对流换热微分方程教学提纲
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传热学12 对流换热的基本方程和分析解
2 2 2 T T T T T T T x y z a 2 2 2 t x y z y z x
此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内 热源不可压缩流体的对流换热分析。 a 2/s。 称为导温系数，单位是 m CP
式中，Ψ为壁面的几何因素。
12.2 对流换热微分方程 (1) 换热微分方程
由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相
T 式中, y
对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移 边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层， 与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程： T T y y 0
由换热微分方程得：
x 0.332
L Re Pr
1/2 L 1/3
x x Nu x 0.332 Rex1/ 2 Pr1/ 3
对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用 L αx沿全板长从0到L积分： 1 x dx L0 1/2 1/3 2 x 对上式积分可得： 0.664 ReL Pr L x Nu 0.664 Rex1/2 Pr1/3 Nu 2Nux
对于不可压缩流体，不存 在体积功，只有黏性力作功 产生摩擦热。 微元体获得的热能有：一 是通过微元体界面从外界以 对流和导热方式得到；二是 由微元体的内热源产生。
12.2 对流换热微分方程
对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性 力作功产生摩擦热。 微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界 以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热 源产生。 微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：
y 0
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
df ' d
y 0
d{2[(T Tw ) / (T Tw )]} d[(y / 2x) Rex ]
此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内 热源不可压缩流体的对流换热分析。 a 2/s。 称为导温系数，单位是 m CP
式中，Ψ为壁面的几何因素。
12.2 对流换热微分方程 (1) 换热微分方程
由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相
T 式中, y
对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移 边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层， 与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程： T T y y 0
由换热微分方程得：
x 0.332
L Re Pr
1/2 L 1/3
x x Nu x 0.332 Rex1/ 2 Pr1/ 3
对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用 L αx沿全板长从0到L积分： 1 x dx L0 1/2 1/3 2 x 对上式积分可得： 0.664 ReL Pr L x Nu 0.664 Rex1/2 Pr1/3 Nu 2Nux
对于不可压缩流体，不存 在体积功，只有黏性力作功 产生摩擦热。 微元体获得的热能有：一 是通过微元体界面从外界以 对流和导热方式得到；二是 由微元体的内热源产生。
12.2 对流换热微分方程
对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性 力作功产生摩擦热。 微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界 以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热 源产生。 微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：
y 0
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
df ' d
y 0
d{2[(T Tw ) / (T Tw )]} d[(y / 2x) Rex ]
热传学培训课件-6、对流换热讲义
23
§6-2 牛顿冷却公式和表面传热系数
二、表面传热系数 h
h
A(tw t°C时、单位壁面面积 上、单位时间内所传递的热量。
h 是一个表征对流换热强弱的非物性参数。 h 受诸如流速、流体物性参数、固体的形状和位置 等许多因素的影响。 如何确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题。
3、热边界层定义 对流换热时壁面附近出现一层温度变化比较剧烈的流
体层，这一流体层叫做热（温度）边界层。
t tw t t tw 99%
19
§6-1 有关概念
（三）对流换热强度与流体运动状态的关系
（1）流体静止时，完全依靠导热，此时dt/dy最大；(只有 热边界层）
（2）层流状态时，以导热为主， dt/dy较大，对流换热较弱； （有热边界层和层流速度边界层）
