分别以这两交点为圆心，大于两交点距离的一半长为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；（3）以O为端点，过角内部的交点画一条射线；（4）连接CD，分别为C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，分别交于两点；（5）过两交点画一条直线；（6）此直线与前面画的射线交于点P，∴点P为所求的点．【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及的知识有：角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．。
最新北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总 附解析
北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总第一章三角形的证明1等腰三角形1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（）A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°【答案】D【解析】①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即顶角的度数为45°.②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°.故选：D．2．如图，在△AB C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个【答案】D【解析】在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BD C中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE 是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D3．如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A【解析】在△AB C中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A．4．如图，在△AB C中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵△AB D中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．5．如图，在△AB C中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为____.【答案】72°【解析】∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°-36°）÷2=72°，∠DCB=36°．∴∠BDC=72°．故答案为：72°6．在△AB C中，AB＝AC，且BC＝8cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2cm，则等腰三角形的腰长为__________.【答案】10cm或6cm【解析】如图∵BD是腰AC的中线，∴AD=CD，①当△ABD的周长与△BCD的周长差为2时，即AB+AD+BD-(BD+BC+CD)=2,∴AB-BC=2,∵BC=8cm，∴AB=10cm.②当△BCD的周长与△ABD的周长差为2时，即BD+BC+CD -(AB+AD+BD)=2,∴BC - AB =2,∵BC=8cm，∴AB=6cm.所以等腰三角形的腰长为10cm或6cm.7．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）求出∠AFB的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC（等边三角形三边都相等），∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS）．（2）∵△ABE≌△BCD（已证），∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．2直角三角形1．（2019·河北初二期末）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=12∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=1 2∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=12∠CGE，故正确．故选C．2. （2019·福建初二期中）如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH=∠ADB=90°．∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠HBD=∠EAH．∵DH=DC，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，BH=AC；②∵BC=AC，∴∠BAC=∠ABC．由①知，在Rt△ABD中，∵BD=AD，∴∠ABC=45°，∴∠BAC=45°，∴∠ACB=90°．∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，∴结论②为错误结论．③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH=AC；④∵CE=CD，∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选B．3. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵(a+2b−60)2+|b−，∴a+2b−60=0，b−18=0，c−30=0，∴a=24，b=18，c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，故选：D.4. （2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图1叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数；（2）如图2叠放在一起，使∠ACE=2∠BCD，请计算∠ACD的度数．【解析】解：（1）由∠CAD+∠BAD=90°，∠CAD=4∠BAD，∴5∠BAD=90°，∴∠BAD=18°，∴∠CAE=18°；（2）设∠BCE=α，∵∠ACE=2∠BCD，∴90-α=2（60-α），∴α=30°，即∠BCE=30°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=120°．5. （2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．【解析】连接AC ，∵∠ADC=90°∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，∴S=S△ACB－S△ADC=12×12×5－12×4×3=24m2答：这块地的面积是24平方米6. （2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）判断△ABC的形状；（3）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．