初三数学期中考试试题及答案
初三数学期中考试试卷及答案
初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。
求 sin A 和 cos C 的值。
...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。
2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。
第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。
求汽车在去程和返程时的平均速度。
...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。
注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。
2023-2024学年北京东城区东直门中学初三(上)期中数学试题及答案
2023北京东直门中学初三（上）期中数 学考试时间：120分钟 总分100分一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线()213y x =−+的顶点坐标为( )A. ()1,3B. ()1,3−C. ()1,3−−D. ()3,1 3. 在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C.相离D. 不确定 4. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，70B ∠=︒，则D ∠的度数是( )A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°5. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. 32π B. 3π C. 6π D. 9π6. 一元二次方程2630kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 3k <B. 3k <且0k ≠C. 3k ≤D. 3k ≤且0k ≠ 7. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒8. 如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，3），若点A 与点B 关于原点O 对称，则B 点的坐标为____．10. 请写出一个开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式：________．11. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x 个队，根据题意，可列方程为________．12. 把抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为________． 13. 如图，在O 中AB 是直径，CD AB ⊥，30BAC ∠=︒，2OD =，那么DC 的长等于________．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()31A −，，()11B −，，若抛物线()20y ax a =>与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是___________．15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，则α的值为_____．16. 某快递员负责为A ，B ，C ，D ，E 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 计算：02cos30|(π+−−︒．18. 解一元二次方程：（1）解方程：250x x +=（2）解方程：261x x −=（配方法）19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：直线P A 和O 相切． 作法：如图，①连接AO ；②以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为B ； ③连接BO ；④以B 为圆心，BO 长为半径作圆；⑤作B 的直径OP ；⑥作直线P A ．所以直线P A 就是所求作的O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（______）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（______）（填推理的依据）．20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，6CD =，9EM =，求O 的半径．21. 已知二次函数243y x x =−+．（1）二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是 ，y 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数243y x x =−+的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围 ．22. 如图，点A 的坐标为(3，2)，点B 的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A 为旋转中心，将ABO 顺时针方向旋转90°，得到AB 1O 1．（1）在图中画出AB1O 1．（2）请接写出点B 1的坐标 ．（3）请直接写出点B 旋转到点B 1所经过的路径长 ．23. 已知关于x 的一元二次方程220x x m −+−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．24. 如图，AB 为O 的直径，BD CD ，过点A 作O 的切线，交DO 的延长线于点E ．（1）求证：AC DE ∥；（2）若2AC =，1tan 2=E ，求OE 的长． 25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y （单位：m ）与水距x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =−+<．小明进行了两次掷实心球训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：①实心球竖直高度的最大的值是________m ；②求出函数解析式________；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09(4) 3.6y x =−−+，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为1d ，第二次训练实心球的陆点的水平距离为2d ，则1d ________2d （填“>”，“=”或“<”）26. 已知关于x 的二次函数222y x tx =−+．（1）求该抛物线的对称轴（用含t 的式子表示）；（2）若点()3,M t m −，()5,N t n +在抛物线上，则m _________n ；（填“＞”，“＜”或“=”） （3）()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的任意两个点，若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，求t 的取值范围．