第24章圆三课时复习沪科版
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
O
B
D
C
二、过三点的圆及外接圆
无数 个 1.过一点的圆有________ 无数 个，这些圆的圆心 2.过两点的圆有_________ 的都在_______________ 连结着两点的线段的垂直平分线 上. 0或1 3.过三点的圆有______________ 个
C
只要连接OC， 而后证明OC 垂直CD
A
O
B
D
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是 ⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D, OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.
三角形的外接圆与内切圆:
A．
B． O
A
．
． C
． O
B C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是 20cm,求该零件所在的半径长.
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
A
3：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线
l 上，按顺
时针方向转动一次,使它转到 A BC 的位置。若 BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过 的路线长。 A′ C A
B
C′
l
4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制 成圆锥形玩具，已知∠C=90度，AC=BC=4cm， 使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其 他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形 的半径长。
C D A
O1
E O F
B
(1)说明D是AC的中点. (2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段 BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点 P作圆O的切线交AD于点F,切点为E. C (1)求四边形CDFP的周长. E ． P (2)设BP=x,AF=y,求y关 Q 于x的函数解析式. B
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
nπr 180
nπr2
360
或
S=
1
2
lr
4.圆柱的展开图: A h
D
B
r
C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
5.圆锥的展开图:
a h r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2 底面 a 侧面
1、 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求 扇形的面积和周长.
2、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时, 传送带上的物体A平移的距离为______.
点与圆的位置关系
d与r的关系
．
C
．
A ．
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
7.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为 半径作⊙B， 问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？ （2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． O
(3)弦心距
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直 径,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = BD B AC = BC
︵ ︵
︵ ︵
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ ︵ AB = CD
C ∴AB=CD
A
1、如图,已知⊙O的半径OA长 AC=BC 为5,弦AB的长8,OC ⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
15
3.6
A
•
B
作圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
O
C D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 0或1300 50 弦AB所对的圆周角为____________. 2.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由
． O
．
B
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF ^AC 于F点，然后证明 DF等于圆D的半 径BD
F
如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长 线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
B
D
C
· E
A
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
G E
F H
4.如图， ⊙O为△ABC的内切圆，切点分 别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若 ∠A+ ∠C=110度，则∠FPE=_____度
A P D C
.o
F B E
5 ． 如 图 ， 已 知 △ ABC 的 三 边 长 分 别 为 AB=4cm ， BC=5cm ， AC=6cm ，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分 别是E、F、G，则AE= ，BF= ，CG= 。
r
．
O d
∟
r
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
∟
∟
O d
．
r
dO
．
l
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半 径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
A F O
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
C
3.如图在比赛中,甲带球向对方球门 PQ进攻,当他带球冲到A点时,同伴乙 已经助攻冲到B点,此时甲是直接射门 好,还是将球传给乙,让乙射门好?为什 么?
P A B Q
·
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系 (1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等） 内 ，直角三角 5.锐角三角形的外心在三角形____ 在斜边的中点上 _，钝角 形的外心在三角形___ 外。 三角形的外心在三角形____
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，
A A A
A
O
C
B
C
B
C
B
C
O
B
r1 2 2
r2 4
r3 2
r4 4 2 4
2 5、扇形的面积是它所在圆的面积的 3 ，这个扇 形的圆心角的度数是_________ °. 240°
6、 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则 圆锥的表面积为_______ 24πcm2
7、已知：在RtΔ ABC,
3 正多边形和圆
（1）.有关概念
（2）.常用的方法
沪科版24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系公开课课件
4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° .
. 5. 如图，已知 AB、CD 为 ⊙O 的两条弦， AD BC
求证：AB＝CD.
证明：连接AO，BO，CO，DO.
»， Q» AD BC
AOD BOC. AOD+BOD=BOC +BOD.
C
B
O A D
即 AOB COD，
解：连接OE.