hx
tw t
t y
y0,x
温度场
温度场
特别是壁面附 近的温度分布
受到流场的影响
流场
Continuity Eq. Mass conservation law Momentum Eq. Momentum conservation law
温度场 Energy Eq. Energy conservation law
单相换热 Single phase heat transfer： 相变换热 Phase change：
凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
流体相变时吸收或放出汽化潜热比比热容大得多， 且破坏了层流底层强化了传热。
h相变 h单相
33
§6-3 影响对流换热的主要因素 六、归纳
前4类影响因素构成将对流换热进行分类的基架，流 体的物性将通过一个特殊的无量纲数来专门予以反映
对流换热微分方程式
§6-2 牛顿冷却公式和表面传热系数
二、表面传热系数 h
h
A(tw t°C时、单位壁面面积 上、单位时间内所传递的热量。
h 是一个表征对流换热强弱的非物性参数。 h 受诸如流速、流体物性参数、固体的形状和位置 等许多因素的影响。 如何确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题。
3、热边界层定义 对流换热时壁面附近出现一层温度变化比较剧烈的流
体层，这一流体层叫做热（温度）边界层。
t tw t t tw 99%
19
§6-1 有关概念
（三）对流换热强度与流体运动状态的关系
（1）流体静止时，完全依靠导热，此时dt/dy最大；(只有 热边界层）
（2）层流状态时，以导热为主， dt/dy较大，对流换热较弱； （有热边界层和层流速度边界层）
hx
tw t
t y
y0,x
温度场
温度场
特别是壁面附 近的温度分布
受到流场的影响
流场
Continuity Eq. Mass conservation law Momentum Eq. Momentum conservation law
温度场 Energy Eq. Energy conservation law
单相换热 Single phase heat transfer： 相变换热 Phase change：
凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
流体相变时吸收或放出汽化潜热比比热容大得多， 且破坏了层流底层强化了传热。
h相变 h单相
33
§6-3 影响对流换热的主要因素 六、归纳
前4类影响因素构成将对流换热进行分类的基架，流 体的物性将通过一个特殊的无量纲数来专门予以反映
对流换热微分方程式
(22、23)第四章 4.4 对流换热
即在所有对应的时间和对应的地点
其中
分别为各物理量的相似倍数。如果
所有的相似倍数都等于1，则两个物理现象完全相同。
35
对应时间：指时间坐标对应成比例的 时间，也称相似时间。
式中 为时间坐标比例常数，或称为时间相似倍数。
如果分别采用无量纲时间坐标 时间的无量纲时间坐标分别相等。
，则对应
36
6
2018/7/12
，
无量纲速 度场相同
结论：相似物理现象的所有同名无量纲物理量场相同。
38
（2）物理现象相似的性质 以A与B两个常物性、无内热源、不可压缩 牛顿流体外掠等壁温平板的对流换热相似为例：
现象A
现象B 根据物理量场相似的定义
比较
39
采用同样的方法，可由动量微分方程式和能量微分 方程式导出
这种由描述物理现象的方程式导出特征数的方法叫 作相似分析。Nu、Re、Pr也称为相似特征数。
热扩散率a的相对大小。令
对于层流边界层:Pr≥1
；Pr≤1
对于湍流边界层:
普朗特数
一 般 液 体 :Pr=0.6~4000 ； 气 体 ： Pr=0.6~0.8 。
22
综上所述，边界层具有以下特征：
(a)
(b) 流场划分为边界层区和主流区。流动边界层内存 在较大的速度梯度，是发生动量扩散（即粘性力作用） 的主要区域。主流区的流体可近似为理想流体；热边 界层内存在较大的温度梯度，是发生热量扩散的主要 区域，热边界层之外温度梯度可以忽略。
说明对流换热过程是稳态还是非稳态。对于非稳 态, 应给出初始条件（过程开始时的速度、温度场）。
17
4) 边界条件 第一类边界条件给出边界上的温度分布规律：
பைடு நூலகம்
第5章-对流换热分析
二、连续性方程(质量守恒方程) A
流体的连续流动遵循质量守恒定律 从流场中 (x, y) 处取出边长为 dx、dy 、1的微元体，对进出 微元体的流量进行分析 （流入的质量=流出的质量)。
Mx M x dx x
M y vdx
二维、不可压缩ρ=C 、稳态流动时：
u v 0 x y
4个假设：（1）体积力(重力)作的功、表面力作的功， 流体不可压缩，流体不做功 W＝0
（2）流体的热物性均为常量，热力学能变化由温度引起 （3）一般工程问题，流速低 ΔU动能=0
（4）无化学反应等qv
Φ内热源=0
能量微分方程式
y
Φ 导热 + Φ 对流 = U热力学能
2t 2t 1 ） 导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y 2）单位时间,左侧面,进入的流体热量: x udycp t cp t udy
t hx ( ) t x y
w ,x
2 W m K
对流换热过程 微分方程式 D
对流换热过程微分方程
t hx ( ) t x y
梯度。
w,x
W m 2 K ( 5 2a )
hx 取决于流体λ、温度差Δt=（ tw – tf ）、贴壁流体的温度
( tu ) ( tv ) c p dxdy c p dxdy x y
由于对流进入 单元的净热量
t t u t v t u v c p u t v t dxdy c p u v t( ) dxdy y y y x y x x x t t u v c p u v dxdy ( 应用连续性方程: 0 ) y x y x
对流换热---讲义
二、能量方程的推导.
