四川省树德中学2020届高三上学期10月阶段性检测 数学(文) PDF版含答案
18．（12 分） 已知{an} 为等差数列，公差 d 0 ， S3 6 ， a1 ， a3 ， a9 成等比. （1）求 an ；
21.（12 分） 已知 A(1, 0) ，动点 C 在 B : (x 1)2 y 2 8 上运动. 线段 AC 的中垂线与 BC 交于 D . （1）求 D 点的轨迹 E 的方程；
高三数学（文科） 2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
一. 选填
1
2
D
A
高 2017 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（文）答案
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
B
D
A
C
A
C
A
二. 填空
13. (, 0]
14. 9
15. 3
2 21
16.
7
三. 解答题
17.（12’）（1）证： PCD 中， PC 6 ， PD 1 ，CD 5 ， PC 2 PD2 CD2 ， PD CD .
优等生 非优等生 合计
学习大学先修课程
250
没有学习大学先修课程
合计
150
（2）某班有 5 名优等生，其中有 2 名参加了大学先修课程的学习，在这 5 名优等生中任选 3 人进行测试，
求这 3 人中至少有 1 名参加了大学先修课程学习的概率.
参考数据：
P(K 2 k0) 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005
2
2
（2）当
MN
斜率存在时，设
MN
:
y
kx
m
，
x2 2y2
y
kx
m
2
(1 2k 2) x2 4mkx 2m2 2 0 ，令两根为 x1, x2 . 由 OP OM ON 0 .
xp
( x1
x2 )
.
14.
已知
x y
2y | x |
3
，则
2
x
y
最小值为
.
15.
F1 、 F2 为 E :
x2 a2
y2 b2
1 左右焦点， M
E
，且 MF2
F1F2
， MF1F2
30 ，则 E
的离心率
e
.
16. 圆锥高为 2，侧面积为 4 2 ，P 为顶点，O 为底面中心， A 、B 在底面圆周上，
（ ）
5
A.
6
1
2
B.
C.
2
3
1
D.
6
8．执行下列程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 3
9．一个几何体三视图如下：（每个小正方形边长为 1），则该几何
体体积为（ ）
37
A.
2
35
B.
2
33
C.
2
31
D.
2
10． ABC 中， AC 2 ， A 120 ， cos B 3 sin C ，则 AB （ ）
Ade ， Bcd ， Bce ， Bde ， cde ，共 10 种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有 cde ，1 种，
则这 3 名学生中至少有 1 名参加了大学先修课程学习的概率 P 1 1 9 . 10 10
20．（12’）（1） a 1 ， f (x) ln x x 1(x 0) ， f '(x) 1 1 1 x .
当 x (0, 2 ) 时， h '(x) 0 ， h(x) . x ( 2 , ) 时， h '(x) 0 ， h(x) .
2
2
x0 (0,
2 2
)
，使
h(
x0
)
0
，又
h(1)
0
.
g(x) 在 (0, x0) ， ( x0,1) ， (1, ) .
（2）由 f (x) x2 1 0 得 a ln x x2 2 ，令 g(x) ln x x2 2 ，
x
x
则 g '(x)
(1 x
2x) x (ln x2
x
x2
2)
，
x2
1 ln x x2
.
令 h(x) x2 x ln x ，则 h '(x) 2x 1 . x
（2）设 M 、 N 、 P 三点均在曲线 E 上. OM ON OP 0 ，（ O 为原点），求 | MN |的范围.
（2）求{an 2n} 的前 n 项和 Tn .
19．（12 分） 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程， 旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式和学习方法的训练， 为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备. 某高中成功开设大学先 修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程.、 （1）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据如图等高条形图， 填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习大学先修课程与优等生有关系？
4mk 1 2k2
.
yp
( y1
y2)
k (x1
x2)
2m
2m 1 2k2
.
代入 x2 y2 1 . 2
8m2k 2 (1 2k 2)
4m2 (1 2k 2)
1 ，即 4m2
1
2k 2
.
故 8(1 2k 2 m2) 6(1 2k 2) 0 .
1250
高三数学（文科） 2019-10 阶考 第 3页 共 2 页
21. （12’）（1） BD DA BC 2 2 （ 2 2 | AB | ）
D 点轨迹是以 A 、 B 为焦点椭圆. a2 2 , c2 1 , b2 1, x2 y2 1. x2 y2 1.
6
.
22 6 3
18.
s3 6
（12’）（1）
a1
a9
a32
d 0
a1 d
1 1
，
an
n.
（2）Tn 1 21 2 22 3 23 (n 1) 2 n1 n 2 n 2Tn 1 22 2 23 (n 2) 2 n1 (n 1) 2 n n 2 n1 Tn 2 (22 23 2 n) n 2 n1
A. (0, 1) e
B. (0, 1 ) e
C. (1 , 1 ) ee
D. (1 , ) e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知 A {x | y 1 x} ，B {x | x m 1} ，若 x A 是 x B 的必要条件，则 m 范围是
③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题. 其中，正确命题有（ ）个
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
6. 已知 sin( ) 3 ， 为第二象限角，则 tan 2 （ ） 5
24
A.
B. 24
7
C.
D. 7
7
7
24
24
7．已知 | a | 2 ， | b | 3 ， a,b 夹角 60 ，且 a b 与 a b 垂直，则
2. 已知 A {x N || x | 6} ， B {x | 1 x 4} ，则 A B （ ）
A. {0,1, 2,3} B. {1, 2,3}
C. {1, 4} D. (2,6)
3. 圆 M : x2 y2 4x 2 y 0 的面积为（ ）
A. 5
A. 2
B. 3
5
C.
D. 3
2
11.
设
f
(x)
2x
2x
ln
1 1
x 1 ，若 xຫໍສະໝຸດ f(a) f (1 a) 2 ，则 a 的范围（
）
A. ( 1 , ) 2
B. ( 1 ，1) 2
C. ( 1 , 0) 2
D. (0，1) 2
12. 若 y ex 与 y a (a 0) 有两个公共点，则 a 范围为（ ） x
所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.
（2）在这 5 名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学生分别为 A, B ，没参加大学先修课程学习
的 3 名学生分别为 c, d , e . 在这 5 名学生中任选 3 人，其中事件有 ABc ， ADd ， ABe ， Acd ， Ace ，
B. 4 C. 3 D. 2
4. f (x) 2x a 2x 为奇函数， g(x) ln(x x 2 b ) 为奇函数，则 a b （ ）
A. 1
B. 1
C. 0
5. 给出下列命题：
D. 2
①“若 x 2 或 y 1，则 xy 2 ”的否命题；
②“ x R ， 2x 2x 2 ”的否定；
又 PD ED ， PD 面 DBCE . PD EC .
【KS5U解析】四川省成都市树德中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
相减，即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的
前 项和可利用．
18. 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， ， .
（1）求证： 平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
【答案】（1）见解析（2） （3）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知 ，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；
（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中， ，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；
【点睛】本题主要考查程序框图的应用，几何概型求概率，考查学生分析转化能力，属于基础题.
6. 变量 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）．
A. 8B. 9C. 64D. 65
【答案】D
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，再利用 所表示的几何意义求解即可.