27. 已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．（1）如图1，当点E 在正方形ABCD 内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF =；（2）如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，连接AF ，取AF 中点M ，连接AE ，DM ，用等式表示线段AE 与DM 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点． （1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点122Q ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______； ②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】B【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 【答案】A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．3. 【答案】B⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 4. 【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出180D B ∠+∠=︒，即可解答． 【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒， 18070110D ∴∠=︒−︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键． 5. 【答案】D【分析】根据扇形公式S 扇形=2360n R π，代入数据运算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，S 扇形=229069360360n R πππ==， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．6. 【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；【详解】解：由题意得：2(6)1200k k ⎧−−>⎨≠⎩ 解得：3k <且0k ≠故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0；熟练运用根的判别式是解题关键．7. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解： ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 【答案】C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =−=−，即5y t =−()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】（2，﹣3）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：∵点A 和点B 关于原点对称，点A 的坐标为（﹣2，3），∴点B 的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．10. 【答案】21y x =−【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，开口方向向下，再利用过点(0,1)−得出即可． 【详解】解：开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式，设顶点坐标为(0,1)−，故解析式为21y x =−．故答案为：21y x =−．11. 【答案】(1)90x x −=【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．利用比赛的总场数=参赛队伍数(⨯参赛队伍数1)−即可得到答案．【详解】解：由题意得(1)90x x −=，故答案为：(1)90x x −=．12. 【答案】21(2)12y x =−+ 【分析】本题主要考查二次函数图像的与几何变换，熟记“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”解题即可．【详解】解：抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度， 得21(2)12y x =−+， 故答案为：21(2)12y x =−+．13. 【答案】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理和30︒所对的直角边等于斜边的一半，根据30BAC ∠=︒，得出DCA ∠，结合同弧所对的圆周角等于圆心角一半得到DOA ∠，推出30ODE ∠=︒，再结合30︒所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求解．【详解】解：记CD AB ⊥于点E ，O 中AB 是直径，DE EC ∴=，90AED AEC ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，60DCA ∴∠=︒，AD AD =，120DOA ∴∠=︒，60DOE ∴∠=︒，30ODE ∴∠=︒，12OE OD ∴=， 2OD =，1OE ∴=，DE ∴==DC ∴=．故答案为：14. 【答案】119a ≤≤##119a ≥≥【分析】分别把A 、B 点的坐标代入2y ax =得a 的值，根据二次函数的性质得到a 的取值范围．【详解】解：把()31A −，代入2y ax =得19a =； 把()11B −，代入2y ax =得1a =，∴a 的取值范围为119a ≤≤． 故答案为：119a ≤≤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15. 【答案】60°或120 °【分析】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．【详解】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″， 则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt △OAC′中，∵OC′=1，OA=2∴∠OAC′=30°，∴∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，∴∠BAB″=120°，综上所述，α的值为60°或120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．16. 【答案】 ①. A ，B ，C (答案不唯一) ②. A ，B ，E【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥，求解即可；（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥的三个小区即可．