高一数学教案：苏教版高一数学余弦定理
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。
2. 余弦定理的定义及证明。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
4. 相关例题解析。
5. 实践练习。
三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。
2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。
3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。
4. 布置实践练习题，巩固所学内容。
五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。
4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。
5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。
4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。
七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
苏教版高中数学必修5-1.2《余弦定理》教学教案2
1.2 余弦定理教学目标：1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
教学重点：余弦定理及其发现和证明。
教学难点：余弦定理的证明。
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：powerpoint 与三角板教学过程：一．问题情境在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？（三个，其中至少有一边）问题1：已知两边一夹角，三角形能否确定？或者已知三边，三角形能否确定？ 探索活动1：（回归特殊）在Rt △ABC ，C=900，那么边与边之间有哪些关系？ 勾股定理：222b a c += （*）受（*）式启发，在锐角三角形中222b a c +<；在钝角三角形中222b a c +>。
问题2：那么a 与b 、c 之间是否仍然存在着“平方和”关系？猜想：B bc b a c cos 2222-+=。
二．理论建构探究活动2：如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b 。
∵+= ∴)()(+∙+=∙B222+∙+=22)180cos(||||2B +-∙+=22cos 2a B ac c +-= 即B ac a c b cos 2222-+=，同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。
问：你还可以用其他方法推导余弦定理吗？方法2：（几何法）在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，A B ＝c ，试根据b ，c ，A 来表示a 。
解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得： a 2＝CD 2＋BD 2，∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2，又∵BD 2＝（c －AD ）2＝c 2－2c·AD ＋AD 2，∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c·AD ，又∵在Rt △A ＤC 中，AD ＝b·cosA ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 。
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
高中数学第1章解三角形1.2余弦定理1教案苏教版必修
1.2 余弦定理（1）教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用；教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法： 发现教学法．教学过程：一、问题情境 在上节中，我们通过等式+=的两边与（AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc B b A a sin sin sin ==． 探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为AC BA BC +=（如图1），所以（（+⋅+=⋅ 222AC BA AC BA +⋅+=222cos 2)180cos(b A cb c A +-=+-︒+=AB C图1即 A bc c b a cos 2222-+=，同理可得 B ac c a b cos 2222-+=， C ab B a c cos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ．所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2所以，22222222(AC AD)AC AD 2AC AD BD a DC BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD AD AC cos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立． 同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==．所以 )cos cos sin sin 2sin cos cos (sin 4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a ++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin [sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin 4sin 42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．余弦定理也可以写成如下形式： bca cb A 2cos 222-+=， cab ac B 2cos 222-+=， abc b a C 2cos 222-+=． 探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值．解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ca b a c B ． 例 2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得 22222cos 2b a C ab b a c +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+．2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形（3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．练习答案：（1）32π=A （2）B （3）32π=C 五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义和意义，掌握余弦定理的表达式。
2. 培养学生运用余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：余弦定理的定义和表达式，运用余弦定理解决三角形问题。
2. 教学难点：余弦定理的推导过程，运用余弦定理解决复杂三角形问题。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究余弦定理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三角形中余弦定理的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括余弦定理的定义、表达式和应用实例。
2. 准备几何画板或实物模型，用于展示三角形中余弦定理的应用。
3. 准备相关练习题，用于巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，引导学生理解余弦定理的意义。
3. 实例演示：利用几何画板或实物模型，展示三角形中余弦定理的应用。
4. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用余弦定理解决实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 练习巩固：让学生解答相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固余弦定理的应用。
