数据的集中趋势与离散程度中考考点分析.doc
数据的集中趋势和离散程度(名师总结)
数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就到达90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,那么第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,假设把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。
那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个〔或几个〕数据就可以了．当一组数据中有数据屡次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，那么他们得分的中位数是【 】A 、100 B 、90 C 、80 D 、70 例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么5个整数可能的最大的和是【 】A 、21 B 、22 C 、23 D 、24例14：10名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么这一组数据的众数是【 】A 、15 B 、17 15 C 、14 D 、17 15 14 例15：〔1〕计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.〔2〕哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数〔或处在最中间的两个数的平均数〕．一组数据中的中位数是唯一的． 注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第21+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第2n 、12+n 个数据的平均数为中位数．例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【 】A ．200千克，3000元B ．1900千克，28500元C ． 2000千克，30000元D ．1850千克，27750元〔1〕该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？〔2〕这组数据的中位数、众数分别是多少?〔3〕请你根据〔1〕、〔2〕的结果，用一句话谈谈自己的感受．【知识点2】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大方差越小数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，那么该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，那么这组数据的极差和标准差分别是【 】A 4，2B 4，2C 2，10D 4，10三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差. 例19：数据90，91，92，93的标准差是【 】〔A 〕 2 〔B 〕54 〔C 〕54 〔D 〕52✪注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比拟两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例20：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：〔单位：cm 〕甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例21：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8次选拔比赛.他们的成绩〔单位：m 〕如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m 才能得冠军呢？。
数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题
数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题作者：薛飞来源：《初中生世界·九年级》2016年第10期《数据的集中趋势与离散程度》这一章中我们主要学习了体现数据集中趋势的三种“数”——平均数、中位数和众数以及体现数据离散程度的两种“差”——极差与方差.平均数分“算术平均数”与“加权平均数”，我们重点理解加权平均数.加权平均数重在理解什么是“权”.课本中是这样定义“权”的：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做“权”.例1 学校食堂午餐供应3元、4元和5元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格.【分析】这个题目给出的两组数据分别是：①午餐盒饭的价格为3元、4元和5元；②不同价格的盒饭所占的比例.题目最后要求的是午餐盒饭的平均价格，也就是说第①组数据是题目研究的数据对象，第②组数据中盒饭所占的比例是“权”.解：该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为[15%×5+25%×3+60%×415%+25%+60%]=3.9（元）.答：该月食堂销售的午餐盒饭的平均价格为3.9元.求中位数的一般步骤：①把数据从小到大排列；②若该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，若该数据含有偶数个数，位于中间位置的两个数的平均数就是中位数.例2 有奇数个数据10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求这一组数据的中位数.【分析】把这组数据按从小到大的顺序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90，该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，所以该组数据的中位数为40.例3 一组数据分别为1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求这组数据的中位数.【分析】首先把这组数据按从小到大的顺序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，该组数据共有10个，所以第5个和第6个数据的平均数4.5为中位数.【点评】中位数的求法一定要注意先排序，后根据总数的奇偶来找出中位数，从例3中可以看出中位数4.5并不是原始数据，所以中位数也不一定是原始数据中的一个.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数可以没有，可以只有一个，也可以有多个.例3 一次数学测验后，老师将全班40名学生的成绩整理后绘制成频数分布直方图，判断下列命题正确的是.①全班成绩的中位数在84～96这一组；②全班成绩的众数在84～96这一组.【分析】命题①正确，命题②在判断众数的时候往往会掉入陷阱，看到84～96这一组最高，所以众数确定就在这一组.举个反例便知错在哪里：84～96之间一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72～84这一组中的9人分数都是80分，显然全班成绩的众数不在84～96这一组，所以这题正确的只有命题①.极差概念简单，通俗地说就是最大数据与最小数据的差，反映了一组数据的变化范围.例4 某位射击运动员射击5次命中的环数分别为6，7，9，10，8，求极差.【分析】找出最大值和最小值即可，最大值为10环，最小值为6环，所以极差为10-6=4.描述一组数据的离散程度还有方差，方差的计算公式：s2=[ （x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n].例6 为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.（1）将下表填写完整：（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这6次射击成绩的方差会 .（填变大或变小或不变）【分析】通过计算得出甲乙两人的平均数都是8环，但是甲的极差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越稳定，所以教练会选择发挥较为稳定的甲参加比赛.第（3）问的解决需要用到方差的计算公式，原来5次射击的方差是这样计算的s2（5次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）25]，增加一次8环的射击后，方差计算变成s2（6次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）2+（8-8）5+12].不难发现分子虽然增加了一项，但是分子的值并没有变化，但是分母却变大了，所以分子不变，分母变大，最终方差变小.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。