t t dx 2 dy y y
2
c p v
v t dy t dy dx y y
u t dx t dx dy x x
y
ucptdy
2.按有无相变分
相变换热:传热过程中有相变发生.
物质有三态,固态,液态,气态，称三相. 相变换热又分为: 沸腾换热:(boiling heat transfer)物质由液态变为气态时 发生的换热. 凝结换热:(condensation heat transfer)物质由气态变为液态 时发生的换热. 熔化换热(melting heat transfer) 凝固换热(solidification heat transfer) 升华换热(sublimation heat transfer) 凝华换热（sublimation heat transfer ）
微元控制体
t dy x
c p u
O
x
t 2t dy dx x X 2
dx
t y
vcptdx
利用热力学第一定律有
导入的净热量+流入的净热量=系统内的焓增
2t 在x方向上导入的净热量有： 2 dxdy x
或对于面积为A的接触面
hAtm
其中t 为换热面积A上的平均温差.约定q 及 总是取正值,因 此t及tm也要求取正值.
一.对流换热的分类
1.按动力分
①强制对流(forced convection):由于泵,风机,或压差等流体本 身以外的动力产生的流动换热. ②自然对流(natural convection):由于流体的密度差等流体本 身的因素产生的流体流动换热. ③混合对流(mixed convection):自然对流和强制流动换热并存.
2.2 对流换热
①、速度边界层（Velocity boundary layer）
1904年由德国科学家普朗特（L.Prandtl）提出
定义：u=0.99u 处离壁的距离为
速度边界层厚度 。
流场划分为两个区：
边界层区：反映流体动量传递的渗透程度。 ― 粘性力起主导作用 ― 流体流动遵循粘性流体运动微分方程（N-S方程） ― 存在层流和紊流流动状态，速度梯度很大
l
贝克列准数：
Pe ul lu Cp Pr Re
Pr1 Pr2
普朗特准数Pr
Pr= Cp
上面分析可以将描述对流换热的微分方程组转化为准则数方程：
f（Ho，Fr，Eu，Re，Fo，Pe，Nu ）=0
将有关准数变形、整理，还可以得到新的准数
如：.
Ga
Fr Re2
gl u2
ul
2
h : w / m2 0C MT 3 1
v:m/s
LT 1
: kg / m3
ML3
: w / m k LMT 3 1
: Pa s L1MT 1 l : m L
Cp : j / kg 0C L2T 2 1
gT : N / kg
LT 2
（1）以1 对v流al换bh热c 系d 数h和(1)基本量纲1组 成hl Л 1N函u 数，即
数值解：参阅 陶文铨著，《计算传热学的近代进展》
2返0 回
2.2.2.4．对流换热问题如何分类？（掌握）
外部
无 相
强制对流
内部 圆管内强制对流换热 非园管
无限大空间
对
变 自然对流 有限空间
流
混合对流
池沸腾
换
沸腾换热
热
有 相
管内沸腾 水平管外
1904年由德国科学家普朗特（L.Prandtl）提出
定义：u=0.99u 处离壁的距离为
速度边界层厚度 。
流场划分为两个区：
边界层区：反映流体动量传递的渗透程度。 ― 粘性力起主导作用 ― 流体流动遵循粘性流体运动微分方程（N-S方程） ― 存在层流和紊流流动状态，速度梯度很大
l
贝克列准数：
Pe ul lu Cp Pr Re
Pr1 Pr2
普朗特准数Pr
Pr= Cp
上面分析可以将描述对流换热的微分方程组转化为准则数方程：
f（Ho，Fr，Eu，Re，Fo，Pe，Nu ）=0
将有关准数变形、整理，还可以得到新的准数
如：.
