从辐射传输方程到漫射方程、边界条件、有限元弱解的公式推导

其中：
µs 4p
∫
p
0
sin θ dθ ∫ dφ ∫ sin θ ' dθ ' ∫ L0,0
0 0 0
2p
p
2p
1 p (θ ', φ ', θ , φ )dφ ' 4p
(3.2)
= L0,0
1 µs 4p 4p
∫
p
0
sin θ dθ ∫ dφ ∫ p ( s ', s )d Ω '
0 4p
2p
= L0,0
ππ 2 1 1 µs = sin θ dθ ∫ dφ L = µ s 2 ( 2ππ 2 L0,0 µ= µ s Φ (r , t ) ) 0,0 s ∫ 0 0 4π 4π
ˆ '⋅ s ˆ) 展开成 2 阶 Legendre 多项式： 对于后 3 项，采用漫射近似：将 p ( s
ˆ '⋅ s ˆ) = = = θ , µ ' cos θ ' p( s ) 令 µ cos ∑ ωl Pl ( cos Θ
1 4p
ˆ '⋅ s ˆ)d Ω ' = 1 ∫ p p( s
4
n= 0 m= − n
∑L
n
n,m
ˆ) (r , t )Yn ,m ( s
1 3 3 3 sin θ e − iφ L1,−1 + cos θ L1,0 − sin θ eiφ L1,1 = L00 + 8 4 8 πππ 4π
3
令Φ( = r,t)
2sin 2 2 = lim sin θ ∆θ → 0 ∆θ∆φ ∆φ → 0
( ∆θ ) 2
2 2
( ∆φ ) θ
2
∆Ω = sin θ∆θ∆φ ，即： d Ω =sin θ dθ dφ
ˆ '⋅ s ˆ) 为相位函数， ˆ ' 散射到 s ˆ 上的概率， p( s 它代表的物理意义为光子从方向 s 满足：
1
§1 从辐射传输方程到漫射方程的推导
ˆ 所给定的方向上，单位立体角内，单位时间内，通过垂 辐射传输方程描述的是在单位矢量 s
ˆ, t ) 来表示，它被称为辐射度，是辐射传输 ˆ 方向的单位面积上的能量，这个量用 L(r , s 直于 s
方程中最基本的物理量，单位是 Wm sr 。
−2 −1

∆L =
从辐射传输方程到有限元弱界 之 数学公式推导
安徽师范大学数学计算机科学学院 丁新涛
目录： 1 从辐射传输方程到漫射方程的推导……………………………………………1 2 匹配边界条件……………………………………………………………………10 3 弱界形式 ……………………………………………………………………… 26
2 2
( sin (θ + ∆θ ) − sin θ ) cos φ PP = 1 + ( sin (θ + ∆θ ) − sin θ ) sin φ + cos (θ + ∆θ ) − cos θ
=
2
2
( sin (θ + ∆θ ) − sin θ ) + ( cos (θ + ∆θ ) − cos θ )
d 1 ∂Φ (r , t ) c ∂t
1
4
∫π
d ˆ ⋅∇L(r , s ˆ, t )d Ω s =
4
∫πˆ ⋅∇∑ s源自n= 0 m= − n∑L
n
n,m
ˆ)d Ω ( x, y, z , t )Yn ,m ( s
n ∂L n ∂L 1 1 1 n ∂Ln ,m n,m n,m ˆ ˆ ˆ ˆ) d Ω ( ), ( ), = ⋅ s Y s Y s Yn ,m ( s ∑ ∑ ∑ ∑ n,m n,m ∑ ∑ ∫ − n ∂x − n ∂y − n ∂z n= n= 0 m= 0 m= 0 m= n= 4π n 1 ∂L ∂L ∂L ˆ ⋅ n ,m Yn ,m ( s ˆ), n ,m Yn ,m ( s ˆ), n ,m Yn ,m ( s ˆ) d Ω = s ∑ ∑ ∫ ∂y ∂z n = 0 m = − n 4π ∂x
= p ( µ ,φ = , µ ', φ ')
∑ ωl Pl µµ '+ (1 − µ 2 ) 2 (1 − µ '2 ) 2 cos (φ − φ ')

