三角形培优训练100题集锦(1)

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D 三角形培优训练专题

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】

123456、71、2、. 3、4、以∆90,=︒连接DE ，（1）如图①当为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒

θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.

6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

C

B

A

7、如图，已知在△ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是

BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

8、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：

0180=∠+∠C A

9、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC 10、

11、AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC A EBC

12、EC ，取（1 （213、相交于点O 14、于E ，

DF ⊥AC （1.

15OP 所

角形（1、CE 。请你（2(1)

中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN （1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 （2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

18、如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N O P A M

N E B C D F 图① 图②

_ A

19、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

20、

(1)(2)21ABC 外一点，且

∠MDN 上移动时，BM 、NC 、

MN （I 此时L

Q

（II （表示）． 22、AC 于F 。23、如图MN⊥MD，BN 24、于D 。求证：25、26、交BD 于27、在△且AD ⊥（1①△（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

28、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与B 、C 重合），斜边和∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边中点位置时 1)猜想AE 与EF 满足的数量关系是。

2)连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是

3)请证明你的上述猜想

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：

此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？

29、已知AC 平分∠MAN ，∠MAN=120o ，

（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90o ，求证：AB+AD=AC 。

（2）在图（2）中，若∠MAN=120o ，∠ABC+∠ADC=180o ，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？

30、如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =； （2PN =（3还成立

31、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由32、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h ABC 的

高为h 。“若点P 在一边BC 上（如图1），此时h 3=0,可得结论h 1+h 2+h 3＝h ”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h 1、h 2、h 何？请写出你的猜想，不需证

33Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是角平分线，和高AD 相交于F ，作FG ∥G ，求

34OAB O 35ECD ∠，为什么?（请你用图2加以证明）

36、如图1，ABC Rt ∆中，AC AB =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且EC AD =，BD AP ⊥于

P ，交BC 于点Q ，直线BD 交直线QE 于F .

⑴ 判断DEF ∆的形状，并说明理由.

⑵ 如图2，若点D 、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，判断DEF ∆的形状，并说明理由. 37、如图1，在等腰直角ABC ∆中，︒=∠90ACB ，O 为AB 的中点，P 为AB 上一动点，D 在BC 上，且满足PD PC =，AB DE ⊥于E . 题图1 题图2

题图3 A A A