Ga
Fr Re2
gl u2
ul
2
h : w / m2 0C MT 3 1
v:m/s
LT 1
: kg / m3
ML3
: w / m k LMT 3 1
: Pa s L1MT 1 l : m L
Cp : j / kg 0C L2T 2 1
gT : N / kg
LT 2
（1）以1 对v流al换bh热c 系d 数h和(1)基本量纲1组 成hl Л 1N函u 数，即
数值解：参阅 陶文铨著，《计算传热学的近代进展》
2返0 回
2.2.2.4．对流换热问题如何分类？（掌握）
外部
无 相
强制对流
内部 圆管内强制对流换热 非园管
无限大空间
对
变 自然对流 有限空间
流
混合对流
池沸腾
换
沸腾换热
热
有 相
管内沸腾 水平管外
5.2 对流换热微分方程组
在一般的速度、温差范围内，若无化 学反应热,上述假设均基本符合工程实际。
第五章 5.2节(10)
2
5.2.1 连续性方程
• 根据质量守恒关系，不存在内部质量源 时，流入与流出控制体积的质量流量的 差值一定等于控制体积内的质量随时间 的变化率。 u v 0 x y
第五章 5.2节(10)
3
5.2.2 动量微分方程
t 共4个未知变量。
但由于方程强烈的非线性性质,在整个流 场中求得它的分析解极其困难。
普朗特（Ludwig. Prandtl, 1875－1953） 提出了边界层理论。使粘性流体流动与 换热的数学求解得到了根本的改观。
第五章 5.2节(10)
下一节
10
(2) 反映流体中的对流机制与扩散机制之间 的一种内在守恒关系。
(3) 假如流体中含内热源，应在方程右侧增 加源项，其它无需改动。
(4) 若需要考虑流体物性随温度的变化，必 须补充相关物性随温度变化的具体方程式。
第五章 5.2节(10)
9
式(5-2-1)～(5-2-4) 构成控制方程组
4个方程，理论上可求解流体的u、v、p、
dcond
dconv
dW
dE
d
第五章 5.2节(10)
5
导热方式进入：
d co nd
2t x 2
2t y 2
dxdy
从 x 方向进入与流出的净差额：
cp
ut dxdy
x
从 y 方向进入与流出的净差额：
cp
vt
y
dxdy
1
第五章 5.2节(10)
6
外力（体积力和表面力）对微元流体作功： （1）流体的动能变化率(略)； （2）微元体发生变形时压力p 作的功(等于零)； （3）粘性力对流体所作的功(耗散项) ，在低流速下一 般可以忽略不计。
第五章 5.2节(10)
2
5.2.1 连续性方程
• 根据质量守恒关系，不存在内部质量源 时，流入与流出控制体积的质量流量的 差值一定等于控制体积内的质量随时间 的变化率。 u v 0 x y
第五章 5.2节(10)
3
5.2.2 动量微分方程
t 共4个未知变量。
但由于方程强烈的非线性性质,在整个流 场中求得它的分析解极其困难。
普朗特（Ludwig. Prandtl, 1875－1953） 提出了边界层理论。使粘性流体流动与 换热的数学求解得到了根本的改观。
第五章 5.2节(10)
下一节
10
(2) 反映流体中的对流机制与扩散机制之间 的一种内在守恒关系。
(3) 假如流体中含内热源，应在方程右侧增 加源项，其它无需改动。
(4) 若需要考虑流体物性随温度的变化，必 须补充相关物性随温度变化的具体方程式。
第五章 5.2节(10)
9
式(5-2-1)～(5-2-4) 构成控制方程组
4个方程，理论上可求解流体的u、v、p、
dcond
dconv
dW
dE
d
第五章 5.2节(10)
5
导热方式进入：
d co nd
2t x 2
2t y 2
dxdy
从 x 方向进入与流出的净差额：
