二阶系统的性能指标
机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标
机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标二阶系统是指具有两个自由度的机械工程控制系统。
在控制系统理论中，衡量系统性能的指标有许多，比如超调量、调节时间、稳态误差等。
下面将详细介绍二阶系统的性能指标。
一、超调量：超调量是指过渡过程中输出量超过稳态值的最大偏离量。
对于二阶系统而言，其超调量可以通过过冲幅值与稳态值的差进行计算。
具体公式如下：超调量(%)=(过冲幅值-稳态值)/稳态值×100超调量主要反映了系统在过渡过程中的动态性能，是指标中最容易获取的。
二、调节时间：调节时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间。
对于二阶系统而言，其调节时间通常从过渡过程的时间t1开始计算。
具体公式如下：调节时间=t2-t1其中，t2表示系统输出量进入超定态的时刻。
三、上升时间：上升时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间，也即是调节时间的一部分。
对于二阶系统而言，上升时间是系统输出量从过渡过程的时间t1到达过冲幅值和稳态值之间的时间间隔。
四、峰值时间：峰值时间是指系统输出量达到过冲幅值或者偏离过冲幅值最远的时刻。
对于二阶系统而言，峰值时间是系统从过渡过程的时间t1到达过冲幅值的时间间隔。
五、稳态误差：稳态误差是指系统输出量在稳态下与期望输入量之间的偏差。
对于二阶系统而言，稳态误差可以通过比较系统稳态值与期望输入量来计算。
稳态误差主要反映系统的静态性能，也即系统对于不同输入的输出表现。
综上所述，二阶系统的性能指标主要包括超调量、调节时间、上升时间、峰值时间和稳态误差。
这些指标可以通过理论计算、仿真分析和实验测试等方法来获取，用于评估和比较不同二阶系统的控制性能。
在实际应用中，根据具体需求和控制要求，可以通过调整系统参数和控制策略等来改善系统的性能指标，并使系统能够更好地满足要求。
闭环系统的频域性能指标
wn2
_ s(s 2wn )
C(s)
G( j)
2 n
2 n
(900 arctan )
j( j 2 n ) 2 4 2 2
2 n
n
由 c定义（P199式（5-99））
c n(
1
4 4 1 2 2 ) 2
相角裕度：
ห้องสมุดไป่ตู้ 1800
G( jc )
arctan2n c
arctan[2
(
4
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具 有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。 因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。 具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通 常随着带宽的增加而增大。
03:57
3
二、闭环系统频域指标和时域指标的转换
03:57
1
（2）二阶系统
(s)
n2
s 2 2 n s n 2
( j)
1
(1
2
2 n
)2
4
2
2
2 n
根据带宽定义：
20 lg ( jb ) 20 lg ( j0) 3 0 3 20 lg
1 2
代入上式，求得：
1
b n[(1 2 2 ) (1 2 2 )2 1]2
带宽与自然频率 n 成正比，与阻尼比 成反比。
由前面分析知，b与系统响应速度成正比关系，因此 c 也可用来衡
量系统的响应速度，且也与系统响应速度成正比关系。
03:57
4
系统闭环频率特性幅值的最大值称为谐振峰值 Mr
由于系统闭环振荡性能指标 Mr 和开环指标相角裕度 都能表征系统 的稳定程度，因此，建立 Mr 和 的近似关系。
自动控制理论时域分析2--二阶系统
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
二阶系统的性能指标
●二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。
常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N、稳态误差e ss。
✓上升时间tr (rise time)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。
对无超调(过阻尼)系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。
✓峰值时间tp (peak time)响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
调整时间ts (settling time)响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。
❑评价系统稳定性的性能指标❑最大超调量Mp (maximum overshoot)响应曲线的最大峰值与稳态值之差。
通常用百分数表示：✓振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
评价系统准确性的性能指标✓稳态误差e ss系统进入稳态后期望值与实际值之差。
▪二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
增加ξ可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。
▪通常根据允许的最大超调量来确定ξ。
ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。
系统的误差分析和计算误差定义：理想输出与实际输出的差。
误差组成与分析在过渡过程中，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。
误差产生的原因：内因：系统本身的结构。
外因：系统输入量及其导数的连续变化。
二阶系统的性能指标分析(DOC)
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目:二阶系统的性能指标分析专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2013年3 月24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2013年3 月24 日摘要二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。
关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间目录1.二阶系统性能指标概述 02. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
03.二阶系统的时间响应及动态性能 (3)3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (3)3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (4)3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (6)3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (13)4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (17)5 总结及体会 (18)参考文献 (18)1.二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1分别为10；5；2.5；1。
开环传递函数为：)1()1()(11101+=+=S T S K S T S T K S G （2－1）其中，==1T K K 开环增益。
