福建省莆田六中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(a卷) Word版含解析

2017-2018学年福建省莆田六中高一（下）期末数学试卷（A卷）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定5．在等差数列{a n}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．266．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或7．若ax2+x+a＜0的解集为∅，则实数a取值范围（）A．a≥B．a＜C．﹣≤a≤D．a≤﹣或a≥8．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=30°，a=1．现在给出下列四个条件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若从中选择一个条件就可以确定唯一△ABC，则可以选择的条件是（）A．①或②B．②或③C．③或④D．④或①10．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A．2B．8C．D．11．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或12．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}的通项公式为a n=，则其前n项的和S n=______．14．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C. D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为______是正确的（填“解法1”或“解法2”）15．已知f（x）=，则f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f对正整数m的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．18．在等差数列{a n}中，已知第10项等于17，前10项的和等于80．从该数列中依次取出第3项、第32项…第3n项，并按原来的顺序组成一个新数列{b n}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，求T n．19．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（Ⅰ）写出y与x之间的函数关系式；（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）．20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=2﹣（）n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）令b n=2n a n，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）令c n=a n，求数列{c n}的前n项和T n．22．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上．（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．2017-2018学年福建省莆田六中高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．即可得出．【解答】解：由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．因此此数列的一个通项公式为a n=．故选：C．2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【考点】不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【分析】A．举出反例：取c=0时不成立；B．由1＜b＜2，可知﹣2＜﹣b＜﹣1，进而可求出a﹣b的范围；C．由不等式的性质可知正确；D．举出反例5＞2，﹣1＞﹣2，可否定之．【解答】解：A．取c=0时，虽然a＞b，但是ac2=bc2；B．∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，∴﹣4＜a﹣b＜2，故B不正确；C．∵a＞b＞0，∴，又∵m＞0，∴；D．虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是﹣5＜﹣4，故D不正确．综上可知：正确答案为C．故选C．3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出集合P，然后根据P∩Q≠∅，则集合P中含有集合Q的元素，从而求出m的取值．【解答】解：Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x，x∈Z}={1，2}集合P={0，m}，P∩Q≠∅，集合P中含有集合Q的元素，∴m=1或2故选C4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．5．在等差数列{a n}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质和已知可得a7=1，再由等差数列的求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a3+a5+2a10=4，∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，∴2a7=2，解得a7=1，∴数列的前13项的和S13===13a7=13×1=13，故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D7．若ax2+x+a＜0的解集为∅，则实数a取值范围（）A．a≥B．a＜C．﹣≤a≤D．a≤﹣或a≥【考点】一元二次不等式的解法．【分析】理解题意，即该不等式无实解．【解答】解：∵ax2+x+a＜0的解集为∅，∴8．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=30°，a=1．现在给出下列四个条件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若从中选择一个条件就可以确定唯一△ABC，则可以选择的条件是（）A．①或②B．②或③C．③或④D．④或①【考点】正弦定理．【分析】对于①，由正弦定理可得b，利用三角形内角和定理可求C，满足条件的三角形有1个；对于②，由正弦函数的图象和性质可知当时，B有两解，满足条件的三角形有2个；对于③，由正弦定理可得sinC，结合范围可求C的值有两解，故不正确；对于④，利用余弦定理即可整理解得唯一确定的c，b，满足条件的三角形有1个．【解答】解：∵A=，a=1．对于：①B=，由正弦定理可得：b==，C=π﹣A﹣B=，满足条件的三角形有1个，故正确；对于：②b=2sinB，B∈（0，），由正弦函数的图象和性质可知当时，即，1＜b＜2时，B有两解，满足条件的三角形有2个，故不正确；对于：③c=，由正弦定理可得：sinC==，由C∈（0，），可得：C=或，满足条件的三角形有2个，故不正确；对于：④2c﹣b=0，可得：b=，由余弦定理可得：1=（）2+c2﹣××c，整理解得：c=，b=2，满足条件的三角形有1个，故正确；故选：D．10．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A．2B．8C．D．【考点】正弦定理．【分析】先根据正弦定理求得sinC=代入三角形面积公式根据abc的值求得答案．【解答】解：∵=2R=8，∴sinC=，=absinC=abc=×16=．∴S△ABC故选C11．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0且q≠1），由已知可解得q，而=，代入即可．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0且q≠1），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=，而===故选B12．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 【考点】函数的值．【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}的通项公式为a n=，则其前n项的和S n=．【考点】数列的求和．【分析】利用裂项法可得a n=2（﹣），从而可得其前n项的和S n的值．【解答】解：∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（﹣）=1﹣=．故答案为：．14．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？ [题]在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C.D. [解法1]△ABC 有两解，asinB ＜b ＜a ，xsin45°＜2＜x ，即，故选C ．[解法2]，．△ABC 有两解，bsinA ＜a ＜b ，，即0＜x ＜2，故选B ．你认为 解法1 是正确的 （填“解法1”或“解法2”） 【考点】进行简单的演绎推理．【分析】若a ＜b ，则A ＜B ，结合B=45°，可得△ABC 只有一解，故可得结论． 【解答】解：解法1正确∵若a ＜b ，则A ＜B ，∵B=45°，∴△ABC 只有一解，故解法2不正确 故答案为：解法115．已知f （x ）=，则f （）+f （）+…f （）+f （1）+f （2）+…+f +f （）=2，从而求出答案．