中考复习第20课时：数据的集中和离散程度
第一轮复习第20课时：数据的集中和离散程度【课前预习】一、知识梳理：1、数据的集中程度：①平均数（加权平均数）；②中位数；③众数．2、数据的离散程度：①极差；②方差；③标准差．二、课前预习：1、已知一组数据为：8，9，7，7，8，7，则这组数据的平均数、中位数、众数分别为__ 、、_.2、小明数学平时成绩为80分，期末成绩为90分.按“平时成绩占40%，期末成绩占60%”的比例计算，则小明的数学成绩为 .3、一家鞋店对上周某一品牌女鞋的销售量统计如下：该鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是( )A．平均数 B．众数C．中位数D．方差4、若一组数据10，10， x，8的若平均数和众数相等，则这组数据的中位数是_______．5、某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是环，中位数环，极差是环,方差是环2．6、甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x乙＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较7、已知一组数据x1、x2、x3、…x n的平均数是m、方差是n，则另一组新数据ax1+b、ax2+b、ax3+b、…ax n+b的平均数为、方差是、标准差是．8、已知数据x1、x2、x3的平均数是a，据y1、y2、y3的平均数是b，则3x1+4y1，3x2 +4y2，3x3 +4y3的平均数是．【解题指导】例1 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t ），并将调查结果绘成了如下的条形统计图．（Ⅰ）求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t 的约有多少户．例 2 某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向“希望工程”捐献图书,全班40名同学共捐图书320册．特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书. 班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：⑴ 分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由．例 3 在暑假开展的社会实践活动中，•小丽同学帮助李大爷统计了一周内卖出A 、B 两种品牌雪糕的数量，记录数据如下表：户数月均用水量/t（1）请你用统计表提供的数据完成右表；（2）若A 种雪糕每支利润0.20元，B 种雪糕每支利润0.15元，•请你根据题中提供的信息，对李大爷购进雪糕提出建议，并简述你的理由．【巩固练习】1、刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（ ） A ．众数 B ．方差 C ．平均数 D ．频数2、某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的 ．3、数据1、5、6、5、6、5、6、6的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．4、在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170、162、155、160、168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米．5、甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分） 甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数； （2）分别计算这两组数据的方差； （3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【课后作业】 班级 姓名 一、必做题：1、老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是2甲S ＝51、2乙S ＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填“甲”、“乙”中的一个）．2、有一组数据如下: 3, a , 4, 6, 7. 它们的平均数是5，那么这组数据的方差为_________．3、2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款．有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 .4、一组数据3,x,0,－1,－3的平均数是1，则这组数据的极差为 ．5、据x 1,x 2,x 3,…x n 的的平均数是x ，则(x 1 - x)+(x 2 - x)+…+(x n -x)= ．6、已知数据x 1、x 2、x 3的平均数是5，方差是2，则另一组新数据2x 1+3、2x 2+3、2x 3+3平均数为 、方差是 、标准差是 ．7、为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里做了如下记录：其中w <50时空气质量为优， 50≤w ≤100时空气质量为良，100<w ≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为 天．8、如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差甲2S ，乙2S 之间的大小关系是 ．9、某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图. 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．7、7 B ． 8、7.5 C ．7、7.5D ． 8、610、说法中：①一组数据不可能有两个众数；②将一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，方差恒不变；③随意翻到一本书的某页，这页的数码是奇数，这个事件是必然发生的；④要反映西昌市某一天内气温的变化情况，宜采用折线统计图。
数据的集中趋势与离散程度(非常全面)
练习：P133页 练习
问题：某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表。
郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
C
7
10
0.21
0.18
这个市郊县人均耕地面积是多少（精确到0.01公顷）
小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
0.15 0.21 0.18 x 0.18(公顷 ) 3
请问此商场的经理关注的是这组数据的平均数 吗？他关注的是什么？为什么？如果你是经理， 你将如何调整这种冰箱的进货数量呢？
1、计算平均数的时候，所有的数据都参加运 算，它能成分利用数据所提供的信息，在现实 生活中较为常用；但它容易受到极端值的影响.