【详解】解：（1）∵A 小区需送快递数量15，需取快递数量6，B 小区需送快递数量10，需取快递数量5，C 小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A 、B 、C 小区，需取快递数量为151083330++=>，需取快递数量为6551615++=>，∴前往A ，B ，C 小区满足条件，故答案为：A ，B ，C (答案不唯一)；（2）前往A 小区收益为：1516228⨯+⨯=(元)，前往B 小区收益为：1015220⨯+⨯=(元)，前往C 小区收益为：815218⨯+⨯=(元)，前往D 小区收益为：417218⨯+⨯=(元)，前往E 小区收益为：1314221⨯+⨯=(元)，∵28212018>>>，15101330++>，65415++=，∴他的最优方案是前往A 、B 、E 小区收益最大，故答案为∶A ，B ，E ．【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 【答案】-1【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式=212⨯+−−1−=-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．18. 【答案】（1）10x =，25x =−（2）13x =+，23x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可；【小问1详解】解：250x x +=， (5)0x x +=，10x =，25x =−；【小问2详解】解：261x x −=，26919x x −+=+，2(3)10x −=，3x −=，13x =+，23x =．19. 【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠OAP ＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【小问1详解】解：补全的图形如图所示；【小问2详解】证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20. 【答案】5【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．连接OC ，由垂径定理得出EM CD ⊥，则2CM DM ==，根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC ，M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O ，EM MD ∴⊥，CM MD ∴=，6CD =，3CM ∴=，设OC x =，则9OM x =−，在Rt COM △中，根据勾股定理可得，2223(9)x x +−=，解得5x =．故O 的半径为5．21. 【答案】（1）()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−（2）见解析 （3）13y −≤<【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令0,0x y ==求得与坐标轴的交点坐标； （2（3）结合二次函数图象，写出当14x <<时对应的y 的取值范围．【小问1详解】解：令0y =，则2430x x −+=，解得：121,3x x ==，∴二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是()1,0，()3,0，令0x =，解得：3y =，∴二次函数243y x x =−+图象与y 轴的交点坐标是()0,3； ∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2,1)−；故答案为：()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−．【小问2详解】解：列表：；【小问3详解】解：由图象可知，当14x <<时，13y −≤<．故答案为：13y −≤<．22. 【答案】（1）见解析，（2）（1，2），（3）π【分析】（1）利用网格和旋转的性质画出点B 、O 的对应点B 1、O 1，从而得到△AB 1O 1；（2）由（1）得到点B 1的坐标；（3）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△AB 1O 1为所作；（2）点B 1的坐标为（1，2）；故答案为（1，2）；（3）点B 旋转到点B 1所经过的路线长＝902180π⋅⋅＝π 故答案为：π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和弧长公式，解题关键是根据旋转的性质作出对应点．23. 【答案】（1）94m <（2）2m =【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．（1）根据题意0∆>，代入求解即可；（2）求出1m =或2，代入方程求解即可．【小问1详解】解：依题意得224(1)41(2)0b ac m ∆=−=−−⨯⨯−> 94m ∴<； 【小问2详解】 解：m 为正整数，∴1m =或2，当1m =时，方程为210x x −−=的根12x =不是整数， 当2m =时，方程为20x x −=的根120,1x ==，都是整数，故2m =．24. 【答案】（1）见解析 （2）5【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得BAD CAD ∠=∠，再利用等边对等角及等量代换即可证得CAD D ∠=∠从而证得结论．（2）连接BC ，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得B E ∠=∠，从而得到tan tan B E =，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．【小问1详解】证明：BD CD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵OA OD =，∴D BAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠，∴AC DE ∥．【小问2详解】如图，连接BC ，∵AB 为O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AC DE ∥，∴∠=∠BAC AOE ，∵AE 是O 的切线，∴OA AE ⊥，∴90∠=∠=︒C OAE ，∴B E ∠=∠， ∴1tan tan 2==B E ， 在Rt OAE △中，1tan 2B =，2AC =， ∴21tan 2AC B BC BC ===，解得4BC =，AB ∴===，∴OA =∵在Rt OAE △中，1tan 2E =，∴1tan 2AO E AE AE ===，解得AE =，∴5OE ===．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．25. 【答案】（1）①3.6；②20.1(4) 3.6y x =−−+（2）<【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键．