2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-7a Word版含解析
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第8章 平面解析几何 8-7
A．y2＝9x C．y2＝3x
B．y2＝6x D．y2＝ 3x
解析 设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线 l 的斜率为 3，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故 p ＝|CF|＝1，即 |AA1| |AC| 2
p＝32，从而抛物线的方程为
题型 2 抛物线的标准方程及性质 典例1 设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的 方程为( ) A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
3．小题热身 (1)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y32＝1 的渐近线的
距离是( )
1 A.2 C．1
3 B. 2 D. 3
解析 由抛物线 y2＝4x，有 2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为
(1,0)，双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，不妨取其中一条 3
x－y＝0，由点到直线的距离公式，有 d＝
线，垂足为 B.设 C72p，0，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|＝ 2|AF|，且△ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为____6____．
解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线 的方程为 y2＝2px(p>0)，则|FC|＝3p，∴|AF|＝|AB|＝32p，不 妨设 A 在第一象限，则 A(p， 2p)．易证△EFC∽△EAB， 所以||EAFE||＝||FACB||＝||FACF||＝2，所以||AAEF||＝13，所以 S△ACE＝13S△AFC ＝13×32p× 2p＝ 22p2＝3 2，所以 p＝ 6.
2019版高考数学高分计划一轮：第8章 平面解析几何 8-8
(1＋t,2t)，所以
x＝t＋1， y＝2t，
消去参数t得点C的轨迹方程为y
＝2x－2.
经典题型冲关
题型1 定义法求轨迹方程
典例
(2017·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和
圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，
＝
1 2
时，Smax＝6，此时t2＝x
2 0
＋y
2 0
＝5，t＝
5.所以当t＝ 5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
方法技巧 相关点法求轨迹方程的一般步骤
1．分析题目：与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已 知曲线上运动；
2．寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)； 3．将x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)代入已知曲线方程； 4．整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程．
(2)(选修A2－1P35例1)到两坐标轴距离之积等于2的点
的轨迹方程为___y＝__±_2x____．
解析 根据题意，设动点为M，其坐标为(x，y)，而动
点M到两坐标轴距离之积等于2，即|x|×|y|＝2，变形可得y
＝±
2 x
，故到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为y＝
2 ±x.
3．小题热身
方法技巧 直接法求曲线方程的关键点和注意点
1．关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几 何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价 性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、 证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．
2．注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的 纯粹性和完备性．
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-4a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝，∴k m ＝－，∵直ba ab 线l 的斜率为k l ＝－＝k m ，圆心O 到直线l 的距离a b d ＝>＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.r 2a 2＋b 2r 2r 2．(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为120°，则直线6x cos α－6y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是( )A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离答案 A解析 由题意可得a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a |·|b |cos120°＝2×3×＝－3，(－12)所以圆心(cos β，－sin β)到直线6x cos α－6y sin α＋1＝0的距离d ＝＝＝<1，故直线与圆的位置关|6cos αcos β＋6sin αsin β＋1|6|－3＋1|613系是相交且不过圆心，故选A.3．(2015·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过圆心C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝＝＝6.故选C.|AC |2－2240－44．(2017·湖南三模)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos α＋cos β＝( )A.B ．－ 18171217C ．－ D.417417答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由三角函数的定义得cos α＋cos β＝x 1＋x 2，由Error!消去y ，得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝，417即cos α＋cos β＝.故选D.4175．(2017·湖北模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.B.(49，89)(29，49)C ．(2,0)D ．(9,0)答案 A解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的动点，所以设P (9－2m ，m )，因为圆x 2＋y 2＝4的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，设其圆心为C ，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是，(9－2m 2，m2)且半径的平方是r 2＝，(9－2m )2＋m 24所以圆C 的方程是2＋2＝，①(x －9－2m 2)(y －m 2)(9－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝4，②②－①得，(2m －9)x －my ＋4＝0，即公共弦AB 所在的直线方程是(2m －9)x －my ＋4＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋4)＝0，由Error!得x ＝，y ＝，4989所以直线AB 恒过定点，故选A.(49，89)6．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0答案 B解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.＝3，∴k ＝－.|3k －2|k 2＋1512此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.故选B.7．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆2心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，所以点(a ，b )到圆心的距离d ＝＝(a ＋1)2＋(b －2)2(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝.所以当a ＝2时，d 取最小值2a 2－8a ＋262(a －2)2＋18＝3，此时切线长最小，为＝＝4，故选C.182(32)2－(2)2168．(2017·安宁模拟)已知a ，b 是实数，若圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[2－2，2＋]22B ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)22C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)22D ．