2、中位数的优点计算简单，受极端值的影响 较小，但不能充分利用所有数据的信息.
3、一组数据中某些数据多次重复出现时，众 数往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据 的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意 义.
2、八年级某班的教室内，三位同学正在为谁的数学成绩 最好而争论，他们的5次数学成绩分别是:
小华 72 84 95 98 95
小明
62
62
97
99
100
小刚
40
72
80
100
有人对展览馆七天中每天进馆参观的人 数做了记录，情况如下： 180，176，176，173，176，181，182 求这组数据的中位数和众数.
8、如下表是统计某一城市7月份的每天的气温情况统 计表，求7月份的气温的众数.
气 温 ℃ 天 数
2 1 2 3 2 4
2 6 2
2 7 3
2 8
2
2 9
4
上面的平均数0.17称为3个数0.15、0.21、018的加权平均数， 三个郊县的人数（单位是万），15、7、10分别为三个数据 的权
九年级数学数据的集中趋势与离散程度3.1-3.2
3.1平均数（1）教学目标1．知道算术平均数的意义，会求一组数据的算术平均数；2．理解平均数的简化计算方法，并会简单应用；3．通过平均数的不同计算方法解决实际问题，进一步增强统计意识和数学应用的能力．教学重点掌握算术平均数的概念．教学难点理解算术平均数的概念，会求一组数据的算术平均数．教学过程情境创设投影展示一组篮球比赛画面．在篮球比赛中，队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队员的身高？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？探索活动活动一：小明和小丽所在的A、B两个篮球队的同学身高如下：问题：1．你能从直观上判断出哪个组同学的身高吗？2．能否借助各组同学的身高之和作出判断？为什么？3．哪个小组的同学平均身高较高？4．你是如何判断的？自主归纳在学生发言的基础上，教师归纳总结，给出算术平均数的定义．一般地，如果有n个数，x1，x2，…，x n ，我们把x＝x1+ x2+…+ x nn．叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数．“x”读作“x拔”．活动二：5．你是如何计算A、B两组同学的身高的？并说说你这样做的理由？引导学生回答：当一组数据中的某些数据重复出现时，可用学生一的方法计算．当一组数据中的每个数据都较大，并且都接近于某一个数时，可用学生二的方法计算．例题精讲体操比赛7位裁判给某选手的打分如下：9.8 ，9.5，9.5 ，9.5，9.3，9.2，8.5．算一算这位选手的平均得分．如果去掉最高分和最低分，那么余下的5个得分的平均分是多少？练一练1．小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽这周每天的平均睡眠时间是_________ 小时．2．一组数据85，80，x，90，它的平均数是85，则x＝_________．3．一组人出去采集标本，其中每人采6件的有2人，每人采3件的有4人，每人采4件的有5人，求平均每人采集标本数．拓展延伸在学校开展的“数学文化”知识竞赛中，我班派了6位同学参加比赛，共有三种得分：85分，80分，90分，你能求出这6位同学的平均分吗？畅所欲言1．谈谈你对平均数的认识；2．用“平均数”写一段关于自己的描述.课后作业习题3.1第1，2题.课堂练习：1、右图是一个水泥厂2008年上半年每月产量的条形统计图，读图填空。
数据的集中趋势与离散程度
（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。
一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b同步练习：1为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。
（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。
（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。
第20章数据的集中趋势和离散程度复习总结
习题：
(1)计算八·二班学生有多少件作品获奖？ (2)求出八·二班获奖作品的平均成绩。 (3)求出获奖作品成绩的众数和中位数。
极差：
1、极差的意义 2、极差的计算方法：
方差：
1、方差的意义 2、方差的计算方法
标准差：
1、标准差的意义 2、标准差的计算方法
方差的运算性质：
预习检测：
数据的离散程度是数据分布的另一个重要 特征，它所反映的是各个数据远离其中心 值的程度，可利用极差、方差、标准差 等刻 画一组数据的离散程度。
平均数：
1、平均数的意义 2、平均数的计算方法：
中位数：
1、中位数的意义 2、中位数的计算方法
众数：
1、众数的意义 2、众数的计算方法
平均数、中位数、众数的异同点：
相同点有哪些？ 不同点有哪些？
梳理：
1.若数据 x1,x2,,xn,则平均数=
。
2.若n个数据中x1出现f1次,x2出现f2次,…xn出现
x1fn次,则平均数=。3.一般地,个数据按大小顺序排列,处于 的
一个数据(或
)叫做这组数据的中位数.