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算)10(<≤ξ1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法（1） 直角坐标表示n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±=（2）“极”坐标表示⎩⎨⎧=∠=βλωλn⎩⎨⎧-==21sin cos ξβξβ2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应ss s s R s s C n n n 12)()()(222⋅++=Φ=ωξωω)2()2(]2[2222n n n n n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 222)1()(21nn n s s s ωξξωξω-+++-=22222222)1()(11)1()(1nn n n n n s s s s ωξξωωξξξωξξωξω-++-⋅---+++-= 利用复位移定理[])()(a s F e t f L at+=⋅- 系统单位阶跃响应为t e t et h n t n tn n ωξξξωξξωξω2221sin 11cos 1)(-----=--[]t t e n n t n ωξξωξξξξω22221s i n 1c o s 111-+----=-[]t t e nnt n ωξβωξβξξω2221s i n c o s 1c o s s i n 11-⋅+-⋅--=-)10(<≤ξ()t t t hn n ωωcos 190sin1)(-=︒+-=)90,0(︒==βξ)10(<≤ξ系统单位脉冲响应为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=Φ='=--222112)()()(n n ns s L s L t h t k ωξωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-⋅-=-222221)1()(11n n n ns L ωξξωωξξω欠阻尼二阶系统单位脉冲响应3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算（1）峰值时间p t)()(t k t h ='01sin 122=--=-t en tnn ωξξωξω01sin 2=-t n ωξ,3,2,,012πππωξ=-t n由峰值时间定义（2）超调量00σ()βωξξξω+---=-p n t p t et h pn 221sin 11)(()βπξξξπ+--=--sin 11212e211ξξπ--+=e0σ00100)()()(⨯∞∞-=h h t h p 0011002⨯=--ξξπe超调量0σ与阻尼比ξ之间的关系（3）调节时间 s ts t 对ξ的不连续性调节时间的实际计算方法110.05n n s t t e e -ξω-ξω+-==nns t ξωξωξ5.3)1ln(2105.0ln 2≈-+-= （8.03.0<<ξ）)5(0000=∆例1 控制系统结构图如图所示（1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
自动控制原理第三章二阶系统
1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
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一、二阶系统传递函数的标准形式
二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22
2
2)()(n
n n
s s s R s C ωξωω++=
式中，ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率。
所以，二阶系统的特征方程为：022
=++n n s s ωξω
由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：22.11ξωξω-±-=n n j s 随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。
二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）
令)(1)(t t r =，则有s
s R 1
)(=
，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2
2222
22)()(1
)
)((211
2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s
s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅
-+++-=-++++-
=⋅++=
式中，2
1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率
对上式进行反拉氏变换，得：
)
sin(11)
sin 1(cos 1sin cos 1)(2
2
ϕωξ
ωξ
ξ
ωωωξωωξωξωξωξω+--
=-+-=⋅-
-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t
d n d t n n
n
n 式中，ξ
ξϕ2
1-=arctg
ϕ角的定义
由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程，)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。
其衰减速度取决于
n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：
2
122ξ
ωπ
ωπ
-=
=
n d
d T
三、二阶系统的性能指标
1．上升时间tr ：上升时间是响应曲线由零上升到稳态值所需要的时间。
根据定义，当r t t =时，1)(=r t c 。
即 0sin 1cos 2
=-+
r d r d t t ωξ
ξ
ω
或 n
n r d t tg ξωξωω2
1-=，)(ϕπω-=tg t tg r d
所以，上升时间为：2
1ξ
ωϕπ--=
n r t
2．峰值时间tp ：过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间。
ϕϕωtg t tg dt t dc p d t t p
=+⇒==)(0)
( （ ,3,2,,0πππω=p d t ）
由于峰值时间tp 是过渡过程曲线达到第一个峰值所需的时间，故取πω=p d t
即 2
1ξωπωπ-=
=
n d p t 3．最大超调量p σ
最大超调量为：%100)
()()(•∞∞-=
c c t c p p σ
%
100%
100)sin 1(cos %
100)sin 1(cos 2
12
2
⋅=⇒•-+
-=•-+-=--
--ξξπξωξωσπξ
ξ
πωξ
ξ
ωe
e
t t e p t p d p d t p
n p
n
式中，)(p t c 为过渡过程曲线第一次达到的最大输出值；)(∞c 为过渡过程的稳态值（)(∞c =1）。
4．过渡过程时间ts ：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常取∆=5%或∆=2%）作一个允许误差范围，进入允许误差范围所对应的时间叫～。
)1sin(11)(2
2
ξ
ξωξ
ξω-+--
=-arctg
t e t c d t n
从上式看出，2
11ξ
ξω-±
-t n e 是此时系统过
渡过程)(t c 的包络线方程。
即过渡过程
)(t c 总是包含在一对包络线内，包络线的
时间常数为
n
ξω1。
根据过渡过程时间的定义，可近似认为就是包络线衰减到∆区域所需的时间，则有：
)11ln 1(ln
1
122
ξ
ξωξξω-+∆=
⇒∆=--n
s t t e n
若取%5=∆，并忽略2
11
ln
ξ
-，则得：
n
s t ξω3
≈
若取%2=∆，并忽略2
11ln
ξ-，则得：n
s t ξω4
≈
二阶系统单位阶跃响应的一对包络线。