成都二诊数学(文科)-含答案
高三数学(文科)：成都七中学2024届高三下学期二诊模拟考试试题和答案
2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学试卷第I 卷（选择题）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log (3)A B x y x ，，则A B ∩（）A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,0}D.{0,1}2.空间中有平面 和直线a ，b ，若//a ，//a b ，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b 平行于平面B.直线b 在平面 内C.直线b 与平面 交于一点D.直线a 和b 共面3.已知i 是虚数单位，a R ，则“ 2i 2i a ”是“21a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90 ”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过905.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在 50,100内，将其分成5组： 50,60、 60,70、 70,80、80,90、 90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间 80,90内的人数为（）A.10B.20C.30D.406.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()3x f x B.cos ()3xf x C.sin 1()3xf xD.cos 1()3xf x7.已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4, ，，则下列结论中错误的是（）A.E 的标准方程为2212x y B.E 的离心率等于62C.E 与双曲线22124y x 的渐近线不相同D.直线10x y 与E 有且仅有一个公共点8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为 （045 ），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan 的值为（）A.2524 B.2425 C.43D.349.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若sin sin 2A Ca b A ，6S AC，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形10.若函数 e ln xf x x x 的最小值为m ，则函数()e 1ln e x g x x x +=-的最大值为（）A.1mB.e 1m -+C.1mD.e 1m --11.在四棱锥P ABCD 中，PA 平面,ABCD AB BC ，且45,4PDA AD CD .若点,,,,P A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的体积的最小值为（）A.32π3B.C.π27D.2712.已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.2 B.e 2C.eD.2e 2第II 卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数00，x y ，若231x y ，则21x y的最小值为______．14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x 的焦点关于直线y x 对称，直线230x y 与圆C 相交于,A B两点，且||2AB ，则圆C 的方程为______．15.已知直线l 经过点(0,1)P，且被两条平行直线110l y和250l y截得的线段长为，则直线l 的方程为______．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为23.若A 和B 为椭圆C 上在x轴上方的两点，且122BF AF，则直线2AF 的斜率为______．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列 n a 的首项10a ，公差为(0)n d d S ，为 n a 的前n 项和，n n S a为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11n a T ，为数列11n n a a的前n 项和，求使得89n T 成立的n 的最大值．18.在四棱锥P ABCD 中，已知AB ,CD AB AD，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E 是线段PB 上的点.（1）求证：PC 底面ABCD ；（2）是否存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49？若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.19.2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I 的前三道工序的次品率分别为123111,,504948P P P .求生产该芯片I 的前三道工序的次品率I P ；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I 与芯片II ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I 的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片II 的有60部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率.20.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b的离心率为12，短轴长为(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为M N ，，设AB 中点为Q ，直线OQ 交直线4x 于点 BN AM PR R k k k ，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．21.已知函数 211ln ln 122f x x x ax x，其中0a .（1）当2a 时，求函数 f x 的单调区间；（2）若 0f x ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数 211f x x x 的最小值为m ．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足5222a b c m，证明：22291a b c ．2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学试卷第I 卷（选择题）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,1,0,1,2log (3)A B x y x ，，则A B ∩（）A.{0,1,2} B.{1,2}C.{1,0}D.{0,1}【答案】A 【解析】【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.【详解】由0003303x x x x x，所以3log (3)03B x y x x x，故 0,1,2A B ∩，故选：A2.空间中有平面 和直线a ，b ，若//a ，//a b ，则下列说法中一定错误的是（）A.直线b 平行于平面B.直线b 在平面 内C.直线b 与平面 交于一点D.直线a 和b 共面【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行及两直线平行得到b 与平面 平行或直线b 在平面 内，根据//a b ，可得直线a 和b 共面，从而判断出答案.【详解】因为//,//a a b ，所以b 与平面 平行或直线b 在平面 内，AB 正确，C 错误；因为//a b ，所以直线a 和b 共面，D 正确.故选：C3.已知i 是虚数单位，a R ，则“ 2i 2i a ”是“21a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由 2i 2i a 结合复数相等求出a 的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若22i 12i 2i a a a ，且a R ，则2122a a，解得1a ，所以，“ 2i 2i a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A.4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90 ”，下列假设中正确的是（）A.假设有两个内角超过90B.假设四个内角均超过90C.假设至多有两个内角超过90D.假设有三个内角超过90【答案】B 【解析】【分析】根据反证法的定义.【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过90 的反面含义为4个内角没有一个不超过90 ，即四个内角均超过90 ，故选:B.5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在 50,100内，将其分成5组： 50,60、 60,70、 70,80、80,90、 90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间 80,90内的人数为（）A.10B.20C.30D.40【答案】C 【解析】【分析】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间 80,90内的人数.【详解】由频率直方图可知，成绩落在区间 80,90内的人数为10010.010.0150.040.0051030 .故选：C.6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()3xf x B.cos ()3xf C.sin 1()3xf xD.cos 1()3xf x【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.【详解】由函数图象可知，()y f x 的图象不关y 轴对称,而cos cos ()33x x f x f x ，cos cos 11()33x xf x f x，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy 为单调递增函数，13xy为单调递减函数，由sin y x 的图象可知存在一个极小的值00x ，使得sin y x 在区间 00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x 在区间 00,x 上单调递增，sin 1()3xf x在区间 00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x 符合题意，故选：A .7.已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2,1)(4, ，，则下列结论中错误的是（）A.E 的标准方程为2212x y B.E的离心率等于2C.E 与双曲线22124y x 的渐近线不相同D.直线10x y 与E 有且仅有一个公共点【答案】C 【解析】【分析】分别设出焦点在x 轴上和在y 轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线E 的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为 222210,0x ya b a b，则22224111671a b a b ，解得2221a b ，此时E 的标准方程为2212x y ，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为 222210,0y xa b a b，则22221417161a b a b，解得2212a b （舍去），此种情况不成立，则A 正确；∵2223c a b，∴62ce a，则B 正确；双曲线2212x y的渐近线为2b y xa ，双曲线22124y x 的渐近线为22a y xb ，即两者的渐近线相同，则C 错误；将直线10x y 与双曲线2212xy 联立得2440x x ，244140 ，∴直线10x y 与E 有且仅有一个公共点，则D 正确；故选：C .8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为 （045 ），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan 的值为（）A.2524B.2425C.43D.34【答案】D 【解析】【分析】设大正方形ABCD 的边长为a ，求出小正方形EFMN 的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得242sin cos 25，再利用弦化切求解可得答案.【详解】如图，设大正方形ABCD 的边长为a ，则小正方形EFMN 的边长为cos sin AF AE AF BF a a ，所以小正方形与大正方形面积之比为222cos sin 1cos sin 25a a a，化简得242sin cos 25，且π04 ，由2222sin cos 2tan 242sin cos sin cos tan 125，解得3tan 4.故选：D.9.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若sinsin 2A Ca b A ，6S AC，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B ；利用面积公式与向量数量积的定义求得A ，从而得解【详解】因为sin sin 2A C a b A ，所以πsin sin sin sin 2BA B A ，因为0πA ，所以sin 0A ，所以cos sin 2B B ，所以cos 2sin cos 222B B B；因为0πB ，所以π022B ，所以cos 02B ，所以1sin 22B ，所以π26B ，所以πsin 3B ，因为6S AC ，所以16sin cos cos 2bc A AC A A ，所以tan 3A ，因为0πA ，所以πtan 6A ，所以ππππ362C ，则ABC 是直角三角形，故选：B10.若函数 e ln xf x x x 的最小值为m ，则函数()e 1ln e x g x x x +=-的最大值为（）A.1mB.e 1m -+C.1mD.e 1m --【答案】A 【解析】【分析】分析函数解析式，发现函数 f x 与函数 g x 的变换关系，由此即可推断函数e 1()ln e x g x x x +=-的最大值.【详解】()e ln x f x x x =-，0x ，令e x x =有： e 1e e ln e eln 1xx f ex x x x x ，则 e 1f x g x ，即 e 1g x f x ，由此知 g x 的函数图象为： f x 的图象通过横坐标变为原来的1e，纵坐标不变，得到 e f x ，再关于x 轴对称，得到 e f x ，最后再向下平移一个单位，得到 e 1g x f x ；根据已知条件函数()e ln x f x x x =-的最小值为m ，由此可知函数e 1()ln e x g x x x +=-的最大值为1m .故选：A11.在四棱锥P ABCD 中，PA 平面,ABCD AB BC ，且45,4PDA AD CD .若点,,,,P A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的体积的最小值为（）A.32π3B. C.π27 D.27【答案】C 【解析】【分析】根据题设易得AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证,,PA BC PA CD PA AC ，进而得到,,PBC PCD PCA 是以PC 为斜边的直角三角形，即PC 中点O 为外接球球心，令PA AD x 且04x ，求得外接球半径关于x 的表达式，求其最小值，即可求球体最小体积.【详解】由题设，,,,A B C D 在一个圆上，故180ADC ABC ，又AB BC ，所以90ADC ，即AD CD ，故AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，由PA 平面ABCD ，,,,AD BC CD AC 平面ABCD ，则,,,PA AD PA BC PA CD PA AC ，由PA AB A ∩，,PA AB 面PAB ，则BC 面PAB ，PB 面PAB ，则BC PB ，由PA AD A ，,PA AD 面PAD ，则CD 面PAD ，PD 面PAD ，则CD PD ，则45PDA ，又PA AD ，故tan 1PAPDA AD，即PA AD ，令PA AD x 且04x ，则4CD x ，AC，且,,PBC PCD PCA 都是以PC 为斜边的直角三角形，故PC 中点O 为外接球球心，所以外接球半径122PC R 所以当43x时，min 123R ，此时球O的体积的最小值为34ππ3327.故选：C.【点睛】关键点点睛：确定AC 是四边形ABCD 外接圆的直径，PC 中点O 为外接球球心为本题的关键，由此即可顺利得解.12.已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a，没有极值点，则1ba 的最大值为（）A.e 2 B.e 2C.eD.2e 2【答案】B 【解析】【分析】转化为1()e 01xf x x b a恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到 ln 1111a b a a ，故 2ln 1111a b a a ，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.【详解】函数21e 21xf x x bx a没有极值点，1()e 01x f x x b a，或()0f x 恒成立，由e x y 指数爆炸的增长性，()f x 不可能恒小于等于0，1()e 01x f x x b a恒成立．令 1e 1xh x x b a ，则 1e 1x h x a，当10a 时， 0h x 恒成立， h x 为R 上的增函数，因为 e 0,x是增函数， 1,1x b a也是增函数，所以，此时 (),h x ，不合题意；②当10a 时， 1e 1xh x a为增函数，由 0h x 得 ln 1x a ，令 0ln 10ln 1h x x a h x x a ，，h x 在 ln 1a ，上单调递减，在 ln 1a ，上单调递增，当 ln 1x a 时，依题意有minln 11ln 1011a h x h ab a a ，即 ln 1111a b a a，10a ∵，2ln 1111a ba a ，令1(0)a x x ， 20u x x x ，则 43ln 122ln 1x x xx u x xx，令00u x x0u x，解得x所以当x u x取最大值.2eu故当1a，2b，即1e a，2b时，1b a 取得最大值e .2综上，若函数 h x 没有极值点，则1ba 的最大值为e .2故选：B.【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.第II 卷（非选择题）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数00，x y ，若231x y ，则21x y的最小值为______．【答案】77 【解析】【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.【详解】由00，x y ，2121216212343y xx y x y x y x y x y77 ，当且仅当62y x x y，即6333x y时，等号成立，所以21x y的最小值为为7故答案为：7 .14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x 的焦点关于直线y x 对称，直线230x y 与圆C 相交于,A B两点，且||2AB ，则圆C 的方程为______．【答案】22(2)6x y 【解析】【分析】根据圆心与焦点关于直线y x 对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线230x y 与圆C 相交的弦长求得圆的半径.【详解】由28y x 的焦点坐标 2,0关于直线y x 的对称点为 0,2，所以圆C 的圆心为 0,2，设半径为r ，点C 到直线230x y 的距离为d，则d所以22222162AB r d，所以圆C 的方程为： 2226x y ，故答案是： 2226x y.15.已知直线l 经过点(0,1)P，且被两条平行直线110l y和250l y截得的线段长为，则直线l 的方程为______．