高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念学案含解析

一 曲线的参数方程 1．参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t y ＝g t①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A ，B 的滑动而引起点P 的运动，故可以OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取BP 与x 轴正向夹角为参数来求解．法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0＜t ＜a )．法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中， |OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aθ＋cos θ，y ＝a sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，又θ＝π60t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数)．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程． 解：选t ＝x ，则y ＝2t ＋3.由此得直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋3(t 为参数)．也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1.参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数).已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．(1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．(1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得t ＝0.∴点M 1在曲线C 上． 同理，可知点M 2不在曲线C 上．(2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1.解得t ＝2，a ＝9. ∴a ＝9.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．3．曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ)解析：选D 将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(其中t 为参数，a ∈R)，点M (5,4)在该曲线上，求常数a .解：∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.课时跟踪检测(七)一、选择题1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝0；(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3t ＋1；(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝0；(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝0；(t 为参数)解析：选D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a )在曲线C 上，则a 等于( )A ．－3－5 3B ．－3＋5 3C ．－3＋533D ．－3－533解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②由①，得cos θ＝12.又π≤θ＜2π，∴sin θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32，∴tan θ＝－ 3.∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A ．(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12D ．(1,0)解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件．4．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2ty ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2t y ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A 设(x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0，得 (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .二、填空题5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点：A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．解析：将点A 坐标代入方程，得θ＝0或π， 将点B ，C 坐标代入方程，方程无解， 故点A 在曲线上． 答案：A (1,3)6．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的是________(填序号)．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－t 2，②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝csc t ，③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sec t ，④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝cot t .解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：，，故①②③均不正确，而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④7．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1,1)，则点M 的参数方程为________________________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ， 在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t(t 为参数)三、解答题8．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0，得(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．9．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.10．试确定过M (0,1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹方程．解：设过M (0,1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1， 其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)． 设中点P (x ，y )，则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，y 1＋y 2＝8k 2＋4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)．这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹方程．。