∴∠COE=40°， ∵弧CE为40°， 180 40 ∴∠C = =70. A 2 ∵CE∥AB， ∴∠AOD=∠C=70°， ∴∠BOD=180°-70°=110°. D O C E B
当堂练习
1. 如果两个圆心角相等，那么
（D）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
练一练
» =CD » = DE »， 如图，AB是⊙O 的直径，BC ∠COD=
35°，求∠AOE 的度数．
E D
» =CD » = DE »， 解：∵ BC
C
BOC COD DOE =35 ， ∴
A
· O
B
AOE 180 3 35 75 . ∴
AB =CD.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角 相等
弦 相等
应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等 弦心距 相等
⌒ ⌒ ，∠ACB=60°， 【变式题】如图，在⊙O中，AB=AC 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒， ∵AB=CD 证明： ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∵∠ACB=60°， A
9年级数学(第24章 圆)24.3 圆周角(沪科版 学习、上课课件)
知1－练
技巧提醒 圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的 另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角 的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题． 特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的 对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的 两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所 对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°． 由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有 外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7， 四边形ABCD 内接于⊙ O， 连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度 数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所 在同圆中，一条弧所 对的圆心角唯一 对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转 ︵
沪科版九年级下册数学： 第24章 圆 第24章 圆(通用)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2020年6月12日1时4分
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
. O
C
E B
2020年6月12日1时4分
谢谢同们的合作
拜拜
2020年6月12日1时4分
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到C， AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
A
补充：
若∠B=70 °,则
O
∠DOE=＿＿40＿°． E
2020年6月12日1时4分
CD B
7、如图，AB是圆O的直径,圆O过AC 的中点D,DE⊥BC于E．
证明:DE是圆O的切线.
D
A
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
∴CD⊥OA.
C
●O
A
D
2020年6月12日1时4分
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
2020年6月12日1时4分
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_2___7_ cm；
C
A
┗●
M
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
沪科版九年级下册24.3圆周角教学设计(共三课时)
沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。
通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。
所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。
（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。
初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。
三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。
四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。
学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。
沪科版九年级数学下册24章：圆知识点梳理及练习
圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】5=R60%1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算． 【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30C. 45 D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．D O A FE 例题2图 C B A OF D E【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38 cm B ．316cm C ．3cm D ．34cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156 B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm ．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的AO B 120o 120°OAB第1题图 第2题图第3题图 第4题图值等于（ ） A ．OD B ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（ ） A．3B．3C ．4D．35.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ）A．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第3题图 第9题图第7题图 第6题图第5题图 第4题图。