cp
ut dxdy
x
从 y 方向进入与流出的净差额：
cp
vt
y
dxdy
1
第五章 5.2节(10)
6
外力（体积力和表面力）对微元流体作功： （1）流体的动能变化率(略)； （2）微元体发生变形时压力p 作的功(等于零)； （3）粘性力对流体所作的功(耗散项) ，在低流速下一 般可以忽略不计。
对流传热基础及微分方程组
h h, x h, y
ut vt cp dxdy y x
控制体总能量随时间的变化率为
( e) dE dxdydz
1 2 其中e U (u v 2 w 2 ) 2
利用以上各项的具体表达，得能量守恒方程为
对于不可压缩流体，密度ρ为常量，则得到连续性方程：
二维连续性方程：
u v 0 x y
u v w 0 三维连续性方程： x y z
取微小六面体ABCDEFGH，其平 行于坐标轴各边的长度为dx，dy， dz，其质量为：M=ρdxdydz。 单位质量流体所受的质量力在三 个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z. 现着重分析作用在六面体表面上的 表面应力。 在六面体的各表面上，除了与受 压面垂直的法向应力p外，还有切向 应力τ分别垂直于p而平行于作用面 的坐标轴。
焓是一个热力学系统中的能量参数，公式仅为数值上相等。规 定由字母H（单位：焦耳，J）表示。焓具有能量的纲，但没有 明确的物理意义。 可以理解为恒压且只做体积功的特殊条件下，Q=ΔH，即反 应的热量变化。因为只有在此条件下，焓才表现出它的特性。 例如恒压下对物质加热，则物质吸热后温度升高，ΔH>0，所以 物质在高温时的焓大于它在低温时的焓。又如对于恒压下的放 热化学反应，ΔH<0，所以生成物的焓小于反应物的焓。 比焓可以理解为：工质进出热力系统，带入和带出的热力 学能u和推动功p/ρ之和，它代表工质在流动中，沿流动方向向 前传递的总能量中取决于热力状态的部分，因此焓可以看成是 随工质转移的能量。
(5) 换热表面的几何因素
换热表面的几何形状、尺 寸、相对位置以及表面粗糙 度等几何因素将影响流体的 流动状态，因此影响流体的 速度分布和温度分布，对对 流换热产生影响。 影响对流换热的因素很 多，表面传热系数是很多变 量的函数，
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CCttC C C l t y t
③
比较①③可以得到
Ct C
CwCt Cl
CCaC l2 t
C Ct
CCt Cl
CaC Cl2
1, CwCl Ca
1
C Cl 1 C
再将各常数用1、2系统参数表示，则有：
a a
l2
l 2
令Fo
a
l2
定义为傅立叶准数
wl wl
a
a
令Pe wl a
t
t (y)n0
（对流换热微分方程）
（二）、流体的导热微分方程（能量微分方程）
在流场中取微元六面体，根据能量守恒定律，推出流体的导 热微分方程
t w x x t w y y t w z z t a ( x 2 t 2 y 2 t2 z 2 t 2)
即：
Dt a2t
D
其中： a cp
换 • 流体的导热微分方程（能量微分方程）
热 微 分
• 连续性微分方程 • 流体的运动微分方程
方 求解微分方程组条件——单值条件
程
组
（一）、对流换热微分方程
n
理论求解对流换热问
tf
w∞
题的思路:
对流换热量=
w 边界层 层流底层
贴壁流体层的导热量
Q
tw
x
d Q (tf tw )d F td F ( y t)n 0dF
四、 对流换热微分方程组
求解对流换热问题的方法 ：
1、数学解析法：理论求解或数值求解描述对流换热过程的微分 方程（组），得到精确解或相似解；