(－∞，－2]∪[2＋2，＋∞)2答案 B解析 ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝1，|a ＋b |(a ＋1)2＋(b ＋1)2即ab ＝a ＋b ＋1，∴a ＋b ＋1≤，(a ＋b )24∴a ＋b ≤2－2或a ＋b ≥2＋2，故选B.229．(2017·定州市校级期末)曲线y ＝1＋与直线y ＝k (x －2)4－x 2＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A. B.(512，＋∞)(13，34]C. D.(0，512)(512，34]答案 D解析 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，直线l 过A (2,4)，B (－2,1)，又曲线y ＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，4－x 2当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即＝2，解得k ＝；|3－2k |k 2＋1512当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为＝，4－12－(－2)34则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为.(512，34]故选D.10．(2017·晋中模拟)若圆C 1：(x －m )2＋(y －2n )2＝m 2＋4n 2＋10(mn >0)始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2的周长，则＋的最小值为( )1m 2n A. B ．9 92C ．6 D ．3答案 D解析 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l 方程为(m ＋1)x ＋(2n ＋1)y ＋5＝0，由题意知直线l 经过圆C 2的圆心(－1，－1)，因而m ＋2n ＝3.∴＋＝(m ＋2n )＝≥(5＋4)＝3，m ＝n 1m 2n 13(1m ＋2n )13(5＋2n m ＋2m n )13时取等号．∴＋的最小值为3，故选D.1m 2n 二、填空题11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为2，则a ＝________.3答案 1解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝，又a >0，结合图形，利用1a 半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ 1a ＝1⇒a ＝1.22－(3)212．过点(，0)引直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，21－x 2O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．答案 －33解析 曲线y ＝的图象如图所示．1－x 2若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －)，则点O 到l 的距离d ＝，2－2kk 2＋1又S △AOB ＝|AB |·d ＝×2·d ＝≤＝，当且仅12121－d 2(1－d 2)·d 21－d 2＋d 2212当1－d 2＝d 2，即d 2＝时，S △AOB 取得最大值．所以＝.122k 2k 2＋112∴k 2＝，∴k ＝－.133313．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若·≤20，则点P 的横坐PA→ PB → 标的取值范围是________．答案 [－5，1]2解析 设P (x ，y )，则＝(－12－x ，－y )，＝(－x ，6－y )．PA → PB→ ∵·≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，整理得：PA→ PB → x 2＋y 2＋12x －6y －20≤0，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.∴点P 在以(－6,3)为圆心，为半径的圆面上(包括边界)，65又∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，5]．22当x ＝－5时，y ＝0满足(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，2由Error!得：2x －y ＋5＝0.代入②得x 2＋4x －5＝0，x 1＝－5，x 2＝1，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，1]．214．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝时，圆C 1被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为；π633④若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号)答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C 1的半径为1，圆心为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为＝＝2，又两圆的半径之(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)24cos2θ＋4sin2θ和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C 1和圆C 2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝时，圆C 1的方程为(x －)2＋(y －1)2＝1，π63则圆C 1的圆心为(，1)，设其被直线l 所截弦为CD ，易知圆心到3直线l 的距离为＝，又圆C 1的半径为1，所以弦|3×3－1－1|(3)2＋(－1)212CD 的长为2＝，所以③正确；对于④，由①知两圆相切12－(12)23(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C 1的直径为2，圆C 2的直径也为2，所以|PQ |的最大值为2＋2＝4，所以④正确．B 级三、解答题15．(2017·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)，则＝2⇒a ＝0或(a >－52)|4a ＋10|5a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.2k 2k 2＋1k 2－4k 2＋1若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)y 1x 1－t y 2x 2－t k (x 1－1)x 1－t k (x 2－1)x 2－t (x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒－＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为2(k 2－4)k 2＋12k 2(t ＋1)k 2＋1(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．16．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ，M (x 0，y 0)．由Error!得(1＋m 2)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－20(1＋m 2)>0，解得－<m <，255255故x 0＝，且<x 0≤3.31＋m 253因为m ＝，所以x 0＝，y 0x 031＋(y 0x 0)2整理得2＋y ＝.(x 0－32)2094所以M 的轨迹C 的方程为2＋y 2＝.(x －32)94(53<x ≤3)(3)存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．由(2)得M 的轨迹C 为一段圆弧，其两个端点为P ，Q ，(53，253)(53，－253)直线L ：y ＝k (x －4)过定点E (4,0)，①k PE ＝＝－，k QE ＝＝，25353－4257－25353－4257当－≤k ≤时，直线L 与曲线C 只有一个交点．257257②当直线L 与曲线C 相切时，L 的方程可化为kx －y －4k ＝0，则＝，解得k ＝±.|32k －4k |k 2＋13234综上所述，当－≤k ≤或k ＝±时，直线L 与曲线C 只有25725734一个交点．。