【解析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3); (2)根据勾股定理可得：2221526AB =+= 2223213BC =+=2223213AC =+=∴BC=AC，且222BC AC AB += ∴△ABC 是等腰直角三角形； (3) △A 'B 'C '如图所示：7. （2019·广东初二期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝3，AD ＝1，且∠ABC ＝90°，连接AC ． （1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形． （3）求四边形ABCD 的面积？【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝22AB BC+＝2222+＝22．（2）∵AD＝1，CD＝3，AC＝22∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝12AB×BC+12AD×AC＝12×2×2+12×1×22＝2+2．答：四边形ABCD的面积为2+2．3线段的垂直平分线1．如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°【答案】D【解析】根据作图方法可得BD=CD，则∠DCB=∠B=25°，则∠CDA=50°，∵CD=AC，则∠A=∠CDA=50°，则∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°．2. 在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，∴∠ACB=50°．∵AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．故选A．3. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )A. 11B. 16C. 24D. 64【答案】C【解析】∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴OB=OC=OA=8cm，∴OA+OB+OC=24cm，故选C．4. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．5. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【解析】因为AB＝AC∠∠A＝36°∠MN垂直平分AC，所以∠B＝∠ACB＝72°，DA＝DC，所以∠A＝∠ACD＝36°.①因为∠BDC＝∠A＋∠ACD，所以∠BDC＝36°＋36°＝72°，所以∠B＝∠BDC，所以△BCD是等腰三角形.则①正确；②因为∠ACB＝72°，∠ACD＝36°，所以CD平分∠ACB.则②正确；③因为DA＝DC，所以C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.④△ADM是直角三角形，△BCD不是直角三角形，则④不正确.故选C.6. ∠∠∠∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∠∠BD,∠∠ABD= __°∠∵∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠∴∠A=∠C=35°∠∵AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∴AD=BD∠∴∠ABD=∠A=35°∠∠∠∠∠35∠7. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？【解析】∠1∠∵在△ABC中，边AB∠AC的垂直平分线分别交BC于D∠E∠∴AD=BD∠AE=EC∠∵BC=8∠∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8∠∠2∠∵∠BAC=118°∠∴∠B+∠C=62°∠∵DA=DB∠EA=EC∠∴∠BAD=∠B∠∠EAC=∠C∠∴∠BAD+∠EAC=62°∠56∠DAE=ο8.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF=FC．【解析】连接AF∠∵AB=AC∠∠BAC=120°∠∴∠B=∠C=30°∠∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF∠∴∠BAF=∠B=30°∠∴∠FAC=120°-30°=90°∠∵∠C=30°∠∴AF=CF∠∵BF=AF∠∴BF=FC∠4角的平分线1．如图，已知点P到AE∠AD∠BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC∠∠CBE∠∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③【答案】A【解析】∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选A.2.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A. 1︰1︰1B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰5【答案】C【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O点为△ABC的内心，则O点到△ABC三边的距离相等，设距离为r，有S∠ABO=×AB×r∠S∠BCO=×BC×r∠S∠CAO=×CA×r，所以S∠ABO:S∠BCO:S∠CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.3. 如图，在Rt∠ABC中，∠C∠90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC∠AB 于点M∠N，再分别以点M∠N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD∠5∠AB∠18，则△ABD的面积是（）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】C【解析】由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积等于AB ⋅DE ＝×18×5＝45.故选C.4. 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A. PA PB =B. PO 平分APB ∠C. OA OB =D. AB 垂直平分OP【答案】D 【解析】∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB∴PA=PB∴∴OPA∴∴OPB∴∴APO=∴BPO ，OA=OB∴A 、B 、C 项正确设PO 与AB 相交于E∴OA=OB ，∴AOP=∴BOP ，OE=OE∴∴AOE∴∴BOE∴∴AEO=∴BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E∠BC=6∠CD=3∠AE=4，则DE=_______∠AD=_______∠△ABC的周长是_______∠【答案】(1). 3(2). 5(3). 24【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB∠∴CD=DE=3∠∴Rt△BCD ≌Rt△BED∠∴BC=BE=6∠又∵AE=4∠∴AB=10∠∴AC=8∠∴AD=5∠∴△ABC周长=24.故答案为3,5,24.6. 