【答案】(210x y或(210x y 【解析】【分析】直线l 分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线l 是y 轴，求交点坐标即可；当直线l 的斜率存在时，设定直线l 的方程并与直线12,l l 的方程联立求交点，满足弦长即可.【详解】若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：0x ＝，此时与12,l l 的交点分别为(0,1) 和(0,5) ，截得的线段的长为：5(1)4 ，不符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为：1y kx ，解方程组110y kx y，得点A ，解方程组150y kx y，得点B .由AB，得228 ，即210k ，解得：2k ，则直线l 的方程为：(210x y 或(210x y .故答案是：(210x y 或(210x y .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为23.若A 和B 为椭圆C 上在x轴上方的两点，且122BF AF，则直线2AF 的斜率为______．【解析】【分析】由离心率为23，得到,a b 间的关系，椭圆方程变为2222915x y a a，借助椭圆的对称性，将关系式122BF AF转化直线2AF 与椭圆的位置关系，设直线2AF 的方程，联立椭圆方程，用韦达定理解决问题即可.【详解】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，由椭圆的离心率为23c a ，得23c a ，代入222a b c ，得：2259a b ，则椭圆C 的方程为：2222915x y a a，其左、右焦点分别为1222(,0),(,0)33F a F a，如图所示：若A 和B 为椭圆C 上在x 轴上方的两点，且122BF AF，设直线21,AF BF 与椭圆C 的另一个交点分别为,D C ，由椭圆的对称性，可得：AD BC，12BF F D ，12F A C F，即222F D AF，显然直线2AF 的斜率定存在，否则直线2AF 垂直x 轴时2F 为线段AD 的中点，因为点A 在x 轴上方，直线2AF 的斜率不为零，设直线2AF 的方程为2()3y k x a，1122(,),(,)A x y D x y ，联立方程组：22222()3915y k x a x y a a，得：2222945(1)0539k y kay k a，221212224539,991155ka k a y y y y k k （*），由于222F D AF，则2112(0)y y y ，（*）式即为：22211224539,2991155ka k a y y k k ，消掉1y 后，可得：2222243(9115529915ka k k a k ，化简可得：23k ，由于10y ，0a ，且1243915ka y k ，得0k ，所以k三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列 n a 的首项10a ，公差为(0)n d d S ，为 n a 的前n 项和，n n S a为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11n a T ，为数列11n n a a的前n 项和，求使得89nT 成立的n 的最大值．【答案】（1）10a d （2）7【解析】【分析】（1）由n n S a为等差数列可得3212132S S S a a a ，即可得到1a 与d 的关系;（2）由裂项相消法得到n T ，再解不等式即可求得n 的最大值.【小问1详解】因为n n S a为等差数列，所以3212132S S S a a a ，即121232321a a a a a a a，从而得到 1111223312a d a da d a d，化简得10,0a d d d ∵，所以10,0a d d .【小问2详解】当1101a d a ，时，11111,(1)1n n n a n a a n n n n ，所以111111*********n T n n n，解得8n ，又因为*N n ，所以n 的最大值7．18.在四棱锥P ABCD 中，已知AB ,CD AB AD，,222,2,BC PA AB AD CD PA PC E 是线段PB 上的点.（1）求证：PC 底面ABCD ；（2）是否存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49？若存在，求出BE BP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49，且13BE BP 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理求得BC ，由222AB AC BC ，得到BC AC ，再由BCPA得到BC 平面PAC ，从而BC PC ，然后由222PA AC PC 得到PC AC ，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）易知49P ACE P ACB E ACB V V V ，设BE BP ，由1111432329AC BC PC AC BC PC 求解.【小问1详解】证明：在ADC △中，1,90AD DC ADC ，所以AC在ABC 中，2,45AC AB BAC，由余弦定理有：22222cos45422222BC AB AC AB AC ，所以222AB AC BC ，所以90ACB ，所以BC AC ，又因为,,BC PA PA AC A PA AC ､平面PAC ，所以BC 平面PAC ，因为PC 平面PAC ，所以BC PC ，在PAC △中：2,AC PC PA 222PA AC PC ，所以PC AC ，因为,AC BC C AC BC ､平面ABCD ，所以PC 面ABCD .【小问2详解】因为49P ACE P ACB E ACB V V V ，设BEBP ，1111432329AC BC PC AC BC PC ，111142232329 ，13，因此，存在点E 使得三棱锥P ACE 的体积为49，且13BE BP .19.2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I 有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I 的前三道工序的次品率分别为123111,,504948P P P .求生产该芯片I 的前三道工序的次品率I P ；（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I 与芯片II ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片I 的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片II 的有60部，其中对开机速度满意的占1415.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率.【答案】（1）1350P （2）815P 【解析】【分析】（1）由对立事件概率的关系即可求解；（2）先按分层抽样得出所抽取的6人中，手机安装芯片I 的有2人，手机安装芯片II 的有4人，结合超几何分布的概率计算公式即可求解.【小问1详解】I 12349484731111150494850P P P P.【小问2详解】对安装芯片I 的手机开机速度满意的人数为4070%28 ，对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为14605615，所以采用分层抽样的方法的抽样比为1:2，故所抽取的6人中，手机安装芯片I 的有2人，手机安装芯片II 的有4人，所以抽到2人中对安装芯片II 的手机开机速度满意的人数为1的概率为112642C C 8C 15P .20.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b的离心率为12，短轴长为(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为M N ，，设中点为Q ，直线OQ 交直线4x 于点 BN AM PR R k k k ，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．【答案】（1）22143x y （2）是定值，为34【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出,a b 的值，可得所求椭圆的标准方程；（2）由题设出直线AB 的方程1x ty ，与椭圆方程联立可得根与系数关系，求得点Q 坐标，以及点R 坐标，表示出,,AM BN PR 的斜率代入结合根与系数关系消元运算得解.【小问1详解】由题意：222122c a b a b c，解得：21a b c 故所求椭圆的标准方程为：22143x y ．【小问2详解】如图：因为直线AB 斜率不为0，设其方程为：1x ty，代入椭圆方程：223412x y ，得：223(1)4120ty y ，整理得：2234690t y ty ．设 1122,,A x y B x y ，，则显然0 ，则122634ty y t，122934y y t 212122268223434t x x t y y t t ∵ 2243,3434t Q t t，则直线OQ 方程为34t y x ，令4x ，得3y t ，则(4,3),(1,0)R t P ∵，则PR k t ，112AM y k x，222BN y k x ，212121212213BN AM PR y y y y k k k t t x x ty ty22221222212212129931334181233334t ty t y y ty t t t y y ty ty ty ty t ，又122634ty y t 代入得2222222222222299993333434.618121212434343434BN AMPR t t ty ty t t k k k t t t ty t y ty t t t所以 BN AM PR k k k 为定值34．【点睛】关键点点睛：本题第二问考查直线与椭圆的综合问题.求出PR k t ，112AM y k x，222BN y k x ，代入化简，注意利用韦达定理，方程1x ty 将12,x x 代换成12,y y ，再利用122634ty y t ，将1y 代换为2y ，消元运算可得答案.21.已知函数 211ln ln 122f x x x ax x，其中0a .（1）当2a 时，求函数 f x 的单调区间；（2）若 0f x ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数 f x 的增区间为 0,1、 2, ，减区间为1,2（2）321e ,4【解析】【分析】（1）当2a 时，求得 2ln f x x x ，利用函数的单调性与导数关系可求得函数 f x 的增区间和减区间；（2）推导出a<0，设 11ln ln 122g x x x a x，可知， 0g x 对任意的0x 恒成立，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 g x 的单调性，求出函数 g x 的最小值，根据 min 0g x 可得出 12ln 4a m m m，且321e m ，结合函数单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数 f x 的定义域为 0, ，112ln ln 11ln ln ln 22f x x x x a x x x a x x a x，当2a 时， 2ln f x x x ，解不等式()0f x ¢>，有2x 或01x ，令 0f x 得12x ，故函数 f x 的增区间为 0,1、 2, ，减区间为 1,2.【小问2详解】解：若0a ，则0x a ，由 0f x 可得01x ，由()0f x ¢>可1x ，此时，函数 f x 的减区间为 0,1，增区间为 1, ，且 1104f a ，当01x 时，由ln 0x ，有 11ln ln 1022f x x x x a x恒成立，所以 0f x ，必有a<0.又由 1104f a，可得14a .又由0x ，不等式 0f x 可化为11ln ln 1022x x a x，设 11ln ln 122g x x x a x，有 11112ln 4ln ln 22244a a x x x a g x x x x x x，当01x 且04x a 时，ln 0x ，40x a ，可得 0g x，当1x 且4x a 时，ln 0x ，40x a ，可得 0g x ，当a<0时，函数11ln 24a y x x在 0, 上单调递增，故存在正数m 使得2ln 40m m m a .若01m ，有ln 0m ，41a ，有2ln 410m m m a m ，与2ln 40m m m a 矛盾，可得1m ，当x >m 时， 0g x ；当x m 时， 0g x，可得函数 g x 的减区间为 0,m ，增区间为 ,m ，若 0g x ，必有 11ln ln 1022g m m m a m，有2ln 4ln 40m m m a m a ，又由2ln 40m m m a ，有 2ln 4ln 42ln 40m m m a m a m m m a ，有ln ln 0m m a m ，有 ln 0m a m .又由1m ，有m a ，可得a m ，有2ln 402ln 42ln 3m m m a m m m m m m m ，可得321e m ，构造函数 2ln p x x x x ，其中321ex ，则 32ln 0p x x 对任意的321e x 恒成立，所以，函数 2ln p x x x x 在321,e上单调递增，由 12ln 4a m m m 及321e m 可得2312ln 4e m m m ，可得321e 4a ，若 0f x ，则实数a 的取值范围为321e ,4.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键就是转化为min 0g x 得出 12ln 4a m m m，再结合函数的单调性求出 12ln 4a m m m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C （2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【答案】22.π,02 ；ππ,022.23.16【解析】【分析】（1）通过消参得到直线1C 的直角坐标方程，再利用极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式即可；（2）利用极坐标的几何意义结合二倍角公式求解即可.【小问1详解】直线1C 的参数方程为cos sin x t y t（t 为参数，π02 ），故 tan y x ，则 sin tan cos ，即 ；故1C 的极坐标方程为：π,02.把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，故2C 的极坐标方程为：ππ,022 .【小问2详解】曲线3C 的极坐标方程为8sin ，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，联立方程得， ππ8sin ,,8sin ,22A B,故11ππsin 8sin 8sin sin 32sin cos 16sin 2162222AOB S OA OB AOB.故AOB 面积的最大值为16.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数 211f x x x 的最小值为m ．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足5222a b c m ，证明：22291a b c ．【答案】（1）32m （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论x 的取值，求出对应的函数解析式，结合图形即可求解；（2）由（1）知221a b c ，结合柯西不等式计算即可求解.【小问1详解】12,212113,122,1x x f x x x x x x x，作出函数 f x 的图形，如图，。
四川省成都2022-2023学年高三下学期二诊复习(文科)数学试题含答案
成都高2023届二诊复习卷（三）（答案在最后）数学试题（文科）一、单选题1．已知集合{}{}3|11,,log 1A y y x x B x x ==--∈=R ∣ ，则R A B = ð（）A ．{}1xx -∣ B ．{3}x x <∣C ．{}13x x -∣ D ．{13}xx -<∣ 2．若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A ．2-B ．2C ．3-D ．34．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A ．40a -<£B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤5.已知向量(),3a m m =+ ，()4,b m = ，则“6m =”是“a 与b共线”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为,αβ，且1tan()3αβ-=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足5MA MO =，又点M 在曲线224y x x =-++上，则MO =（）A ．5B ．22C ．25D ．108．若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（）A ．a B ．b C ．c D ．d9．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin 3!5!7!=-+-++ x x x x x ()()211121!n n x n ---+- ，(其中x R ∈，*n ∈N ，n !=1×2×3×…×n ，0!=1)，现用上述公式求()()11111112!4!6!22!n n --+-++-+- 的值，下列选项中与该值最接近的是（）A ．sin 30B ．sin 33C ．sin 36D ．sin3910．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A ．2B ．62C ．112D ．5211．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．233B ．2C ．3D ．212．已知2π3是函数()()()sin 20πf x x ϕϕ=+<<的一个零点，则下列选项不正确的为（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D．直线y x =是曲线()y f x =的切线二、填空题13．已知在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为a b c ，，，满足2cos 2b A a c +=，且b =2a c -的取值范围为______.14．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF⋅ 的最小值为______.15．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB=DE=2，CF=1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B −GHF 的体积为定值；④三棱锥E −BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）16．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin πcos πg x x x x =+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前三项的和为－9，前三项的积为－15.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为递增数列，求数列{}n a 的前n 项和Sn .18．某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：过期天数x （单位：天）12345菌落数目y （单位：千个）0.30.30.50.9 1.0(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2)实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目y （单位：千个）与过期天数x （单位：天）应满足关系：0.01e 0.5x y =+.（i ）判断该样本是否添加防腐剂；（ii ）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果.附：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，,22AB CD AB CD AD ==∥，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB 是正三角形，,M N 分别是,AD PC 的中点.