【详解】由约束条件 ，作出 的可行域如图所示，
3. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 .若初始位置为 ，当秒针从 （注此时 ）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 时刻， 经过的圆弧角度为 ，则以 轴正方向为始边， 所在射线为终边， 对应的角度为 ，则 对应的角度为 ，
四川省树德中学2020届高三上学期10月阶段性检测语文PDF版含答案
高2017级高三上期10月阶段性测试语文试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）总体来看，近年来我国社会心态正变得越来越理智成熟、开放多元、积极主动，并且更加具有世界意识。
但也不可否认，目前仍存在一些不良社会情绪。
比如，自卑自馁情绪有之，“牢骚太盛”情绪有之，懈怠散漫情绪亦有之。
这些社会心态虽不是主流，却会对社会发展和改革进程产生消极影响。
如不及时修复，不仅会伤及个人幸福生活，还会影响整个社会心态，甚至会阻滞社会主义现代化脚步。
建设社会主义现代化强国，社会心态必须强起来。
社会心态是一段时间内社会成员情绪基调、社会共识和价值观的总和，属于社会意识范畴。
一个国家的社会心态与其发展实际密切相关，是时代的“晴雨表”“风向标”；它同时会影响每个社会成员的价值取向和行为方式，甚至影响整个国家发展大局。
积极健康的社会心态是个人、社会、国家发展进步的重要社会心理基础，也是国家软实力的重要组成部分。
新中国自成立以来，用短短几十年时间从“饥寒交迫”变为总体小康、从“一穷二白”发展为世界第二大经济体、从世界边缘走近世界舞台中心，现在正阔步走在“强起来”的大路上。
在这个“强起来”的新时代，应当有与之匹配的社会心态。
心态强起来应增强自尊自信。
中华民族是一个自尊自信的民族，自尊自信是中华民族精气神的集中体现。
新时代，自尊自信源于深入了解“我们从哪里来”“我们走向何方”。
它要求我们既不妄自菲薄，看到中国独特的文化传统、历史命运和基本国情注定了我们必然要走中国特色社会主义道路，拒绝照抄照搬别国发展模式；也不妄自尊大，拒绝其他文明优秀成果。
只有清醒认识我国历史走向、准确定位我国历史方位，才能更加自尊自信。
只有不断增强自尊自信，才能更加敢于正视自身不足、敢于承认别人长处，进而取长补短，更好迈向伟大复兴。
心态强起来应更加理性平和。
理性平和就是冷静全面看待事物，不为不良情绪所左右；就是辩证客观分析问题，不偏激也不片面；就是实事求是解决问题，不扣帽子不打棍子。
四川省成都市树德中学高三数学10月阶段性考试试题 文
高2013级第五期10月阶段性考试数学试题（文）（试卷共150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，B={y|y=2x+1，x ∈R}，则A B ⋂=（ ）A ．（﹣∞，1]B ．(1,)+∞C ．（0，1]D ． [0，1]2．已知复数Z 满足(12)5Z i i -=g ，则复数Z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知向量c b a c b k a ⊥-===)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（ ，则实数k 的值为（ ）A ．29-B ．0C ．3D ．2154．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若如图所示的程序框图输出的S 是30， 则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是 （ ） A n≥3 B n≥4 C n≥5 D n≥66.在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为（ ） A ． 20 B ． 22 C ． 24 D ． 287.一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是80cm 3．则图中的x 等于（ ） A ．B ．C ． 3D ． 68.O 为坐标原点，点M 的坐标为（1，1），若点N （x ，y ）的坐标满足，则的最大值为（ ） A ． B ． 2 C ．D ． 29.函数1x y e--=的图象大致形状是( )10.设a ＞0，b ＞0，若点P （1，1）到直线（a+1）x+（b+1）y ﹣2=0的距离为1，则ab 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2线与圆x 2+y 2=b 2相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，PF 1⊥PQ ，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．12.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ( )A.[1,2]-B.(1,2)-C.[2,1]-D.(2,1)-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分.13．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ．14.已知圆O 过椭圆的两焦点且关于直线x ﹣y+1=0对称，则圆O 的标准方程为 .15. 已知三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，23AC AB =，若三棱锥P ABC -的体积为32，则该三棱锥的外接球的体积为 . 16.定义：12nnp p p +++L 为n 个正数123,,n p p p p L 的“均倒数”。
2020年四川省成都市树德中学高考数学三诊试卷(文科)(Word 含解析)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜33．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.76．变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则x2+y2+6x﹣4y+14的最大值为（）A．8B．9C．64D．657．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√28．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．49．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞210．已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：CO→=m CA→+n CB→，4m+3n＝2，且|CA→|＝4√3，|CB→|＝6，则CA→•CB→=（）A．36B．24C．24√3D．12√311．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C ．（﹣3，4）D ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）12．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y =−116的距离为d ，若|MN |2＝λ•d 2，则λ的最小值为（ ） A ．√22B ．1−√22C ．1+√22D ．2+√2二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为 ．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= ．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 个．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14．（m ≥2，且m ∈N*） （1）求m 的值； （2）若数列{b n }满足a n 2=log 2b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点C 到平面AED 的距离．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）．（l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算求出∁Z A∩B，从而可得出∁Z A∩B 的真子集的个数．解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴∁Z A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁Z A∩B＝{1，2，3}，∴∁Z A∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则有（m﹣2）（m+3）＜0，解可得﹣3＜m＜2，要求方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．解：由题意，函数的周期为T＝60，∴ω=2π60=π30设函数解析式为y＝sin（−π30t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（√32，12），∴t＝0时，y=1 2∴sinφ=1 2∴φ可取π6∴函数解析式为y＝sin（−π30t+π6）故选：C．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y＝10的距离为√1+49=√2∴弦长为2×√4−2=2√2根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为14×2π×2＝π，较长的弧长为4π﹣π＝3π∴两段弧长之差的绝对值等于2π故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.7【分析】由程序框图得出输出变量y的解析式，求出输出的y满足y＜5时x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案；解：由题意知，程序框图所表示的函数解析式为y={x+1，x≤7 x−1，x＞7；当y＜5时，若输出y＝x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，解得0≤x＜4；若输出y＝x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，解得0≤x＜6（不合题意），所以输出的y ＜5时，x 的取值范围是0≤x ＜4； 所以使得输出的y 满足y ＜5的概率为P =4−010−0=25=0.4． 故选：B ．【点评】本题考查了程序框图、分段函数与几何概型的概率计算问题，是综合题． 6．变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．64D ．65【分析】画出约束条件表示的可行域，利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方平方再加1．求解即可．解：由变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，作出（x ，y ）的可行域如图所示．z ＝x 2+y 2+6x ﹣4y +14＝（x +3）2+（y ﹣2）2+1的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方再加1．结合图形可知，{x −4y +3=03x +5y −25=0解得B （5，2），可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min ＝1﹣（﹣3）＝4，d max ＝8． ∴17≤z ≤65．则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为65． 故选：D ．【点评】本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．7．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+12×1×√2+12×1×1=3+2√2．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．4【分析】作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确；举例说明④错误．解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．可以使∠AOA1＝∠BOB1＝30°，但a与b不平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，上图中在∠AOA1＝∠BOB1＝30°时，可以使∠AOB＝90°，即a⊥b；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．原因是若a与b与平面α都垂直，则a∥b，a与b不垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．∴说法错误的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（）A．m≥2B．m＞2C．n≥2D．n＞2【分析】由指数函数的值域和不等式的性质，求得f（x）的值域；由一次函数的单调性可得g（x）的值域，由题意可得n的不等式，解不等式可得所求范围．解：函数f(x)=e x−1e x+1，即f（x）＝1−21+e x，由e x＞0，可得1+e x＞1，即有0＜21+e x＜2，则﹣1＜1−21+e x＜1，即有f（x）的值域为（﹣1，1）；g（x）＝1﹣x在[m，n]递减，可得g（x）的值域为[1﹣n，1﹣m]，对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g（x2）成立，可得﹣1≥1﹣n，即有n≥2，故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性求值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√3【分析】根据已知条件，在CO →=mCA →+nCB →两边分别乘以向量CA →，CB →便可得到，{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②，所以根据4m +3n ＝2，①+②，和①×3+②×4得{(m +n)CA →⋅CB →=1872(m +n)+CA →⋅CB →=72，所以由这两式即可求出CA →⋅CB →． 解：如图，根据已知条件：{CO →⋅CA →=mCA →2+nCA →⋅CB →CO →⋅CB →=mCA →⋅CB →+nCB →2； ∴{2√3⋅4√3=48m +nCA →⋅CB →3⋅6=36n +mCA →⋅CB →； ∴{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②； ∴①+②得，42＝12（4m +3n ）+（m +n ）CA →⋅CB →=24+(m +n)CA →⋅CB →； ∴(m +n)CA →⋅CB →=18③；①×3+②×4得，144＝144（m +n ）+（4m +3n ）CA →⋅CB →=144（m +n ）+2CA →⋅CB →； ∴72(m +n)+CA →⋅CB →=72④； ∴联立③④可CA →⋅CB →=36． 故选：A ．【点评】考查向量数量积的计算公式，三角形外心的概念，直角三角形的边角关系，以及对条件4m+3n＝2的灵活运用．11．设函数f(x)={log2(x+1)，x≥0√−x，x＜0，则满足f（x+1）＜2的x的取值范围为（）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C．