4.一般地,一组数据中出现次数
数据的集中趋势和 离散程度
单元整理和复习
复习回顾：
集中 趋势
平均数 中位数 众数
离散 程度
极差 方差 标准差
用
样本平均数
样
估计
本
总体平均数
估
计
样本方差
总
估计
体
总体方差
复习提纲：
1、数据的集中趋势的三个特征数 2、数据的离散程度的三个特征数 3、用样本估计总体
预习检测：
数据的代表是指利用平均数、中位数、众数等 刻画一组数据的集中趋势。所谓集中趋势 是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向， 测量集中趋势就是寻找数据一般水平的代 表值或中心值。
第3章《数据的集中趋势和离散程度》知识讲练(学生版)
20232024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：平均数1.算术平均数一般地，如果有n 个数，那么=12+nx x x n++…叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x 拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.细节剖析：平均数的大小与一组数据里的 有关系，其中任一数据的变动都会引起 的变动，所以平均数容易受到 的影响. 2.加权平均数一组数据的平均数，不仅与这组数据中 的值有关，而且与各个数据的 有关.我们把衡量各个数据 叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做 .加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这12n x ,x ,x ,…x x 1x 1f 2x 2f 3x 3f k x k f组数据的平均数为，则 （其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就 .加权平均数的分母恰好为细节剖析：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越 .（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的知识点02：众数和中位数1.众数叫做这组数据的众数.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述细节剖析：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能 （2）众数是一组数据中 据而不是 2.中位数一般地，将一组数据按 排列，如果数据的个数是奇数，那么处于 叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于 叫做这组数据的中位数.当一组数据中 ，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的中位数是 的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数和众数都反映了区别：平均数容易受 的影响；中位数与 有关，个别数据的波动对 没影响；众数主要研究各 ，当一组数据中 出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用 作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.x 1f 2f 3f k f k f k x一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新吴区二模）已知一组数据：2019、2021、2023、2023、2024这组数据的中位数和众数分别是（）A．2022、2023 B．2022、2022 C．2023、2022 D．2023、20232．（2分）（2023•锡山区校级三模）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022﹣2035年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）决赛成绩/分100 95 90 85人数/名 1 4 2 3A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，1003．（2分）（2023•泗洪县二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．6 B．2 C．8 D．74．（2分）（2022秋•太仓市期末）在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（）A．7 B．14 C．10 D．175．（2分）（2023•秦淮区二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定6．（2分）（2023•淮安区校级二模）超市里五种型号的书包价格分别为50，60，80，90，110（单位：元），降价促销后，每种型号书包价格都降了10元．降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．（2分）（2023•邗江区二模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④8．（2分）（2023•兴化市一模）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中m、n是正整数下列结论：①当m＝n时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当m＝n 时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④9．（2分）（2023•东海县一模）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变10．（2分）（2022秋•亭湖区期末）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：金额（元）20 30 50 100 200a人数（人） 5 16 10 6 5根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．16元，50元B．30元，30元C．30元，40元D．30元，50元二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•工业园区校级模拟）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的中位数是．