(1)证明：MN平面PAB ；(2)若4PC =，求三棱锥N PAB -的体积.20．如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x y l +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB 的面积S ；(2)若OD AB ⊥，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.21．已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22114t x ty t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（0t >，t 为参数）．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线:10l x y --=与x 轴的交点为F ，且曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的值．23．已知()|1||3|f x x x =-+-．(1)求()3f x ≤的解集；(2)已知2(2)1()a x f x -+≥在[3,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意可得{|1}A y y =≥-，{|3}B x x =≥，R {|3}B x x =<ð，再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{}|11,{|1}A y y x x y y ==--∈=≥-R ，{}3log 1{|3}B x x x x =≥=≥∣，所以{|3}B x x =<R ð，所以(){|1}{|3}{|13}A B x x x x x x ⋂=≥-⋂<=-≤<R ð.故选：D.2．C【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3．D【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4．A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，4<0-恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则a<0且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5.A【分析】根据给定条件，求出a 与b共线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】向量(),3a m m =+，()4,b m = ，则2//4(3)0a b m m ⇔-+= ，解得2m =-或6m =，所以“6m =”是“a 与b共线”的充分不必要条件.故选：A6．B【分析】根据给定条件，可得tan 1β=，再利用和角的正切公式计算作答.【详解】依题意，tan 1β=，则11tan()tan 3tan tan[()]211tan()tan 13αββααββαββ+-+=-+===--⋅-，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B 7．B【分析】先判断出点M 两个圆的公共点，求出()2,2M ，进而求出MO .【详解】设(),M x y .因为点()0,0O ，点()0,8A，且MA MO =，()22220x y ++=.而点M 在曲线y =y =平方后，整理为一个圆()2215x y -+=，所以曲线y =()2215x y -+=在x 轴上方部分.则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：260x y +-=.所以(),M x y 满足260y x y ⎧⎪=⎨+-=⎪⎩，解得：22y x =⎧⎨=⎩.即()2,2M .所以MO ==故选：B 8．C【分析】先将a ，b ，c ，d 变换为：202111log 12021a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，202211log 12022b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，得到c d >，构造函数()()2022log 1g x x x =-+，()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，结合导数和作差法得到d b >，c a >，从而得出a ，b ，c ，d 中最大值.【详解】因为20212021202120221log 2022log 20211log 120212021a ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20222022202220231log 2023log 20221log 120222022b ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，所以c d >；20222022111111log 1log 12022202220222022d b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2022log 1g x x x =-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2022g x x '=-+，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，则()102022g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202211log 1020222022⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0d b ->，即d b >；20212021111111log 1log 12021202120212021c a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2021x x ϕ'=-+，当01x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，则()102021ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202111log 1020212021⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0c a ->，即c a >；综上：c d b >>，c a >，即a ，b ，c ，d 中最大的是c .故选：C.9．B【分析】求出(sin )'x 后代入1x =得cos1=sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案，即18090π︒⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近.【详解】()()246221'(sin )cos 112!4!6!22!n n x x x x x x n --==-+-++-+- 所以cos1=111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+- =sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由于18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近，故选：B【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．【详解】易知四面体A EFD '的三条侧棱,,A E A F A D '''两两垂直，且1,1,2A E A F A D '''===，把四面体A EFD '补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为6,2R =故选：B.【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．11．D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a,b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r =，则圆心到渐近线的距离为2bd c==所以弦长2=，化简得：2243b c =，即()22243c a c -=，解得2c a =所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.12．ABD【分析】先利用函数的零点解出ϕ，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC ，利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意得2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即4π3k πϕ=-+，Z k ∈，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选项A ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，正确；选项B ：当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点，正确；选项C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，07π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线7π6x =不是对称轴，错误；选项D ，由2π2cos 213y x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭得2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2π2π22π33x k +=+或22π22π33x k π+=-+，Z k ∈，解得πx k =或ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()y f x =在点0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2π2cos 013k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，切线方程为()02y x -=--即32y x =-，正确；故选：ABD 13．(-【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得π3B =，从而可表示出2a c -的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意在ABC 中，满足2cos 2b A a c +=，即2sin cos sin 2sin 2sin()B A A C A B +==+,即sin 2sin cos A A B =，而(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2B =，又π(0,π),3B B ∈∴=,则sin 4sin sin b A a AB ==，同理4sin c C =，故)22πsin 4sin s 8s 8in 4in(3a c A C A A -=-=--π6sin 6A A A =-=-，又2ππππ(0,),(,)3662A A ∈∴-∈-,故π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(2a c -∈-，故答案为：(-14．7336-【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15．①③④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如下所示：因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGF S 为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图所示.在△EFC 中，容易知5,2,1EF EC FC ===，则由余弦定理可得5cos 25EFC ∠=-25sin EFC ∠=，则由正弦定理可得1102sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在△OBP 中，OB R =，102OP =，又22211522222BP PC OO OC O C R =-=-=-=-故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即22255544222R R R =++---解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.16．14##0.25【分析】利用导数的定义和对称性可得12n n a a +-=，利用辅助角公式对()g x 化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.【详解】因为()21cos 2n n f x x a x a +'=-++有唯一的零点，()f x '为偶函数，所以()00f '=，即12n n a a +-=，*N n ∈，所以数列{}n a 为公差为2的等差数列，又因为()228sinπcosπ82ππg x x x x x x x ⎫=+-=⎪⎪⎭11188π2444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t =，则()h t 为奇函数，因为()80h t t '=>，所以()h t 在R 上单调递增，由题意得()()()1292220g a g a g a -+-+⋅⋅⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<，则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1417．（1）an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7；（2）Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 前三项的和为9-，前三项的积为15-，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{}n a 的通项公式．（2）由（1）得an ＝2n －7，知|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，分类讨论，结合等差数列的求和公式能求出数列{||}n a 的前n 项和为n S ．【详解】（1）设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7.（2）由题意得an ＝2n －7，所以|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋an )＝()5722n n +-⨯＝6n －n 2；②n ≥4时，Sn ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋an ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋an )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|an |}的前n 项和Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是求等差数列通项公式时容易丢解．18.(1)ˆ0.2yx =(2)（i ）该样本添加了防腐剂；（ii ）抑制食品产生菌落，且效果越来越好.【分析】（1）根据线性回归方程的求法根据已知即可得出答案；（2）（i ）根据回归方程过样本中心列式即可判断；（ii ）根据所给关系得出未添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目，与已知添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目对比，即可总结得出答案.【详解】（1）由题意可得：1234535x ++++==，0.30.30.50.910.65y ++++==，且522222211234555ii x ==++++=∑，5110.320.330.540.95111i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()551552221121511530.6ˆ0.255553i ii ii iii ii x x y y bx xyx y xx x ====---⨯⨯===--=-⨯-∑∑∑∑，则ˆˆ0.60.230ay bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.2yx =（2）（i ）0.01e 0.5x y ≠+，则样本不满足未添加防腐剂的条件，即该样本添加了防腐剂；（ii ）根据该种食品在未添加防腐剂的条件下应满足关系：0.01e 0.5x y =+，可得10.01e 0.50.5+≈，20.01e 0.50.6+≈，30.01e 0.50.7+≈，40.01e 0.5 1.0+≈，50.01e 0.5 2.0+≈，即过期天数x （单位：天）12345添加防腐剂菌落数目y （单位：千个）0.30.30.50.9 1.0未添加防腐剂菌落数目y （单位：千个）0.50.50.7 1.0 2.0则过期7天内防腐剂让其菌落数目小于未添加防腐剂，且差距越来越大，即过期7天内防腐剂发挥的效果为抑制食品产生菌落，且效果越来越好.19．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取BC 的中点E ，连接,EM EN ，易证EM 平面PAB ，EN 平面PAB ，再利用面面平行的判定定理证明；（2）取AB 的中点O ，连接,PO CO ，根据PAB 是正三角形，得到PO AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥平面ABCD ，在Rt POC △中，由222PO OC PC +=，求得2224AB CD AD BC ====，方法一：由60BAD ∠= ，求得点M 到AB 的距离，由MN 平面PAB ，得到点N 到平面PAB 的距离，再由体积公式求解；方法二：连接AC ，由60ABC ∠= ，得到点C 到AB 的距离，再根据N 为CP 的中点得到三棱锥N PAB -的高为三棱锥C PAB -高的12，然后由体积公式求解.【详解】（1）证明：如图所示：取BC 的中点E ，连接,EM EN .因为底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ，又,M E 分别是,AD BC 的中点，所以EM AB ∥.又因为EM ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ，所以EM 平面PAB .因为N 是PC 的中点，所以EN PB ∥.又因为EN ⊄平面,PAB PB ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB .因为EM ⊂平面,MNE EN ⊂平面,MNE EM EN E ⋂=，所以平面MNE 平面PAB .因为MN ⊂平面MNE ，所以MN 平面PAB .（2）如图所示：取AB 的中点O ，连接,PO CO .由已知得OA CD ∥且OA CD =，所以四边形OADC 是平行四边形，所以OC AD ∥，且OC AD =.因为PAB 是正三角形，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PO ⊥平面ABCD ，又OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥.设2222AB CD AD BC a ====，则3PO a =.在Rt POC △中，由222PO OC PC +=，即222)4a +=，解得2a =，即2224AB CD AD BC ====.方法一：由题意可得60BAD ∠= ，点M 到AB 的距离，1sin60sin6022h AM AD ===，即点M 到平面PAB又MN 平面PAB ，所以点N 到平面PAB所以11142332N PAB PAB V S h -=⋅⋅=⨯⨯⨯= .方法二：连接AC ，由题意得，60ABC ∠= ，所以点C 到AB 的距离为sin60d BC = .因为N 为CP 的中点，所以三棱锥N PAB -的高为三棱锥C PAB -高的12，所以1122N PAB C PAB P ABC V V V ---==.