（﹣3，4）D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知，不等式可转化为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，分别解出后取并集即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝2，解得x＝﹣4或x＝3，由图象可知，f（x+1）＜2等价为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，解得﹣1≤x＜2或﹣5＜x≤﹣1，∴所求不等式的解集为（﹣5，2）．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想，属于基础题．12．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y=−116的距离为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．√22B．1−√22C．1+√22D．2+√2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，运用余弦定理可得|MN |，运用抛物线的定义和中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），运用基本不等式计算即可得到所求最小值． 解：抛物线y ＝4x 2的焦点F （0，116），准线为y =−116， 设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2+|NF |2﹣2|MF |•|NF |•cos ∠MFN ＝a 2+b 2+√2ab ， 由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ）， 由|MN |2＝λ•d 2，可得14λ=a 2+b 2+√2ab (a+b)2=1−(2−√2)ab (a+b)2≥1√2)ab (2√ab)2=1−2−√24=2+√24，可得λ≥2+√2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2+√2． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题 13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为53或54．【分析】利用双曲线方程，转化求解离心率即可． 解：当λ＞0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√9λ+16λ9λ=53． 当λ＜0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√−9λ−16λ−16λ=54． 故答案为：53或54．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用、分类讨论方法，是基本知识的考查，基础题．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ﹣1 ． 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理得答案． 解：∵方程z 2+z +3＝0的判别式小于0， ∴z 为方程z 2+z +3＝0的虚根，由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得z +z =−1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= 2 ． 【分析】直接利用函数的关系式的运算的应用和对数的关系式的运算的应用求出结果．解：由于f(x)=21+2x +11+4x ，所以f(−x)=21+2−x +11+4−x =2×2x 1+2x +4x1+4x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）=21+2x +11+4x +2×2x1+2x +4x 1+4x =3． 由于：log a (√2+1)=−log a (√2−1)， 所以f[log a (√2−1)]+f[log a (√2−1)]=3， 整理得f[log a (√2−1)]=2． 故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：函数的、关系式的运算，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 8 个．【分析】显然0不是函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点，故化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数图象求解即可．解：显然0不是函数f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1的零点，故f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1＝0可化为6sin π2x ＝x +1x，故可化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象如图：由图象可知，有8个交点．故答案为：8．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14．（m≥2，且m∈N*）（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足a n2=log2b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【分析】（1）利用a m＝S m﹣S m﹣1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．解：（1）∵S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14，∴a m＝S m﹣S m﹣1＝4，a m+1+a m+2＝S m+2﹣S m＝14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d＝14，∴d＝2．∵S m =a 1+a m2=0，∴a 1＝﹣a m ＝﹣4． ∴a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝﹣4+2（m ﹣1）＝4， ∴m ＝5．（2）由（1）可得a n ＝﹣4+2（n ﹣1）＝2n ﹣6． ∵a n 2=log 2b n ，即n ﹣3＝log 2b n ，∴b n ＝2n ﹣3，∴（a n +6）•b n ＝2n •2n ﹣3＝n •2n ﹣2，设数列{（a n +6）•b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1•2﹣1+2•20+3•21+4•22+…+n •2n ﹣2，① ∴2T n ＝1•20+2•21+3•22+4•23+…+n •2n ﹣1，② ①﹣②得： ﹣T n =12+1+21+22+23+…+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12+1−2n−11−2−n •2n ﹣1=−12−（n ﹣1）2n ﹣1， T n =12+（n ﹣1）2n ﹣1． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．18．四面体A ﹣BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD =√2（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点C 到平面AED 的距离．【分析】（1）连接OC ，运用勾股定理的逆定理，证得AO ⊥OC ，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C 到平面AED 的距离为h ，由V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C 到平面AED 的距离． 【解答】（1）证明：连接OC ，已知O 为BD 中点， AB ＝AD =√2，AC ＝BC ＝CD ＝BD ＝2， 故AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，所以OA =√AB 2−BO 2=1，OC =√3，在△AOC 中， OA 2+OC 2＝4＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，则AO ⊥OC ， 又AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，故AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM =12AB =√22，OE =12CD =1，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM ＝1，所以cos ∠OEM =√24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ， 即有13hS △AED =13AO •S △CDE ，又CA ＝BC ＝2，AB =√2，设AE ＝x ，则由余弦定理有cos ∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =AB 2+BE 2−AE 22AB⋅BE，即有AE =√2，△AED 为等腰三角形，而DE =√3，等腰三角形△AED 底边上的高为√52，故△AED 的面积为S △AED =12⋅DE ⋅√52=√154．则而AO ＝1，S △CDE =12×√34×4=√32，故h =2√55，点E 到平面ACD 的距离为2√55．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和已知可求得a +b 的值． （2）利用列举法和古典概型的定义可求2人都是“中老年”的概率．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．可判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．解：（1）由题意得{(b +0.030)×10=1919+21(a +0.010+0.005×2)×10=2119+21， 解得{b =0.0175a =0.0325，所以a +b ＝0.0325+0.0175＝0.05． （2）由题意得，在[25，35）中抽取8×0.0300.030+0.010=6（人），分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55）中抽取8﹣6＝2（人），分别记为a ，b ．则从8人中任选2人的全部基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，BE ，BF ，Ba ，Bb ，CD ，CE ，CF ，Ca ，Cb ，DE ，DF ，Da ，Db ，EF ，Ea ，Eb ，Fa ，Fb ，ab ，共28种，其中所选的2人都是“中老年”的事件只有ab 这1种， 故2人都是“中老年”的概率p =128． （3）2×2列联表如下：关注 不关注 总计 “青少年” 40 55 95 “中老年”70 35 105 总计11090200所以K 2=200×(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828，故有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，结合古典概型，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目． 20．已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，设出椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，然后求解椭圆方程．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk 的关系，求解|MC |+|MD |为定值2√3． 解：（1）由于椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，故椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，从而λ=14+34=1，从而椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则{△=48(4k 2−m 2+3)＞0x 1+x 2=−8km 4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3，从而点M 的坐标为(−4km 4k 2+3，3m 4k 2+3)由于|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√48(4k 2−m 2+3)4k 2+3，点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k，则△AOB 的面积S △AOB=12|AB|⋅d =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3， 由题得：S △AOB =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3=32，从而化简得：3（4k 2+3）2﹣16m 2（4k 2+3）+16m 4＝0，故[（4k 2+3）﹣4m 2][3（4k 2+3）﹣4m 2]＝0，即m 2=4k 2+34或m 2=3(4k 2+3)4，又由于4k 2﹣4m 2+3≠0，从而m 2=3(4k 2+3)4．当m 2=3(4k 2+3)4时，由于x M =−4km4k 2+3，y M =3m 4k 2+3，从而(x M 2)2+(M 3)2=(−2km 4k 2+3)2+(√3m 4k 2+3)2=m 2(4k 2+3)(4k 2+3)2=34， 即点M 在椭圆x 23+y 294=1上．由椭圆的定义得，存在点C(−√32，0)，D(√32，0)或D(−√32，0)，C(√32，0)，使得|MC |+|MD |为定值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 【分析】（1）求出f ′（x ），当x ∈（0，1）时，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0即可．（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），由此可得a +1a =x 1+x 2x 1x 2＞4x 1+x2，从而x 1+x 2＞4a+1a，只要求出4a+1a在[3，+∞）的最大值即可．解：（1）由已知，得x ＞0，f′(x)=a+1a x −1x 2−1=−x 2−(a+1a )x+1x 2=−(x−a)(x−1a )x 2． 由f ′（x ）＝0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a ＞1，所以0＜1a ＜1，且a ＞1a．所以在区间（0，1a）上，f ′（x ）＜0；在区间（1a，1）上，f ′（x ）＞0．故f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）． 即a+1ax 1−1x 12−1=a+1ax 2−1x 22−1，所以a +1a =1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x 2，a ∈[3，+∞）．因为x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜(x 1+x 22)2恒成立， 所以1x 1x 2＞4(x 1+x 2)2，又x 1+x 2＞0，所以a +1a =x 1+x2x 1x 2＞4x 1+x 2，整理得x 1+x 2＞4a+1a ， 令g （a ）=4a+1a ，因为a ∈[3，+∞），所以a +1a单调递增，g （a ）单调递减， 所以g （a ）在[3，+∞）上的最大值为g （3）=65， 所以x 1+x 2＞65．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题、求最值问题，运用所学知识解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由已知可得{x 2=4tan 2θ2tan 2θ+1y 2=12tan 2θ+1，所以x 2+2y 2＝2，又0≤θ≤π且θ≠π2． 所以y =1√2tan θ+1∈(0，1]，故C 1普通方程为x 22+y 2=1（0＜y ≤1），曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．整理得√22ρcosθ+√22ρsinθ−√2=0，转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）设P(√2φ，cosφ)，（0＜φ＜π）． 则点P 到直线x +y ﹣2＝0的距离d =|√2cosφ+sinφ−2|√2=|√3sin(φ+α)−2|√2=2−√3sin(φ+α)√2，当sin （φ+α）＝1时，d min =√32=√2−√62．所以|PQ |的最小值为√2−√62．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max =54，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1，∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案