12．（2分）（2023•宝应县校级三模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是．13．（2分）（2023•宿城区校级模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．甲乙丙丁8 9 9 9s20.8 3 0.8 1.6 14．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）上表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员人．15．（2分）（2023•邗江区校级模拟）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为，则（填“＞”，“＝”或”＜”）16．（2分）（2023•海陵区校级模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表：项目应聘者甲乙丙学历9 8 8能力7 6 8态度 5 8 5公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是．17．（2分）（2023•清江浦区校级三模）小云统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的中位数是．18．（2分）（2023•广陵区校级四模）在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是．19．（2分）（2022•扬州模拟）某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是．20．（2分）（2022秋•玄武区期中）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分70 80 90数）将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•亭湖区校级期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）八（1）班：8，8，7，8，9八（2）班：5，9，7，10，9学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：班级平均数众数中位数八（1）8 b c八（2）a9 9根据以上信息，请解答下面的问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．22．（6分）（2023•广陵区校级模拟）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年泰州市从5月8日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月7日的日平均气温是这5天中第一个大于或等于22℃的，则5月7日便是2021年泰州市的“入夏日”．已知我市2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日及其前后各两天的“5天滑动平均气温”；（2）请判断2022年的“入夏日”；（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，泰州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（泰州市2021年、2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）23．（8分）（2023•东海县二模）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷和结果描述如表：调查问卷（部分）1．你每周参加家庭劳动时间大约是_____h．如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____（单选）．A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其它中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第组；（直接写出答案）（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数是；（直接写出答案）（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图．对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．24．（8分）（2023•南京三模）对小明家去年8月份至今年4月份的月用水量以及当地这9个月的月平均气温进行了统计，得到如所示的统计图表．小明家去年8月份至今年4月份的月用水量统计表月份用水量（吨）8 329 3010 1811 1012 81 52 83 114 13（1）求小明家去年8月份至今年4月份的月平均用水量；（2）据有关部门预计，今年5月份当地平均气温为16℃结合相关信息，估计今年5月份小明家的月用水量，并从两个不同角度说明理由．25．（8分）（2023•启东市二模）某校举行“疫情防控”知识问答竞赛，每班选20名同学参加比赛，根数据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；（2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值：a＝，b＝；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）甲班a 4 4乙班 3.6 3.5 b（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．26．（8分）（2023•亭湖区校级三模）为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了八、九年级部分学生的分数，过程如下：收集数据：从该校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中九年级的分数如下：81 83 84 8586 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100整理、分析数据如下表：分数x80⩽x＜85 85⩽x＜90 90⩽x＜95 95⩽x⩽100 八年级人数 4 6 2 8九年级人数 3 a 4 7年级平均数中位数众数方差八年级91 89 97 40.9九年级91 b c33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）样本数据中，八年级甲同学和九年级乙同学的分数都为90分，哪位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前？