所以11111142223232N PAB P ABC ABC V V S OP --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .20．(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点(),P m n ，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由OD AB ⊥结合直角三角形的几何性质可得出结论.【详解】（1）解：由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立22326y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()2,1B ，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=.（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立0022163163x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=.设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 的方程为11163x x y y +=，切线PB 的方程为22163x x y y+=.设(),P m n ，则1122163163mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163xy+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT的中点时，122DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分类讨论导函数e ()x f x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【详解】（1）2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()f x '的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=x g x x ,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，且()(1)e g x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e =xm x只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e =xm x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e=x m x，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =xm x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.（2）由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x xF x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t <令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h '⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x = ,即证:()()()11121111e 23e e2e x x x f x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e,(0,1)xx xG x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e eexx x xxxx x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e21e xp x xx x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.22．(1)212y x =(2)24【分析】（1）根据曲线C的参数方程为22114txty⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t>，t为参数），由y=两边平方求解；（2）易知直线的参数方程为()122xty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x=，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）解：因为曲线C的参数方程为22114txtyt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（0t>，t为参数），所以由y=2221121124ty xt⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，而2211104txt=+-≥=，当且仅当2214tt=，即t=时，等号成立，所以曲线C的直角坐标方程212y x=；（2）易知直线:10l x y--=与x轴的交点为()1,0F,直线的参数方程为()12xty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x=得2240t''--=，设A，B两点对应的参数分别为12,t t''，则1224t t''⋅=-，所以12||||24FA FB t t''⋅==.23．(1)17[,]22；(2)[1,)+∞.【分析】（1）把函数()f x化成分段函数，再分段解不等式作答.（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）依题意，24,1()2,1324,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()3f x ≤化为：1243x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1323x <<⎧⎨≤⎩或3243x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得112x ≤≤或13x <<或732x ≤≤，即有1722x ≤≤，所以()3f x ≤的解集为17[,]22.（2）依题意，[3,)x ∀∈+∞，22225(2)1()(2)124(2)x a x f x a x x a x --+≥⇔-+≥-⇔≥-，21x -≥，1012x <≤-，于是2222252(2)1121(1)11(2)(2)(2)22x x x x x x x ---==-+=--+≤-----，当且仅当3x =时取等号，则1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞.24．设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)25．已知()()()2ln ln f x ax x x x x =+--有三个不同零点1x ，2x ，3x ，且123.<<x x x (1)求实数a 的范围；(2)求证：3121232.ln ln ln x x xx x x ++>26．已知函数()()2ln ,2ln 2a f x ax x g x x x =+=+.(1)若()()f x g x ≥，求a 的取值范围；(2)记()f x 的零点为12,x x （12x x <），()g x 的极值点为0x ，证明：1024e x x x >.27．已知函数()e nxf x x nx =-（*n ∈N 且2n ≥）的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程()y g x =，并证明：0x ≥时，()()f x g x ≥．(2)若关于x 的方程()f x t =（t 为实数）有两个正实根12,x x ，证明：122ln ln t nx x n n n-<+．28．已知()2e sin =-+xf x ax x ．其中a R ∈，e 2.71828≈为自然对数的底数．(1)设曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为l ，若l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求实数a 的值．(2)若*a N ∈，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立时，求a 的最大值．29．已知函数()1e 2x f x x =+．(1)求函数()f x 在[]22-,上的最值；(2)若()()321e 3x g x f x x kx =-+-，当0k ≥时，判断函数()g x 的零点个数．30．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．24．(1)0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln ab a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)(21,e ⎤⎦；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b '==+--，①若0b ≤，则()ln 0x f x a a b '=-≥，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a ⎛⎫∈-∞ ⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln ab x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln ab a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e ⇔-+=有2个不同解ln 20x a e bx e ⇔-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a tt +-+=⇒=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t'⋅-++--===，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t '=--=-+⋅=⋅>，又(2)0h =，所以(0,2)t ∈时，()0,(2,)h t t ∞<∈+时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+∞单调递增，22(2),ln ln b bg e a a e∴>=∴<，22222,ln ,21bb e a a e e>∴>∴≤⇒<≤ .即实数a 的取值范围是(21,e ⎤⎦.(3)[方法一]【最优解】：2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x+=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增，故122x x <<，又由5245e ee +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<⇒<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+，222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b =+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e >+>，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e-->，只需证2ln ln 202x e xx e-->，242e < ，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x xh x xe e e x xx '---+-+-==>，故函数()h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2xxh x x e =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.[方法二]：分析+放缩法2e,()e e x a f x bx ==-+有2个不同零点12,x x ，不妨设12x x <，由()e x f x b '=-得12ln x b x <<（其中ln 4b >）．且()()12221122e e 0,e e 0x x f x bx f x bx =-+==-+=．要证2212ln e 2e >+b b x x b，只需证2212ln e 2e b b bx bx ->，即证212ln e 2e x b b bx >，只需证212ln ln 2e b b x bx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又22c 222e e e 0bf b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以212e x b<，即1212e bx <．所以只需证2ln(ln )x b b >．而ln 4b >，所以ln b b b >，又ln(ln )ln b b b >，所以只需证(ln(ln ))0f b b <．所以2242(ln(ln ))ln ln(ln )e lnln e e ln4e 0f b b b b b b b b b =-+=-+<-+<，原命题得证．[方法三]：若e a =且4e >b ，则满足21e a <≤且2e 2b >，由（Ⅱ）知()f x 有两个零点()1212,x x x x <且120ln x b x <<<．又2(2)2e 20f b =-<，故进一步有1202ln x b x <<<<．由()()120f x f x ==可得121e e x bx +=且222e e x bx =-，从而()212222121222ln e ln ln e e e e 2e 2e 2e x x b b b b b b x x bx bx b >+⇔->⇔>+．．因为102x <<，所以122e e 21e x +<，故只需证22222e e ln e ln ln x b b bx b b x b b>⇔->⇔>+．又因为()f x 在区间(ln ,)b +∞内单调递增，故只需证()22e ln 0f b f x b ⎛⎫+<= ⎪⎝⎭，即2e ln 0e b b b ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，注意4e >b 时有2e e 4ln e bb <<<，故不等式成立．【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，方法一：直接分析零点212e x b<，将要证明的不等式消元，代换为关于b 的函数，再利用零点反代法，换为关于2x 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为2e ln f b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与0比较大小，代入函数放缩得到结论.25．(1)()2e e 11e e 1-+-（，(2)答案见解析【分析】（1）先利用参变量分离法，可得ln ln x x a x x x =--，然后构造函数ln ()ln x xh x x x x=--，判断()h x 单调性，然后作出函数的大致图像，确定a 的范围即可；（2）由（1）知，12301e x x x <<<<<，可设ln ()xu x x =，则1()1h x u u=--，然后利用导数确定()u x 的图像，由根的分布情况及111ln x u x =，32223ln ln x x u x x ==运算可得结果.【详解】（1）解：令()0f x =，得2ln (0)ln x ax x x x x+=>-，∴ln ln x x a x x x =--.设ln ()ln x xh x x x x=--，221ln (1)1ln ()(ln )x x x x x h x x x x ----=--'2222(1ln )(ln )(ln )x x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦=-22222(1ln )2ln (ln )ln (1ln )(2ln )(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤----⎣⎦==--设()2ln x x x ϕ=-，121()2x x x x ϕ'-=-=，易知()x ϕ在102⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴min 11()()1ln 1ln 2022x ϕϕ==-=+，∴()2ln 0x x x ϕ=->，则由()0h x '=，得1x =或e x =，令()0h x '>，解得()1,e x ∈；令()0h x '<，解得()()01e,x ∞∈⋃+，()h x ∴在()01，单调递减，在()1,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()h x ∴有极小值()11h =，有极大值()()2e 1e e 1e e 1e e e 1h -+=-=--，又1ln ()ln 1xh x x x x=--，当0x +→时，ln 1ln =⋅→-∞x x x x ，()∴→+∞h x ，当x →+∞时，ln 0xx→，∴()1h x →，()h x ∴的图像如下：由图可知，要使()f x 有3个不同零点，即()h x a =有3个不同零点，实数a 的取值范围为()2e e 11,e e 1⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）由（1）知，12301e x x x <<<<<，令ln ()xu u x x ==，则1()1h x u u=--，21ln xu x -='，故当()0,e x ∈时，()u x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()u x 单调递减.且0x +→时，u ∞→-；()10u =；x →+∞时，0u →；()()max1e .eu x u ==所以ln ()xu x x=的图像如下：由11u a u-=-，得1(1)(1)u u a u --=-，即2(1)10u a u a +-+-=，由根的分布知：2(1)10u a u a +-+-=有两根1u ，2u ，且1210eu u <<<，由图①②知，111ln x u x =，32223ln ln x x u x x ==，又121211u u au u a +=-⎧⎨=-⎩，∴1212u u u u +=，∴12111u u +=，∴3121231211212ln ln ln x x x x x x u u u ++=+=-，又10<u ，∴110u ->，故3121232ln ln ln x x x x x x ++>.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．26．(1)44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）构造函数()()()h x f x g x =-，然后分类讨论，即可得到a 的取值范围（2）()f x 和()g x 分别求导，求出()g x 的极值点0x 的关系式，()f x 单调区间，()f x 零点所在区间，即可证明.【详解】（1）记()()()21ln 202a h x f x g x x ax x ⎛⎫=-=-+-≥ ⎪⎝⎭，①当2a ≤时，取102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，不符条件；②当2a >时，()()221122122a a x ax ax x h x xx⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭=='，令()0,()0h x h x ''<>，∴()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以11ln210224a a h ⎛⎫⎛⎫=-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44ln212ln2a +≥+，则a 的取值范围为44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭；（2）∵()22ag x x='+，令()0g x '=，则00,4e e 4ax x a =-=-，。
