广东省揭阳市2018年高考第二次模拟考试数学(理)试题含答案

**揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试**数学(理科)； 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{}|31x B x =≥，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．A B R =D ．A B φ= 2.已知复数z 满足()123i z i +⋅=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限；3.平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量2a i =，b i j =+，以下说法正确的是（ ）A ．1a b ⋅=B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b 4.已知直线a 、b ，平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ） A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ=，则a γ⊥ B ．若a αβ=，b αγ=，c βγ=，则////a b cC.若a αβ=，//b a ，则//b α D ．若αβ⊥，a αβ=，//b α，则//b a5.已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120AOB ∠=，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或21 D ．3或136.已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C. 2± D ．47.已知函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ． 3π或23π B ．23π C. 43π D ．3π或43π 8.在如图的程序框图中，输出的n 值为（ ）A ．14B ． 32 C. 46 D ．539.已知双曲线的焦距为4，A 、B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上，ABC △的周长为10，则AC 的取值范围是（ ） A ．()2,5 B ．()2,6 C. ()3,5 D ．()3,6 10.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（ ）A ． 83B ．163C.4 D ．20311.过抛物线22x y =上两点A 、B 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为（ ） A ．12B ．1 C.32D ．212.把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1 C.61log 2,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线1y x=在点()1,1处的切线方程为 ．14.题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试.某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为 ．15.已知等差数列{}n a 中，2416a a +=，11a +、21a +、41a +成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ．16.平面四边形ABCD 中，60A ∠=，AD DC ⊥，AB =2BD =，则BC 的最小长度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足21a =，1631n n S a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ，求n R 与n T .18. 如图，在四面体ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=,2BC BD ==. （Ⅰ）求证：AD BD ⊥；（Ⅱ）若AB 与平面BCD 所成的角为60，点E 是AC 的中点，求二面角C BDE --的大小.19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择.（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？ （Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且12PF =22PF =（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线1l 与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与1l 垂直的直线2l 与椭圆1C 相交于另一点C ，求ABC △的面积的取值范围.21. 已知函数()()()ln 22x m f x e x ax x m +=-+++-，（Ⅰ）若0a >，且()1f -是函数的一个极值，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若0a =，求证：[]1,0x ∀∈-，()0f x ≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 是圆C 上两个动点，满足23MON π∠=，求OM ON +的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x m =++++，m R ∈，（Ⅰ）若不等式()2f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求不等式()2f x m -<的解集.试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10:CCDCB 11、12：B C 二、填空题13.20x y +-= 14.141515.275三、解答题（17）解：（Ⅰ）1361-=+n n a S ，1361-=∴-n n a S )2(≥n ， 两式相减，得n n n a a a 3361-=+)2(≥n ，n n a a 31=∴+)2(≥n ，又12=a ，所以当2≥n 时，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，22233--=⋅=n n n a a ，由13621-=a a 得311=a ，满足上式， 所以通项公式为23-=n n a *)(N n ∈；（Ⅱ）122293--===n n n n a b ，得11=b ，公比为9，8199191-=--=n n n R ，1213219991-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n b b b b T )1(2)1(121399---+++===n n n n n ．（18）解：（Ⅰ）由已知得222CD BD BC =+，BC BD ⊥∴，又BC AB ⊥，B AB BD = ，ABD BC 平面⊥∴，AD BC ⊥∴，又AD CD ⊥，C CD BC = ，BCD AD 平面⊥∴，BD AD ⊥∴.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即︒=∠60ABD ， 设BD ＝2，则BC ＝2，在ADB Rt ∆中，AB ＝4，由（Ⅰ）中ABD BC 平面⊥，得平面ABC ⊥平面ABD ，在平面ABD 内，过点B 作AB Bz ⊥，则Bz ⊥平面ABC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -，则)0,0,0(B ，)0,0,4(A ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，由160cos ||=︒=BD x D ，360sin ||=︒=BD z D ，得)3,0,1(D ，∴)0,1,2(=BE ，)3,0,1(=BD ， 设平面BDE 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0302z x BD m y x m ，取1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x ，∴)1,32,3(-=m是平面BDE 的一个法向量， 又)3,0,3(-=AD 是平面CBD 的一个法向量． 设二面角E BD A --的大小为θ，易知θ为锐角，则2132434|||||,cos |cos =⨯==><=AD m AD AD mθ，∴60θ=，即二面角C BD E --的大小为60．