沪科版数学九年级下册课时练 第24章 圆 专项3 圆与三角形
沪科版数学九年级下册 第24章 圆类型1 构造特殊三角形解决圆的有关问题一般求线段长的方法大都是围绕着三角形展开的，如勾股定理，三角函数，相似三角形等．因此解决此类问题的关键在于合理地构造三角形．求圆的半径、弦长或是圆内角度问题常常要利用特殊三角形来解决． 方法1：利用半径构造等腰三角形1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝45°，则劣弧BC 的长为( D )A.π2B.π4 C ．πD.2π2方法2：利用圆周角定理的推论2构造直角三角形2．(2019·安徽一模)已知⊙O 的直径CD 为2，AC ︵的度数为80°，点B 是AC ︵的中点，点P 在直径CD 上移动，则BP ＋AP 的最小值为( D )A ．1B ．2C ．23D. 3方法3：利用垂径定理构造直角三角形3．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若BE ＝1，CD ＝42，∠AED ＝30°，求⊙O的半径．解：如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，连接DO ，设⊙O 的半径为r . ∵BE ＝1，CD ＝42，∠AED ＝30°，∴OF ＝12OE ＝12(r －1)，DF ＝12DC ＝22，在Rt △DFO 中，由勾股定理可得OD 2＝DF 2＋OF 2， 即r 2＝(22)2＋⎝⎛⎭⎪⎫r －122，解得r ＝3或r ＝－113(舍去)，∴⊙O 的半径为3.4．如图，等边三角形ABC 和正方形BDEC 的边长均为2，⊙O 经过点A ，D ，E 三点．求⊙O 的半径．解：如图，作AF ⊥BC 于点F ，并延长AF 交DE 于点H . ∵△ABC 为等边三角形， ∴AF 垂直平分BC . ∵四边形BDEC 为正方形， ∴AH 垂直平分DE . 又∵DE 是⊙O 的弦， ∴AH 必过圆心O . 设⊙O 的半径为r .在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°， ∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×32＝ 3. ∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r . 在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2. ∴(2＋3－r )2＋12＝r 2. 解得r ＝2.∴⊙O 的半径为2. 方法4：利用切线构造直角三角形5．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( A )A．2 3 B．3C．4 D．4－ 3类型2圆与相似三角形解圆与相似三角形的综合问题时，关键是要从圆中抽象出相似三角形的模型，再利用相似三角形的有关知识解决问题．在证明三角形相似时，往往利用同弧、等弧或直径所对的圆周角是直角，从而为相似找到与角有关的条件．6．(2019·江苏苏州吴江区期中)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD.(1)试说明：△P AC∽△PDB；(2)设P A＝4，PB＝3，CD＝8，求PC，PD的长．解：(1)由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△P AC∽△PDB.(2)∵△P AC∽△PDB，∴P APD＝PCPB，∴P A·PB＝PC·PD，即3×4＝PC×(8－PC)，解得PC＝2或PC＝6.∵PC>PD，∴PC＝6，PD＝2.7．在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC ＝90°，连接AP，则线段AP的最小值和最大值分别是多少？解：如图，以BC为直径作⊙O，连接AO交⊙O于点P1，P2，则AP1最小，AP2最大．连接P1C.∴∠P1CP2＝90°，∴∠CP2P1＋∠P2P1C＝∠ACP1＋∠P1CB＝90°.∵OC＝OP1，∴∠OCP1＝∠OP1C，∴∠ACP1＝∠AP2C.又∠P1AC＝∠P2AC，∴△ACP1∽△AP2C，∴AP1AC＝ACAP2，即AP1·AP2＝AC2，∴AP1(AP1＋2)＝4，解得AP1＝－1＋5(负值舍去)，∴AP2＝－1＋5＋2＝1＋ 5.故线段AP的最小值和最大值分别是－1＋5和1＋ 5.角度2：与圆有关的直角三角形的相似8．(2019·浙江台州模拟)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F，若AE＝5，AC＝4.求BE的长．解：连接OD，如图．∵⊙O与BC相切，∴OD⊥BC.∵∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BOD∽△BAC，∴BOBA＝ODAC，即BE＋52BE＋5＝524，∴BE＝53.9．(2019·重庆沙坪坝区三模)如图，点C是⊙O的直径BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D.过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，交CD的延长线于点F，若⊙O的半径为1，AC＝5－1.求EF的长度．解：如图，连接OD，则OD＝OA＝OE＝1.∵CD与⊙O相切，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝∠ODF＝90°.∵OC＝OA＋AC＝1＋5－1＝5，∴CD＝OC2－OD2＝2.∵OE⊥AB，∴∠COD＋∠DOF＝∠COD＋∠C＝90°，∴∠DOF＝∠C，∴△OCD∽△FOD，∴OCFO＝CDOD，即5FO＝21，∴FO＝52，∴EF＝FO－OE＝52－1＝5－22.10．(2019·江苏连云港灌南二模)如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，求⊙O的半径．解：如图，作DH⊥AB于点H，连接BD，延长AO交BD于点E.∵菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∴AB·DH＝320，∴DH＝16.在Rt△ADH中，AH＝AD2－DH2＝12，∴HB＝AB－AH＝8，在Rt△BDH中，BD＝DH2＋BH2＝8 5.设⊙O与AB相切于点F，连接OF.∵AD＝AB，AO平分∠DAB，∴AE⊥BD，∴∠OAF＋∠ABE＝90°.∵∠ABE＋∠BDH＝90°，∴∠OAF＝∠BDH.又∵∠AFO＝∠DHB＝90°，∴△AOF∽△DBH，∴OABD＝OFBH，∴1085＝OF8，∴OF＝25，∴⊙O的半径为2 5.。
沪科版数学九年级下册 圆周角定理及其推论
O
E
B DC
8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB
所对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
(1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 ACB 上任取
一点 C，连接 CA，CB.
∵ AB＝OA＝OB，
∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°． ∴∠ACB＝ 1 ∠AOB＝30°. 即弦 AB 所对2的圆周角等于 30°.
