数据的离散程度练习

数据的离散程度

二.学习目标：

1.掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2.了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。

三.重点：

极差的定义，方差、标准差的应用。

四、难点：

会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。

五、课堂教学：

（一）知识要点

知识点1：表示数据集中趋势的代表

平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表

极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子

在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义

在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即

T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义

在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即

S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差

方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

，平均数是，则有

，平均数是+b

a

a+b

这组数据的中位数。

平均数是

中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数

时，

时，（舍去）

时，∴

甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；

乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。

（1）哪种棉花长得较高？

（2）哪种棉花长得较齐？

解：（1）（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30

（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31

∵＜

∴乙种棉花长得高

（2）

∵＜

∴甲种棉花长得整齐

例5.小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。（精确到0.01）

解：极差=14－12=2

例6.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）

甲的成绩76849086818786828583

乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：

（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。

（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为，乙的优秀率为。

解：（1）86，83

（2）＞

（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定

（4）50%，40%。

例7.已知：x1，x2，…x n的平均数是，标准差是S x。3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数是，标准差是S y，试说明：

（1）=3+5

（2）S y=3S x

解：（1）

（2）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（）

A. 10

B. 9

C. 11

D. 12

2.甲、乙两个样本中，则两个样本的波动情况是（）

A.甲的波动比乙大

B.乙的波动比甲大

C.甲、乙波动一样大

D.无法比较

3.如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（）

A.极差和方差

B.极差和标准差

C.方差和标准差

D.以上都不对

5.一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（）

A. B. S2 C. 2S2 D. 4S2

6.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：

=2.4，=3.2，则射击的稳定程度是（）

=，则

97，103

），= ），=

15.在一次中考模拟考试中，某校初三（

1. C

2. A

3. B

4. C

5. D

6. A

7. 15 8. 1.73m 9. 4S210. 3 11. 2 0.8 0.89

12. 4

13.（1）100，5.80，33.6 （2）100，10.49，110

14.解：乙的成绩更稳定些。

因为：

所以乙的成绩更稳定些。

15.解：平均成绩均为80分，故两班成绩一样好。

∵∴（2）班成绩较为整齐。

故（2）班的成绩较好。

16.解：（1）由中位数可知85分排在第25位以后，从位次上讲不能说85分是上游。但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得85分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。

（2）初三（1）班成绩的中位数为87，而平均分为79分，标准差很大，说明两极分化严重。建议：采取措施，加强“帮扶”工作。

初三（2）中位数和平均分都是79分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。

建议：采取措施，“提优”工作要加强