2、模拟实验法：根据相似理论，将描述对流换热过程的微分方 程（组）通过数学、物理化简成为准数方程的形式，然后根据 实验确定准数方程的具体关系。
对 流
• 换热微分方程
tt
①
y
根据相似原理，这两个系统的一切物理量都彼此成比例，即:
x x
y y
z z
Cl
wx wx
wy wy
wz wz
Cw
C
a a C a
C
t t C t
C
将2系统的物理量置换为1系统的物理量
C C t tC C wC l t (wx x twy y twz zt)C C aC l2t a( x2t2 y2t2 z2t2 )
定义为贝可列准数
l l
令Nu l
因此：得到三个热相似准数
定义为努谢尔特准数
5)、傅立叶准数
a
Fo l2
6)、贝可列准数
Pe wl a
7)、努谢尔特准数
Nu l
物理条件 几何条件 边界条件、 时间条件等
五、相似理论在对流换热过程中的应用
（一）、用相似理论解决对流换热问题的步骤：
1）写出所研究对象的微分方程（组）； 2）根据相似原理，利用置换的方法，找出相似准数； 3）将所研究的问题用准数方程的形式表示出来； 4）用物理实验的方法，找出准数函数的具体函数关系； 5）将函数关系推广应用。
)
上面三式合并即为
D Dw F 1gra (pd ) 2w
若质量力只有重力，上式可以写成
D Dw g 1gra(pd) 2w
对流换热微分方程组
t
(yt )n0
对流换热微分方程
Dt a2t
D
流体导热微分方程
div(w) 0 连续微分方程
D Dw ggra (p运)d动微分方 程2w
（五）、求解微分方程条件——单值条件
（二）、描述对流换热过程的相似准数
1、动力相似准数
运用相似理论,根据
连续微分方程： div(w) 0
运动微分方程：
D D w ggra (p)d 2w
可以得到如下准数
1)、均时性准数 2)、弗鲁德准数 3)、欧拉准数
4)、雷诺准数
Ho w
l
Fr gl w2
Eu
p
w2
Re wl
2、热相似准数
〉 有相变的 无相变的
4）、壁面的几何形状、相对位置的影响
二、对流换热的基本定律 ——牛顿冷却定律
1、内容：单位时间内流体流过某一固体壁面发生的热量传 递与流体和固体壁面之间的温度差及固体表面积成正比
2、数学表达式：
ut f
Q=α(tf -tw) F (w)
F
tw
α——对流换热系数
研究对流放热的主要任务就是研究对流换热系数。
[不可压缩流体的纳维尔——斯托克斯(Navier-Stokes)方程]
Dwx
D
Fx
1
p x
(
2 wx x2
2 wx y2
2 wx z 2
)
Dwy
D
FyLeabharlann 1p y(
2 wy x2
2 wy y2
2 wy z 2
)
Dwz
D
Fz
1
p z
(
2 wz x2
2wz y 2
2 wz z 2
三、边界层理论 简述
（一）速度边界层的概念
概念：
流速从物体表面的零急剧增加到与来流速度w∞同数 量级的大小。
形成：
y
w∞
湍流核心
层流边界层
过渡区
过渡层 层流底层 湍流边界层
（二）热边界层的概念
速度边界层与热边界层的比较
速度边界层厚度δ反映流体 动量传递的渗透程度。 热边界层厚度δt反映流体热 量传递的渗透程度。
若wx=wy=wz=0,上式变为
导温系数
t a2t
（三）、连续性微分方程
根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续
性微分方程。
(w x) (w y) (w z)0
x
y
z
对于不可压缩流体，ρ=常数，上式变为
wx wy wz 0 x y z