1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。
四川省成都市树德中学2020届高三数学上学期10月月考试题文(含解析)
四川省成都市树德中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一、选择题：（共大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若21iZ i+=-（i 为虚数单位），则Z 对应点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再计算Z ，确定象限. 【详解】2(2)(1)13=1(1)(1)2i i i iZ i i i ++++==--+ 1322Z i =-对应点位于第四象限 故答案为D【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，属于基础题型.2.已知{}6A x N x =∈<，{}14B x x =-<<，则A B =I （ ）. A. {}0,1,2,3 B. {}1,2,3C. {}1,4-D. ()2,6【答案】A 【解析】 【分析】先计算集合A ，再计算A B I【详解】{}{}60,1,2,3,4,5A x N x =∈<={}14B x x =-<<{}0,1,2,3A B =I故答案选A【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题型.3.圆22:420M x y x y +-+=的面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，得到圆的半径即可得圆的面积.【详解】圆22:420M x y x y +-+=，即()()22215x y -++=，所以圆的半径r =25r ππ=，故选A.【点睛】本题主要考查了利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程，得到圆的半径，属于基础题.4.()22xxf x a -=-⋅为奇函数，()(ln g x x =为奇函数，则a b +=（ ）.A. 1-B. 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质有(0)0f =，()()0g x g x +-=代入函数得到答案.【详解】()22x xf x a -=-⋅为奇函数，(0)10,1f a a =-==()(ln g x x =为奇函数()(ln g x x -=-故((()()ln ln ln 0,1g x g x x x b b +-=++-===2a b +=故答案选D【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数性质得到(0)0f =可以简化运算，是解题的关键.5.给出下列命题：①“若2x ≠或1y ≠，则2xy ≠”的否命题； ②“x R ∀∈，222x x -+>”的否定；③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题.其中正确命题有（ ）个. A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①“若2x ≠或1y ≠，则2xy ≠”的否命题为：若2x =且1y =，则2xy =，正确 ②“x R ∀∈，222x x -+>”的否定为：x R ∃∈，222x x -+≤”，0x =时成立，正确 ③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题为：对角线相互垂直的四边形为菱形，错误 故答案选C【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆命题，意在考查学生的综合知识能力.6.已知()3sin 5πα+=-，α为第二象限角，则tan2α=（ ）. A.247B. 247-C. 724D. 724-【答案】B 【解析】 【分析】 先化简3sin 5α=，计算4cos 5α=- ，3tan 4α=-，利用二倍角公式得到答案. 【详解】()33sin sin ,sin 55πααα+=-=-=α为第二象限角，4cos 5α=- ，3tan 4α=-22tan 24tan 21tan 7ααα==-- 故答案选B【点睛】本题考查了三角恒等变换，没有考虑函数值的正负是容易发生的错误.7.已知2a =u u r ，3b =u u r ，a r ，b r夹角60︒，且a λb +r r 与a b -r r 垂直，则λ=（ ）.A.56B.12C.23D.16【答案】D 【解析】 【分析】先计算3a b ⋅=r r，再利用垂直关系得到()()0a λb a b +-=r r r r ，计算得到答案.【详解】2a =u u r ，3b =u u r ，a r ，b r夹角60︒，则3a b ⋅=r ra λb +r r 与a b -r r垂直22()()(1)43(1)90a λb a b a λa b λb λλ+-=+-⋅-=+--=r r r r r r r r16λ=故答案选D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 4B. 3C. 2-D. 3-【答案】A【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.一个几何体三视图如图：（每个小正方形边长为1），则该几何体体积为（ ）.A.372B.352C.332D.312【答案】C 【解析】 【分析】将三视图还原为立体图像，再把图像分为四棱锥和三棱柱，体积相加得到答案. 【详解】如图所示，根据三视图还原立体图形：将体积分为左右两部分四棱锥和三棱柱体积相加：121133334331322V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故答案选C【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，其中将体积分为两部分体积相加是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10.ABC ∆中，2AC =，120A =︒，cos 3B C =，则AB =（ ）. A. 2 35D. 3【答案】A 【解析】 【分析】化简cos 3B C =得到30B C ∠=∠=︒ ，2AB AC == 【详解】120A =︒，cos 3B C =得到133cos(60)3,cos 3,tan 2C C C C C C ︒-=+==30B C ∠=∠=︒2AB AC ==故答案选A【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用和计算能力.11.()122ln11xxxf x x-+=-++-，若()()12f a f a ++>，则a 的范围（ ）. A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，判断()g x 为奇函数，()g x 为增函数，代入利用函数性质解得答案.【详解】设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，则()()1f x g x =+ 1()22ln()1x x xg x g x x ---=-+=-+，()g x 为奇函数 12()22ln 22ln(1)(11)11x x x x x g x x x x--+=-+=-+--<<--易知：2x ，2x --，2ln(1)1x --为增函数，故()g x 为增函数 ()()12f a f a ++>即()()1112,()(1)g a g a g a g a ++++>>-+ 即()(1)g a g a >--故111111a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<故答案选C【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，其中构造函数1()22ln1x xxg x x-+=-+-是解题的关键，忽略掉定义域是容易发生的错误.12.若xy e -=与()0ay a x=>有两个公共点，则a 范围为（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ⎛ ⎝C. 1e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得xa ex -=有两个根，等价于()0x xa x e =≠有两个根，令()x x f x e=，对函数进行求导，判断出函数的单调性，通过y a =和x xy e=的图象有两个交点即可得出a 的范围.【详解】若xy e -=与()0a y a x=>有两个公共点，即方程x ae x -=有两个根，等价于()0x xa x e =≠， 令()x x f x e=，则()1x xf x e -'=，当1x <时，()0f x '>，函数()x xf x e =单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()x xf x e =单调递减；且当x →-∞时，()f x →-∞，()11f e=，当x →+∞时，()0f x →由于y a =和x x y e =的图象有两个交点，故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选A.【点睛】本题主要考查了已知函数零点的个数求参数的范围，利用导数判断函数的单调性，构造函数()xxf x e =是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知{|A x y ==，{|1}B x x m =≤+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则m 范围是______. 【答案】(,0]-∞【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1}1A x y x x x ==-=≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞， 故答案为(,0]-∞.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法、考查数学中的等价转化能力、集合的包含关系，属于中档题.14.已知23x y y x +≤⎧⎨≥⎩，则2x y -的最小值为______.【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，利用直线的平移得到最值.【详解】23x y y x +≤⎧⎨≥⎩表示的图像如图所示：根据图像知：当3,3x y =-=时，有最小值为9- 故答案为9-【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15.1F 、2F 为E ：22221x y a b-=左右焦点，M E ∈，且212MF F F ⊥，1230MF F ∠=︒，则E的离心率e =______. 【答案】3 【解析】 【分析】在12Rt MF F ∆中，根据边关系得到12122,2MF MF MF MF a =-=，1123F F MF =，化简计算得到答案.【详解】在12Rt MF F ∆中，1230MF F ∠=︒12122,2MF MF MF MF a =-=得到22MF a =1122332F F c MF a ===⨯故3==ce a【点睛】本题考查了离心率的计算，找到,,a b c 的数量关系是解题的关键.16.如图圆锥高为2，侧面积为42π，P 为顶点，O 为底面中心，A ，B 在底面圆周上，M 为PA 中点，MB OA ⊥，则O 到面PAB 的距离为______.【解析】 【分析】先利用侧面积计算2r =，再利用体积法得到O ABP P OAB V V --=，代入数据计算得到答案. 【详解】如图所示：N 为OA 中点，连接,,MN OB BN圆锥高为2，侧面积为即,2r π==M 为PA 中点，N 为OA 中点，MN OP P ，故MN OA ⊥又MB OA ⊥，所以OA ⊥平面MNB ，故OA BN ⊥ 故OAB ∆为等边三角形.112232P OAB V -=⨯⨯⨯=在ABP ∆中：2AP BP AB ===，AB 边上的高h =122ABP S ∆=⨯=13O ABP ABP P OAB V h S V -∆-=⨯==7h =【点睛】本题考查了点到平面的距离，利用体积法可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17.如图，ABC ∆为等腰直角三角形，2AB BC ==，2B π∠=，D 、E 分别为AB 、AC 中点，将ADE ∆沿DE 折起，使A 到达P 点，且6PC =.（1）证明：PD EC ⊥；（2）求异面直线PC 与ED 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】 【分析】（1）在PCD ∆中，通过勾股定理得到222PC PD CD =+，即PD CD ⊥，结合PD ED ⊥根据线面垂直判定定理即可得PD ⊥面DBCE ，进而得线线垂直；（2）先证得PCB ∠为异面直线PC 与ED 所成角平面角，在PCB V 中通过余弦定理计算出结果.【详解】（1）在PCD ∆中，PC =1PD =，CD∴222PC PD CD =+，∴PD CD ⊥. 又PD ED ⊥，CD ED D =I , ∴PD DBCE ⊥面.∴PD EC ⊥. （2）∵//BC ED ，∴PCB ∠为异面直线PC 与ED 所成角平面角. ∵PD DBCE ⊥面，∴PD DB ⊥，∴PB ==∵BC=2，PC =cos3PCB ∠==. 【点睛】本题主要考查了通过线线垂直得出线面垂直，再通过线面垂直得到线线垂直的过程，异面直线所成角的求法，属于中档题.18.已知{}n a 为等差数列，公差0d ≠，36S =，1a ，3a ，9a 成等比. （1）求n a ； （2）求{}2nn a ⋅的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于1a 和d 的方程组，解出方程即可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可得出数列{}2nn a ⋅的前n 项和nT .【详解】（1）∵36S =，1a ，3a ，9a 成等比，()()311211133618210s a d a a a d a d d d =+=⎧=⎧⎪⇒⋅+=+⎨⎨=⎩⎪≠⎩， ∴n a n =.（2）∵1231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L231121222(2)2(1)22n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+⋅L∴()23122222nn n T n +-=++++-⋅L 12(1)2n n +=---⋅∴12(1)2n n T n +=+-⋅.