人教A版 参 数 方 程 学案
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程 Word版含答案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cosωt ＝x r，sinωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤25.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册优秀学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)
人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 -1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 -2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................. - 267 -3.3抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -3.3.1抛物线及其标准方程...................................................................................... - 281 -3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................. - 291 -章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标核心素养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称方向 模 记法 零向量任意 0 0 单位向量任意 1 相反向量相反 相等 a 的相反向量：－a AB →的相反向量：BA → 相等向量 相同 相等 a ＝b3.(1)向量的加法、减法空间向量的运算 加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 加法运算律 ①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．( ) (2)相等向量一定是共线向量．( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________. －53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.]4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD→＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. [跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算 1111为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟进训练] 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， 所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)，∴3CP →＝P A →＋2PB →，即P A →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则 OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →， ∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎨⎧1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ [解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1. ∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB→－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .] 4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.1.1.2 空间向量的数量积运算学习 目 标核心 素 养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a ，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.]3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]空间向量数量积的运算【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →＋13OA →.∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.利用数量积证明空间垂直关系＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .夹角问题夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14， 又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3. 即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.距离问题1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2 注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34B ．14C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.]2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a ， ∴MN 的长度为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a·32a ·cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23. 从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .。
人教A版2019高中数学选修4-4教学案： 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化_含答案
第3课时 参数方程和普通方程的互化[核心必知]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[问题思考]1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用． 2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)（x －1）23＋（y －2）25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x 代入方程，求出y 即可．(1)将x ＝3cos θ＋1代入（x －1）23＋（y －2）25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数) 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1 ＝t 2＋3t ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数) 这就是所求的参数方程．(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易引出方程．(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t 12，y ＝t －12 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t 解析：选D 由xy ＝1得x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A 中x ∈[0，＋∞)，B 中x ∈[－1，1]，C 中x ∈[－1，1]，只有D 选项中x 、y 的取值范围与方程xy ＝1中x 、y 的取值范围相对应．分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎨⎧x ＝12（e t ＋e－t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程：(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ），sin θ＝y12（e t －e －t ），而sin 2θ＋cos 2θ＝1， 即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1.(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t )，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t )，即x ＝0；当θ≠k π2，k ∈Z 时，得⎩⎨⎧e t ＋e －t ＝2x cos θ，e t －e －t ＝2y sin θ，即⎩⎨⎧2e t ＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t ＝2x cos θ－2y sin θ.得2e t ·2e －t ＝(2x cos θ＋2y sin θ)(2x cos θ－2y sin θ)，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎨⎧x ＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝⎛⎭⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．已知某曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (3，1)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝3at 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y－7＝0距离的最小值．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．M到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5sin (φ－θ)－13|(φ为锐角且tan φ＝43)． 从而当sin (φ－θ)＝1时，d 取得最小值855.(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．3．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)∴图象为抛物线设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0， 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0. 弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法，也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想．湖北高考中，以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想．[解析] 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52)． 答案：(52，52)一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2，3]，y ∈[0，1]．2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝⎛⎭⎫12，－2B.⎝⎛⎭⎫－34，12 C ．(2，3) D ．(1，3)解析：选B 化为普通方程：y 2＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12.3．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：选D 消去参数得：x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为 ( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1，0≤y ≤2.二、填空题5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 为参数，t ≠0)，则它的普通方程为________．解析：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2，即y ＝1－(11－x )2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)．答案：y ＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝2（e t－e －t ）(t 为参数)的普通方程为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y 2＝e t －e －t ，⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝2e t，x －y 2＝2e －t ，⇒(x ＋y 2)(x －y2)＝4.答案：x 24－y 216＝1(x ≥2)7．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：法一：由题可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－ 16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)(tan φ＝43)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0，0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝()（0－3）2＋（0＋4）2－22＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9. 答案：98．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是________．解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2，0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设yx ＝k ， ∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13.∴y x 的范围为⎣⎡⎦⎤－33，33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，33 三、解答题9．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎨⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝⎛⎭⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为⎩⎨⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t.∴x ≠－1，y ≠2，∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ. ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ， 又x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．10．求直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，∴弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27.11．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的方程是4x ＋3y －8＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)在方程4x ＋3y －8＝0中， 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.。
高中数学人教A版选修4-4 2-2-1 椭圆的参数方程 导学案 精品
2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一：圆的参数方程问题1：你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？问题2：你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？提问3：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】：如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思： 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？知识点小结：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为： 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】：设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
人教A版高中同步学案数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 函数的应用(二)函数的零点与方程的解
所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数()只有一
个零点.
1
（3）() = 2 + lg( + 1) − 2.
解（方法1）∵ (0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0,(2) = 4 + lg 3 − 2 = 2 + lg 3 > 0,
∴ () = 0在(0,2)内必定存在实根.
C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞, −3)和(4, +∞)
[解析]易知() = + + ( ≠ )的图象是一条连续不断的曲线,又
(−)(−) = × (−) = − < ,所以()在(−, −)内有零点,即方程
+ + = ( ≠ )在(−, −)内有根,同理,方程 + + = ( ≠ )在
( )
( )
∵
= + = − < ,( ) = + = − < ,
= + = − + = − ,() =
> ,∴ > ,即 − > ,∴ ( ) > ,
() = − − 有2个不同的实根,即函数()的图象与直线
= − − 的图象有2个交点.作出直线 = − − 与函数
1 = ()和2 = ℎ()的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 = ()零点的个数.