如图，△ABC中，∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠DE是AB的垂直平分线，DE= 12BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.【答案】4.5【解析】∵∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠12BD∠∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5∠故答案为4.5.7. 如图，已知CD∠AB于点D，BE∠AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.【解析】(1)连接AO，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠BDO=90°，又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），∴∠C=∠B（等角的余角相等），∴△CEO和△BDO中，C BOC OBCOE BOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEO≌△BDO（ASA），∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上；∴DE=CD=1.5∠又∵DE=(2)∵AO 平分∠BAC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴OD=OE ，在△DOB 和△EOC 中，DOB EOC OD OEODB OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOB ≌△EOC （ASA ），∴OB=OC ．8. 如图，已知AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，且BC=CD.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.【答案】详见解析【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE 和Rt△DCF 中，∴△BCE ≌△DCF ；（2）解：∵CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC 和Rt△EAC 中，， ∴Rt △FAC ≌Rt △EAC ，∴AF=AE ，。
第4章 因式分解 北师大版数学八年级下册计算题专项练习(含答案)
2023年北师大版数学八年级下册《因式分解计算题》专项练习一、选择题1.若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( )A.－2B.2C.－50D.502.因式分解x2－9y2的正确结果是( )A.(x+9y)(x－9y)B.(x+3y)(x－3y)C.(x－3y)2D.(x－9y)23.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.－21B.21C.-10D.104.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y25.把多项式2x2-8x+8因式分解，结果正确的是( )A.(2x-4)2B.2(x-4)2C.2(x-2)2D.2(x+2)26.计算：101×1022﹣101×982=( )A.404B.808C.40400D.808007.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x﹣3)则a，b的值分别是（）A.a=2，b=3B.a=﹣2，b=﹣3C.a=﹣2，b=3D.a=2，b=﹣38.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.729.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能是正数，也可能是负数D.可能为010.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为( )A.2028B.2027C.2026D.202511.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B.2x﹣19C.2x+15D.2x﹣1512. (－8)2 020＋(－8)2 019能被下列数整除的是( )A.3B.5C.7D.9二、填空题13.把多项式(x﹣2)2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是 解：原式=(x﹣2)2﹣(4x﹣8)…A=(x﹣2)2﹣4(x﹣2)…B=(x﹣2)(x﹣2+4)…C=(x﹣2)(x+2)…D.14.若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是.15.已知a2＋b2=13，ab=6，则a4-2a2b2＋b4= .16.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.17.已知x=1,y=-2是方程mx+ny=4的解，则m2﹣4mn+4n2的值为.18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可).三、解答题19.因式分解：3x2﹣12xy+12y2；20.因式分解：4a2﹣3b(4a﹣3b)；21.因式分解：2x3(a-1)+8x(1-a).22.因式分解：－4x3y+16x2y2－16xy3.23.已知x2+3x-1=0，先化简，再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x2-1).24.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.25.已知一个长方形的周长为20,其长为a,宽为b,且a,b满足a2﹣2ab＋b2﹣4a＋4b＋4=0,求a,b的值.26.两位数相乘：19×11=209,18×12=216,25×25=625,34×36=1 224，47×43=2 021，…(1)认真观察，分析上述各式中两因数的个位数字、十位数字分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来；(2)验证你得到的规律.27.阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．答案1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.A9.B10.B11.A12.C13.答案为：C.14.答案为：15.15.答案为：2516.答案为：2m＋317.答案为：1618.答案为：273024或27243019.解：原式=3(x2﹣4xy+4y2)=3(x﹣2y)2；20.解：原式=4a2﹣12ab+9b2=(2a﹣3b)2.21.解：原式=2x(a-1)(x-2)(x+2).22.解：原式=－4xy(x－2y)2.23.解：原式=6.24.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x－z)=16.25.解∵长方形的周长为20,其长为a,宽为b,∴a+b=20÷2=10.∵a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,∴(a-b)2-4(a-b)+4=0.∴(a-b-2)2=0.∴a-b-2=0,由此得方程组a+b=10，a-b-2=0，解得a=6,b=4.26.解：(1)上述等式的规律是：两因数的十位数字相等，个位数字相加等于10，而积后两位是两因数个位数字相乘、前两位是十位数字相乘，乘积再加上这个十位数字之和；如果用m表示十位数字，n表示个位数字的话，则第一个因数为10m＋n，第二个因数为10m＋(10－n)，积为100m(m＋1)＋n(10－n)；表示出来为：(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)；(2)∵左边=(10m＋n)(10m－n＋10)=(10m＋n)[10(m＋1)－n]=100m(m＋1)－10mn＋10n(m＋1)－n2=100m(m＋1)－10mn＋10mn＋10n－n2=100m(m＋1)＋n(10－n)=右边，∴(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)，成立.27.解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．。