【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的计算以及利用错位相减求数列的前n 项和，考查了学生的计算能力，属于中档题.19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程250没有学习大学先修课程（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析有关系（2）9 10【解析】【分析】（1）根据优等生的人数、学习大学先修课程的人数，结合等高条形图计算数值，填写好表格，计算出2K的值，比较题目所给参考数据，得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系”这个结论.（2）利用列举法，求得基本事件的众数为10种，其中“没有学生参加大学先修课程学习”的情况有1种，利用对立事件的概率计算方法，求得至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.【详解】（1）列联表如下：由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（2）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程的学习的2名学生为1A ，2A ，记没有参加大学先修课程学习的3名学生为1B ，2B ，3B . 则所有的抽样情况如下：共10种，{}121,,A A B ，{}122,,A A B ，{}123,,A A B ，{}112,,A B B ，{}113,,A B B ， {}123,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}223,,A B B ，{}123,,B B B ，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种，为{}123,,B B B . 记事件A 为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习，则()1911010P A =-=. 【点睛】本小题主要考查等高条形图的识别，考查22⨯列联表及独立性检验，考查古典概型等知识，属于中档题.20.已知函数()ln 1f x x ax =-+.（1）当1a =时，求证：()0f x ≤恒成立；（2）若关于x 的方程2()10f x x ++=至少有两个不相等的实数根，求实数a 的最小值.【答案】（1）见证明；（2）3 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程2ln 20x x ax +-+=转化为ln 2x a x x x =++，构造函数()()ln 20x x x x x xφ=++>，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得a 的最小值 【详解】（1）证明：当1a =时，()ln 1f x x x =-+，()111xf x x x-=-='， 令()01f x x ='⇒=，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()()max 10f x f ==，所以()0f x ≤. （2）2ln 20x x ax +-+= ln 2x a x x x⇒=++至少有两个根， 记()ln 2(0)x x x x x x φ=++>，所以()22221ln 2ln 11x x x x x x xφ---=+'-=， 记()2ln 1(0)h x x x x =-->，所以()21212x h x x x x='-=-，令()0h x x x '=⇒==舍）所以当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x单调递减，,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， ()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为2ln 1222h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111ln21ln20222=-+=--<， 又()10h =，所以()1,x ∈+∞时，()0h x >， 又当1x e =时，2111ln 1h e ee ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2211110e e =+-=>，因此必存在唯一的01,2x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此()00,x x ∈时，()0h x >，()x φ单调递増，()0,1x x ∈，()0h x <，()x φ单调递减，()1,x ∈+∞时，()0h x >，()x φ单调递増，画出()y x φ=的大致图象，如图所示因此当()()01a x φφ≤≤时，y a =与()y x φ=至少有两个交点， 所以a的最小值为()13φ=.【点睛】利用导数解决方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数21.已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D . （1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u r u u u r u u u r r，（O 为原点），求MN 的范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）3,6⎡⎣ 【解析】 【分析】（1）根据中垂线性质得到22BD DA BC +==. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设:MN y kx m =+，联立方程得到2412p mkx k =+，2212p m y k -=+，2122113112MN k x k=+-=++. 【详解】（1）)2222BD DA BD DC BC AB +=+==>QD ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =Q ，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=.（2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+2222x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩()222124220k xmkx m +++-=，令两根为1x ，2x .由0OM ON OP ++=u u u u r u u u ru u u rr.()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p my y y k x x m k -=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k mk ∆=+-=+>.2121MN k x x ∴=+-()22611k k +=+⋅，221612k k+=⋅+，213112k=⋅++(3,6⎤∈⎦.当MN x ⊥轴时，易求3MN =，MN ∴范围是3,6⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.（二）选考题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）22.极坐标系下，曲线1E ：2cos ρθ=，曲线2E ：)2cos sin ρθθ=+.（1）求曲线2E 围成区域面积； （2）设1A E ∈，2B E ∈，2AOB π∠=（O 为极点），求2AB 最大值.【答案】（1）π；（2）4+【解析】 【分析】（1）将极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用圆面积公式的答案.（2）设()1,A ρθ，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得到12cos ρθ=，)2sin cos ρθθ=-+，22212AB ρρ=+代入数据得到答案.【详解】（1）)cos sin ρθθ=+得220x y +-=，即22122x y ⎛⎫⎛-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2E 面积为π. （2）设()1,A ρθ，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.12cos ρθ=Q ， )2cos sin sin cos 22ππρθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦()()2222124cos 212sin cos 21cos 222sin 2424AB πρρθθθθθθ⎛⎫∴=+=+-=++-=++ ⎪⎝⎭当8πθ=-时，2AB 最大值为4+【点睛】本题考查了极坐标方程，意在考查学生对于极坐标方程的理解掌握和计算能力.23.已知0a ≥，0b ≥，()2f x x a x b =++-； （1）若0a =，2b =，求()2f x ≤的解集.（2）若()f x 最小值为1.【答案】（1）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2- 21 - 【解析】【分析】（1）将函数()f x 化简为分段函数，分别解不等式得到答案.（2）将函数()f x 化简为分段函数，根据最小值得到22a b +=，变形2212⎫=⎪⎪⎭，利用柯西不等式解得答案.【详解】（1）0a =，2b =时，()32,1222,0132,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=+-=-≤<⎨⎪-+<⎩，解不等式：322,122,01322,0x x x x x x -≤≥⎧⎪-≤≤<⎨⎪-+≤<⎩解得答案为：40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）()3,22,23,b x a b x b f x x a x b x a b a x x b a x a ⎧+-≥⎪⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩当2b x =时，()min 2b f x a =+，22a b ∴+=.()221121322a b ⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭≤. ∴当222a b +=⎧=即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时. 【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.。
5四川省成都市树德中学2020届高三三诊模拟考试 数学(文科)(解析版)
2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜33．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.76．变量x，y满足{x−4y+3≤03x+5y−25≤0x≥1，则x2+y2+6x﹣4y+14的最大值为（）A．8B．9C．64D．657．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√28．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f(x)=e x −1e x +1，g （x ）＝1﹣x ，若对∀x 1∈R ，总存在x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立，以下对m 、n 的取值范围判断正确的是（ ） A ．m ≥2B ．m ＞2C ．n ≥2D ．n ＞210．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√311．设函数f(x)={log 2(x +1)，x ≥0√−x ，x ＜0，则满足f （x +1）＜2的x 的取值范围为（ ）A ．（﹣4，3）B ．（﹣5，2）C ．（﹣3，4）D ．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）12．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y =−116的距离为d ，若|MN |2＝λ•d 2，则λ的最小值为（ ） A ．√22B ．1−√22C ．1+√22D ．2+√2二、填空题13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为 ．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ． 15．若f(x)=21+2x +11+4x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= ．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 个．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14．（m≥2，且m∈N*）（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足a n2=log2b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD=√2（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1．（1）求图中a+b的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x−x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =−2tanθ√2tan θ+1y =√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m的解集非空，求m 的取值范围．参考答案一、在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合∁Z A∩B的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【分析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算求出∁Z A∩B，从而可得出∁Z A∩B 的真子集的个数．解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴∁Z A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁Z A∩B＝{1，2，3}，∴∁Z A∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣3＜m＜2C．﹣3＜m＜4D．﹣1＜m＜3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则有（m﹣2）（m+3）＜0，解可得﹣3＜m＜2，要求方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件．3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（√32，12），当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y＝sin（π30t+π6）B．y=sin(−π60t−π6)C．y＝sin（−π30t+π6）D．y＝sin（−π30t−π3）【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．