2023年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）1. 设全集，集合，则( )A. B. C. D.2. 函数的最小正周期为( )A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为( )A. 40B. 41C. 119D. 1224. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. 0B.C.D. 25. 设，分别是双曲线的左、右焦点为双曲线C右支上一点，若，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.6. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为( )A. B. C. D.7. 已知命题p：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三个平面，，，若，，，则则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.8. 已知过抛物线C：的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则( )A. 32B.C.D. 89. 若函数满足，且当时，，则( )A. B. C. 0 D.10. 若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为( )A. B. C. D. 311. 已知，，，则( )A. B. C. D.12. 在中，已知，，，则的面积为( )A. B. C. D.13. 复数为虚数单位，则的值为______ .14. 已知，则______ .15. 函数的极大值为______ .16. 若直线：与：相交于点P，过点P作圆C：的切线，切点为M，则的最大值为______ .17. 某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报.该校高二有两种班型-文科班和理科班各有2个班，据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”.请根据所给数据，完成下面的列联表：课程报名班型合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计根据列联表中所填数据，判断是否有的把握认为课程的选择与班型有关.附：18.已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列.求数列的通项公式；求数列的前n项和19. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且证明：平面平面；求四棱锥的体积.20. 已知中心为坐标原点O，对称轴为坐标轴的椭圆C经过，两点.求椭圆C的方程；设过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，，，且点E在椭圆C上，求直线l的方程.21. 已知函数，其中，当时，求函数的单调区间；若方程恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.23. 已知函数画出的图象；求不等式的解集.答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于AB，，，，A错误，B错误；对于CD，或，，，C正确，D错误．故选：根据补集定义、元素和集合的关系直接判断各选项即可．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，所以该函数的最小正周期为，故选：根据诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可．本题主要考查了函数周期的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程知，，，；，；，，结束循环，输出的n值为故选：模拟执行程序的运行过程，即可求出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：实数x，y满足约束条件所表示的区域如图阴影所示：由，解得点，的几何意义为：可行域内的点与原点连线的斜率，由图象可知，当原点与点连接时，取得最大值，即故选：根据约束条件画出线性规划区域，根据的几何意义即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，又，，因为，所以，故，即故选：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出a 和c的关系即可．本题主要考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：依题意，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，A大学恰好被选中的基本事件为：，所以A大学恰好被选中的概率为：故选：基本事件总数为，A大学恰好被选中的基本事件为：，根据古典概型概率公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：空间中两条直线没有公共点，这两条直线可能异面，而不平行，命题p是假命题；如图，，，，，，在内任取一点O，作，，则，，又，，，，，命题q是真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故选：容易判断命题p是假命题；可画出图形，可根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理由，且得出，从而判断命题q是真命题，然后得出是真命题，从而可得出正确的选项．本题考查了异面直线的定义，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，复合命题的真假判断，考查了推理能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由抛物线C：，得，焦点坐标为则过抛物线C：的焦点F且倾斜角为的直线方程为直线方程代入抛物线方程，消去y，得设，则，所以故选：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程．直线方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键，属中档题．9.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以，所以函数的周期为4，所以又因为，所以，当时，，所以，所以故选：先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解．本题主要考查了函数的周期性及奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：正三棱锥的底面边长为，高为2，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，如图所示：所以：，设点E为的中心，O为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部，所以，则：，即，解得故选：首先利用球与锥体的外接关系求出球的半径．题考查的知识要点：三棱锥体和外接球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】A【解析】解：，，，令，则，时，，在上单调递增，时，，时，，令，则，故选：可得出，从而可得出；可令，根据导数符号可得出在上单调递增，从而得出时，，从而得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，根据导数符号判断函数单调性的方法，构造函数比较大小的方法，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：因为，，可得，，在中，由正弦定理可得，，可得，因为，所以，设，则，中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，解得，所以，在三角形中，可得，所以，故选：由题意可得，，由角的正弦的关系，由正弦定理可得，设BD，可得AB，分别在两个三角形中，由余弦定理可得的表达式，可得BD，AB的大小，进而求出的值，再求的大小，代入三角形的面积公式，求出的面积的大小．本题考查三角形的正弦定理，余弦定理及面积公式的应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：先化简z，再根据模长公式求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：由已知利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：，，在，上，，单调递增；在上，，单调递减，在处取得极大值故答案为：先对函数求导，再根据导函数的符号，可得的单调性，从而可得的极大值．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．16.【答案】【解析】解：由直线：，可得直线恒过定点，由直线：，可得直线恒过定点，又易得直线与直线互相垂直，故点P轨迹是以AB为直径的圆，从而可得P的轨迹方程为，圆心为，半径为，由圆C：，可得圆心，半径为1，由题意，又，故答案为：求得两直线的定点坐标A，B，由两直线垂直可得点P轨迹是以AB为直径的圆，利用，可求的最大值．本题考查求点的轨迹方程，考查求线段长的最大值，属中档题．17.【答案】解：由题意，列联表如下：课程合计报名班型“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100假设：“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关．，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即没有的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【解析】根据题目提供的数据，补全列联表即可；算出的值与进行比较即可得出结论．本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于基础题．18.【答案】解：等比数列的公比为3，且，，成等差数列，，，解得，数列的前n项和…，…，相减可得…，化为【解析】由等比数列的公比为3，且，，成等差数列，可得，利用等比数列的通项公式解得，即可得出，利用错位相减法即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：取中点O，连接AO，，如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且，，，，是平面和平面所成角，，，平面平面；，，，平面，平面，，，取BC中点D，连接AD，OD，则，，，过A作平面，交CD于点E，由题意E是OD中点，，四棱锥的体积为：【解析】取中点O，连接AO，，则，，，是平面和平面所成角，由，得，由此能证明平面平面；由，，得平面，从而，取BC中点D，连接AD ，OD，则，，，过A作平面，交CD于点E，由题意E是OD中点，由此能求出四棱锥的体积．本题考查面面垂直的判定与性质、四棱锥的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：设椭圆方程为，将坐标代入方程，得，，椭圆的方程为；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，、，则，、点A，B，E在椭圆C上，，，，，，由，消去y可得，显然，，，，，，当直线l斜率不存在时，不合题意，所求直线l的方程为【解析】设椭圆方程为，将坐标代入方程，即可求得椭圆的方程；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，、，求得D，E坐标，进而代入椭圆方程可得，进而联立方程组可得，求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程的求法，属中档题．21.【答案】解：当时，，当时，；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为，，，令，则令，则当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．，方程有唯一解方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．等价于方程有两个不相等的实数解．构造函数，则，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．，；，只需要，即构造函数，则当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．，当时，恒成立．的取值范围为【解析】直接通过求导判断单调区间即可；先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的普通方程为直线l的极坐标方程为，，，，直线l的直角坐标方程为；由知，点P在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入得，，设，是上述方程的两根，，，，【解析】对于曲线C消参数t即可得出普通方程；对于直线l利用和差公式展开，代入，即可求解；利用参数方程的几何意义即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，其图象为：函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示．当时，由解得，，由图象可知不等式的解集为【解析】根据分界点，分段去掉绝对值符号即可；根据，的图象关系可得解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。
2023_2024学年四川省成都市高三下册阶段性考试(二)暨三诊模拟考试文科数学试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册阶段性考试（二）暨三诊模拟考试文科数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则集合（ ）{}20A x x =->{}14B x x =-<<A B ⋃=A. B. ()1,4-{}2x x >C.D.{}1,4-()1,-+∞【正确答案】D2. 已知复数，则以下判断正确的是（ ）2i1i z =-A. 复数的模为1 B. 复数z z C. 复数的虚部为 D. 复数的虚部为z i z 1-【正确答案】B3. 下列说法错误的是（）A. “”是“”的充分不必要条件1a >11a <B. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是150.585y x =-$200x =y C. 命题：则，，则：，p 0x ∃∈R 2010x x ++<p ⌝x ∀∈R 210x x ++≥D. 若，，，，，则l αβ= m α⊂n β⊂αβ⊥m l ⊥m n ⊥【正确答案】B4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A B. ()8f x x=-()5tan f x x=C. D.()323f x x x=+()f x x =【正确答案】C5. 如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（）A. 三棱柱B. 四棱柱C. 五棱柱D. 圆柱【正确答案】C6. 设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，P ()()()31122f x x f x f ''=-+P α则角的取值范围是（）αA B.C. D.3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭π3π0,,π24⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭π3π0,,π24⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【正确答案】B7. 已知不等式组构成的平面区域为，命题对，都有0100x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩D :p ()x y D∀∈,，，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）20x y -≥():,q x y D ∃∈22x y ->A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【正确答案】A 8. 在等差数列中，，．记（为正整数），则数列（{}n a 19a =-43a=-12n n T a a a =⋅⋅⋅n {}n T ）A. 有最大项，也有最小项B. 最大项，但无最小项C. 无最大项，但有最小项D. 无最大项，也无最小项【正确答案】B 9. 已知函数，以下说法中，正确的是（ ）()2cos 2sin 2f x x x x =+-①函数关于点对称；()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭②函数在上单调递增；()f x ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③当时，的取值范围为；π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()2,0-④将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解析式为.()f x π12()2sin21g x x =-A. ①② B. ②③④C. ①③D. ②【正确答案】D10. 已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,S ABC -ABC 8AB =SC ⊥ABC 6SC =则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 100π68π72π64π【正确答案】A11. 已知，是双曲线的左，右焦点，过点的直1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的l M N 2F M N C 离心率为（ ）C. 2【正确答案】B12. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）150a =()ln 1sin 0.02b =+5121n50c =A. B. C. D. a b c <<a c b<<b<c<ab a c<<【正确答案】D二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比__________.{}n a n n S {}n a q =①，②是递增数列，③.10a >{}n a 3113S a <【正确答案】2（答案不唯一）14. 已知向量，方满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角a →b →1a →=2b →=a →b →3πa b →→-b →为______.【正确答案】56π15. 已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且()220y px p =>F A B 4AF =在抛物线的准线上的一点满足，则______.C 2CB BF =p =【正确答案】216. 对任意，存在，使得，则的最小值为_________．a ∈R (0,)b ∈+∞1eln a b +=b a -【正确答案】1三､解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 在中，内角所对的边分别为，且.ABC,,A B C ,,a b c cos sin a c B C -=（1）求角的大小；C （2）若，且__________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条c =ABC 件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②；③1sin sin 12A B =ABC .23CA BC ⋅=-注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【正确答案】（1）3C π=（2）4+【分析】（1）根据条件，利用和正弦的和角公式，化简即可得出结果；()sin sin A B C =+（2）选①，利用正弦定理和条件得出，选②，利用条件和三角形面积公式得出43ab =，选③，利用条件和数量积的定义得出43ab =，再利用余弦定即可得到结果.43ab =【小问1详解】由正弦定理：，sin sin cos sin A C B B C -=因为，所以，()sin sin A B C =+sin cos cos sin sin cos sin B C B C C B B C +-=所以，因为，所以，得到，sin cos sin B C B C=sin 0B≠cos C C=tan C =又，所以.