(精品推荐)2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析几何 8-7a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38 C.233 D.433 答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( )A ．2－55B ．25－1C ．1－2121 D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x＝－p2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35， ∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎨⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝p 2×45＝25p . ∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58， ∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)， 直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS→＝0，求|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程； (3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.由韦达定理⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k ，得B (1＋2k 2，－2k )，∴|AB→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝ 4k 4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)， 所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF→＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF→＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点．由(2)知，直线AB 的方程为 y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)，使得AF→＝λTB →－FT →.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-6a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.解法二：当直线l 无斜率时同解法一，且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种，其他直线得到的|AB |>4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x 轴上方或x 轴下方两种情况．综上所述，共有三条直线满足条件，故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A.6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ， ∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B. 8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2， ∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10， 即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1， 由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2， 即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10， 可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1<25c 2<4，则有125c 2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析 依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________． 答案102解析 圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析 由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析 设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1， 则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ， e ＝c a ，a ＝ce .|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ， 当点P 看作是椭圆上的点时， 有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时， 有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，②①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3， 即双曲线的离心率为 3.B 级三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB→>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-1a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D.2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D. 4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·浙江诸暨质检)直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1答案 B解析 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B .∵1B ＝－1，∴B ＝－1.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B.7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为x a ＋yb ＝1， 将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1.a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． 所以直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·新乡一中月考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12答案 B解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16.故选B.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ→的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.12．(2018·石家庄校级期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ， 直线方程为x a ＋y12－a＝1， 把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1， 整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°； ④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)；⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．B 级三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第8章 平面解析几何 8-6
2．已知双曲线1x62 －y92＝1 上有一点 P，F1，F2 是双曲线 的焦点，且∠F1PF2＝3π，则△PF1F2 的面积为__9___3___．
解析 由题意，得|F1F2|＝2 16＋9＝10. ||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosπ3＝100， 所以|PF1|·|PF2|＝36. 所以 S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinπ3＝9 3.
(1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条 射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴 双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相 互垂直．
()
A. 3
B．3
C. 3m
D．3m
解析 由题意知，双曲线的标准方程为3xm2 －y32＝1，其
中 a2＝3m，b2＝3，故 c＝ a2＋b2＝ 3m＋3，不妨设 F 为
双曲线的右焦点，故 F( 3m＋3，0)．其中一条渐近线的方
程为
y＝
1 m
x，即 x－
my＝0，由点到直线的距离公式可
得
d＝
| 3· m＋1| ＝ 1＋－ m2
解析 设点 A(1,0)，因为△PF1F2 的内切圆与 x 轴切于 点(1,0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以 2a＝(c＋1)－(c －1)，则 a＝1.因为点 P 与点 F1 关于直线 y＝－bax对称，所 以∠F1PF2＝2π，且||PPFF12||＝ba＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2 ＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得 b＝2.所以双曲线的方程为 x2 －y42＝1.