解：由题意，函数的周期为T＝60，∴ω=2π60=π30设函数解析式为y＝sin（−π30t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0（√32，12），∴t＝0时，y=1 2∴sinφ=1 2∴φ可取π6∴函数解析式为y＝sin（−π30t+π6）故选：C．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．4．已知直线x+7y＝10把圆x2+y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A．π2B．2π3C．πD．2π【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解：圆的圆心为（0，0）到直线x+7y＝10的距离为√1+49=√2∴弦长为2×√4−2=2√2根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为14×2π×2＝π，较长的弧长为4π﹣π＝3π∴两段弧长之差的绝对值等于2π故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．若x的取值范围为[0，10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出y满足y ＜5的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.7【分析】由程序框图得出输出变量y的解析式，求出输出的y满足y＜5时x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案；解：由题意知，程序框图所表示的函数解析式为y={x+1，x≤7 x−1，x＞7；当y＜5时，若输出y＝x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，解得0≤x＜4；若输出y＝x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，解得0≤x＜6（不合题意），所以输出的y＜5时，x的取值范围是0≤x＜4；所以使得输出的y满足y＜5的概率为P=4−010−0=25=0.4．故选：B ．【点评】本题考查了程序框图、分段函数与几何概型的概率计算问题，是综合题． 6．变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．64D ．65【分析】画出约束条件表示的可行域，利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方平方再加1．求解即可．解：由变量x ，y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，作出（x ，y ）的可行域如图所示．z ＝x 2+y 2+6x ﹣4y +14＝（x +3）2+（y ﹣2）2+1的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方再加1．结合图形可知，{x −4y +3=03x +5y −25=0解得B （5，2），可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min ＝1﹣（﹣3）＝4，d max ＝8． ∴17≤z ≤65．则x 2+y 2+6x ﹣4y +14的最大值为65． 故选：D ．【点评】本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．7．某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A．2+3√22B．72+3√22C．3+2√2D．2+√2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+12×1×√2+12×1×1=3+2√2．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是（）①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A．1B．2C．3D．4【分析】作图说明①②错误；由直线与平面垂直的性质说明③正确；举例说明④错误．解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．可以使∠AOA1＝∠BOB1＝30°，但a与b不平行；②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，上图中在∠AOA1＝∠BOB1＝30°时，可以使∠AOB＝90°，即a⊥b；③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．原因是若a与b与平面α都垂直，则a∥b，a与b不垂直；④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．∴说法错误的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数f(x)=e x−1e x+1，g（x）＝1﹣x，若对∀x1∈R，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）＞g （x 2）成立，以下对m 、n 的取值范围判断正确的是（ ） A ．m ≥2B ．m ＞2C ．n ≥2D ．n ＞2【分析】由指数函数的值域和不等式的性质，求得f （x ）的值域；由一次函数的单调性可得g （x ）的值域，由题意可得n 的不等式，解不等式可得所求范围． 解：函数f(x)=e x −1e x +1，即f （x ）＝1−21+e x ，由e x ＞0，可得1+e x ＞1，即有0＜21+e x ＜2，则﹣1＜1−21+e x＜1，即有f （x ）的值域为（﹣1，1）；g （x ）＝1﹣x 在[m ，n ]递减，可得g （x ）的值域为[1﹣n ，1﹣m ]， 对∀x 1∈R ，总存在x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立， 可得﹣1≥1﹣n ，即有n ≥2， 故选：C ．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性求值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO →=m CA →+n CB →，4m +3n ＝2，且|CA →|＝4√3，|CB →|＝6，则CA →•CB →=（ ） A ．36B ．24C ．24√3D ．12√3【分析】根据已知条件，在CO →=mCA →+nCB →两边分别乘以向量CA →，CB →便可得到，{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②，所以根据4m +3n ＝2，①+②，和①×3+②×4得{(m +n)CA →⋅CB →=1872(m +n)+CA →⋅CB →=72，所以由这两式即可求出CA →⋅CB →． 解：如图，根据已知条件：{CO →⋅CA →=mCA →2+nCA →⋅CB →CO →⋅CB →=mCA →⋅CB →+nCB →2； ∴{2√3⋅4√3=48m +nCA →⋅CB →3⋅6=36n +mCA →⋅CB →； ∴{24=48m +nCA →⋅CB →①18=36n +mCA →⋅CB →②； ∴①+②得，42＝12（4m +3n ）+（m +n ）CA →⋅CB →=24+(m +n)CA →⋅CB →； ∴(m +n)CA →⋅CB →=18③；①×3+②×4得，144＝144（m +n ）+（4m +3n ）CA →⋅CB →=144（m +n ）+2CA →⋅CB →； ∴72(m +n)+CA →⋅CB →=72④；∴联立③④可CA →⋅CB →=36． 故选：A ．【点评】考查向量数量积的计算公式，三角形外心的概念，直角三角形的边角关系，以及对条件4m +3n ＝2的灵活运用．11．设函数f(x)={log 2(x +1)，x ≥0√−x ，x ＜0，则满足f （x +1）＜2的x 的取值范围为（ ）A．（﹣4，3）B．（﹣5，2）C．（﹣3，4）D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知，不等式可转化为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，分别解出后取并集即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）＝2，解得x＝﹣4或x＝3，由图象可知，f（x+1）＜2等价为0≤x+1＜3或﹣4＜x+1≤0，解得﹣1≤x＜2或﹣5＜x≤﹣1，∴所求不等式的解集为（﹣5，2）．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，考查数形结合思想，属于基础题．12．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y=−116的距离为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．√22B．1−√22C．1+√22D．2+√2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=12（|MF|+|NF|）=12（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．解：抛物线y ＝4x 2的焦点F （0，116），准线为y =−116， 设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2+|NF |2﹣2|MF |•|NF |•cos ∠MFN ＝a 2+b 2+√2ab ， 由抛物线的定义可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理可得d =12（|MF |+|NF |）=12（a +b ），由|MN |2＝λ•d 2，可得14λ=a 2+b 2+√2ab (a+b)2=1−(2−√2)ab (a+b)2≥1√2)ab (2ab)2=1−2−√24=2+√24，可得λ≥2+√2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2+√2． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题13．双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为53或54．【分析】利用双曲线方程，转化求解离心率即可．解：当λ＞0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√9λ+16λ9λ=53． 当λ＜0时，双曲线x 29−y 216=λ（λ∈R 且λ≠0）的离心率为：e =√c 2a2=√−9λ−16λ−16λ=54． 故答案为：53或54．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用、分类讨论方法，是基本知识的考查，基础题．14．复数z 满足方程z 2+z +3＝0，z 是z 的共轭复数，则z +z = ﹣1 ．【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理得答案． 解：∵方程z 2+z +3＝0的判别式小于0， ∴z 为方程z 2+z +3＝0的虚根，由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得z +z =−1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，是基础题．15．若f(x)=2x +1x ，且f[log a (√2+1)]=1，其中a ＞1，则f[log a (√2−1)]= 2 ． 【分析】直接利用函数的关系式的运算的应用和对数的关系式的运算的应用求出结果．解：由于f(x)=21+2x +11+4x ，所以f(−x)=21+2−x +11+4−x =2×2x 1+2x +4x1+4x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）=21+2x +11+4x +2×2x1+2x +4x 1+4x =3． 由于：log a (√2+1)=−log a (√2−1)， 所以f[log a (√2−1)]+f[log a (√2−1)]=3， 整理得f[log a (√2−1)]=2． 故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：函数的、关系式的运算，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点个数有 8 个．【分析】显然0不是函数f(x)=x 2−6x ⋅sin πx2+1(x ∈R)的零点，故化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数图象求解即可．解：显然0不是函数f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1的零点，故f （x ）＝x 2﹣6x sin π2x +1＝0可化为6sin π2x ＝x +1x，故可化为函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象的交点的个数，作函数y ＝6sin π2x 与y ＝x +1x的图象如图：由图象可知，有8个交点． 故答案为：8．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14．（m ≥2，且m ∈N*） （1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足a n 2=log 2b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．【分析】（1）利用a m ＝S m ﹣S m ﹣1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m ． （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可． 解：（1）∵S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14， ∴a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝4，a m +1+a m +2＝S m +2﹣S m ＝14． 设{a n }的公差为d ，则2a m +3d ＝14， ∴d ＝2．∵S m =a 1+a m2=0，∴a 1＝﹣a m ＝﹣4． ∴a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝﹣4+2（m ﹣1）＝4， ∴m ＝5．（2）由（1）可得a n ＝﹣4+2（n ﹣1）＝2n ﹣6． ∵a n 2=log 2b n ，即n ﹣3＝log 2b n ，∴b n ＝2n ﹣3，∴（a n +6）•b n ＝2n •2n ﹣3＝n •2n ﹣2， 设数列{（a n +6）•b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1•2﹣1+2•20+3•21+4•22+…+n •2n ﹣2，① ∴2T n ＝1•20+2•21+3•22+4•23+…+n •2n ﹣1，② ①﹣②得： ﹣T n =12+1+21+22+23+…+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12+1−2n−11−2−n •2n ﹣1=−12−（n ﹣1）2n ﹣1， T n =12+（n ﹣1）2n ﹣1．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．18．四面体A﹣BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD=√2（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离．