六、教学延伸1. 引导学生思考余弦定理在实际生活中的应用，例如测量三角形的角度、计算三角形的面积等。
2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义、表达式和应用。
2. 强调余弦定理在解决三角形问题中的重要性。
八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，巩固余弦定理的知识点。
九、教学反馈1. 在下一节课开始时，检查学生的作业完成情况，了解学生对余弦定理的掌握程度。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》
余弦定理江苏省奔牛高级中学蒋亦【教学目标】知识与技能〔1〕掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕理解余弦定理可解的三角形类型.过程与方法（1）通过复习引出问题，经历特殊到一般的过程探究余弦定理；（2）通过对余弦定理结构特征的观察，多角度证明余弦定理；（3）通过数学应用总结出余弦定理可解的三角形类型.情感、态度与价值观经历提出问题、探究问题、解决问题的过程发现余弦定理，在应用余弦定理过程中总结规律.以问题驱动课堂，激发学生学习热情，在探究中培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，激发学生数学兴趣.教学重点：发现、证明和应用余弦定理教学难点：证明余弦定理【教学过程】复习引入前面学习了正弦定理，用正弦定理可以解两类三角形（1）两角一边 AAS,ASA〔唯一〕（2）两边及其一边对角 SSA〔不确定〕根据初中三角形全等的知识，还有那些类型的三角形也是确定的？〔SAA,SSS〕追问：能用正弦定理解吗？仅以SAS为例，比方，用正弦定理无法求解三角形.问题情境（1）在中,求;（2）在中,求.生：〔化归为直角三角形求解…〕追问：一般的，在中,如何表示生：〔化归为直角三角形求解…〕〔师板书〕余弦定理符号：追问1：你能否用文字语言表达上面表达式？文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角余弦积的两倍.追问2：仔细观察余弦定理的结构特征，怎样才能既迅速又准确的记住？生：…〔师小结〕等式左边是一边的平方，右边类似另两边差的完全平方展开式，但是乘积项多了这夹角的余弦值.追问3：两边及其夹角余弦的乘积，让你想起了哪个知识？〔数量积〕是哪两个向量的数量积？〔〕如何构造问题2.试用向量数量积知识证明：生：…（3）师：请用余弦定理求解问题情境〔2〕在中,求.〔小结〕余弦定理也可以写成如下形式：小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？生：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边及夹角，求第三边和其他两个角；〔3〕两边及其一边对角.追问：结合上节内容“正弦定理〞常见可解三角形类型及其方法？例1.两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离.练习3.〔1〕在中，，求角〔2〕在中，，求角例2.用余弦定理证明：当是锐角时，；当是钝角时，〔小结〕设是最长的边，那么在中，为直角，是直角三角形；为锐角，是锐角三角形；为钝角，是钝角三角形.课堂小结：这节课学了哪些数学知识和思想方法？1.一个定理，两种证法；一个推论，两种应用〔SAS,SSS〕；2.常见解三角形类型及其解法SSS——余弦定理 SAS——余弦定理 AAS,ASA——正弦定理 SSA——正弦〔或余弦〕定理可解三角形——三要素〔至少一边长〕；3.解三角形方法的本质是方程思想.。
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第二课时余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一教学重点：余弦定理证明及应用• 教学难点：1. 向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2•余弦定理在解三角形时的应用思路. 教学过程：I •课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题•当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，C1) ⑵⑶如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在厶ABC中，设BC = a, AC= b, AB = c,试根据b, c, A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△ BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt A ADC内求解•解：过C作CD丄AB，垂足为D，则在Rt A CDB中，根据勾股定理可得:a2= CD2+ BD2•/在Rt△ ADC 中，CD2= b2—AD2又••• BD2= (c—AD)2= c2—2c • AD + AD2••• a2= b2—AD2+ c2—2c- AD + AD2= b2+ c2—2c • AD又•••在Rt A ADC 中，AD = b • cosA2 2 2• a = b + c —2bccosA类似地可以证明b2= a2+ c2—2accosB(C = a?+ b?—2abcosC另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2= b2+ c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，n •讲授新课1•余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：2 2 2a =b +c —2bccosA,b2= c2+ a2—2cacosB, c?=a?+ b?—2abcosC.形式二：b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2cosA= 2bc ，cosB= 2ca ，cosC= 2ab •在余弦定理中，令 C = 90 °，这时，cosC= 0,所以c2= a2+ b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广•另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用2. 向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢向量数量积的定义式： a • b=| a || b | cos0，其中B 为a、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦•当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角c,则构造CB • CA这一数量积以使出现意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则可得A C=A B + BC,••• AC • AC=(AB+ BC)• (A B + BC)=AB2+ 2AB • BC + BC2=| AB | 2+ 2 | AB II BC I cos(180°—B)+| BC I 2=c2—2accosB + a2即b2= c2+ a2—2accosB由向量减法的三角形法则可得：cosC.同样在证明过程中应注BC= AC-AB■ BC • BC= (AC—AB) • (AC—AB)=AC2—2A C• A B + A B2=| AC | 2—2 | AC | | AB I COSA+I AB I 22 2=b —2bccosA + c即a2= b2+ c2—2bccosA由向量加法的三角形法则可得A B= AC + CB = AC—BC■ AB • AB= (AC—BC)• (AC —BC)=AC2—2AC • BC + BC2—> 2 ~> —> —> 2=| AC | 2— 2 | AC | | BC | cosC+ | BC | 2=b2—2bacosC + a2.即c?= a?+ b?—2abcosC评述：（1）上述证明过程中应注意正确运用向量加法（减法）的三角形法则AC与AB属于同起点向量，则夹⑵在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定, 角为A；AB与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180°—B；AC与BC是同终点，则夹角仍是角C.