北师大版八年级数学下册几何综合复习练习题(有答案)
几何练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC 的长等于（）A．12B．10C．8D．62．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．平行四边形D．等边三角形3．已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a b的值为（）A．B．C．﹣5D．54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32B．16C．8D．46．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4B．5C．6D．8二．填空题7．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝15°，则S△ABC＝．9．如图，已知动点P可在射线OB上运动，∠AOB＝40°，当∠A＝°时，△AOP为直角三角形．10．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线MN交AB于点D交AC于点E，若AE＝5，△BCD的周长为17，则△ABC的周长为．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积等于．12．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是．13．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O如果AB＝4cm，AD＝3cm，OF＝1cm，则四边形BCEF的周长为．14．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．其中正确结论的序号是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．16．如图，已知在等边△ABC中，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．三．解答题17．已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EH∥BC，分别交AC、CF于点G、H．求证：GE＝GH．18．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．22．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．23．如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△CBP′重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角度是多少度？（3）连结PP′后，△BPP′是什么三角形？简单说明理由．24．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形的边数．25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．26．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．27．已知：如图是某城市部分街道示意图，AF∥BC，且AF⊥CE，AB＝DC，AB∥DE，BD∥AE．甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？说明理由．28．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，BE＝CF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求四边形DEFC的面积．29．如图，已知在等边△ABC中，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，以AD为边作等边△ADE．求证：（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）EF平分∠AED．30．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，ED∥AF且ED＝AF，延长FD到点G，使DG＝FD，求证：ED，AG互相平分．答案一．选择题1．B．2．A．3．B．4．C．5．C．6．B．二．填空题7．①②③．8．25．9．50°或90°．10．27．11．32．12．等边三角形．13．9cm．14．①②③④．15．6．16．240°．三．解答题7．解：∵EH∥BC，∴∠BCE＝∠GEC，∠GHC＝∠DCH，∵∠GCE＝∠BCE，∠GCH＝∠DCH，∴∠GEC＝∠GCE，∠GCH＝∠GHC，∴EG＝GC＝GH，∴GE＝GH．18．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．19．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．20．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（4）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．21．解：如图，点P为所作．22．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD．23．解：（1）∵△ABP旋转后能与△P'BC重合，点B是对应点，没有改变，∴点B是旋转中心；（2）AB与BC是旋转前后对应边，旋转角＝∠ABC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴旋转角是60°；（3）连结PP′后，△BPP′是等边三角形，理由：∵旋转角是60°，∴∠PBP′＝60°，又∵BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形．24．解：设每个内角度数为x度，则与它相邻的外角度数为180°﹣x°，根据题意可得x﹣（180﹣x）＝100，解得x＝140．所以每个外角为40°，所以这个多边形的边数为360÷40＝9．答：这个多边形的边数为9．25．证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴FG＝AD，EG＝BC，∵AD＝BC，∴FG＝GE，∵H是EF的中点，∴GH⊥EF．26．证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．27．