【分析】（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AO⊥OC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C到平面AED的距离为h，由V C﹣AED＝V A﹣CDE，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C到平面AED的距离．【解答】（1）证明：连接OC，已知O为BD中点，AB＝AD=√2，AC＝BC＝CD＝BD＝2，故AO⊥BD，CO⊥BD，所以OA=√AB2−BO2=1，OC=√3，在△AOC中，OA2+OC2＝4＝AC2，所以∠AOC＝90°，则AO⊥OC，又AO⊥BD，BD∩OC＝O，故AO⊥平面BCD．（2）解：取AC 中点M ，连接OM ，ME ，OE ，又E 为BC 中点，则ME ∥AB ，OE ∥CD ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，在△OME 中，EM =12AB =√22，OE =12CD =1，又OM 为Rt △AOC 的斜边AC 上的中线，故OM ＝1，所以cos ∠OEM =√24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24．（3）解：（体积法）设点C 到平面AED 的距离为h ，因为V C ﹣AED ＝V A ﹣CDE ， 即有13hS △AED =13AO •S △CDE ，又CA ＝BC ＝2，AB =√2，设AE ＝x ，则由余弦定理有cos ∠ABC =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =AB 2+BE 2−AE 22AB⋅BE，即有AE =√2，△AED 为等腰三角形，而DE =√3，等腰三角形△AED 底边上的高为√52， 故△AED 的面积为S △AED =12⋅DE ⋅√52=√154．则而AO ＝1，S △CDE =12×√34×4=√32，故h =2√55，点E 到平面ACD 的距离为2√55．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．19．2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图．若把年龄在区间[15，35），[35，75]内的人分别称为“青少年”“中老年”．经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为19：21．其中“青少年”中有40人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为2：1． （1）求图中a +b 的值．（2）现采用分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8人作为代表，从8人中任选2人，求2人都是“中老年”的概率．（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．关注 不关注总计 “青少年” “中老年” 总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≤k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和已知可求得a +b 的值． （2）利用列举法和古典概型的定义可求2人都是“中老年”的概率．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．可判断能否有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．解：（1）由题意得{(b +0.030)×10=1919+21(a +0.010+0.005×2)×10=2119+21， 解得{b =0.0175a =0.0325，所以a +b ＝0.0325+0.0175＝0.05．（2）由题意得，在[25，35）中抽取8×0.0300.030+0.010=6（人），分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55）中抽取8﹣6＝2（人），分别记为a ，b ．则从8人中任选2人的全部基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，BE ，BF ，Ba ，Bb ，CD ，CE ，CF ，Ca ，Cb ，DE ，DF ，Da ，Db ，EF ，Ea ，Eb ，Fa ，Fb ，ab ，共28种，其中所选的2人都是“中老年”的事件只有ab 这1种，故2人都是“中老年”的概率p =128． （3）2×2列联表如下：关注 不关注 总计 “青少年” 40 55 95 “中老年”70 35 105 总计11090200所以K 2=200×(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157＞10.828，故有99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，结合古典概型，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，且过点P(1，32)，直线l ：y ＝kx +m交椭圆E 于不同的两点A ，B ，设线段AB 的中点为M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当△AOB 的面积为32（其中O 为坐标原点）且4k 2﹣4m 2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C ，D ，使得当直线l 运动时，|MC |+|MD |为定值？若存在，求出点C ，D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，设出椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，然后求解椭圆方程．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk 的关系，求解|MC |+|MD |为定值2√3． 解：（1）由于椭圆的离心率为12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1，故椭圆E ：x 24+y 23=λ(λ＞0)又椭圆过点P(1，32)，从而λ=14+34=1， 从而椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则{△=48(4k 2−m 2+3)＞0x 1+x 2=−8km 4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3，从而点M 的坐标为(−4km 4k 2+3，3m 4k 2+3)由于|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√48(4k 2−m 2+3)4k 2+3，点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k ，则△AOB 的面积S △AOB=12|AB|⋅d =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3， 由题得：S △AOB =2√3⋅√m 2(4k 2−m 2+3)4k 2+3=32，从而化简得：3（4k 2+3）2﹣16m 2（4k 2+3）+16m 4＝0，故[（4k 2+3）﹣4m 2][3（4k 2+3）﹣4m 2]＝0，即m 2=4k 2+34或m 2=3(4k 2+3)4，又由于4k 2﹣4m 2+3≠0，从而m 2=3(4k 2+3)4．当m 2=3(4k 2+3)4时，由于x M =−4km4k 2+3，y M =3m 4k 2+3，从而(x M 2)2+(M 3)2=(−2km 4k 2+3)2+(√3m 4k 2+3)2=m 2(4k 2+3)(4k 2+3)2=34， 即点M 在椭圆x 23+y 294=1上．由椭圆的定义得，存在点C(−√32，0)，D(√32，0)或D(−√32，0)，C(√32，0)，使得|MC |+|MD |为定值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求的方法的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）＝（a +1a ）lnx +1x −x （a ＞1）． （l ）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a ∈[3，+∞）时，曲线y ＝f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1）），Q （x 2，f （x 2 ）），使得曲线y ＝f （x ）在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2＞65． 【分析】（1）求出f ′（x ），当x ∈（0，1）时，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0即可．（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），由此可得a +1a =x 1+x 2x 1x 2＞4x 1+x2，从而x 1+x 2＞4a+1a，只要求出4a+1a在[3，+∞）的最大值即可．解：（1）由已知，得x ＞0，f′(x)=a+1a x −1x 2−1=−x 2−(a+1a )x+1x 2=−(x−a)(x−1a )x 2． 由f ′（x ）＝0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a ＞1，所以0＜1a ＜1，且a ＞1a ．所以在区间（0，1a）上，f ′（x ）＜0；在区间（1a，1）上，f ′（x ）＞0．故f （x ）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a ∈[3，+∞）时，f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）．即a+1ax 1−1x 12−1=a+1ax 2−1x 22−1，所以a +1a =1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x 2，a ∈[3，+∞）．因为x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2＜(x 1+x 22)2恒成立， 所以1x 1x 2＞4(x 1+x 2)，又x 1+x 2＞0，所以a +1a =x 1+x2x 1x 2＞4x 1+x 2，整理得x 1+x 2＞4a+1a ， 令g （a ）=4a+1a ，因为a ∈[3，+∞），所以a +1a单调递增，g （a ）单调递减， 所以g （a ）在[3，+∞）上的最大值为g （3）=65，所以x 1+x 2＞65．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题、求最值问题，运用所学知识解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{ x =√2tan θ+1y =1√2tan θ+1（θ为参数，0≤θ≤π，θ≠π2），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由已知可得{x 2=4tan 2θ2tan 2θ+1y 2=12tan 2θ+1，所以x 2+2y 2＝2，又0≤θ≤π且θ≠π2． 所以y =√2tan θ+1∈(0，1]，故C 1普通方程为x 22+y 2=1（0＜y ≤1），曲线C 2：ρcos （θ−π4）=√2．整理得√22ρcosθ+√22ρsinθ−√2=0，转换为直角坐标方程为：x +y ﹣2＝0．（2）设P(√2φ，cosφ)，（0＜φ＜π）． 则点P 到直线x +y ﹣2＝0的距离d =√2cosφ+sinφ−2|2=√3sin(φ+α)−2|2=√3sin(φ+α)2，当sin （φ+α）＝1时，d min =2−√3√2=√2−√62．所以|PQ |的最小值为√2−√62．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max =54，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2），∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
四川省成都市树德中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学(文)试题及答案
树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A =1,2,3 ，B =4,5 ，M =x x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则集合M 的元素个数为()A.7B.6C.5D.42．如果复数m 2-3m +m 2-5m +6 i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A.0B.2C.0或3D.2或33．已知直线l 1:x -3y +2=0,l 2:3x -ay -1=0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A.1B.12C.-12D.-14．已知平面α，β，γ，直线a ，b ，c ，下列说法正确的是( )A.若a ⎳α，b ⎳β，a ⎳b ，则α⎳βB.若a ⊥α，α⊥β，则a ⎳βC.若a ⊥α，b ⎳β，α⎳β，则a ⊥bD.若α∩γ=a ，β∩γ=b ，a ⎳b ，则α⎳β5．向量a ，b ，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e 为与c 同方向的单位向量，则a +b ⋅e =( )A.1.5 B.2C.-4.5D.-36．已知等比数列a n 各项均为正数，3a 2+2a 3=a 4，a n 的前n 项和为S n ，则S 3a 2=( )A.3B.133C.72D.137．要得到函数f x =sin 2x +π3 的图象，可以将函数g x =sin 2x +π12的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位D.向右平移π8个单位8．设函数f x 的定义域为R ，且f 2x +2 是奇函数，f x +1 是偶函数，则一定有( )A.f -1 =0B.f 3 =0C.f 4 =0D.f 5 =09．阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a =b =2，使得a b 为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数a =(2)2，b =2，此时a b =(2)2 2=(2)2⋅2=(2)2=2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )A.(2)2是有理数B.(2)2是无理数C.存在无理数a ，b ，使得a b 为有理数D.对任意无理数a ，b ，都有a b 为无理数10．已知函数f x =e x ,x <04x3-6x 2+1,x ≥0，则函数g x =2f x 2-3f x -2的零点个数为( )．A.6B.5C.4D.311．如图，双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与其右支交于P ，Q 两点，已知PF1 =2PF2 且∠PF 1F 2=∠F 1QP ，则双曲线E 的离心率为( )A.3 B.2C.3D.212．已知函数f x =(x -3)3+2x -6，且f 2a -b +f 6-b >0a ,b ∈R ，则( )A.sin a >sin bB.e a >e bC.1a >1bD.a 2024>b 2024二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13．已知tan (π+α)=2，则3sin α+cos αsin α-3cos α=________14．设命题p :2x -1x -1<0，命题q :x 2-2a +1 x +a a +1 ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________15．