（1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可；②用待定系数法求函数解析式；（2）分别将0y =代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出1d 和2d 进行比较即可．【小问1详解】解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是3.6m ，故答案为：3.6m ；②由①可知，顶点坐标为(4,3.6)，故函数关系为2(4) 3.6(0)y a x a =−+<，把(0,2.0)代入2(4) 3.6y a x =−+得，16 3.62a +=，0.1a ∴=−，故函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+；【小问2详解】解：由（1）可知函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+，当0y =时，10x =（负值舍去），110m d ∴=，在20.09(4) 3.6y x =−−+中，令0y =得20.09(4) 3.60x −−+=，解得4x =（负值舍去），24)m d ∴=+，102104<+，12d d ∴<．26. 【答案】（1）x =t （2）＜（3）t ≤1【分析】（1）根据对称轴的表达式直接求解即可；（2）利用抛物线的对称性和增减性进行判断即可；（3）根据二次函数的增减性进行判断解答即可． 【小问1详解】解：二次函数的对称轴为：222b t x t a −=−=−= 【小问2详解】解：∵a 10＞，∴x t ＜时y 随x 的增大而减小，x t ＞，y 随x 的增大而增大根据抛物线的对称性可知：M 点关于对称轴对称的点为：()3,t m +，∵35t t t ++＜＜∴m n ＜故答案为：<【小问3详解】解：若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，∴点P 在Q 点的左侧，且对称轴在P ，Q 中间∴对称轴一定在水平距离上距离2x 更远或相等 ∴122x x +≥t （距离相等时122x x t +=，x 2更远时122x x +>t ） ∴332+>t 且312−≥t ∴3>t 且1≥t∴t ≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题的关键．27.【答案】（1）①见解析；②见解析（2）2=AE DM ；理由见解析【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②证明()SAS BCE DCF ≌△△，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；（2）连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，证明()SAS BCE DCF ≌△△，得出BE DF =，CBE CDF ∠=∠，证明()SAS AMN DMF ≌，得出AN DF =，MAN MFD ∠=∠，证明()SAS AND BEA ≌，得出AE DN =，即可证明结论．【小问1详解】解：①依题意补全图1，如图所示：②∵四边形ABCD 为正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =；【小问2详解】解：2=AE DM ；理由如下：连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD AD ===，90BCD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =，CBE CDF ∠=∠，∵90CBE ABC ABE ABE ∠=∠+∠=︒+∠，90CDF CDG FDG FDG ∠=∠+∠=︒+∠，∴FDG ABE ∠=∠，∵点M 为AF 的中点，∴AM MF =，∵DM MN =，AMN DMF ∠=∠，∴()SAS AMN DMF ≌，∴AN DF =，MAN MFD ∠=∠，∴AN DF ∥，∴FDG NAD ∠=∠，∵FDG ABE ∠=∠，∴NAD ABE ∠=∠，∵AN DF =，BE DF =，∴AN BE =，∵AD AB =，∴()SAS AND BEA ≌，∴AE DN =，∵2DN DM =，∴2AE DM =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．28. 【答案】（1）①1Q ，2Q ；②55p −≤≤ （2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =p 的最小值为5−，即可求解； （2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥， ∴N Px ON OP x =,∴5p =, 同理可得p的最小值为5−∴p ≤≤【小问2详解】 解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA == ∴511122MT OM OT OA AM OT =−=−−=−−= ∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
黑龙江省绥化市望奎县第五中学(五四学制)2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年度初三上学期期中考试数学试题考生注意：考试时间90分钟；本题共计五道大题，满分120分．一、填空题（每题3分，共30分）1.等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为__________．2.两边长分别为的等腰三角形的周长是__________．3.如图，在中，，则的长为__________．4.如图．，那么，__________，__________．假设．那么__________．5.如图，相交于点，请你补充一个条件，使得．你补充的条件是__________．6.点关于轴对称的点的坐标是__________，直线与轴的位置关系是__________．7.已知中，，则__________．8.如图，直线，点在上，假设的面积为16，那么的面积为__________．70 6cm 10cm ､ABC 90,60,4A C BC ∠=∠== AC ABC ADE ≌AB =E ∠=∠12040BAE BAD ∠=∠= BAC ∠=,AB CD ,O AD CB =AOD COB ≌()2,1M -x N MN x ABC ()23B C A ∠+∠=∠A ∠=AE ∥BD C BD 4,8,AE BD ABD == ACE9.如图，在中，是的垂直平分线，的周长为的周长为，则的长为__________．10.如图，在中，平分交于点，点分别是线段上一动点且，则的最小值为__________．二、选择题（每小题3分，计30分）11.2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏，下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）．A. B.C. D.12.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. B. C. D.13.一个边形的每个外角都是，则这个n 边形的内角和是（）．