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析几何 8-7a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38 C.233 D.433 答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( )A ．2－55B ．25－1C ．1－2121 D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ→在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35， ∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎨⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝p 2×45＝25p . ∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58， ∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS→＝0，求|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程； (3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.由韦达定理⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k ，得B (1＋2k 2，－2k )，∴|AB→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝ 4k 4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)， 所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF→＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF→＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点．由(2)知，直线AB 的方程为 y ＋2k ＝－2k －2k 2k 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1(x －2k 2－1)， 整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)，使得AF→＝λTB →－FT →.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何 8-3a
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22 D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.3．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0答案 D解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.5．(2018·唐山期末)若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，∵半径r 满足r 2＝1－3k24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π4.故选A. 6．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( )A ．－42≤m ≤4 2B ．－4≤m ≤4 2C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.7．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号，故选D.8．(2018·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D. 10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y的最大值与最小值是( )A ．6＋22，6－2 2B ．6＋2，6－ 2C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2答案 A解析 设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.故选A.二、填空题11．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．答案(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9解析∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝|2a| 2，∴d2＋(7)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.13．(2017·金牛期末)已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y ＋5a＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案(－2，－4)解析∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋2.5＝0，此时D2＋E2－4F<0，方程不表示圆，所以圆心坐标为(－2，－4)．14．(2018·河北邯郸模拟)已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________．答案π4解析 设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM ||MA |＝(22)2＋a 2－222×22a＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142×24a ·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4.三、解答题15．(2018·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解 (1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)， 圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25. (2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72. 依题意，得OC →·OD →<0，即x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}．16．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13， 得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.。
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线
解析 设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y2＝4x 的焦点F的坐标为(1,0)． ∵M是FQ的中点，
x＝1＋x2， 2 ∴ y2 y＝ 2 x2＝2x－1， ⇒ y2＝2y，
又Q是OP的中点，
x ＝x1， 2 2 ∴ y1 y2＝ 2
2．(2017· 保定二模)若点P(x，y)坐标满足ln 1|，则点P的轨迹图象大致是( )
1 y
＝|x－
解析 由题意，x＝1时，y＝1，故排除C，D；令x＝ 1 2，则y＝± e，排除A.故选B.
3．(2018· 安徽模拟)点集{(x，y)|(|x|－1)2＋y2＝4}表示 的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面 积是( ) 16π 16π A. 3 ＋2 3 B. 3 ＋4 3 24π 24π C. 3 ＋2 3 D. 3 ＋4 3
2 x2 2 y C. 4 －y ＝1(y≠0) D．x2－ 4 ＝1(y≠0)
解析 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE， 2 2 ∵BG＝3BE，CG＝3CD， 2 ∴BG＋CG＝3(BE＋CD)＝6(定值)． 因此，G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，2a＝6，c＝ 5， x 2 y2 ∴a＝3，b＝2，可得椭圆的方程为 9 ＋ 4 ＝1.
5 x2 y2 解析 由4－t＝t－1，可得t＝ 2，方程 ＋ ＝1表 4－t t－1 示圆，故①不正确； 由双曲线的定义可知：当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或 x2 y2 t>4时，方程 ＋ ＝1表示双曲线，故②正确； 4－t t－1
解析 将圆F改写成标准方程(x－1)2＋y2＝12，则圆心 F的坐标为(1,0)，半径r＝2 3，由题意可知|PA|＝|PB|.又点P 在圆F的半径BF上，故|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2 3>2 ＝|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，2 3 为长轴长 的椭圆，则2a＝2 3 ，2c＝2，所以b＝ 2 .故动点P的轨迹 x2 y2 方程为 3 ＋ 2 ＝1.故选D.
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[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )
A ．x 2＝8y
B ．x 2＝4y
C ．x 2＝2y
D ．x 2＝y
答案 C 解析
由⎩⎨
⎧
x 2＝2py ，
y ＝2x ，
得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝0
或⎩⎨
⎧
x ＝4p ，y ＝8p ，
即两交点坐标
为(0,0)和(4p,8p )，则
(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛
物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.
2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3
答案 C
解析 抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34，0，所以AB 所在的直线
方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋9
16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3
2＝12.故选C.
3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )
A ．n ＋10
B ．n ＋20
C ．2n ＋10
D ．2n ＋20
答案 A
解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.
4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B
解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·
y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝p 2，
y 0＝4p ，
∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2
＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.
5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC
→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( )
42C. 3 D ．3
答案 D
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，
联立方程组⎩⎨
⎧
y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，
解得B (1，－22)，
所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.
6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )
A ．2 B. 2 C.52 D.522
答案 D
解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2
＝522.故选D.
7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2
(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2
＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
168C.233 D.433
答案 D
解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p
4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.
又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫33p －2⇒p ＝43
3，故选D.
8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 2
2－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(－1,1)
答案 A
解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2
＝2y ，所以F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，
所以MF →·MN →＝－y 0⎝
⎛⎭
⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，
所以有0＜x 20
2＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.
9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1。