哪个年级分数较整齐？（说明理由）（3）如果八年级共有400人参赛，求该年级分数不低于95分的学生约有多少人．27．（8分）（2023•海门市二模）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年某地区从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月26日的“日平均气温”是月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的，则5月26日便是2021年该地区的“入夏日”．已知该地区2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日的“5天滑动平均气温”；（2）直接写出2022年的“入夏日”；（3）某人说：“该地区2022年的春天比2021年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（该地区2021年、2022年的入春日分别是3月23日和3月8日）28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；（2）根据下表填空：a＝；b＝；c＝；平均数（分）中位数（分）众数（分）一班a b90二班87.6 80 c（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．。
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身高（cm ） 180186 188 192 208则该校篮球班21名同学少高的众数和屮位数分别是（单位:cm)(186, 186 186, 187 186, 188208, 188180, 180, 178180, 178, 178品牌甲销信量（瓶）12建议学校商店进货数量最多的品牌是（A ）屮品牌 （B ）乙品牌7.我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温（°C ） 25 26 27天数112贝U 这组数据的屮位数与众数分别是（乙丙 丁321343( )（C ）丙品牌（D ） 丁品牌283A. 27, 28B. 27.5, 28C. 28, 27D. 26.5, 27 数据的集中趋势与离散程度中考考点分析3.某校篮球班21名同学的身高如下表:人数（个）44•体育课上测量立定跳远,其中_组六个人的成绩（单位：米）分别是:1.0, 1.3, 2. 2, 2. 0,1. 8, 1.6，则这组数据的屮位数和极并分别绘（A. 2. 1, 0. 6B. 1. 6, 1. 2C. 1. & 1.2D. 1.7, 1.25•今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单 位：个/分钟）.176 180 184 180 170 176172 164 186 180该组数据的众数、屮位数、平均数分别为（）C. 180, 178, 176.8D. 178, 180, 176.86.学校商店在一段时间内销伟了四种饮料共100瓶，各种饮料的销伟量如下表:集中趋势 1.数据b 2,3, 4, 5的平均数是A. 1B. 2C. 3D. 42.某车间5名工人LI 加丁零件数分别为6,10, 4, 5, 4, 则这组数据的屮位数是（A.4B. 5C.6D. 10A.屮位数B.众数C.平均数D.极差9.多多班长统计去年1〜8月“书香校园”10•图（四）为某班甲、乙两组模拟考成绩的盒状图。
若甲、乙两组模拟考成绩的组距分别为臼、5中位数8•某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了白己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）活动屮全班同学的课外阅读数最（单位：木），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（）（A ）极羌是47 （R ）众数是42（C ）中位数是58（D ）每月阅读数量超过40的有4个月分别为c 水则臼、b 、c. 〃的大小关系，下列何者正确?A. a<b 且 c>dB. a<b 且 c<dC. a>b 且 c>dD.a>b 且11 •表（二）为某班成绩的次数分配表。
已知全班共有38人，且众数为50分，屮位数为60分，求x 2-lyZ 值为何？期二）成M （分） 2040 50 60 70 90 100 夬It （人）2 3 5 X 6 y 3 4A. 33B. 50C. 69D. 9012•表（一）为72人参加某商店举办的单手抓糖果活动的统计结果.若抓到糖果数的中位数为生众数为b, 则日+力之值为何？抓到检果緻（颗） 5 6789 10 11 12 13 14 15 欢朝（人）376 1011 8 13 7 1 4 2fM乙姐0 20 40 6080100 成"（分）/（四）A. 6, 6. 5B. 6, 7C. 6,7. 5 D ・ 7, 7. 513・“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg,伟货员任选6袋进行了称重检验，超过标 准重量的记作“ + ”，不足标准重量的记作“”，他记录的结果是+0.5 , -0.5 , 0 , -0.5 , -0.5 , +1 , 那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是• •A. 0, 1.5B. 29.5, 1C. 30, 1.5D. 30.5, 014.孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：评委代号 I II IIIIVV VI评分859080959090则孔明得分的众数为（）A. 95B. 90C. 85D. 8015•有一纟R 数据：3, 4, 5,6,6,则下列四个结论正确的是 A. 这纽•数据的平均数、众数、中位数分别是4. & 6, 6 B. 这纽数据的平均数、众数、中位数分别是5, 5, 5 C. 