A.1080B.540C.2700D.216014.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为（ ）A.3B.4C.5D.6ABC DE AC ABC 19cm,ABD 13cm AE ABC BD ABC ∠AC D ,M N BD BC ､AB BD >10,5S ABC AB == CM MN +2,4,66,8,157,5,116,7,14n 4515.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ）A. B.C. D.16.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（）A.带①去 B.带③去 C.带②去 D.带④去17.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积是（ ）A.15B.30C.40D.4518.如图，在中，为线段的垂直平分线与直线的交点，连结，则（ ）A. B. C. D.19.如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，则（ ）E9362E9365E6395E6392Rt ABC 90C ∠= A AC AB ､M N ､M N ､12MN P AP BC D 5,18CD AB ==ABD ABC 50,20,ABC BAC D ∠=∠= AB BC AD CAD ∠=40 30 20 10ABC ,B C D E ､､,CG CD DF DE ==E ∠=A.35B.20C.15D.1020.如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（ ）A.①②③ B.①③ C.①② D.①③④三、作图题（共18分）21.最近几年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县打算在张村、李村之间建一座定点医疗站P ，张、李两村座落在两相交公路内（如下图）．医疗站必需知足以下条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确信点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹）（8分）22.如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点均在小正方形的顶点上．（10分）（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，且使点的坐标为，并写出两点的坐标；（4分）（2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于y 轴对称的；（3分）（3）求的面积．（3分）四、解答题（满分42分）23.如图，是的中线，的周长比的周长多．若的周长为，且，求和的长．（8分）,,90ABC AB AC A =∠= EPF ∠P BC ,PE PF ,AB AC E F ､AE CF =BE CF EF +=EPF 12ABC AEPF S S = 四边形P ABC ,,A B C A ()4,2-,B C ABC A B C ''' ABC BD ABC ABD BCD 2cm ABC 18cm 4cm AC =AB BC24.如图，为上一点，．求证：．（6分）25.如图，中，于，且分别是的中点，延长至点，使．（8分）（1）的度数．（4分）（2）求证：．（4分）26.如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点，过点作于点于点．若．求的长度（8分）27.（12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点在同一条直线上，连接．E BC AC ∥,,BD AC BE ABD CED =∠=∠AB ED =ABC ,AB AC BE AC =⊥E D E ､AB AC ､BCF CF CE =ABC ∠BE FE =ABC AB PQ ABC P P PD BC ⊥,D PE AC ⊥E 8,4BD AC ==CE ABC EDC B D E ､､AE①的度数为__________．②线段之间的数量关系为__________．（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点在同条直线上，请直接写出的度数．AEC ∠AE BD ､ABC EDC 90ACB DCE ∠=∠= B D E ､､CM EDC DE AE AEB ∠CM AE BE ､､ABC EDC 36ACB DCE ∠=∠= B D E ､､EAB ECB ∠+∠参考答案一、填空题（每题3分，共30分）或2.或3.24.，，5.（答案不唯一）6.垂直7.8.89.10.4二、选择题（每小题3分，计30分）11-15DCADC16-20CDBCD三、作图题（共18分）21.如图所示（8分）22.（1）；（3分）（2）（3分）（3）（4分）（1）点的坐标表明点在第二象限，横坐标离坐标原点的距离为4，纵坐标离坐标原点的距离为2，由此确定坐标原点的位置，再画坐标轴，结果如下：结合点在方格图中的位置可得它们的坐标为：；（2）点关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同则三点的坐标分别为：1.55,55 70,4022cm 26cmAD C ∠80A C ∠=∠(2,1)--723cm()()1,0,3,1B C ---72A ()4,2-A O O OBC ､()()1,0,3,1B C ---,,A B C '''()()()4,2,1,0,3,1A B C ''-'先在平面直角坐标系中描出三点，再连接，画图如下：（3）如图，的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积即则．四、解答题（满分42分）23.．．（8分）由题意知①，点D 为AC 的中点，，，，即②，由①②得24.（6分）在与中，,,A B C '''ABC ABC ADC BCE ABFADEF S S S S S =--- 正方形111373313122391322222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---= 8cm,6cm AB BC ==18cm,4cm,14cm C ABC AC AB BC ==∴+= AD DC ∴=2cm C ABD C BCD -= ()()2cm AB BD AD BC BD DC ∴++-++=2cm AB BC -=8cm,6cmAB BC ==AC ∥BDACB EBD∴∠=∠,,ABD CED ABD ABC EBD CED EBD EDB ∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠ ABC EDB∴∠=∠ABC EDB ABC EDB ACB EBDAC BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．25.（8分）（1）；（4分）（2）（4分）（1）于是的中点，是等腰三角形，即，，是等边三角形，；（2），，，，是等边三角形，，，，；26.（8分）连接是的平分线，是线段的垂直平分线在和中27.（12分）解：（1）；()ABC EDB AAS ∴ ≌AB ED ∴=60 BE AC ⊥ ,E E AC ABC ∴ AB BC =AB AC = ABC ∴ 60ABC ∴∠= CF CE = F CEF ∴∠=∠60ACB F CEF ∠==∠+∠ 30F ∴∠= ABC BE AC ⊥30EBC ∴∠= F EBC ∴∠=∠BE EF ∴=PA PB､CP BCE ∠,PD BC PE AC ⊥⊥PD PE∴=PQ AB PA PB∴=Rt AEP Rt BDP PE PD=PA PB=()Rt Rt HL AEP BDP ∴ ≌AE BD∴=4CE BD AC ∴=-=4CE ∴=1120（2）．；（2），理由如下：是等腰直角三角形，由（1）得，，，都是等腰直角三角形，为中边上的高，；（3）AE BD =2CM AE BM +=DCE 45CDE ∴∠=135CDB ∴∠=ECA DCB ≌135,CEA CDB AE BD ∴∠=∠== 45CEB ∠= 90AEB CEA CEB ∴∠=∠-∠=DCE CM DCE DE CM EM MD∴==EM MD BD BE++= 2CM AE BE ∴+=180EAB ECB ∠+∠=。