解：同时到达，理由如下：连接AC，如图，∵AF∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∵AB∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD＝AC，AB＝DE，∵AF⊥CE，∴AF为线段CE的垂直平分线，∴CF＝EF，∴甲乘1路车，路程＝BA+AE+EF＝CD+BD+CF，乙乘2路车，路程＝BD+DC+CF，∴两人同时到达．28．解：（1）∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠ABD，∴BE＝DE．∵BE＝CF，∴DE＝CF．又∵ED∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形；（2）如图所示：过点B作BG⊥DE，垂足为G．由（1）可知∠EDB＝∠ABC．∵∠ABC＝60°．∴∠EDB＝30°．又∵∠G＝90°．∴BG＝BD＝2．∵ED∥FC，∴∠AED＝∠ABC＝60°．∴∠GEB＝60°．∴ED＝BE＝BG÷＝．∴平行四边形EDCF的面积＝ED•BG＝．29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，∴AD＝CF，AD⊥BC，∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°＝∠BCF，∴DE＝CF，DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠AEF＝30°＝∠DEF，∴EF平分∠AED．30．证明：连接EG、AD，如图所示：∵ED∥AF，且ED＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF，又DG＝DF，∴AE＝DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴ED，AG互相平分．。
北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组复习练习题(有答案)
（1）若商场要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机？
（2）通过市场调研，该商场决定在甲种手机购进最多的方案上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手
机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍，而且用于购进这两种手机的总
资金不超过 16 万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
，a＝1，b＝2，∴xa﹣（2x﹣3）b+5＝﹣3x+11＜9，
3xa﹣（﹣6）b+5＝3x+17≤t，即
解得：
，
∵关于 x 的不等式组
，有且只有一个整数解∴1≤
解得：20≤t＜23，即字母 t 的取值范围是 20≤t＜23；
＜2，
（2）∵m◇n＝n◇m，∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5，∴ma﹣nb﹣na+mb＝0，∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0， ∴（a+b）（m﹣n）＝0， ∵m、n 为任意数，∴m﹣n 不一定等于 0，∴a+b＝0， 即 a、b 所应满足的关系式是 a+b＝0．
18．﹣4＜m≤﹣2 或 2＜m≤4．
19．解：（1）
，x＞ ；
把解集表示在数轴上为：
（2）
≥
，
14x﹣7（3x﹣8）+14≥4（10﹣x）， 14x﹣21x+56+14≥40﹣4x， ﹣3x≥﹣30， 把解集表示在数轴上为：
x≤10；
（3） 把解集表示在数轴上为：
， 解①得 x＞﹣6， 解②得 x＞0， 故不等式组的解集为 x＞0．
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第二章复习练习题
北师大版八年级数学下册 《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(基础) 含答案解析
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一、选择题1.△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC交AC 边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（）A．35°B．40°C．70°D．110°2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A． 1 个B． 2 个C． 3个D．不确定3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（）A． AD=AE B．∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+26．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm 或14cm D．以上都不对7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对8．面积相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对二、填空题9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是_________ 度．10.△ABC中，∠A是∠B的2 倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=_________ 度．11．（2015 秋•洛阳校级月考）如果a，b，c 为三角形的三边，且（a﹣b）+（a﹣c）+|b2 2﹣c|=0，则这个三角形是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：_________ ，使△AEH≌△CEB．13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ ．14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_________ ．15．在△ABC中，边AB、BC、AC 的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC 的大小关系是_________ ．16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF 交于点O，则∠BOC=_________ ．三、解答题17.（2015 秋•定州市期中）如图，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB∥CD，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M 为BC 的中点．18.（2016 秋•太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F 点，过F 点作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．求证：（1）BD=DF．（2）△ADE的周长等于AB+AC．19. 如图，D，E 是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．20.（2015春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．