图①
(2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 AB 上任取一点
D，连接 AD，OD，BD.
则∠BAD＝ 1 ∠BOD，∠ABD＝ 1∠AOD.
∴∠BAD＋∠2 ABD＝
1 2
(∠BOD＋2∠AOD)＝
同 (1) 可知∠AOB＝60°，
1 2
∠AOB.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°.
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，
∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
C
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°.
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PB
= 100°.
D
∵ BAC 1 BOC，BDC 1 BOC，
2
2
∴∠BAC =∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
AB
CD EF， COD EOF.
A 1 COD， B 1 EOF，
2
圆的基本性质第3课时圆心角弧弦弦心距间关系课件沪科版九年级数学下册
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′ 的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，
O
A OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．
因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． 弦心距OM与弦心距OM′也重合. 即AB=A′B′,AB=A′B′,OM=OM′.
E
D
C
ALeabharlann ·OB学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.如图,在☉O中,弦AB=CD,请写出图中两组相等的角. 本题答案不唯一, 如:∠AOB=∠COD,∠A=∠B=∠C=∠D,∠AOC=∠BOD等.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
(
( (
(
2.如图,AB是☉O的直径,若OD∥AC,求证:D是 BC 的中点. 解：连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∵OD∥AC,∴∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA,
（2）如果弧AB=弧CD，那么 AB=CD ，∠AOB=∠COD， OE=OF ．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD ，弧AB=弧CD ， OE=OF ．
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动3：探究圆心角与所对弧的度数的关系 把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 1°的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 360 份. 我们把每一份这样的弧叫做1°的弧.
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
学习目标
自主学习
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质(第三课时)课件沪科沪科级下册数学课件
1
O
= 3 ×360°
B
C
=120°
12/11/2021
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F.
求证：CD=EF.
D
C A
E
O
·
F
提示:做辅助线，利用角平分线的性质证明.
12/11/2021
例6 已知：如图，AB、CD为⊙O的两条直 径 ，弦CE∥BA,E⌒C为40°.
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，
O
B
所对的弧为⌒AB.
12/11/2021
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明 理由.
①
②
③
④
12/11/2021
新知探究
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角 弧 弦
A O·
B
这三个量之间会有什么关系呢？
12/11/2021
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位 置，你能发现哪些等量关系？
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
∵∠AOB=∠A1OB1，
∴AB=A1B1 ，⌒AB⌒=A1B1
. ∵OD⊥AB,OD1⊥A1B1，
∴OD=OD1.
12/11/2021
B
Oα
D A
α
D1 A1
B1
? 交流
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你 能得到什么结论？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
（1）如果AB=CD， 那么__________ .
（2）如果⌒AB=⌒CD，
那么
.
第24章圆期末复习圆的基本性质PPT课件(沪科版)
2
O E1C D
BO⊥AD
8．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别
与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：
①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记
△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则
S1=S2，那么( D ).
C
A．①是真命题 ②是假命题
B．①是假命题 ②是真命题 D
并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交
⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD于点M．
求证： (2)CE=DF．
(2) ∵△ACO≌△BDO， A
B O
∴OC=OD，
∵OM⊥CD， C E M F
D
∴CM=DM， EM＝FM，
∴CM－EM=DM－FM.
∴CE=DF.
D
5.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上 的两点，分别连接AC、BC、CD、OD，若 ∠DOB=140°，则∠ACD= ( A).
A.20° B. 30° C. 40° D.70° C
A
O
B
D
6.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G， 连接 CF，∠C=30°，CF= 2 ，3 则OG的长是( A).
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第24章 圆 期末复习(2)
圆的基本性质
复习要点
1.圆 (1)平面上到定点的 距离 等于定长的所有 点 组成
的图形叫做圆； 定点称为圆心， 定长 称为半径. (2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的
直线；圆又是中心对称图形，对称中心是 圆心 . (3)不在同一条直线上的 三个点确定一个圆.
AB=AC， ∠ BAC=36°，在AB上取点D(不与点
A，B重合)，连接BD，AD，则∠BAD＋