()0,πC ∈π3C =【小问2详解】若选①，根据正弦定理和（1）可知，，4πsin sin sin 3a b c A B C ====所以，所以，得到，4sin ,4sin a A b B ==1sin sin 1612ab A B ==43ab =若选②，由题知，得到，11sin 22ab C ab ==43ab =若选③，即，由数量积定义得，得到，23CA BC ⋅=- ()12cos π23ab C ab -=-=-43ab =故三个条件任选一个条件，都可以得到，43ab =由余弦定理，得，整理得，222π2cos3c a b ab =+-2π()22cos 123a b ab ab +--=即，则或（舍去），2()16a b +=4a b +=4a b+=-所以的周长为.ABC 4a b c ++=+18. 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.22⨯男女合计喜爱3040不喜爱40合计100（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球22⨯0.001运动与性别有关？（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k …0.0100.0050.0010k 6.6357.87910.828【正确答案】（1）答案见解析；（2）.35【分析】（1）根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；22⨯2K （2）利用古典概型的概率公式求解.【小问1详解】由题意进行数据分析，得到列联表如下：22⨯男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算()()()()222()100(30401020)5016.66710.828505040603n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.0.001【小问2详解】不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a 、b ，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34ab a a a a b b b b 记“所抽2人至少有一位男性”为事件A ,包含：，共9个.,1,2,3,4,1,2,3,4ab a a a a b b b b 所以.()93155P A ==19.如图，在直角梯形ABCD 中，，，四边形CDEF 为平行四边形，平AD BC ∥AD CD ⊥面平面ABCD ，．CDEF ⊥2BC AD =（1）证明：平面ABE ；DF （2）若，，，求三棱锥的体积．1AD =2CD ED ==π3FCD ∠=B ADE -【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形CE DF H BE G ,AG GH 为平行四边形，然后得到即可；ADHG //DH AG（2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后CD O OF OF ⊥ABCD //EF ABCD 可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可.E ABCD B ADE E ABD V V --=【小问1详解】证明：连接交于点，取的中点，连接，CE DF H BE G ,AG GH 因为四边形为平行四边形，所以为的中点，CDEF H CE 所以，1//,=2GH BC GH BC因为，，所以，AD BC ∥2BC AD =//,=GH AD GH AD 所以四边形为平行四边形，所以，即，ADHG //DH AG //DF AG 因为平面，平面，所以平面ABE ，AG ⊂ABE DF ⊄ABE DF 【小问2详解】取的中点为，连接，CD O OF 因为，，所以为等边三角形，2CD ED ==π3FCD ∠=CDF 所以，，OF =OF CD ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面ABCD ，平面，CDEF ⊥CDEF CD =OF ⊂CDEF 所以平面，所以点到平面的距离为，OF ⊥ABCD FABCD OF =因为，平面，平面，//EF CD EF ⊄ABCD CD ⊂ABCD 所以平面，//EF ABCD 所以点到平面的距离为，EABCD OF =因为是直角梯形，，，，，ABCD AD BC ∥AD CD ⊥1AD =2CD =所以，112ABD S AD CD =⋅⋅= 所以.113B ADE E ABD V V --==⨯=20. 已知椭圆在椭圆上.2222:1(0) x y M a b a b +=>>1 2P ⎫⎪⎭M （1）求椭圆的方程；M （2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究O A BC M O ABC 面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由ABC 【正确答案】（1）；（22214x y +=【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出，即可得出椭圆方程；,,a b c ,a b （2）先讨论直线的斜率不存在时，根据题中条件，求出此时的面积；再讨论直线AB ABC 的斜率存在时，设直线，联立直线与椭圆方程，设，，AB :AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由韦达定理，得出，；由弦长公式，得出；根据为的重心，求出点12x x +12x x ⋅AB O ABC 为坐标，代入椭圆方程，得到之间关系；再由点到直线的距离公式，得出点到直O C ,k m O 线的距离，由即可得出结果.AB 3ABC ABO S S =【详解】（1）由题知：，解得，，22222121b c a a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩2a =1b =所以椭圆的方程为；M 2214x y +=（2）当直线的斜率不存在时，轴，点在轴上，．点到的距ABAB x ⊥C x AB =C AB 离为，则．3d =12ABC S AB d ==△当直线的斜率存在时，设直线AB :AB y kx m=+由消去，整理，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ()()222418410k x kmy m +++-=设，，则有，，()11,A x y ()22,B x y ()2216410k m =+->△122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+所以，()121222241m y y k x x m k +=++=+，2AB x =-=因为为的重心，则由，O ABC ()2282,4141km m OC OA OB k k ⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭u u u r u u r u u u r 点在椭圆上，则得，2282,4141km m C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭222282411441km m k k ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+-= ⎪+⎝⎭22441m k =+点到直线的距离为；O AB d =所以；332ABC ABOS S AB d ====V V 综上：为定值．ABC S =△思路点睛：求解椭圆中三角形面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及点到直线距离公式，表示出三角形的面积，再结合题中条件，即可求解.21. 已知函数，()2ln 4f x x a x a =-+()a R ∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）令，若存在，且时，，证明.()()sin g x f x x=-()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()12g x g x =212x x a <【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求函数的定义域和导数，分和两种情况，结合导数可求出函数的单调性.0a ≤0a >(2)根据题意可得，通过构造函数()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导()sin h x x x=-1212ln ln x x a x x ->-()121xt x t >=数得的单调性，即可证明，从而可证明.()()ln 1m t t t =>()()10m t m >=212x x a <【详解】解：（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+()22a x af x x x -'=-=当时，，当时，由得，由得，0a ≤()0f x ¢>0a >()0f x ¢>2a x >()0f x '<02ax <<∴当时，在上单调递增0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在单调递增.0a >()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2），∵，由题意知，()2ln sin 4g x x a x x a=--+()()12g x g x =，1112222ln sin 2ln sin x a x x x a x x --=--∴，()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---令，则，∴在上单调递增，()sin h x x x=-()1cos 0h x x '=-≥()h x ()0,∞+不妨设，∵，∴，120x x >>()()12h x h x >1122sin sin x x x x ->-∴，()1221sin sin x x x x -->-∴()()()()12121221122sin sin 2x x x x x x x x x x --->-+-=-∴，∴，令，只需证，只需证()1212ln ln a x x x x ->-1212ln ln x x a x x ->-()121x t x t >=t 1ln t ->，设，则，ln 0t >()()ln 1m t t t =>()m t '=>∴在递增，∴，即()mt ()1,+∞()()10m t m >=1212ln ln x x x x ->-∴.a >212x x a <思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为，.2cos ρθ=0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数:2l y =+方程，确定D 的坐标.【正确答案】（1）为参数；（2）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩3(2【分析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；C C （2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且 ，半圆的圆D αD ()1+cos ,sin αα[]0,απ∈C 心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由()1,0C C D l DC l 此能求出点的坐标.D 【详解】（1）由，得 ，ρ2cos θ=[]2220,01x y x y +-=∈，所以C 的参数方程为为参数[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝ 本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.选修4-5：不等式选讲23. 设函数的最小值() 3 1 2 2f x x x =-++M（1）求；M （2）已知为正实数，且，求证．,,a b c 9a b c M ++=242424(1)(1)(1)8a b c ---≥【正确答案】（1）；（2）证明见解析.83=M 【分析】(1)用零点分段法把函数分段表示出，再求该函数的最小值即可作答；(2)利用(1)的结论对不等式左边化简变形，再利用均值不等式即可证得.【详解】（1）由题可得，151,31()3,1351,1x x f x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪--≤-⎪⎪⎩时，，时，，时，，于是有13x ≥8513x +≥113x -<<8343x <-+<1x ≤-514x --≥，8,()3x R f x ∀∈≥所以；min 18()()33M f x f ===（2）由（1）知，可得，同理得，24a b c ++=24241a b c a a a -+-==241a cb b +-=，241a bc c +-=由基本不等式可得当且仅当242424()()()(1)(1)(1)8b c c a a b a b c abc +++---=≥=时取“=”，8a b c ===所以．242424(1)(1)(1)8a b c ---≥15 / 15。
2023年四川省成都七中高考数学二诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年四川省成都七中高考数学二诊试卷（文科）1. 已知复数z 满足方程，则z 的虚部为( )A.B.C. D.2. 一个果园培养了一种少籽苹果，现随机抽样一些苹果调查苹果的平均果籽数量，得到下列频率分布表：果籽数目1234苹果数12521则根据表格，这批样本的平均果籽数量为( )A. 1B.C.D.3. 已知，则( )A.B. C.D.4. 已知集合，，若集合只有一个元素，则实数a 的值为( )A. B. 0或 C. 0或 D.或5. 小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真.现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人检查他们的年龄或者正在饮用的饮品有( )①一位正在喝酒的男性；②一位正在喝果汁的女性；③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性；④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性.A. ②③B. ①③C. ①④D. ①③④6. 已知是等比数列的前n 项和，、、成等差数列.则下列选项一定是真命题的是( )A. 、、一定是等差数列B. 、、一定是等比数列C.、、一定不是等差数列D.、、可能是等比数列7.已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、若已知，且的面积为6，则( )A. B. C. D.8. 根据地理知识，地球是太阳系八大行星之一，赤道半径约6378km，极半径约6357km，平均半径约为6371km，赤道周长大约为40076km，呈两极略扁赤道略鼓的不规则的椭圆球体.为了研究方便，我们既可以将地球看作一个标准的椭圆球体，长半轴长和短半轴长分别对应相应的赤道半径和极半径；也可以将地球看作一个半径为平均半径的标准的球体.周老师站在本初子午线的某个点A，如果将地球看作一个标准的椭圆球体，那么他到两个焦点的距离之和为；而如果将地球看作一个标准的球体，那么他到地球球心的距离为则( )A. 42B. 28C. 20D. 149. 已知函数的最大值为设点P、Q分别为的两条相邻对称轴上的动点，向量，且为得到函数的图象，需要将的图象( )A. 先向右平移个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移个单位，再向上平移4个单位C. 先向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移个单位，再向上平移4个单位10. 已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则( )A. B. C. D.11. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为( )A. B. C. D.12.已知数列为等差数列，，数列是等比数列，，设k为正整数，定义函数，则关于函数的下列命题中，①当时，则是函数的一条对称轴.②当时，③当时，设函数则对任意实数a，函数在区间上都有2022个零点.其中是真命题的为( )A. ②B. ②③C. ①③D. ①②③13. 函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______ .14. 已知实数x、y满足设目标函数的最大值为M，最小值为m，则______ .15. 随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升.经调查，A公司的股价在去年年初时的股价是每股5元人民币，到了年末时涨到了每股6元人民币.经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数.假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______ 结果精确到个位数，参考数据：，，16. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是__________.17. 已知向量，函数求函数的单调增区间；设，求的零点组成的集合18. 如图所示，六棱锥的底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心.已知平面求证：平面平面PCE；若，且求异面直线PF与BC的夹角的正弦值.19. 2023年2月15日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件.”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论.某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷.为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份.被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件”.研究结果如下表所示：支持政策反对政策有条件地支持合计学生305540教职工20452590家长158730合计655837160为了研究校内人员身份学生/教职工与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组.试问，我们是否有的把握认为，校内人员的身份学生/教职工和态度比较支持/反对有关？如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率.参考公式：20. 已知椭圆：与抛物线：的图象在第一象限交于点若椭圆的右顶点为B，且求椭圆的离心率.若椭圆的焦距长为2，直线l过点设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度.21. 已知函数，e是自然对数的底数，a为实数.若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值.若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围.22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数且曲线C 与x轴交与点A，与y轴交于点求证：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以B为圆心，且过原点的圆B 的极坐标方程.23. 设解关于x的不等式：的最小值为m，且正实数a、b满足，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：苹果总数为，则这批样本的平均果籽数量为故选：根据已知条件，结合加权平均数的公式，即可求解．本题主要考查加权平均数的公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为，所以，可得，两边平方，可得，则故选：由已知利用两角和的正弦公式可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．本题考查了两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：只有一个元素，直线与圆相切，，解得故选：根据条件可知直线与圆相切，从而得出原点到直线的距离为圆的半径2，从而解即可得出a的值．