1-6 极限存在性定理与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
1-6 两个重要极限
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时31 分35秒 上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式一、夹逼定理夹逼定理是指在一些区间内，对于一个函数f(x)在其中一点x=c左右两侧或者趋近于x=c的时候，都存在一个函数g(x)和函数h(x)，并且有以下关系：f(x)≤g(x)≤h(x)，当x→c时，有g(x)→L，h(x)→L，则有f(x)→L。
夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个函数比所要研究的函数小，一个函数比所要研究的函数大，并且这两个函数的极限相等，则可以推导出所要研究的函数的极限存在，并且与这两个函数的极限相等。
夹逼定理的应用非常广泛，特别是在计算不定型极限、无穷小量极限时，往往可以利用夹逼定理来确定极限的存在与值。
例如，在计算sinx/x的极限的时候，我们可以认为0<x<π/2，因此有0<sinx<x<π/2，又因为sinx是一个有界函数，所以我们可以得到0≤sinx/x≤1，根据夹逼定理，当x趋近于0时，sinx/x极限存在并且为1二、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的有效方法。
对于形如f(x)/g(x)型的不定型极限，其中f(x)和g(x)作为函数分别在其中一点x=c处连续，且f(c)=g(c)=0或者都是无穷小量的时候，可以用洛必达法则来求解极限。
具体求解方法如下：1.计算函数f(x)和g(x)的导数，即f'(x)和g'(x)。
2.当f'(x)/g'(x)在其中一点x=c处极限存在且不为0时，即存在f'(c)/g'(c)的时候，可以得到极限lim(x→c)(f(x)/g(x))=lim(x→c)(f'(x)/g'(x))=f'(c)/g'(c)。
洛必达法则的基本思想是通过两个函数的导数的极限来推导函数的极限。
利用洛必达法则，我们可以求解许多常见的不定型极限，比如0/0型、∞/∞型、0×∞型等。
例如，我们求解lim(x→0)(sinx/x)的极限，我们可以计算该极限的导数，f(x)=sinx, g(x)=x，导数分别为f'(x)=cosx, g'(x)=1，那么根据洛必达法则，我们可以得到该极限lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=1总结：夹逼定理和洛必达法则是数学分析中两个非常重要的极限公式。
极限存在准则两个重要极限公式
判断函数在某一点处是否连续，证明等式的正确性等。
两个重要极限公式
欧拉数公式
将自然对数的底换成无限接近于0的数e，定义e的值 为2.7182818284……，它是数学中的一个重要常数。
皮亚诺公式
它是描述无限次幂和的累加值的公式，用于求解各 种数学问题。
极限存在准则的原理
1
收敛与发散
当自变量趋于某一值时，如果函数的极限存在，则它唯一确定一个函数值，否则 函数在该点不存在极限。
应用2 .1
被广泛应用于代数学、数论以 及工程科学等领域。
应用2 .2
可以帮助证明各种等式和不等 式，求解各种极限问题。
意义2
皮亚诺公式可以被看做是一种 特殊的求和方法，比直接算出 所有项的和更加便捷，对于极 限的计算也提供了重要的思路。
探索极限存在准则与两个 重要极限公式
极限存在准则是数学中一个重要的概念，它帮助我们理解极限的基本性质和 特征。两个重要的极限公式是极限存在准则的基础，通过它们我们可以推导 出许多重要的数学结论。
极限存在准则
1 定义
当自变量趋于某一值时，与之对应的函数值是否收敛于一个确定的值。
2 原理
存在两个重要的极限公式，它们是判断极限存在性的基础。
2
单调有界准则
若函数单调增加或单调减少并有界，那么它的极限一定存在。
3
夹逼准则
如果存在一个函数不动点，它上下夹逼着目标函数，且这两个函数的极限收敛于 同一值，那么目标函数的极限也收敛于该值。
两个重要极限公式的推导
欧拉公式推导
使用泰勒级数展开即可得到欧拉公式，这一公式在微积分、复变函数等领域都有广泛应用。
皮亚诺公式推导
可以使用递推公式或者级数求和的方式来推导皮亚诺公式，它在代数、数论、概率等领域都 有广泛应用。
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x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
9
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn 1 1 1 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数， loge x 记作 ln x .
可以证明，相应的函数极限有
"1 "
lim (1 x ) e
x 0
12
1 x lim (1 ) e 或 x x
1 x
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
2
解 原式 lim (1 cos x )
x / 2
4 cos x
2
e4 .
16
lim [1 ] e
1
13
14
例
1 x 求 lim(1 ) . x x
1 x 1 ) ] 解 原式 lim[(1 x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x 3 x 2x ) . 例 求 l i m( x 2 x 1 2 x 2 4 ) 解 原 式 lim(1 x x2 2 -4 1 x2 1 2 lim(1 ) 1 e . x x2 x2
15
2 x 求 l i m(1 ) . 例 x x x x 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] 2 e 2 . 解 原 式 lim x x x x
例
求 l im(1 cos x )
x 4 sec x
.
lim cos x 0
x
6
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
lim
sin
1
例
1 cos x 求 lim . 2 x 0 x
2 x x 2 2 x sin 2 sin si n 1 1 2 l i m 2 2 lim 原式 lim x 0 2 x0 x 2 x0 x 2 x2 ( ) 2 2 1 2 1 1 . 2 2
1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 1 2 k 1 ) 当 n 改为 n+1 时,上式通项 (1 ) (1 )(1 k! n n n
增大，且项数增加一项(每一项均为正),
un1 un .
10
其次,证明{un } 有上界：
1 1 1 1 2 un 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n 1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) ห้องสมุดไป่ตู้.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x 0 的某空心邻域内 （或无 穷远处）恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
例
sin x sin x lim sin x lim( x ) lim limx 0 . x0 x 0 x 0 x x x 0
tan x sin x 1 li m lim 例 x0 x 0 x x cos x sin x 1 lim lim 1. x 0 x x 0 cos x
7
解
下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：
1 n 2. lim (1 ) e n n
8
1 n lim (1 ) e n n
1 n {un } 单调增加 : 记 un (1 ) ，先证明 n
3 2 9 u1 2 , u2 ( ) 2 u1 , 当 n 2 时 , 2 4 1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 un (1 ) 1 C n C n 2 C n 3 C n n n n n n n
第六节 极限存在性定理与两个重要极限
一、极限存在定理
定理(夹逼定理)
如果数列 { xn }, { yn } 及 { zn } 满足下列条件：
(1) yn xn zn
n
(n N , N 1,)
n
( 2) lim y n A, lim z n A,
那么数列 { x n } 的极限存在, 且 lim x n A .