多项式理论-精
多项式矩阵理论
如何求gcd 以gcrd为例.
Why:
04级研究生《线性系统理论》教案
Gcd 的性质 以gcrd为例 gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.
04级研究生《线性系统理论》教案
非既约矩阵的既约化
1
通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
2
实质：降低行或列的次数
3
含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。
4
实现既约化以后，次数不能被降低了。
5
6.12 Smith形
史密斯形的特征
04级研究生《线性系统理论》教案
特征： Smith形的求法 见书。 对Smith形的一些讨论 对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）
次数
6.10 列次数和行次数
03
01
02
04级研究生《线性系统理论》教案
如
多项式矩阵的列（行）次表示式
列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，
1
2
行次表示式
6.11 既约性
一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式
多项式的定义是什么
多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。
多项式是整式的一种。
不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6，6就是常数项。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数为正无穷大。
单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
多项式理论是高等数学研究的基本对象之一
第一章多项式多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。
换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项式。
一重难点归纳与分析(一)基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分，其中一元多项式主要讨论：1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。
2．一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。
3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念的联系与区别。
（三）题型归类与分析本章的基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。
2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。
3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。
有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论有限域上的多项式理论在代数学中，有限域是一种特殊的数学结构，它具有有限个元素的特性。
有限域的研究在代数理论和密码学等领域起到了重要的作用。
本文将探讨有限域上的多项式理论。
一、有限域的定义有限域是一个由有限个元素构成的域。
域是一个满足一定性质的数学结构，具有加法和乘法两种运算，并满足一系列的公理。
有限域在代数学中具有重要的地位，它的性质与无限域有很大的差别。
二、有限域上的多项式运算在有限域上，多项式的定义和运算也有所不同。
在有限域上，多项式的系数和指数都必须来自有限域中的元素。
多项式的加法和乘法运算也需要根据有限域的特性进行定义。
有限域上的多项式运算是有限域理论中的重要内容。
三、有限域上的多项式方程在有限域上，多项式方程的性质与实数域或复数域上的多项式方程有所不同。
有限域上的多项式方程通常具有非常特殊的性质，这也是有限域理论的研究重点之一。
通过研究有限域上的多项式方程，人们可以得到一些关于有限域性质的重要结论。
四、有限域在密码学中的应用有限域在密码学中有广泛的应用。
在密码学中，有限域上的多项式理论可以用来设计和分析密码算法。
例如，有限域上的多项式运算可用于实现循环冗余校验（CRC）码，这是一种常用的差错检测技术。
此外，有限域上的多项式方程还可用于设计与解密很难破解的密码系统。
五、有限域的应用领域除了密码学，有限域在其他领域也有广泛的应用。
例如，在编码理论中，有限域上的多项式运算可以用于设计纠错码和编码方案。
在代数几何中，有限域上的多项式方程被广泛用于研究曲线和曲面的性质。
六、有限域上的多项式理论的发展历程有限域上的多项式理论的研究可以追溯到19世纪末，当时数学家对有限域的性质进行了初步的研究。
随着代数学的发展和计算机技术的进步，有限域上的多项式理论得到了更深入的研究和应用。
七、有限域上的多项式理论的未来发展有限域上的多项式理论在代数学和相关领域中扮演着重要的角色，其未来发展仍有很大的潜力。
多项式理论
注：
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在．
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
ai x i 称为i次项，a i 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g( x ) 的倍式．
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别：
多项式理论
an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a 首项， ② 若 an ≠ 0, 则称
系数， 次数， 系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ∂ ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 = a1 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0 ，即 f ( x ) = 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 零多项式．零多项式不定义次数．
n n −1
+ L + a1 x + a0 ,
g ( x ) = bm x m + bn−1 x m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 x + b0 ,
f ( x ) = g ( x ) ⇔ m = n, ai = bi , i = 0,1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n .
3．多项式运算性质 ．
1) f ( x ) g ( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则 上任意两个多项式， 上任意两个多项式
∂ ( f ( x ) g ( x )) = ∂ ( f ( x )) + ∂ ( g ( x ))
f ( x ) g ( x ) 的首项系数 = f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数 的首项系数× 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) + g( x ) = g( x ) + f ( x ) ( f ( x ) + g( x )) + h( x ) = f ( x ) + ( g ( x ) + h( x )) f ( x ) g( x ) = g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g ( x ))h( x ) = f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) + h( x )) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )h( x )
多项式函数理论及基本性质分析
多项式函数理论及基本性质分析多项式函数是数学中非常重要的一种函数形式，具有广泛的应用。
它是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
本文将分析多项式函数的理论基础及其基本性质，包括定义、一次多项式、二次多项式、多项式的运算法则、多项式函数图像的特点等方面。
1. 定义：多项式函数是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
一般形式为P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0，其中an、an-1、...、a3、a2、a1、a0为实数或复数，n为非负整数，x为自变量。
2. 一次多项式：一次多项式是多项式函数中，最高次幂为1的情况。
一次多项式的一般形式为P(x) = ax + b，其中a和b为实数或复数，a不等于0。
一次多项式函数的图像为直线，具有常斜率。
3. 二次多项式：二次多项式是多项式函数中，最高次幂为2的情况。
二次多项式的一般形式为P(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数或复数，a不等于0。
二次多项式函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，顶点坐标为(-b/2a, P(-b/2a))。
4. 多项式的运算法则：多项式函数具有良好的运算性质，包括加法、减法、乘法和除法的法则：- 加法和减法法则：两个多项式函数相加或相减，只需对应幂次的系数相加或相减。
- 乘法法则：两个多项式函数相乘，应用分配律展开后，对应幂次的系数相乘并相加。
- 除法法则：多项式函数除以一次多项式，可应用带余除法进行求解。
5. 多项式函数图像的特点：多项式函数的图像可以通过分析函数的次数、系数和相关性质来确定：- 多项式函数的次数决定了图像的开口和拐点的数量。
- 主项系数决定了图像的斜率，即函数递增或递减的趋势。
- 常数项决定图像与y轴的截距。
6. 零点与因式分解：多项式函数的零点是使得函数值为零的自变量值。
通过多项式函数的零点，可以进行因式分解。