高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高中选修4-
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 点到直线的距离公式
|P1P2|= (x2 -x1 )2 + (y2 -y1 )2 .
当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|,当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|
2.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离 |OP|= 2 + 2 .
条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
重难探究·能力素养全提升
问题1线段由两个端点确定,其长度也是最基本的几何量.在平面直角坐标
系中,如何用两个端点的坐标来表示线段的长度,即两端点间的距离呢?
问题2两点间的距离,可以类似于向量的什么?据此,可否思考如何求出两点
间的距离?
探究点一
两点间距离公式的应用
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
规律方法
坐标法及其应用
问题3如何通过对几何问题的定量研究来判断三角形的形状?
【例1】 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断
△ABC的形状.
思路分析可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
解 (方法 1)∵|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
7 13
新人教A版必修3 高中数学1.1.2.1程序框图学案1
学 习 过 程 与 ② 说出终端框(起止框)的图形符号与功能： 方 法 ③ 说出输入、输出框的图形符号与功能：
二．认真自学课本 P6-9, 完成下列问题.： ① 什么是流程图？
④ 说出处理框(执行框)的图形符号与功能：
⑤ 说出判断框的图形符号与功能：
1
⑥ 说出流程线的图形符号与功能：
⑦ 出连接点的图形符号与功能：
总结如下表： 图形符号 名称 功能
⑧ 什么是顺序结构？顺序结构对应的流程图怎样表示？
2
达标训练 已知一个三角形三条边的边长分别为 a,b,c,利用海伦-秦九韶公式设计一个计算三角 形面积的方法并画出流程图.（已知一个三角形三条边的边长分别为 a,b,c,则三角形 面积为 S
p( p a)( p b)( p c) ，其中 p
高中数学 1.1.2.1 程序框图学案 1 文 新人教 A 版必修 3
授 课 时 间 学 习 目 标 重 点 难 点 主备课 人
第 周
星期 第
节
课型
新授课
1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用； 2.通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程.在具体问题的 解决过程中，理解流程图的顺序结构； 3.通过比较，体会流程图的直观性、准确性. 重点：流程图的画法. 难点：流程图的画法. 自主学习: 一.复习回顾：了解了算法的概念及处理某些问题的算法后，你觉得用自然语言表述 的算法有什么不方便之处？谈谈自己的感想.
abc .） 2
作 业 布 置
学 习 小 结
3
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第二节参数方程
知识体系
必备知识
1.参数方程与普通方程
参数方程普通方程
变量间
的关系
曲线上任意点的坐标x,y都是某个
变数t的函数,t简称参数
曲线上任意点坐标x,y
间的关系
方程
表达式
F错误!未找到引用源。
=0
曲线的
方程、方
程的曲
线
(1)曲线上任意点的坐标x,y都是
参数t的函数
(2)对于t的每一个允许值确定的
点错误!未找到引用源。
都在曲线
上
(1)曲线上点的坐标都
是方程的解
(2)以方程的解为坐标
的点都在曲线上
2.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程:主要利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.
(2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),则得曲线的参数方程错误!未找到引用源。
3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
轨迹普通方程参数方程
直线
y-y0=tan α(x-x0)
(t为参数)
圆(x-a)2+(y-b)2=r2
(θ为参数)
椭圆错误!未找到引用
源。
+错误!未找到
引用源。
=1
(a>b>0)
(φ为参数)
基础小题
1.已知直线错误!未找到引用源。
(t为参数),下列说法中正确的有
( )
①直线经过点(7,-1);②直线的斜率为错误!未找到引用源。
;③直线不过第二象限;④|t|是定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离.
A.①②
B.②③
C.①②④
D.①②③
【解析】选D.根据题意,直线错误!未找到引用源。
(t为参数),其普通方程为y+4=
错误!未找到引用源。
(x-3),对于①,(-1)+4=错误!未找到引用源。
(7-3),即直线经过点(7,-1),①正确;对于②,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。
(x-3),其斜率k=错误!未找到引用源。
,②正确;对于③,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。
(x-3),不经过第二象限,③正确;对于④,直线错误!未找到引用源。
(t为参数),|5t|表示定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离,④错误.
2.过点A(2,3)的直线的参数方程为错误!未找到引用源。
(t为参数),若此直线与直线x-y+3=0相交于点B,则|AB|=________.
【解析】把错误!未找到引用源。
代入直线x-y+3=0得t=2,
则交点为(4,7),
所以|AB|=错误!未找到引用源。
=2错误!未找到引用源。
.
答案:2错误!未找到引用源。
3.直线l的参数方程为错误!未找到引用源。
(t为参数),求直线l的斜率.
【解析】将直线l的参数方程化为普通方程为
y-2=-3(x-1),因此直线l的斜率为-3.
4.已知直线l1:错误!未找到引用源。
(t为参数)与直线
l2:错误!未找到引用源。
(s为参数)垂直,求k的值.
【解析】直线l1的方程为y=-错误!未找到引用源。
x+错误!未找到引用源。
,斜率为-错误!未找到引用源。
;
直线l2的方程为y=-2x+1,斜率为-2.
因为l1与l2垂直,所以错误!未找到引用源。
×(-2)=-1⇒k=-1.
5.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线错误!未找到引用源。
(t为参数)上,求|PF|的值.
【解析】将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x,则焦点F(1,0),准线方程为x=-1,又P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知
|PF|=3-(-1)=4.。