过点(2,2)的直线l 被圆C ：x 2+(y +1)2=16所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有条.16．若曲线y =axx >0 与曲线y =2ln x 存在公切线，则实数a 的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分.17．已知等差数列a n 满足a 2=3,S 5=25.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =1a n +1+a n,T n 为数列b n 的前n 项和，求T n .18．如图所示，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中各条棱长均为2，点M ,N ,E 分别为棱AC ,AA 1,AB 的中点．(1)求异面直线MN 和CE 所成角的正切值；(2)求点B 到平面MEN 的距离．19．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，(10≤x ≤20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.(1)求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间580，760 内的概率.20．已知抛物线C 1:y 2=x ，圆C 2:x -4 2+y 2=1．(1)求圆心C 2到抛物线C 1准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A 、B 两点，若直线PC 2的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，k 1·k 2=-524，求点P 的坐标．21．已知函数f x =12x2+a ln x-a+1x，其中a∈R.(1)讨论f x 的单调性；(2)若函数F x =f x +a-1x有两个极值点x1，x2，且F x1+F x2>-2e-2恒成立(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-1+22ty=1+22t(t为参数)，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)≤x+1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证：a2a+1+b2b+1≥1.树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题参考答案题号123456789101112答案DADCDB BCCDBB13.-714. 0,12 15.916.-2e ,0.17.(1)因为数列a n 为等差数列，设公差为d ，则S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25，所以a 3=5，又a 2=3，所以a 1+2d =5a 1+d =3 ，解得a 1=1，d =2.则a n =1+2n -1 =2n -1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)由(1)知，b n =12n +1+2n -1.所以b n =2n +1-2n -1(2n +1+2n -1)(2n +1-2n -1)=12(2n +1-2n -1)T n =12(3-1+5-3+⋯+2n +1-2n -1)=12(2n +1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18.(1)连A 1C ，A 1E ，因为M ,N 分别为棱AC ,AA 1的中点，所以A 1C ⎳MN ，所以∠A 1CE (或其补角)是异面直线MN 和CE 所成的角，因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中各条棱长均为2，点M ,N ,E 分别为棱AC ,AA 1,AB 的中点．所以CE =3，A1E =5，A 1C =22，因为CE 2+A 1E 2=A 1C 2，所以CE ⊥A 1E ，所以tan ∠A 1CE =A 1E CE =53=153. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)连BN ,BM ，依题意可得S △MBE =12S △MAB =14S △CAB =14×12×2×3=34，MN =NE =2，ME =12BC =1，S △MNE =12⋅ME ⋅MN 2-ME 2 2=12×1×2-14=74，设点B 到平面MEN 的距离为d ，由V B -MNE =V N -MBE 得13d ⋅S △MNE =13⋅NA ⋅S △MBE ，得13d ⋅74=13⋅1⋅34，得d =217.即点B 到平面MEN 的距离为217.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19. (1)商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：y =50×14+30×x -14 ,14≤x ≤2050x -10×14-x ,10≤x <14 ,化简得：y =30x +280,14≤x ≤2060x -140,10≤x <14 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间10,12 的频率是2×0.08=0.16；海鲜需求量在区间12,14 的频率是2×0.12=0.24；海鲜需求量在区间14,16 的频率是2×0.15=0.30；海鲜需求量在区间16,18 的频率是2×0.10=0.20；海鲜需求量在区间18,20 的频率是2×0.05=0.10；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：11×60-14×10 ×0.16+13×60-14×10 ×0.24+15×30+20×14 ×0.30+17×30+ 20×14 ×0.20+19×30+20×14 ×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元)②由于x =14时，30×14+280=60×14-140=700显然y =30x +280,14≤x ≤2060x -140,10≤x <14 在区间10,20 上单调递增，y =580=60x -140，得x =12；y =760=30x +280，得x =16；日利润y 在区间580,760 内的概率即求海鲜需求量x 在区间12,16 的频率：0.24+0.30=0.54⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20.(1)由已知：C 2(4,0)；C 1的准线为x =-14．圆心C 2到C 1准线距离为4--14 =174;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)设P y 20,y 0 ，A y 21,y 1 ，B y 22,y 2 ,切线PA :x -y 20=m 1y -y 0 由x =m 1y +y 20-m 1y 0y 2=x 得：y 2-m 1y -y 20+m 1y 0=0由y 0+y 1=m 1得：y 1=m 1-y 0，切线PB :x -y 20=m 2y -y 0 ,同理可得：y 2=m 2-y 0依题意：C 2(4,0)到PA :x -m 1y -y 2+m 1y 0=0距离4-y 20+m 1y 0m 21+1=1整理得：y 20-1 m 21+8y 0-2y 30 m 1+y 40-8y 20+15=0同理：y 20-1 m 22+8y 0-2y 30 m 2+y 40-8y 20+15=0∴m 1+m 2=2y 30-8y 0y 20-1y 20≠1 ∵k 1=y 0y 20-4，k 2=y 1-y 2y 21-y 22=1y 1+y 2=1m 1+m 2-2y 0=y 20-1-6y 0∴k 1k 2=y 0y 20-4⋅y 20-1-6y 0=-524,解得：y 0=±4故所求P 点坐标为16,4 或16,-4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.(1)f (x )的定义域是(0,+∞)，f (x )=x +ax -(a +1)=(x -1)(x -a )x，①a ≤0时，0<x <1时，f (x )<0，x >1时，f (x )>0，f (x )的减区间(0,1)，增区间是(1,+∞)；②0<a <1时，0<x <a 或x >1时，f (x )>0，a <x <1时，f (x )<0，f (x )的增区间是(0,a )和(1,+∞)，减区间是(a ,1)；③a =1时，f (x )≥0恒成立，f (x )的增区间是(0,+∞)，无减区间；④a >1时，0<x <1或x >a 时，f (x )>0，1<x <a 时，f (x )<0，f (x )的增区间是(0,1)和(a ,+∞)，减区间是(1,a )；综上，①a ≤0时，f (x )的减区间(0,1)，增区间是(1,+∞);②0<a <1时，f (x )的增区间是(0,a )和(1,+∞)，减区间是(a ,1)；③a =1时，f (x )的增区间是(0,+∞)，无减区间；④a >1时，f (x )的增区间是(0,1)和(a ,+∞)，减区间是(1,a ).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)F (x )=f (x )+a -1=x 2-2x +ax，由题意x 2-2x +a =0有两个不等正根x 1,x 2，Δ=4-4a >0，a <1，又x 1+x 2=2，x 1x 2=a >0，所以0<a <1，F (x )=12x 2+a ln x -2x ，F (x 1)+F (x 2)=12x 21+a ln x 1-2x 1+12x 22+a ln x 2-2x 2=12[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+a ln (x 1x 2)-2(x 1+x 2)=2-a +a ln a -4=a ln a -a -2，由题意a ln a -a -2>-2e -2，a ln a -a +2e >0，设g (x )=x ln x -x +2e(0<x <1)，则g (x )=ln x +1-1=ln x <0，g (x )在(0,1)上递减，又g 1e =1e ln 1e -1e +2e =0，所以由a ln a -a +2e >0，得0<a <1e．综上，实数a 的取值范围是0,1e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分22.(1)由直线l 的参数方程x =-1+22ty =1+22t，得其普通方程为y =x +2，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2.又∵圆C 的方程为x -2 2+y -1 2=5，将x =ρcos θy =ρsin θ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ.⋯⋯⋯⋯5分(2)将直线l ：ρsin θ=ρcos θ+2，与圆C ：ρ=4cos θ+2sin θ联立，得4cos θ+2sin θ sin θ-cos θ =2，整理得sin θcos θ=3cos 2θ，∴θ=π2，或tan θ=3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ=3.于是，cos ∠AOB =cos π2-θ =sin θ=31010.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.(1)f x ≤x+1，即x-1+x-3≤x+1.当x<1时，不等式可化为4-2x≤x+1，解得：x≥1,又∵x<1，此时无解；当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得：x≥1,又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.当x>3时，不等式可化为2x-4≤x+1，解得：x≤5,又∵x>3，∴3<x≤5.综上所得，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.∴原不等式的解集为1,5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)由绝对值不等式性质得，x-1+x-3≥x-1-x-3=2，∴c=2，即a+b=2.令a+1=m,b+1=n，则m>1,n>1，a=m-1,b=n-1,m+n=4，a2 a+1+b2b+1=m-12m+n-12n=m+n+1m+1n-4=4mn≥4m+n22=1，等且仅当m=n=2即a=b=1时等号成立.原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学(文)试卷(含详解)
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求 的长．
13.已知数列 是正项等比数列，函数 的两个零点是 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，根据等比中项求出 .
【详解】因为函数 的两个零点是 ， ，
所以 .
因为数列 是正项等比数列，所以 ，解得： .
故答案为：
14.如图，在四边形ABCD中， ，E为边BC的中点，若 ，则 _________．
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.把 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在区间 上为增函数
10.若 ， ，则x，y，z的大小关系为（）
A. B.
C. D.
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）
【详解】解：由题意可得， ，
故 .
故选：B
6.某工厂研究某种产品的产量 （单位：吨）与需求某种材料 （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集里组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为 ，则下列四个说法中正确的个数为（）
3
4
6
四川省树德中学2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测 数学(文) PDF版含答案
点分别为 A x1, y1 , B x2, y2 ．
（1）求曲线 E 的轨迹方程；
x2
（2）（结论：过椭圆 a2
y2 b2
1上一点
x0 , y0
的椭圆的切线方程为
x0 x a2
y0 y b2
1）利用结论解决以下
问题：设 O 为坐标原点，求 OAB 面积的最大值。
高二数学 2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
(2)如果△BMN 的重心 G (2，0) ，求直线 l 方程的一般式．
18.（12 分）已知以点 䁚h 䁚䁚h
h
且 h 䃊䁚为圆心的圆经过原点 O, 且直线
M,N, 圆心 圆原 ,
䁚 䁚求圆 C 的方程．
䁚
䁚若点 P x, y 在圆 C 上，求
x y
的取值范围。
x 1
䃊 与圆 C 交于
21（. 12 分）设 M
→→ 由三角形重心的性质知BF＝2FQ，
2＝2x0－2，
又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，即
故得 x0＝3，y0＝－2，即 Q 的坐标为(3，－2)．
－4＝2y0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且2x021 ＋1y621 ＝1，2x022 ＋1y622 ＝1，
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
3．已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)的焦距为 4，则双曲线的渐近线方程是(
)
A．y＝± 3x 3
B．y＝± 3x
C．y＝±2 3x 3
D．y＝± 3x 2