初三数学期中试题及答案
初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 0答案：B2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 1/5D. -1/5答案：A3. 以下哪个方程是一元一次方程？A. x^2 + 2x - 3 = 0B. 2x - 3y = 5C. 3x + 4 = 7x - 2D. x/2 + 3 = 5答案：C4. 一个等腰三角形的底角是45°，那么顶角是：A. 45°B. 90°C. 135°D. 无法确定答案：B5. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 6答案：C6. 以下哪个函数是正比例函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2C. y = 5/xD. y = 4x答案：D7. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是：A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：A8. 以下哪个图形是中心对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆答案：D9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C10. 以下哪个选项是不等式？A. 3x + 2 = 7B. 2x - 3 > 5C. x^2 - 4x + 4 = 0D. 3x - 2 ≤ 7答案：D二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的平方是36，这个数是____。
答案：±612. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是____。
答案：60°13. 一个等腰三角形的周长是18cm，底边长6cm，那么腰长是____。
答案：6cm14. 一个数的算术平方根是4，那么这个数是____。
答案：1615. 如果一个数的立方根是-2，那么这个数是____。
九年级期中数学试卷及答案
九年级期中数学试卷及答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1.若a>b，则下列哪个选项一定成立？A.ac>bcB.a+c>b+cC.ac>bcD.a/c>b/c（c≠0）答案：A2.下列哪个是无理数？A.√9B.√16C.√3D.π答案：C3.若x^25x+6=0，则x的值为？A.2或3B.1或6C.-2或-3D.-1或-6答案：A4.下列哪个函数是增函数？A.y=-2x+3B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x^2答案：A5.若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的周长为？A.26B.28C.30D.32答案：C6.下列哪个图形不是正多边形？A.矩形B.菱形C.正五边形D.正六边形答案：A7.若一个数的算术平方根是3，则该数为？A.9B.6C.12D.18答案：A二、判断题（每题1分，共20分）8.若a>b，则ac>bc。
（c>0）答案：错误9.两个无理数的和一定是无理数。
答案：错误10.两个等腰三角形的面积相等，则它们的周长也相等。
答案：错误11.若一个数的平方是正数，则该数一定是正数。
答案：错误12.任何两个奇数之和都是偶数。
答案：正确13.任何两个负数相乘都是正数。
答案：正确14.若一个数的立方是负数，则该数一定是负数。
答案：正确三、填空题（每空1分，共10分）15.若a=3，b=-2，则a+b=___________，ab=___________。
答案：1516.若x^25x+6=0，则x的值为___________或___________。
答案：2317.若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的周长为___________。
答案：2818.若一个数的算术平方根是3，则该数为___________。
答案：919.两个等腰三角形的面积相等，则它们的周长也相等。
（判断对错）答案：错误四、简答题（每题10分，共10分）20.请简述勾股定理的内容。
2024年北京二中初三(上)期中数学试题及答案
2024北京二中初三（上）期中数 学考查目标1.知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容.2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列平面直角坐标系中的数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D. 2.抛物线()2225y x =−−−的顶点坐标是（ ）A.()2,5−B.()2,5C.()2,5−−D.()2,5−3.若关于x 的方程2210ax ax −+=的一个根是1−，则a 的值是（ ）A.1B.1−C.13− D.3−4.下表是用计算器探索函数253y x x =+−时所得的数值：x 0 0.25 0.5 0.75 1y 3− 1.69− 0.25− 1.31 3则方程2530x x +−=的一个解x 的取值范围为（ ）A.00.25x <<B.0.250.5x <<C.0.50.75x <<D.0.751x << 5.已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A.218cm πB.227cm πC.218cmD.227cm 6.如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转90°得到EDC △.若点A ，D ，E 在同一条直线上，30ACB ∠=°，则ADC ∠的度数是（ ）A.60°B.65°C.70°D.75°7.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）A.9人B.10人C.11人D.12人8.