；；【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=∵BD平分∠ABC交AC边于点D，∴∠DBC=，∴++75=180°，∴x=40°.∴∠A的度数是40°.故选B．2．【答案】B；【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．3.【答案】D；【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．4.【答案】B；【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD正确，故本选项错误；B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；5.【答案】C；【解析】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选 C ．6.【答案】C ；【解析】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是 4cm ，4cm ，5cm 符合三角形的三边关系， ∴周长为 13cm ；当 5cm 为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm ，5cm ，4cm ，符合三角形的三边关系， ∴周长为 14cm ， 故选 C.7.【答案】A ；【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等， 符合“角角边”判定方法， 所以，两个三角形必定全等． 8.【答案】C ；【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不 同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角 形不一定全等． 二、填空题9．【答案】 20；【解析】解：∵三角形是等腰三角形， ∴两个底角相等，∵等腰三角形的一个底角是 80°， ∴另一个底角也是 80°， ∴顶角的度数为 180°﹣80°﹣80°=20°． 10．【答案】28；【解析】解：设∠B=x ，则∠A=2x ，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得 x=28°． 故答案为：28．11.【答案】等边三角形；【解析】解：∵（a ﹣b ） +（a ﹣c ） +|b ﹣c|=0，22 ∴a ﹣b=0，a ﹣c=0，b ﹣c=0， ∴a=b ，a=c ，b=c ， ∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形．12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．13.【答案】cm或cm；【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．【解析】解：把①②作为条件③作为结论，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC=BD．故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．15.【答案】PA=PB=PC;【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，∴PA=PB，∵边BC的垂直平分线相交于P，∴PB=PC，∴PA=PB=PC．16.【答案】135°;【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．三、解答题17.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。
北师大版2020八年级数学下册期末综合复习基础过关测试题C(附答案)
北师大版2020八年级数学下册期末综合复习基础过关测试题C （附答案）1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=64°，则∠D 等于（ ）A ．26°B ．64°C ．32°D ．116°2．如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上，A 、D 两点分别在反比例函数k x y =（k ＜0，x ＜0）与1xy =（x ＞0）的图像上，若□ABCD 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-53．若44x x -=-+，则x 的取值范围是（ ）A ．4x <B ．4x ≤C ．4x >D ．4x ≥4．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ，D 是边BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），将△ABC 沿AD 折叠，点B 落在点B'处，连接BB'，B'C ，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D 的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．若分式23x x +有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．3x >- B ．x ≥3- C ．3x ≠-D ．0x ≠ 6．在□ABCD 中的比值可能是（ ） A ．1:2:3:4 B ．3:4:4:3 C ．3:4:3:4 D ．1:2:2:17．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果每人分5本，则最后一个人分到的本数不足3本，则共有学生( )人．A ．4B ．5C ．6D ．5或68．如图，由三角形ABC 平移可以得到的三角形的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，130A ∠=︒，100D ∠=︒，AD CD =．若点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，则EF 的长是( )A ．2B ．3C ．2D ．510．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x ﹣2]=﹣1，则x 的取值范围为（ ）A ．0＜x ≤1B ．0≤x ＜1C ．1＜x ≤2D ．1≤x ＜211．下列变形：①（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1；②9a 2﹣12a+4=（3a ﹣2）2；③3abc 3=3c•abc 2；④3a 2﹣6a=3a （a ﹣2）中，是因式分解的有 （填序号）12．点P （m -1，2m +3）关于y 轴对称的点在第一象限，则m 的取值范围是_______． 13．分解因式： ．14．如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为 ． 15．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A ，B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则△AOC 的形状为_____．16．不等式（32-）x≥1的解集是_____．17．如图，△ABC 中，5BC =，AB 边的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 边的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，则△AEG 周长为____．