八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧

a b 3．已知 x ＋y ＝xy ，求 ＋ －(1－x)(1－y)的值．

x －4 x a ＋b ab ab a b ab b a

分式的运算技巧

一、条件求值的三种技巧

条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点： (1)前者给出的是字母满足

的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧

重于化简．

► 技巧一 整体法

为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把 a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2 等当作整体，因为根据题目的条件

有时不能求出 a ，b 的值，即使能求出 a 或 b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个

式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．

1 1

1．已知实数 x 满足 x ＋x ＝3，则 x 2＋x 2的值为(

)

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

b a

2．已知 a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则 ＋ 的值等于________．

1 1

x y

2（x －1） x ＋6

4．已知 x 2－4x ＋1＝0，求 － 的值．

► 技巧二 倒数法

ab a ＋b a ＋b 1 1 a ＋b 1 1

的倒数是 ，而 可拆成 与 的和，即 ＝ ＋ .这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的

问题迎刃而解．

x 4＋1

x ＋y y ＋z 3 z ＋x 3 xy ＋yz ＋zx

a ＋1

b ＋2 1＋a 2 1＋b 2 ab ＋a ＋1 b

c ＋b ＋1 ca ＋c ＋1 ＋2x ＋1 x ＋1

5．若 x 2－5x ＋1＝0，则 x 2

的值为________．

6．已知三个数 x ，y ，z 满足 xy yz 4 zx 4 xyz

＝－2， ＝ ， ＝－ ，求 的值．

► 技巧三 转化法

利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．

a b

7．已知 a ，b 为实数，且 ab ＝2，则 ＋ 的值为(

)

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3 3

8．若 ab ＝1，则 ＋ ＝________．

a b c

9．已知 a ，b ，c 为实数，且 abc ＝1，求 ＋ ＋ 的值．

二、异分母分式的加减法的两种技巧

异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为

同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母

分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．

► 技巧一 约分

x 2－1 2

10．计算x 2 ＋ 的结果是(

)

11．计算： 2 ＋ x ＋3x x 2＋6x ＋9 x ＋y 2x －y －4a ＋4 a －2 a ＋2 4－a 2 a a －1 a ＋1

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

x 2＋9x x 2－9 ＝________．

x 2－y 2 4x （x －y ）＋y 2

12．计算： － .

a 2－4 1 2

13．先化简，再求值：(a 2 －2－a )÷a 2－2a ，其中 a 满足 a 2＋3a ＋1＝0.

技巧二 运用分配律

含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可

以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．

a a a

14．计算( － )÷ 的结果是(

)

A ．－4

B ．4

C ．2a

D ．－2a

a 2－1 3a a

15．先化简，再求值： ·( － )，其中 a ＝2.

－16

2a a －b 2a

16．先化简，再求值：( x 2－16 x 1

x 2＋8x ＋16＋x －4)÷x 2 ，其中 x ＝3.

1 1 a －b

17．化简并求值： － ·( －a 2＋b 2)，其中 a ＝10，b ＝5.

1．[解析] B

原式＝(x ＋ )2－2＝32－2＝7.故选 B.

[解析] ＋ ＝

，又 a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝ ＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x

x ＋y

－(1－x －y ＋xy )＝ －1＋x ＋y －x －4 x x （x －4） x 2－4x x 2－4x －1 [解析] 显然 x ＝0 不是方程 x 2－5x ＋1＝0 的解，由此可将方程 x 2－5x ＋1＝0 的两边同时除以 x ，得 ＝

23

x y 2 y z 4 z x 4 x y z 2

xyz 4 xy ＋yz ＋zx ab ＋b b ＋2 b ＋2 b ＋2 b ＋2 1＋a 2 a 2＋（ab ）2

1＋a 2 1＋a 2 1＋a 2

详解详析

1

x

2．[答案] －3

b a b 2＋a 2 －3ab

a b ab ab

xy

xy

2（x －1） x ＋6 2x （x －1）－（x －4）（x ＋6） x 2－4x ＋24

4．解： － ＝ ＝ .

∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1.

x 2－4x ＋24 －1＋24

∴原式＝ ＝ ＝－23.

5．[答案]

1

23

x 2－5x ＋1

x

1 1 1 1 x 4＋1 x

2 0，左边拆开得 x －5＋x ＝0，即 x ＋x ＝5，两边同时平方，得 x 2＋2＋(x )2＝25，∴x 2＋x 2＝23，即 x 2 ＝23，∴x 4

＋1

1

＝ .

1 1 1 1 1 3 1 1 3

6．解：依题意，得 ＋ ＝－ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝－ ，

1 1 1 1

以上三个方程相加，得 2( ＋ ＋ )＝－ .

即 xy ＋yz ＋zx 1 xyz ＝－ ，∴ ＝－4.

ab b

7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘 b ，得原式＝ ＋ .

2 b b ＋2

∵ab ＝2，∴原式＝ ＋ ＝ ＝1.故选 A.

8．[答案] 3

[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘 a 2，得原式＝ ＋ 3 3a 2

.

∵ab ＝1，∴原式＝ ＋ ＝ 3 3a 2 3（1＋a 2）

＝3.