即： div(w) 0
（四）、流体的运动微分方程
运用相似理论，根据流体的换热微分方程和导热微分方程 可以得到热相似准数。
假设有两个彼此相似的系统1和2，他们均遵循换热微分方 程和导热微分方程。
对于1系统：
t
t wx x
t wy y
t wz z
2t a(x2
2t y2
2t z2)
t t
①
y
对于2系统：
twxxtwyytwzzta(x2t2y2t2z2t2)
对流换热微分方程
3）、流体的物理性质的影响 影响流动速度、状态的物性参数等，都会影响对流换热。 如：
流体的密度ρ(kg／m3)、 动力粘度μ(kg/m.s)或运动粘度υ(=μ/ρ)， 比热容cp(kJ/kg·℃）、 导热系数λ(W/m·℃） 导温系数a＝λ/（cpρ）(m2／s)。
4）相变的影响 流体的相变：凝结——凝结换热 沸腾——沸腾换热
3、对流换热系数α的分析
物理意义
因为： QFt
所以：
Q
Ft
物理意义：表示对流换热能力大小的参数。
在数值上等于单位表面积，单位时间内、流体 与固体表面温差相差1℃时对流换热所传递的热量。
单位：W/(m 2 ℃)
影响因素： f( ,l1 ,l2 ,l3 ,tw ,tf,w ,,c p ,,)
③
比较①③可以得到
Ct C
CwCt Cl
CCaC l2 t
C Ct
CCt Cl
CaC Cl2
1, CwCl Ca
1
C Cl 1 C
再将各常数用1、2系统参数表示，则有：
a a
l2
l 2
令Fo
a
l2
定义为傅立叶准数
wl wl
a
a
令Pe wl a
t
t (y)n0
（对流换热微分方程）
（二）、流体的导热微分方程（能量微分方程）
在流场中取微元六面体，根据能量守恒定律，推出流体的导 热微分方程
t w x x t w y y t w z z t a ( x 2 t 2 y 2 t2 z 2 t 2)
即：
Dt a2t
D
其中： a cp
换 • 流体的导热微分方程（能量微分方程）
热 微 分
• 连续性微分方程 • 流体的运动微分方程
方 求解微分方程组条件——单值条件
程
组
（一）、对流换热微分方程
n
理论求解对流换热问
tf
w∞
题的思路:
对流换热量=
w 边界层 层流底层
贴壁流体层的导热量
Q
tw
x
d Q (tf tw )d F td F ( y t)n 0dF
四、 对流换热微分方程组
求解对流换热问题的方法 ：
1、数学解析法：理论求解或数值求解描述对流换热过程的微分 方程（组），得到精确解或相似解；
2、模拟实验法：根据相似理论，将描述对流换热过程的微分方 程（组）通过数学、物理化简成为准数方程的形式，然后根据 实验确定准数方程的具体关系。
对 流
• 换热微分方程
tt
①
y
根据相似原理，这两个系统的一切物理量都彼此成比例，即:
x x
y y
z z
Cl
wx wx
wy wy
wz wz
Cw
C
a a C a
C
t t C t
C
将2系统的物理量置换为1系统的物理量
C C t tC C wC l t (wx x twy y twz zt)C C aC l2t a( x2t2 y2t2 z2t2 )
定义为贝可列准数
l l
令Nu l
因此：得到三个热相似准数
定义为努谢尔特准数
5)、傅立叶准数
a
Fo l2
6)、贝可列准数
Pe wl a
7)、努谢尔特准数
Nu l
物理条件 几何条件 边界条件、 时间条件等
五、相似理论在对流换热过程中的应用
（一）、用相似理论解决对流换热问题的步骤：
1）写出所研究对象的微分方程（组）； 2）根据相似原理，利用置换的方法，找出相似准数； 3）将所研究的问题用准数方程的形式表示出来； 4）用物理实验的方法，找出准数函数的具体函数关系； 5）将函数关系推广应用。