18．已知a、b分别是长方形的长和宽，它的周长为16，面积为10，那么a2b+ab2的值为_____．19．（2012秋•德清县期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF为度．20．如图所示，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则该六边形的周长是________.21．分解因式：（1）x2y﹣4y；（2）（a+2）（a﹣2）+3a．22．(x﹣y)2+16(y﹣x)．23．一服装经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款服装共60套，每款服装至少要购进8套，且恰好用完购服装款61000元．设购进A型服装x套，B型服装y套，三款服装的进价和预售价如下表：服装型号A型B型C型进价（元/套）900 1200 1100预售价（元/套）1200 1600 1300（1）如果所购进的A型服装与B型服装的费用不超过39000元，购进B型服装与C型服装的费用不超过34000元，那么购进三款服装各多少套？（2）假设所购进服装全部售出，综合考虑各种因素，该服装经销商在购进这批服装过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（套）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额﹣购服装款﹣各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款服装各多少套．24．某中学的高中部在校区，初中部在校区，学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动.已知校区的每位高中学生往返车费是6元，每人每天可栽植5棵树；校区的每位初中学生往返车费是10元，每人每天可栽植3棵树.要求初高中均有学生参加，且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人，本次活动的往返车费总和不得超过210元.要使本次活动植树最多，初高中各有多少学生参加？最多植树多少棵？25．已知：如图∠ABC 及两点M 、N ．求作：点P ，使得PM=PN ，且P 点到∠ABC 两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）26．如图1，在等边△ABC 中，点P 是边BC 上一动点（点P 不与点B 重合），且BP ＜PC ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接CD 、BD ．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP =α，则∠BCD =______（用含α的式子表示）；（3）过点D 作DE ⊥DC ，交直线AP 于点E ，连接EB 、EC ，判断△ABE 的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．27．（1）先化简，再求值：21x 2x 11x 22x 2++-÷++()，其中x=02120202π--+()()． （2）已知：如图，点C 、D ，在线段AB 上，且AC =BD ，AE =BF ，AE ∥BF ．试判断FC 与DE 的关系．28．因式分解：（1）-2m+4m2-2m3；（2）a2﹣b2﹣2a+1；（3）(x-y)2-9(x+y)2；29．如图，在△ABC中，AC＞BC．（1）尺规作图：在AC上作点P，使点P到点A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）在（1）的条件下，连接PB．若AC=22cm，BC=16cm，AB=25cm,求△BCP的周长．30．（2015秋•乌达区期末）（1）因式分解：（x+2）（x+6）+x2﹣4（2）解方程：﹣1=．参考答案1．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可判断.【详解】∵平行四边形的对角相等，故∠D=∠B=64°故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知其对角分别相等.2．C【解析】 设1,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则1,A ka a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . AD a ka ∴=- .()14ABCD S a ka a=-⨯=Y Q ， 3k ∴=-3．B【解析】【分析】由题意可知：|x-4|=4-x ，因为x-4与4-x 互为相反数，且绝对值等于它的相反数的数是非正数，故x-4≤0，解不等式即可求得x 的取值范围．【详解】∵|x−4|=4−x ，∴x−4≤0，解得x ≤4；故选B.【点睛】本题考查利用不等式解决绝对值问题，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即非负数的绝对值等于它本身,非正数的绝对值等于它的相反数,解题关键是熟练掌握4．C【解析】【分析】分三种情况讨论：①当BB’=BC时，②当BB’=B’C时，③当BC=B’C分别作图找到符合题意的点B’，然后可得对应的点D的个数.【详解】解：①当BB’=BC时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆交于点B’1，则此时BB’1=BC，△BCB'1是等腰三角形；②当BB’=B’C时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与BC的垂直平分线交于点B’2，则此时BB’2= B’2C，△BB'2C是等腰三角形；③当BC=B’C时，如下图，以点A为圆心AB为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆交于点B’3，则此时BC= B’3C且D与点C重合，故此情况不合题意；则符合条件的点D的个数有2个，故选：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及翻折变换的性质，运用数形结合的思想通过作图来分析等腰三角形的存在情况是解题关键.5．C分析：分母不为0即可.详解：分式23xx+有意义，则：30.x+≠解得： 3.x≠-故选C.点睛：考查分式有意义.分式有意义的条件：分母不为0.6．C【解析】【分析】根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个．【详解】由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等，其中A，B，D都不满足，只有C满足，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解本题的关键.7．C【解析】【分析】根据每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，得出3x+8≥5（x-1），且5（x-1）+3＞3x+8，分别求出即可．【详解】假设共有学生x人，根据题意得出：5（x-1）+3＞3x+8≥5（x-1），解得：5＜x≤6.5．故选：C．【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题关键是根据题意找出不等关系得出不等式组．8．A【解析】【分析】根据平移的性质，结合图形直接求得结果．【详解】平移变换不改变图形的形状、大小和方向，因此由△ABC 平移得到的三角形有5个。