在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结3. 例题评析［例1］在厶ABC中，已知a= 7, b= 10, c = 6,求A、B和C.（精确到1° ）分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式解：••• cosA = 7=0.725」A~44°2bc 2X10 >6a 2 +b 2—c 2 72+ 102— 62 113••• cosC = = = = 0.8071，二 C ~ 36°2ab 2 X7 X10 140 ' ••• B = 180° — (A + C)~ 180°— (44°+ 36° )= 100° .评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为 定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算 .［例2］在厶ABC 中，已知a = 2.730 , b = 3.696, C = 82° 28'，解这个三角形(边长保留 四个有效数字，角度精确到1').分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边 第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二 是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而 在0°〜180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好解：由 c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC = 2.7302+ 3.6962— 2 X 2.730x 3.696X cos82° 28' 得 c = 4.297.b 2+c 2— a 23.6962+4.2972— 2.7302「cosA = 葢 =2 X3.696 X .297=。
刀67」A = 39 °2'• B = 180 ° — (A + C)= 180°— (39° 2 ' + 82° 28' )= 58° 30 '.评述：通过例 2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用， 那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦［例 3］已知△ ABC 中，a = 8，b = 7，B = 60°，求 c 及 S A ABC . 分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A ，再结合三角形内角和定理求出角 1再利用正弦定理求出边 c ,而三角形面积由公式® ABC = 2 acsinB 可以求出•若用余弦定理求 c ，表面上缺少 C ，但可利用余弦定理 b 2= c 2 + a 2 — 2cacosB 建立关于c的方程，亦能达到求 c 的目的•下面给出两种解法• • A 1 = 81.8 °，A 2= 98.2 °• 0 = 38.2°，C 2= 21.8°，解法二：由余弦定理得2 2 2b =c + a — 2cacosB• 72= c ?+ 8?— 2 x 8 x ccos60整理得: c 2— 8c + 15= 0解之得:c1 =3， c2=5，•- S SBC = | adsinB = 6也，或 S AABC = * ac 2SinB = 10也.180。
，可用余弦•在解法由正弦定理得8 si nA 7sin6070 sin60csi nC，得 C 1 = 3，c 2= 5 S ^ABC = 1 ac 1SinB = 6 . 3 或 S ABC = ac 2SinB = 10 3cosA =(2 ) 2+(3 + 1) 2 — 222 迈(V3 + 1)—A = 45评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及 解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1° ) (1) a = 31, b = 42, c = 27; (2) a = 9, b = 10, c = 15. ”,b 2+c 2— a 2解：(1)由cosA = 得 2bc 2 2 242 + 27 — 31 cos A = 2 >42 X 27由 B c 2+ a 2— b 2 由 cosB = 2ca〜0.6691,— A 〜48°〜0.0523, —B ~ 93°—C = 180 °— (A + B)= 180° — 2 2 2b +c — a ⑵由cosA = 云 得102+ 152— 92 cosA== 0.8090,(48 °+ 93° 戶 39°2 X10 X 5—心 36°评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有 耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从 而运用方程的观点去解决•故解法二应引起学生的注意•综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角 或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的 解法•为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习 川•课堂练习 1•在△ ABC 中：⑴已知 b = 8, c = 3, A = 60°，求 a ;⑵已知 a = 20, b = 29, c = 21,求 B ; ⑶已知 a = 3.3 , c = 2, B = 150°,求 b ;⑷已知 a = 2, b = ■ _ 2 , c = . 3 + 1,求 A. 解：(1)由 a 2= b 2+ c 2— 2bccosA 得 a 2= 82+ 32— 2 x 8 x 3cos60°= 49,— a = 7.2 i2.2c + a — b⑵由cosB =得202+ 212-2922X 20X 21=O ,— B = 90°⑶由 b 2= a 2 + c 2— 2accosB 得b 2= (3 3 )2 + 22 — 2X 3 3 X 2cos150°= 49,— b = 7.2 2 2b +c — a ⑷由cos A = 2b c 得舟 c 2+ a 2- b 2 由cosB = 得2ca92 + 152- 102cosB = 2 刈 X15 =0.7660，- B ~ 40°••• C = 180°— (A + B)= 180°— (36°+ 40° 戸 104°评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器 进行较复杂的运算•同时，增强解斜三角形的能力 •IV •课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具 性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已 知两边一夹角解三角形•V •课后作业课本习题P i6 1 , 2, 3, 4.解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已 知的(其中至少有一个元素是边 )，那么这个三角形一定可解•关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：A 、B 、a 解厶 ABC.C ； ②根据~~ = ~及~i~ = ~^CsinA si nB sinA sinC 如果已知的是两角和它们的夹边，女口 解•求解过程中尽可能应用已知元素.(2) 已知两边和它们的夹角，女口 a 、b 、6解厶ABC. 解：①根据 c 2= a 2+ b 2— 2abcosC ，求出边c ; b 2 + c 2— a 2② 根据cosA = 2^^ ，求出角A ; ③ 从B = 180° — A — C ，求出角B.求出第三边c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝 角还是锐角，应先求 a 、b 较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解(3) 已知三边a 、b 、6解厶ABC. 解：一般应用余弦定理求出两角后，再由 A + B + C = 180°，求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角， 但仍然需注意要先求较小边所对的锐角⑷已知两边及其中一条边所对的角，如 a 、b 、人，解厶ABC.解：①根据siOA =金，经过讨论求出B ；(1)已知两角及其中一个角的对边，如 解：①根据A + B + C = n ，求出角 ，求 b 、c ;A 、B 、c ,那么先求出第三角C ,然后按照②来求②求出B 后，由A + B + C = 180。