【解答】解：f （x ）=，f （）==，∴f （x ）+f （）=2，∴f （）+f （）+…f （）+f （1）+f （2）+…+f +f +f +f （2）]+f （1）=2×2018+1=4031， 故答案为：4031．16．对正整数m 的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若m 3的“分裂”中最小的数是211，则m 的值是 15 ． 【考点】归纳推理．【分析】首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再看出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1）+1，问题得以解决．【解答】解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1， 33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1， 53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1）+1，∴153，分裂中的第一个数是：31=15×14+1=211，∴若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值是15．故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，由此能求出m的取值范围．（2）由f（x）＜﹣m+5，知（x2﹣x+1）m﹣6＜0，由对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，知只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．由此能求出x的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，∴﹣4＜m＜0，综上，m的取值范围是（﹣4，0]．（2）∵f（x）＜﹣m+5，∴mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5，∴（x2﹣x+1）m﹣6＜0，∵对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，且x2﹣x+1＞0，∴只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．∴x的取值范围是（﹣1，2）．18．在等差数列{a n}中，已知第10项等于17，前10项的和等于80．从该数列中依次取出第3项、第32项…第3n项，并按原来的顺序组成一个新数列{b n}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．（Ⅱ），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知，设{a n}公差为d，∵第10项等于17，前10项的和等于80，则，解得a1=﹣1，d=2，∴a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（Ⅱ），∴T n=b1+b2+…b n=2（3+32+…+3n）﹣3n==3n+1﹣3n﹣3．19．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（Ⅰ）写出y与x之间的函数关系式；（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）．【考点】数列与函数的综合；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）第x年所需维修、保养费用为12+4（x﹣1），故y与x之间的函数关系为x∈N．+（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当y＞0时，开始盈利，解不等式﹣2x2+40x﹣98＞0求得x的范围，从而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，第x年所需维修、保养费用为12+4（x﹣1）=4x+8，维修、保养费用成等差数列递增，依题得：）．（x∈N+（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当y＞0时，开始盈利，解不等式﹣2x2+40x﹣98＞0，得．，∵x∈N+∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利．20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=，进而求出∠A．（2）首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+），从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解．【解答】解：（1）∵acosC+c=b，由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，即sinAcosC+sinC=sinB，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴．（2）由正弦定理得：b==，c=，∴l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+（sinB+sin（A+B））=1+2（sinB+cosB）=1+2sin（B+），∵A=，∴B，∴B+，∴，故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）及余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=bc+1，∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（）2，解得b+c≤2，又∵b+c＞a=1，∴l=a+b+c＞2，即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n =2﹣（）n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）令b n =2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列； （Ⅱ）令c n =a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（I ）运用数列的通项和求和的关系：n=1时，S 1=a 1，n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得2n a n =2n ﹣1a n ﹣1+1．则b n =2n a n ，即有b n =b n ﹣1+1，运用等差数列的定义，即可得证；（II ）由等差数列的通项公式可得a n =n （）n ，c n =a n =（n +1）（）n ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（I ）证明：在S n =﹣a n +2﹣（）n ﹣1中，令n=1，得S 1=﹣a 1﹣1+2=a 1，得a 1=；当n ≥2时，S n ﹣1=﹣a n ﹣1+2﹣（）n ﹣2，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣a n +a n ﹣1+（）n ﹣1， 即2a n =a n ﹣1+（）n ﹣1，即2n a n =2n ﹣1a n ﹣1+1．则b n =2n a n ，即有b n =b n ﹣1+1，即当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=1．又b 1=2a 1=1，故数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． （II ）由（I ）b n =1+（n ﹣1）=n=2n a n ，可得a n =n （）n ，c n =a n =（n +1）（）n ，所以T n =2•+3•（）2+4•（）3+…+（n +1）（）n ，T n =2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n +1）（）n +1，两式相减可得， T n =1+（）2+（）3+（）4+…+（）n ﹣（n +1）（）n +1，=1+﹣（n +1）（）n +1=﹣，则T n =3﹣．22．如图，在等腰直角三角形△OPQ 中，∠POQ=90°，OP=2，点M 在线段PQ 上．（1）若OM=，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且∠MON=30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【分析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2•OP•MPcos45°，解得MP即可．（2）∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．【解答】解：（1）在△OPQ中，∠OPQ=45°，OM=，OP=2，由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2•OP•MPcos45°，得MP2﹣4MP+3=0，解得MP=1或MP=3． (6)（2）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得，所以，同理…8′== (10)S△OMN===== (14)因为0°≤α≤60°，30°≤2α+30°≤150°，所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM=30°时，△OMN的面积的最小值为8﹣4． (16)2016年9月28日。