1 2 2 2 1 2

1
1

=
∑ ω P µ cos θ '+ (1 − µ ) (1 − cos θ ')
l l
cos (φ − φ ')
（*）
= µ s + µa 是光学传输系数， µa 和 µ s 分别 c 是光子在生物组织中的传播速度； µ t ˆ, t ) 表示内部光源的空间分布； r 是空 为生物组织的吸收系数和散射系数； S (r , s ˆ 是单位方向数(也即单位向量)定义为 间 点 坐 标 为 ( x, y , z ) ， s (sin θ cos φ ,sin θ sin φ , cos θ ) ， Ω ' 是空间立体角。 1 ∂Φ ( r , t ) 下面由（*）式推导漫射方程： = ∇ • ( D ( r , t ) ∇Φ ( r , t ) ) − µa Φ ( r , t ) + S ( r , t ) c ∂t
∂ ∂ ∂ 1 n ˆ) s1 , Ln ,mYn ,m ( s ˆ) s2 , Ln ,mYn ,m ( s ˆ) s3 ) d Ω = , , • ∑ ∑ ∫ ( Ln ,mYn ,m ( s ∂x ∂y ∂z n = 0 m = − n 4π
= ∇•∑
1
n= 0 m= − n 4 1 n
dd ∫ L(r , s , t )d Ω ，是光强在整个方向角内的积分，是 t 时刻流过整个球
4π
面的光强，表示流率(对时间再积分就是流量)； d dd = J ( r , t ) ∫ sL(r , s , t )d Ω ：Current density (energy flux) ，是矢量，将 L 投射到笛卡
ˆ = (sin θ cos φ ,sin θ sin φ , cos θ ) 对应于球面上 P 点，当 θ 、 φ 有微小增量 设s
∆θ 、 ∆φ ，对应 P = 1
= P2
( sin (θ + ∆θ ) cos φ ,sin (θ + ∆θ ) sin φ , cos (θ + ∆θ ) ) ,
后三项中的第一项：
µs 4p
=
∫
p
0
sin θ dθ ∫ dφ ∫ sin θ ' dθ ' ∫
0 0
2p
p
2p
0
3 sin θ ' e − iφ ' L1,−1 p (θ ', φ ',θ , φ )dφ ' 8p
（3.3）
cos (φ − φ ') dφ '
µs 4π
1 2 ππ 1 2π 2 3 2 L1,−1 ∫ d µ ∫ dφ ∫ sin 2 θ ' dθ ' ∫ e − iφ ' ∑ ωl Pl µ cos θ '+ (1 − µ 2 ) 2 1 − ( cos θ ') − 1 0 0 0 8π l =0
∆Eλ ，与下式对照， ∆a 是空间点 r 附近的邻域面积， ∆Eλ 是全波长 ∆t ∆Ω∆a∆λ
上的能量。
经过推导，可以得到辐射传输方程的形式：
d ˆ, t ) dd 1 ∂L(r , s ˆ ⋅∇L(r , s ˆ, t ) − µt L(r , s ˆ, t ) = −s c ∂t dd µ ˆ ', t ) p ( s ˆ '⋅ s ˆ)d Ω '+ S (r , s ˆ, t ) + s ∫ L(r , s 4p 4p
=
∑∑ ∫ π
n= 0 m= − n 4
1
n
∂Ln ,m ∂x
ˆ) s1 + Yn ,m ( s
∂Ln ,m ∂y
ˆ ) s2 + Yn ,m ( s
∂Ln ,m ∂z
ˆ) s3d Ω Yn ,m ( s
n 1 ∂ ∂ ∂ ˆ) s1 , Ln ,mYn ,m ( s ˆ) s2 , Ln ,mYn ,m ( s ˆ) s3 ) d Ω = ∑ ∑ , , • ( Ln ,mYn ,m ( s ∫ n = 0 m = − n 4π ∂x ∂y ∂z
∑ ∫L π ∑L
n
n,m n,m
ˆ) ( s1 , s2 , s3 ) d Ω Y (s ˆ) ( s1 , s2 , s3 ) d Ω Y (s
= ∇• ∫ ∑
d ˆ, t ) s ˆd Ω = ∇ • J ( r , t ) = ∇ • ∫ L (r , s
4π
4π n = 0 m = − n
P1
（x,y,z）
φ
P
∆φ
P2
θ
Figure 1: Schematic of energy flow through a differential area element at position within a . 2 图 2:关于空间立体角的微元
Δθ
differential solid angle element
2
( sin θ cos (φ + ∆φ ) ,sin θ sin (φ + ∆φ ) , cos θ ) ,