)
上面三式合并即为
D Dw F 1gra (pd ) 2w
若质量力只有重力，上式可以写成
D Dw g 1gra(pd) 2w
对流换热微分方程组
t
(yt )n0
对流换热微分方程
Dt a2t
D
流体导热微分方程
div(w) 0 连续微分方程
D Dw ggra (p运)d动微分方 程2w
（五）、求解微分方程条件——单值条件
（二）、描述对流换热过程的相似准数
1、动力相似准数
运用相似理论,根据
连续微分方程： div(w) 0
运动微分方程：
D D w ggra (p)d 2w
可以得到如下准数
1)、均时性准数 2)、弗鲁德准数 3)、欧拉准数
4)、雷诺准数
Ho w
l
Fr gl w2
Eu
p
w2
Re wl
2、热相似准数
〉 有相变的 无相变的
4）、壁面的几何形状、相对位置的影响
二、对流换热的基本定律 ——牛顿冷却定律
1、内容：单位时间内流体流过某一固体壁面发生的热量传 递与流体和固体壁面之间的温度差及固体表面积成正比
2、数学表达式：
ut f
Q=α(tf -tw) F (w)
F
tw
α——对流换热系数
研究对流放热的主要任务就是研究对流换热系数。
[不可压缩流体的纳维尔——斯托克斯(Navier-Stokes)方程]
Dwx
D
Fx
1
p x
(
2 wx x2
2 wx y2
2 wx z 2
)
Dwy
D
FyLeabharlann 1p y(
2 wy x2
2 wy y2
2 wy z 2
)
Dwz
D
Fz
1
p z
(
2 wz x2
2wz y 2
2 wz z 2
三、边界层理论 简述
（一）速度边界层的概念
概念：
流速从物体表面的零急剧增加到与来流速度w∞同数 量级的大小。
形成：
y
w∞
湍流核心
层流边界层
过渡区
过渡层 层流底层 湍流边界层
（二）热边界层的概念
速度边界层与热边界层的比较
速度边界层厚度δ反映流体 动量传递的渗透程度。 热边界层厚度δt反映流体热 量传递的渗透程度。
若wx=wy=wz=0,上式变为
导温系数
t a2t
（三）、连续性微分方程
根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续
性微分方程。
(w x) (w y) (w z)0
x
y
z
对于不可压缩流体，ρ=常数，上式变为
wx wy wz 0 x y z
即： div(w) 0
（四）、流体的运动微分方程
运用相似理论，根据流体的换热微分方程和导热微分方程 可以得到热相似准数。
假设有两个彼此相似的系统1和2，他们均遵循换热微分方 程和导热微分方程。
对于1系统：
t
t wx x
t wy y
t wz z
2t a(x2
2t y2
2t z2)
t t
①
y
对于2系统：
twxxtwyytwzzta(x2t2y2t2z2t2)
对流换热微分方程
3）、流体的物理性质的影响 影响流动速度、状态的物性参数等，都会影响对流换热。 如：
流体的密度ρ(kg／m3)、 动力粘度μ(kg/m.s)或运动粘度υ(=μ/ρ)， 比热容cp(kJ/kg·℃）、 导热系数λ(W/m·℃） 导温系数a＝λ/（cpρ）(m2／s)。
4）相变的影响 流体的相变：凝结——凝结换热 沸腾——沸腾换热
3、对流换热系数α的分析
物理意义
因为： QFt
所以：
Q
Ft
物理意义：表示对流换热能力大小的参数。
在数值上等于单位表面积，单位时间内、流体 与固体表面温差相差1℃时对流换热所传递的热量。
单位：W/(m 2 ℃)
影响因素： f( ,l1 ,l2 ,l3 ,tw ,tf,w ,,c p ,,)