如图，等边ABC △的边长为2，点O 是ABC △的中心，120FOG ∠=°绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =； ②DOE △的面积等于BDE △的面积；③四边形DBEO 的面积始终保持不变； ④BDE △的周长的最小值为3.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A.①③B.①②④ C .②③④ D .①③④第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.点()1,2−关于原点对称的点坐标是______.10.写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1的抛物线的解析式______.11.已知关于x 的一元二次方程220x x a −−=有两个相等的实数根，则a 的值是______.12.把抛物线21y x =−向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______.13.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______.14.已知二次函数21y x x =−−，当x m <时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______.15.如图，P A ，PB 分别切O 于A ，B 两点，40P ∠=°，点C 是O 上一点，则ACB ∠的度数为______.16.2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：______分钟；（2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______.三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）17.解方程：2280x x −−=.18.如图，在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点的坐标分别为()4,4A ，()2,3B ，()5,2C .（1）①以点B 为旋转中心，画出将ABC △按顺时针方向旋转90°后的11A BC △；②以原点O 为旋转中心，画出将ABC △按逆时针方向旋转180°后的222A B C △；（2）在（1）的条件下，222A B C △可以由11A BC △绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为______，旋转角的度数为______.（3）ABC △的外接圆半径长______.19.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端18AB =分米，C 为AB 中点，D 为拱门最高点，圆心O 在线段CD 上，27CD =分米，求拱门所在圆半径的长.图1 图220.下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程.已知：ABC △.求作：AD BC ⊥，垂足为D .作法：如图所示，①分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点； ②作直线PQ ，交AC 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，交线段BC 于点D （点D 不与点C 重合），连接AD .所以线段AD 就是所求作的高.根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：AP CP =，AQ =___①___，∴点P 、Q 都在线段AC 的垂直平分线上，∴直线PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴O 为AC 中点.∵AC 为直径，O 与线段BC 交于点D ，∵∠ADC=___②___°.（___③___）（填推理的依据）AD BC ∴⊥.21.第十七届北京国际茶业及茶艺博览会于2024年9月6日至9日在北京全国农业展览馆举办，展览馆工作人员利用一边靠墙（墙长26米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区，如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？22.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如表： x … 3− 1− 1 3 …y … 3− 0 1 0 …（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x 的取值范围为______时，3y >−.23.已知关于x 的一元二次方程()2430x m x m +−+−=. （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程只有一个实数根为负数，求m 的取值范围.24.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD .（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=°，2AC =，求CE 的长.25.2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极，具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ，如果她从点A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足二次函数关系.图1 图2（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下表： 水平距离x /m 3 h 4 4.5竖直高度y /m 10 11.25 10 6.25根据表中数据，直接写出h 的值为______，满足的二次函数关系式为：______；（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为1d ；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足二次函数关系：254068y x x =−+−，记比赛当天入水点的水平距离为2d ，判断1d 与2d 的大小关系，并说明理由.26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()22130y ax a x a =−++>的对称轴为直线x t =. （1）t =______（用含a 的式子表示）；（2）已知点12,y a ⎛⎫− ⎪⎝⎭，25,y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，若12y y =，求出a 的值； （3）已知点()12,y −，()21,y ，334,y a ⎛⎫+⎪⎝⎭在抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由. 27.如图，ABC △中，ACB α∠=，AC BC =，点D 在AB 上（不与A ，B 重合），取AD 的中点F ，连结CD ，CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转180α−°得到线段CE ，连结AE ，BE .