本题考查了直线与圆的位置关系，集合的描述法的定义，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁，①一位正在喝酒的男性，不知道年龄，故需要检查，②一位正在喝果汁的女性，没有喝酒，故不需要检查，③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性，年满20岁，故不需要检查，④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性，未满20岁，饮料是否含酒精未知，故需要检查，故必须至少检查的人检查他们的年龄或者正在饮用的饮品有①④．故选：根据如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁，逐一判断即可．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为q，、、成等差数列，，，则，，，，不符合．，且，化简整理可得，，，则，所以，A项正确，C错误．若、、也是等比数列，则为常数列，即，不满足、、成等差数列，则BD错误．故选：、、成等差数列，则，由此可得q的关系，从而确定本题考查等比数列前n项和，等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，且的面积为6，，即①，②，可得，，故故选：根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及三角形的面积公式，推得，再结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意可得，，，则故选：由题意直接得出与的值，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由函数的最大值为5，可知，设点P和Q的横坐标分别为，，因为，且，所以，所以最小正周期，所以，所以，，所以为了得到的图象，需将的图象先向右平移个单位，再向上平移4个单位．故选：易知，设点P和Q的横坐标分别为，，结合平面向量数量积的运算法则与，推出的值，再由函数图象的平移法则，即可得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性与对称性，函数图象的平移法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：依题意，由，可得，，，，，，，各项相加，可得，则，故选：先根据题干递推公式运用累加法推导出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出的值．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，累加法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．11.【答案】C【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，因为圆锥的底面和顶点都在一个球面上，且球的半径为5，则过底面圆的圆心的直径AB与圆周上的点C组成直角三角形，且∽，所以，所以，即，其中；圆锥的体积，求导数，令，解得或舍去，所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，所以时，V取得最大值，此时圆锥的底面半径为，解得故选：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，根据题意知过底面圆的圆心的直径AB与圆周上的点C组成直角三角形，利用相似三角形求出r与h的关系，再求圆锥的体积取得最大值时圆锥的底面半径．本题考查了圆锥与球的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为为等差数列，，，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，对于①，当时，，所以，将代入得，所以不是函数的一条对称轴，故错误；对于②，当时，…，所以…………，故正确；对于③，当时，函数，所以，，令，令，令，则有或或，当时，即有，舍，当时，即有，舍，当时，即有，，所以，，所以在每一个长度为的区间内有2个零点，所以在长度为的区间内共有个零点，即在区间上都有2022个零点，故正确．所以说法正确的有②③．故选：由题意可求得，，对于①，求得，，将代入验证即可；对于②，求出的解析式，再代入，根据等比数列的求和公式求出结果即可判断；对于③，求得，，令，则有，求得在长度为上的零点个数，即可得在长度为上的零点个数，即可判断．本题属于新概念题，考查了三角函数的性质、等比数列、等差数列的通项公式的求法，属于难题．13.【答案】【解析】解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，则，当时，，则，故故答案为：根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域如图，，由图可知，当直线过A时，z有最小值为，当直线与直线重合时，z有最大值为，故答案为：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．15.【答案】42【解析】解：根据题意，，则有，解得，，故，当A公司的股价涨到10元时，，解得，故答案为：根据题意，，求解，k，进而求出解析式，将，代入，求解即可．本题考查函数模型的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：定义域，由题意知，，即，，因为，当且仅当时取等号，所以，所以即为所求．故答案为：求出定义域，然后令恒成立，再结合分离参数，研究对应函数的最值即可．本题考查已知函数的单调性求参数范围问题的解题思路，一般利用导数转化为不等式恒成立问题求解，属于中档题．17.【答案】解：向量，，函数，令，，求得，，故函数的增区间为，，当时，，即，当，，，时，，即，，，时，，故的零点组成的集合【解析】由题意，利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得的解析式，根据正弦函数的单调性，得出结论．根据题意，先求得的范围，结合，即，可得，，，，由此求得x的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性和零点，属于中档题．18.【答案】解：证明：根据题意，连接AD、CE，底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心，则平面PAD，平面ABCDEF，则，又由底面ABCDEF是一个正六边形，则，则有平面PAD，而平面PCE，故平面平面PCE；根据题意，底面ABCDEF是一个正六边形，则，则异面直线PF与BC的夹角就是，在正六边形ABCDEF中，，则，，故，故，则，故异面直线PF与BC的夹角的正弦值为【解析】根据题意，连接AD、CE，分析可得平面PAD，由线面垂直的性质可得，结合正六边形的性质可得，即可得平面PAD，进而可得结论；根据题意，由正六边形的性质可得，由此可得异面直线PF与BC的夹角就是，进而分析求出PF和EF的长，求出的值，利用同角三角函数基本关系式分析可得答案．本题考查平面与平面垂直的判断，涉及异面直线所成的角，属于中档题．19.【答案】解：根据题目所给数据得到如下的列联表：比较支持反对政策合计学生35540教职工454590合计8050130，故有的把握认为校内人员的身份学生/教职工和态度比较支持/反对有关．从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，其中学生A和学生B同时被选中的概率【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；利用古典概型概率公式即可求解．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：抛物线：的焦点为，所以抛物线的准线方程为，设点，过点P作准线的垂线PK，垂足为K，所以，因为点P在第一象限，将P点坐标代入椭圆方程，得到，即，所以，所以椭圆E离心率因为椭圆的焦距为2，所以，所以，所以椭圆的方程为，抛物线：，且，，因为直线l过B且不与坐标轴垂直，设直线l的方程为，，且，设，，联立l与抛物线，消去x得：，所以，，面积，所以，所以【解析】设点，过点P作准线的垂线PK，垂足为K，由题意可得，进而可求椭圆的离心率．设直线l的方程为，，且，联立直线与抛物线方程，利用面积可得，求解即可．本题考查了椭圆的性质，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．21.【答案】解：因为，所以函数的图象在处的切线斜率为，又因为，所以函数的图象在处的切线方程为：，又因为这条切线过点，代入解得；当时，，所以必有下面证明，当时，对任意实数，都有恒成立，记，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以所以当，都有，所以当时，对任意实数，都有恒成立，综上所述，a的取值范围是【解析】求导数，将切点横坐标代入即为切线斜率，利用点斜式即可求a；转化为讨论恒正的问题．本题考查切线问题，考查恒成立问题，属于中档题．22.【答案】证明：曲线C的参数方程为，t为参数且；令，得，因为，所以，解得，所以，；令，得，因为，所以，所以，；所以；解：圆B的圆心为，过原点，所以半径为，所以圆的方程为，化为一般方程是，因为，，代入方程得，化简得【解析】根据曲线C的参数方程，令求出点B坐标，令求出点A坐标，计算，利用放缩法证明即可；写出圆B的直角坐标方程，再化为极坐标方程．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．23.【答案】解：当时，化为，解得；当时，化为，即恒成立；当时，化为，解得综上，原不等式的解集为；证明：由可得，，则的最小值为，，则当且仅当时取等号．【解析】分段去绝对值，求解后取并集得答案；求出分段函数的最小值m，再由基本不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力即推理论证能力，是中档题．。
高三第二次诊断性检测数学(文)试题含答案试卷分析详解
成都市级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．102 B ．32 C ．22 D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P 3（ ）A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -= D ．221147y x -= 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤”是“223x x+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．3B ．CD ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >11.已知数列{}n a 满足：当2n ≥且*n N ∈时，有1(1)3nn n a a -+=-⨯.则数列{}n a 的前200项的和为（ ）A ．300B ．200C ．100D ． 12.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e +第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知函数21()cos 2f x x x =--，则不等式(1)(13)0f x f x +--≥的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围. 21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当(1,)x ∈+∞时，证明：(1)ln xe x x e-<2x x <-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
成都二诊文科数学试卷2024
1、设集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | x2 - 3x - 4 > 0}，则A ∩ B =A. {x | -2 ≤ x < -1}B. {x | -2 ≤ x < 4}C. {x | -1 < x ≤ 5}D. {x | 4 < x ≤ 5}（解析：首先解不等式x2 - 3x - 4 > 0，得到解集为x < -1或x > 4。
然后求集合A与B的交集，即同时满足A和B条件的x的范围。
答案为D，因为只有当4 < x ≤ 5时，x同时属于A和B。
）（答案：D）2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S3 = -3，则a4 =A. -3B. -5C. -6D. -7（解析：由等差数列前n项和公式Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，代入S3 = -3和a1 = 1，可求得公差d = -2。
再根据等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，求得a4 = 1 + 3*(-2) = -5。
）（答案：B）3、若复数z满足(1 + i)z = 2i，则z的共轭复数的虚部为A. 1B. -1C. iD. -i（解析：由(1 + i)z = 2i，得z = 2i / (1 + i)。
通过复数的乘除运算，化简得z = 1 + i。
z的共轭复数为1 - i，其虚部为-1。
）（答案：B）4、某公司一年购买某种货物的次数为N，每次购买的货款为x万元，一年该货物的总存储费用为y万元，已知N与x满足关系N = kx + b (k, b为常数，k ≠ 0)，且当x = 2时，N = 8；当x = 4时，N = 6。
若要使一年的总存储费用与总购买费用的和最小，则每次购买的货款应为A. 2万元B. 3万元C. 4万元D. 6万元（解析：根据给定条件，列出方程组求解k和b，得到N与x的具体关系式。
然后构造总费用函数，利用基本不等式求最小值，得出每次购买货款的最优值。
四川省成都市蓉城名校联盟2024届高三下学期第二次联考试题 数学(文)含答案
2024届高三第二次联考文科数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|230}A x x x =-- ，1{|31}x B x -=>，则A B =A ．（－1，1]B ．[－1，3]C ．（1，3]D ．[3，＋∞）2．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为A ．πBCD ．2π3．若复数z 满足(1i)2i z +=，则z ＝A ．1i-B ．1i+C ．12i+D ．12i-4．若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin()2α-=A ．12B ．12-C．2D．2-5．若实数x ，y 满足约束条件1111x x y -⎧⎨--⎩，则x y +的最大值为A ．－2B ．1C ．2D ．36．14C 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby 在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C 放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n （单位：年）与死亡n 年后14C 的含量nP 满足关系式0lg 25730lgnP n P =（其中动植物体内初始14C 的含量为0P ）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C 的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据：lg 20.3≈，lg 70.85≈）A ．2750年B ．2865年C ．3050年D ．3125年7．在△ABC 中，“||||CA CB AB +<”是“∠ACB 是钝角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数2()log (21)x f x ax =+-是偶函数，则a ＝A ．－1B ．12-C ．1D ．129．函数π()sin(26f x x =-在区间[0，m ]上的最小值为12-，则m 的最大值为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π10．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x ，y 均小于4，则该样本的方差最小时，x ，y 的值分别为A ．1，3B ．11，13C ．2，2D ．12，1211．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点，点000(,)(0)M x y y ≠是双曲线E 上的点，点C 是12MF F △内切圆的圆心，若121212CMF CMF CF F S S S =+△△△，则双曲线E 的渐近线为A ．0y =B ．0x ±=C ．20x ±=D ．20y ±=12．已知函数3,,(),,x x t f x x x t ⎧<=⎨⎩≥若存在m 使得关于x 的方程()f x m =有两不同的根，则t 的取值范围为A ．(1,0)(0,1)- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(0,1)-∞- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(i+1)(i−2)，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 3D. −32.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合M={0,1}，N={0,1，2}，则(∁U M)∩N=()A. {0,2}B. {1,2}C. {2}D. {0}3.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为()A. 75B. 85C. 90D. 1004.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=05.已知α为锐角，sinα=13，则sin2α等于()A. 89B. 4√29C. −79D. −896.函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数y =3sin(2x +π3)的对称轴方程是( )A. x =kπ+π3，k ∈Z B. x =kπ2+π12，k ∈ZC. x =2kπ−π12，k ∈ZD. x =2kπ−π3，k ∈Z9. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA =AD =2，AB =1.则点A 到平面MBC 的距离为( )．A. √52 B. 2√55 C. 2√33 D. √5310. 已知倾斜角为135°的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2,−1)，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √2C. √62D. √5211. 已知⊙O ：x 2+y 2=4及点A(1,3)，BC 为⊙O 的任意一条直径，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6B. 5C. 4D. 不确定12. 函数f(x)满足，若存在a ∈[−2,1]，使得f(2−1m )≤a 3−3a −2−e 成立，则m 的取值范围是( )A. [23,1]B. [23,+∞)C. [1,+∞)D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)，已知f[f(x)]=2，则x =______．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3，则a+b sinA+sinB=___________15.已知直线y=x−1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA⊥OB，则p的值为__________．16.已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，若球0的表面积为3π，则这个直三棱柱的体积是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=1，求{b n}的前n项和S n．n(a n+7)18.如图，正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PBD的体积．19. 某企业为了提高企业利润，从2015年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：(1)记ω=年利润增长量−投资金额，现从2015年至2019年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是ω>2万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b ̂=i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n =∑x i y i −nxyni=1∑x i2−nx2n i=1，a ˆ=y −b ˆx ； 参考数据：∑x i y i 5i=1=286，∑x i 2n i=1=190．