【解法2：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即60ABD ∠=， 分别取CD 、BD 的中点F 、G ，连EG 、FG ，在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中，E 为斜边AC 中点，故12BE DE AC ==， ∴EG BD ⊥；又∵BC ⊥平面ABD ，∴BC BD ⊥， 又∵//BC FG ∴FG BD ⊥； ∴EGF ∠为二面角C BD E --的平面角， 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，又//AD EF ， 故EF ⊥平面BCD ，从而EF FG ⊥，∴12tan 12ADEF EGF FG BC ∠====60EGF ∴∠=，即二面角C BD E --的大小为60．（19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为)(n f 、)(n g ，(10)250(3010)5000f =⨯-=， 52002020010120)10(=⨯+⨯=g ，所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的n=8，5500)830(250)8(=-⨯=f ，5360222008120)8(=⨯+⨯=g ，所以乙选择计酬方式一；n 的平均值为10)1132122101938(91=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯，所以丙选择计酬方式二；（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义；（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为3296=，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为94)321()32(223=-⨯C . （20）解：（I ）设)0,(1c F -，)0,(2c F ， 可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得c b =， 由题意知4||||221=+=PF PF a ，得2=a ， 由222a c b =+，得2==c b ，所以椭圆1C 的方程为12422=+y x ，点P 的坐标为)0,2(.（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在， 设l 2的方程为)2(-=x k y ，由题意可知0≠k ， 联立椭圆方程，得0488)12(2222=-+-+k x k x k ，设),(22y x C ，则12482222+-=⋅k k x ，得1224222+-=k k x ，所以1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC ； 由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为)2(1--=x ky ，即02=-+ky x 圆心)0,0(到l 1的距离212kd +=，又圆的半径2=r ，所以1)1(2142)2||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB ， 由r d <即2122<+k ，得12>k ，112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC1212412142222+-⋅=++⋅k k k k ，设12-=k t ，则0>t ，232332ABC S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2k =±时，取“＝”，所以△ABC 的面积的取值范围是(0,． （21）解：（I ）m ax ax x e x f m x -+++-=+2)2ln()(2，定义域为),2(∞+-，a ax x e x f m x 2221)('+++-=+． 由题意知0)1('=-f ，即011=--m e ，解得1=m ， 所以1)2()2ln()(1-+++-=+x ax x e x f x ，a ax x e x f x 2221)('1+++-=+， 又1+=x e y 、21+-=x y 、a ax y 22+=（0>a ）在),2(∞+-上单调递增， 可知)('x f 在),2(∞+-上单调递增，又0)1('=-f ，所以当)1,2(--∈x 时，0)('<x f ；当),1(∞+-∈x 时，0)('>x f ． 得)(x f 在)1,2(--上单调递减，)(x f 在),1(∞+-上单调递增， 所以函数)(x f 的最小值为a a f -=--=-11)1(． （II ）若0=a ，得m x e x f m x -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，可知)(x f 在]0,1[-上的单调性有如下三种情形：可知0)('≥x f ，即0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ； ②当)(x f 在]0,1[-上单调递减时，可知0)('≤x f ，即0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ， 得02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=m m m e e m e f ，所以0)0()(>≥f x f ； [或：令2ln )(--=m e m h m ，则0211)('<-≤-=m e m h ， 所以)(m h 单调递减，021)2ln ()(>=-≥h m h ，所以0)()0()(>=≥m h f x f ；] ③当)(x f 在]0,1[-上先减后增时，得)('x f 在]0,1[-上先负后正， 所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e m x ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ， 所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f ．【或：若0=a ，得m x e x f m x -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，分如下三种情形：①当0)('≥x f 恒成立时，只需0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ， 可知)(x f 在]0,1[-上单调递增，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(， 则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ， 所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ；②当0)('≤x f 恒成立时，只需0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ，02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=m m m e e m e f ，所以0)0()(>≥f x f ；③当)('x f 在]0,1[-上先负后正时，)(x f 在]0,1[-上先减后增， 所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e m x ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ， 所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f . 】（22）解：（I ）圆C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程为sin ρθ=； （II ）设()122,,,3M N πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 122sin sin 3OM ON πρρθθ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭1sin sin 23πθθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 由0203θππθπ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，得03πθ≤≤，2333πππθ≤+≤，故sin 123πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即OM ON +． (23)解：（I ）|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=， 由题意知|2|||-≥m m ，得22)2(-≥m m ，解得1≥m ；（II ）不等式为m x m x 2|1||1|<-++-，即m m x x 2|)1(||1|<+-+- 若0≤m ，显然不等式无解；若0>m ，则11>+m ．①当1≤x 时，不等式为m x m x 211<-++-，解得21mx ->， 所以121≤<-x m； ②当11+<<m x 时，不等式为m x m x 211<-++-，恒成立， 所以11+<<m x ；③当1+≥m x 时，不等式为m m x x 2)1(1<+-+-，解得123+<mx ， 所以1231+<≤+mx m ； 综上所述，当0≤m 时，不等式的解集为空集， 当0>m 时，解集为}12321|{+<<-m x m x ．。