这组数据的平均数、众数、屮位数分别是4. & 6, 517•某市2011年5月1日〜10日十天的空气污染指数的数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61, 75, 这20户家庭用电量的众数、屮位数分别是（ ） 70 , 56 , 81 , 91 , 92 , 91 , 75 , 81 .那么该纽数据的极差和屮位数分别是（）A.屮位数是6B.平均数是2C.众数是1D.极差是620.某屮学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:年龄（岁）12 13 14 15 16人数14 3 2 2则这个小组成员年龄的平均数和屮位数分别是A. 15, 16B. 13, 15C. 13, 14D. 14, 1421 •某课外学习小组有5人，在一次数学测验屮的成绩分别是120、100、135、100、125,则他们的成绩的平均数和众数分别是（）A. 116 和100B. 116 和125C. 106 和120D. 106 和135 ・22•在“庆祝建党90周年的红歌传唱活动”比赛屮，七位评委给某参赛队打的分数为：92、86、88、87、92、9486,则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数和屮位数是（）A. 89, 92B. 87, 88C. 89, 88D. 88, 9223•某地区连续5天的最高气温（单位C）分别是30, 33, 24, 29, 24.这组数据的屮位数是（）A. 29B. 28C. 24D. 924•在一次九年级学生视力检查中，随机抽杳了8个人的右眼视力，结果如下：4.0, 4., 4.5, 4.0, 4.4,4.5, .0, 4.8则下列说法正确的是（）A.这组数据的屮位数是4. 4B.这组数据的众数是4. 5C.这纟H.数据的平均数是4. 3D.这纟H.数据的极差是0.525•为离家某班学生每天使用零花钱的使用情况，张华随机调杏了15名同学，结果如下表：关于这15名同同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）A.众数是5元B.平均数是2. 5元C.级差是4元D.屮位数是3元26•某市甲、乙、丙、丁四支屮学生足球队在市级联赛屮进球数分别为：7、7、6、5,则这纟R数据的众数是（）(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 6.527.某住宅小区六月份1 LI至5 U每天用水量变化情况如图所示,那么这5天平均每天的用水量是（C. 32 吨D. 33 吨A.其平均数为6 B.其众数为7 C.其屮位数为7 D.其中位数为629.某市6月上旬前5天的最高气温如下 的是（ ）A.平均数为30 30•数据 1, 2, 4, 4,A 1B.众数为29 3的众数是（B 228.某同学参加射击训练，共射击了六发了弹，击中的环数分别为3, 4, 5, 7, 7, 10.则下列说法错误的是（）（单位：°C ）： 28, 29, 31, 29, 32.对这组数据，下列说法正确 C.中位数为31 D.极差为5）C 3D 431 •数学老师布置10到选择题作业，批阅后得到如下统计表，根据表屮数据可知，这45名学生答对题数 组成的样本的• 11位数是 ______________ 题。
答对题数 7 8 9 10 人数41816732•在一次信息技术考试中,某兴趣小组8名同学的成绩（单位:分）分别是：7, 10, 9, 8, 7, 9, 9, 8, 则这组数据的屮位数是 ______________________________________ .33•数据 9.30, 9.05, 9.10, 9.40, 9.20, 9. 10 的众数是___________________ ；屮位数是 ________ .34.下列材料来白2006年5月衢州市有关媒体的真实报道：有关部门进行民众安全感满意度调查，方法是:在全市内采用等距抽样，抽取32个小区，共960户，毎户抽一名年满16周岁并能清楚表达意见的人，同 时，对比前一年的调查结果，得到统计图如下人民群众安全感满意度选项统计图（单位：%）写出2005年民众安全感满意度的众数选项是 ________ ；该统计图表存在一个明显的错误是 ______________ .35•某校艺术节演出屮，5位评委给某个节目打分如下：9分，9. 3分，&9分，&7分，9. 1分，贝该节A. 30 吨B. 31 吨□ 2004年 ■ 2005年目的平均得分是_______ 分.36・如果/与血的平均数是4,那么K +1.与址+ 5的平均数是_______________ .37•在参加“森林重庆”的植树活动中,某班六个绿化小组植树的棵树分别是：10, 9, 9, 10, 11, 9.则这纟R数据的众数是_____________ •38•为建设绿色株洲，某校初三080k 0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树________ 株.班次植树株数080122080225080335080418第12题表39 •某品牌专卖店对上个月销信的男运动勒1尺码统计如下:码号（码）38394041424344销售量（双）6814201731这纽•统计数据屮的众数是 _______ 码・40•某城市在“五一”期河举行了“让城市更美好”大型书画、摄影展览活动.据统计，星期一至星期口参观的人数分别为：2030、3150、1320、1460、1090、3150、4120,则这组数据的屮位数和众数分别是_________ .41 •在一次爱心捐款屮，某班有40名学生拿出白己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，图7反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_____________ 元.42.七位女生的体重（单位：kg）分别是36, 42, 38, 42, 35, 45, 40,则这七位女生体重的中位数为kg.盛会在5月屮旬入园人数的统计情况.（1）请根据统计图完成下表.众数中位数极殊入园人数/力43•某次数学测验屮，五位同学的分数分别是：89, 91, 105, 105, 110.这组数据的屮位数是 ，众数是 _____ ,平均数是 ______ ・44•若一组数据1, 1, 2, 3,兀的平均数是3,则这组数据的众数是 ___________________ . 45•下列数据5, 3, 6, 7, 6, 3, 3, 4, 7, 3, 6的众数是 _____________________ ・ 46•在综合实践课上，五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5,7, 3, 6, 4,则这组数据的屮位数是 ___________________ 件。