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)、F 2(1,0)，上、下顶点分别为B 1、B 2，且△B 1F 1F 2为等边三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 函数(1)当−2<a <0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m ≥1时，不等式f(2m −1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.已知函数f(x)=|x|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若存在α∈(0,π)，使得关于x的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=(i+1)(i−2)=−3−i．则复数z的虚部是−1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．根据集合补集和交集的定义进行求解即可．解：由条件可得∁U M={−2,−1,2}，则(∁U M)∩N={2}．故选：C．3.答案：C解析：解：由分层抽样的定义得10001400+1200+1000=25n，即10003600=25n，得n=90，故选：C．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：A解析：解：∵y=x3+x+1，∴y′=3x2+1令x=1得切线斜率4，∴切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0故选A．求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系式，属于基础题．通过已知条件求出，再通过二倍角公式求出．解：∵sinα=13，α为锐角，∴cosα=2√23，∴sin2α=2sinα·cosα=2×13×2√23=4√29．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．解：由题可得，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，f(−x)=−sinx⋅ln −x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1=sinx⋅ln x−1x+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)=sin3ln12<0，排除B，故选：D．7.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=20，i=2，否；S=10，i=3，否；S=103，i=4，否；S=103×4=56<1，i=5，是，输出i=5.故选A．8.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象与性质，是基础题．令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x即可．解：令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=12kπ+π12(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴为x=12kπ+π12(k∈Z)，故选B．9.答案：B解析：解：∵BC⊥平面PAB，AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MF//PA，∴MF⊥平面ABCD，且MF=12PA=1，设点A 到平面MBC 的距离为h ， 由V A‐MBC =V M‐ABC ，得13S △MBC ·ℎ=13S △ABC ·MF ，∴ℎ=S △ABC ·MF S △MBC=12·BC·AB·MF 12·BC·MB =2√55．通过线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结MF ，设点A 到平面MBC 的距离为h ，利用V A−MBC =V M−ABC ，计算即可．本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题目．设出AB 的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB 的中点为P(2,−1)，所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2，又{x 12a −y 12b =1x 22a 2−y 22b 2=1两式相减并整理可得k AB =y 1−y 2x1−x 2=−2b 2a 2=−1=tan135°．解得2c 2−2a 2=a 2，可得：e =√62．故选：C ．11.答案：A解析：解：由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =10+√10×2cosθ+√10×2cos(π−θ)+2×2cosπ=6， 故选A ．由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ.再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用两个向量的数量积的定义求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．由已知可设函数f(x)=e x lnx−e x，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．解：∵f′(x)=f(x)+e xx ，x∈[12,+∞)，∴令f(x)=e x lnx−e x，则f′(x)=e x lnx+e xx −e x=f(x)+e xx，由f′(x)=e x lnx+e xx −e x=e x(lnx+1x−1)，令t(x)=lnx+1x −1，则t′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x=1时，t(x)取得最小值为0，∴f′(x)≥0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数．若存在a∈[−2,1]，使得f(2−1m)≤a3−3a−2−e成立，只需求出a∈[−2,1]时，a3−3a−2−e的最大值且使f(2−1m)小于等于这个最大值．设g(a)=a3−3a−2−e，a∈[−2,1]，g′(a)=3a2−3=3(a+1)(a−1)，当a∈(−2,−1)时，g′(a)>0，g(a)为增函数，当a∈(−1,1)时，g′(a)<0，g(a)为减函数，∴当a=−1时，g(a)max=−e，即当a=−1时，g(a)=−e．又∵f(x)=e x lnx−e x是增函数且f(1)=−e．∴12≤2−1m≤1，∴m∈[23,1]．故选A．13.答案：−1解析：解：函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)， f[f(x)]=2，可得2f(x)+1=2，解得f(x)=12，所以2x =12，解得x =−1．故答案为：−1．利用f[f(x)]=2，求出f(x)的值，然后利用方程求解x 即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值以及方程思想的应用，考查计算能力．14.答案：2√393解析：【试题解析】本题考查三角形面积公式及正余弦定理，属基础题目．由三角形面积公式得c =3，利用余弦定理得a ， 再由正弦定理即可得出答案．解：因为∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3=12AC ⋅AB ⋅sinA =12×4×AB ×√32，解得c =AB =3， 所以由余弦定理可得a =BC =√42+32−2×3×4×12=√13， 则a+b sinA+sinB =a sinA =√13√32=2√393．故答案为2√393． 15.答案：x =−1; 12解析：解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，y =x −1，令y =0，x =1，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以准线方程为：x =−1；若OA ⊥OB ，设A(x,y)，B(x′,y′)，直线与抛物线联立：x 2−(2+2p)x +1=0，∴x +x′=2+2p ，xx′=1，∴yy′=xx′−(x +x′)+1=−2p若OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴xx′+yy′=0，即1−2p =0，解得p =12；故答案分别为：x =−1，12．由直线过抛物线的焦点，求出焦点坐标及p 的值，进而求出准线方程；由若OA ⊥OB ，可得数量积为令求出p 的值．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 16.答案：12解析：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的侧棱长为h ，然后由棱柱的体积公式得答案．解：因为球O 的表面积为3π，所以球的半径为4πR 2=3π，所以4R 2=3，因为底面是直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，设三棱柱的侧棱长为h ，所以AB 2+AC 2+ℎ2=4R 2，解得ℎ=1，所以这个直三棱柱的体积是1×12×1×1=12，故答案为12．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 1+2d =9(a 1+d)2=a 1⋅(a 1+6d)解得 d =4或d =0(舍去)，a 1=1， ∴a n =1+4(n −1)=4n −3．(2)∵b n =1n(a n +7)=14(1n −1n+1)， ∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =14(1−1n+1)=n4n+4．解析：(1)根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；(2)利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题． 18.答案：证明：(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO.则O 为正方形ABCD 的中心，∴PO ⊥平面ABCD.∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.又AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，AC ∩PO =O ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)因为BO =12BD =12×4√2=2√2，由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，∴PO =√PD 2−DO 2=2√2，因为E 为PA 的中点， 故V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO =12×13×12×4×4×2√2=8√23．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO ，则PO ⊥平面ABCD ，于是PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，故而BD ⊥平面PAC ，于是平面EBD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，求得PO 的长，故由V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO 可得答案． 19.答案：解：(1)2015年至2019年的ω分别记为：ω1=2，ω2=2，ω3=3，ω4=4，ω5=4，抽取两年的基本事件有：(ω1,ω2)，(ω1,ω3)，(ω1,ω4)，(ω1,ω5)，(ω2,ω3)，(ω2,ω4)，(ω2,ω5)，(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共10种，其中两年都是ω>2的基本事件有：(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共3种，故所求概率为P =310．(2)∵x =6，y =9，5xy =270，则b ∧=x i 5i=1y i −5xy∑x 2−5x 25=286−270190−180=1.6，a ̂=y −b̂x =9−1.6×6=−0.6， 所以回归直线方程为ŷ=1.6x −0.6，将x =10代入上述方程得y ̂=15.4， 即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．解析：本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．20.答案：解：(1)由题设知c =1，因为△B 1F 1F 2为等边三角形，则a =2c =2，又a 2=b 2+c 2，所以b =√3，则E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x +alnx ，根据m 2≥2m −1≥1，问题转化为g(x)=−x +alnx 在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 2：ρ=4cosθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ，可得x 2+y 2−4x =0．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα代入C 2的直角坐标方程， 得(1+tcosα)2+(tsinα)2−4(1+tcosα)=0，即有t 2−2tcosα−3=0，所以t 1+t 2=2cosα，t 1⋅t 2=−3．则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1|+|t 2|3=|t 1−t 2|3=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 23=√4cos 2α+123=2√cos 2α+33∈[2√33,43]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)①当x ≤0时，得−x +(1−2x )<3解得x >−23，所以−23<x ≤0;②当0<x <12时，得x +(1−2x )<3解得，x >−2，所以0<x <12；③当x ≥12时，得x −(1−2x )<3，解得x <43，所以12≤x <43．综上，不等式的解集为(−23,43)．(2)f (x )={ −3x +1,x ≤0−x +1,0<x <123x −1,x ≥12, 若关于x 的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，则msinα=12有解，又，m =12sinα，所以m ∈[12,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式和函数的零点与方程的根．(1)对x 分类讨论，去绝对值解出不等式的解集即可；(2)根据函数f (x )与y =msinα恰有一根，可得msinα=12有解，即m =12sinα，，求出m 的范围．。
四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测文科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1.函数，则的部分图象大致形状是（ ）A．B．C．D．2. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若且，，则（ ）A．B．C ．8D ．43. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为、（边缘忽略不计），母线长为，则该花盆的高为（ ）A．B．C．D．5. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）A．B．C．D．6. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知函数为定义在上的奇函数，且，则（ ）A ．2019B ．3C ．-3D ．08. 已知，则的值为（ ）A ．1B．C ．2D ．59. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a +c >b +cB ．ac 2≥bc 2C．D ．(a +b )(a -b )>010. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上（ ）A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C ．所有点沿y 轴向下平移1个单位长度四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测文科数学试题(1)四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测文科数学试题(1)三、填空题四、解答题D ．所有点沿x 轴向右平移个单位长度11. 2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（）A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%12. 已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）A ．是周期为的周期函数B ．在上单调递增C ．在内共有4个极值点D ．设，则在上共有5个零点13. 已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________．14. 为了进一步加强对青少年进行优秀传统文化教育和自然生态保护教育，某市举行了面向中学生的“青少年传统文化暨自然生态保护知识大赛”.经过层层选拔，学生甲等10名选手进入了决赛，决赛的一个环节是从有若干道优秀传统文化类试题和自然生态保护类试题的题库中不放回地依次抽取2道试题并现场回答.已知第1次抽到自然生态保护类试题的概率是，连续2次抽到自然生态保护类试题的概率是，则学生甲在第1次抽到自然生态保护类试题的条件下，第2次抽到自然生态保护类试题的概率是______.15.的展开式中的系数为__________（用数字作答）．16. 某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817. 在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：其中，赞成限购的户数如下表：人平均月收入赞成户数4912631(1)求人平均月收入在的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；(2)求所抽取的 50户的人平均月收入的平均数；(3)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计附：临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：.18. 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：kg）包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围包裹件数（近似处50150250350450理）天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.(1)计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在之间的概率；(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？19. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：函数有且仅有2个零点．20.设函数（为常数）．（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；（2）若函数在内有极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件，若，求证．21. 函数（），其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值；（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．。