（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 与CF 的数量关系，并证明；（3）当90α=°，4AC BC ==时，设BE 与CF 相交于点H ，则点D 在AB 上运动的过程中，线段AH 的最小值为______.28.在平面直角坐标系xOy 中，设O 的半径为r ，对于O 外一点P ，给出如下定义：若O 上存在点M ，使点P 绕点M 逆时针旋转120°后的对应点Q 落在O 的内部或O 上，则称点P 是点M 关于O 的“逆转点”.备用图（1）如图，当1r =，()1,0M 时，①点()2,1A −，3,22B ⎛ ⎝⎭，()3,0C 中，点______是点M 关于O 的“逆转点”； ②若点P 是点M 关于O 的“逆转点”，则点P 的横坐标的最大值是______；（2）当r =P 是直线3y =+P 的横坐标为t ，当点P 是点M 关于O 的“逆转点”时，求出t 的取值范围.北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初三数学期中考试参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1-5．BACCA 6-8．DBD二、填空题（共16分，每小题2分）9． (1，-2) 10．例如21y x =+ 11．-1 12．2(1)2y x =++ 13．3π 14．12m ≤ 15．70︒或110︒ 16．35，夏秋春冬三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分， 第27-28题每题7分）17．解：(4)(2)0x x -+= ………………………………………… 3分 ∴1242x x ==-， ………………………………………… 5分18．（1）略 ………………………………………… 2分（2）(-3，2)，90° ………………………………………… 4分 （3）102 ………………………………………… 5分19．解：连接AO ，CD 过圆心，C 为AB 的中点，CD AB ∴⊥， ……………………… 1分18AB =，C 为AB 的中点，9AC BC ∴==， ……………………… 2分设圆的半径为x 分米，则OA OD x ==分米，27CD =，27OC x ∴=-，在Rt OAC ∆中，222AC OC OA +=， …………………………………… 3分 2229(27)x x ∴+-=，15x ∴=（分米）， …………………………………… 4分 答：拱门所在圆的半径是15分米． ………………………………… 5分 20．（1）图略 ………………………………………………… 1分 （2）①CQ ………………………………………………… 2分②90°………………………………………………… 3分 ③直径所对的圆周角是直角 ……………………………… 5分21．解：设封闭型长方形等候区的边AB 为x 米， …………… 1分由题意得，x(48−2x +2)=300， …………… 2分 整理得，x 2−25x +150=0，解得x 1=10，x 2=15， …………… 3分 当x =10时，BC =30>26;当x =15时，BC =20<26， ∴x =10不合题意，应舍去． …………… 4分 答：封闭型长方形等候区的边AB 为15米，BC 为20米． …… 5分22．解：（1）设二次函数的表达式为(1)(3)y a x x =+-，把(1,1)代入得12(2)a =⨯⨯-， 解得14a =-，∴二次函数的表达式为1(1)(3)4y x x =-+-， 即2113424y x x =-++； ……………………………… 2分 （或顶点式：21(1)14y x =--+） （2）如图，……………………………… 3分（3）35x -<< ……………………………… 5分23．（1）证明：由题意得，∆＝24-b ac ＝2(4)41(3)--⨯⨯-m m＝244-+m m ＝2(2)-m ≥0，……………………………… 1分 ∴该方程总有两个实数根． ……………………………… 2分（2）解：2(4)30x m x m +-+-=，解得 1=3-x m ，2=1-x ． ……………………………… 3分 ∵只有一个实数根为负数，∴3-m ≥0， ……………………………… 4分 ∴m ≥3． ……………………………… 5分24．（1）证明：连接OD ，D 是BC 的中点，BAD CAD ∴∠=∠，………………… 1分 OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，即BAD ODA ∠=∠，CAD ODA ∴∠=， //OD AE ∴， …………………………………… 2分 DE AC ⊥，∴∠ODE =180°-∠AED =90° DE OD ∴⊥半径，DE ∴是O 的切线； ……………………………… 3分（2）解：连接OC ，CD ，30CDA ∠=︒，223060AOC CDA ∴∠=∠=⨯︒=︒， OA OC =，AOC ∴是等边三角形， AC OA OD ∴==， ∵由(1)可得//OD AC ，∴四边形ACDO 是菱形，2CD AC ∴==，60CDO CAO ∠=∠=︒， DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，906030CDE ∴∠=︒-︒=︒， 112CE CD ∴==． ……………………………… 6分 （或连接BC 构造小矩形，酌情给分）25．（1）3.5，25( 3.5)11.25y x =--+； ……………………………… 3分（2）d 1＜d 2 ……………………………… 4分25( 3.5)11.25y x =--+，当0y =时：205( 3.5)11.25x =--+， 解得：5x =或2x =（不合题意，舍去）； ……………… 5分 15d ∴=米；254068y x x =-+-，当0y =时：2540680x x -+-=， 解得：21545x =+或21545x =-+（不合题意，舍去）； ∴2215455d =+>，12d d ∴< ……………………………… 6分26．（1）1a a+ ………………………………1分 （2）∵y 1=y 2∴点(2a -，y 1)，(5a，y 2)关于直线x=t 对称 ∴ 5a -1a a +=1a a +-(2a-) ……………………………2分 解得12a = ……………………………3分 （3）111a t a a+==+ ，∵a ＞0 ∴t ＞1 ……………………………4分∵(34a +，y 3)关于直线x=t 对称点为(12a--，y 3) ∴1221t a ---＜＜＜ ∵当x ＜t 时，y 随x 的增大而减小 ……………………………5分 ∴y 3＞y 1＞y 2 ……………………………6分 （或代数法直接做差，对一个给2分）27．（1）………………………………………1分（2）BE =2CF ………………………………………2分 证明：延长EC 至M ，使CM =CE ，连接BM∵F 是AD 的中点∴CF ∥DM ，2CF=DM∵∠ACB =α∴∠BCM =180°-∠ACB=180°-α=∠ECD∴∠BCM +∠BCD =∠ECD +∠BCD即∠DCM=∠ECB∴在△DCM 和△ECB 中CD CE DCM ECB CM CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCM ≌△ECB (SAS ) ………………………………… 6分∴BE =DM= 2CF（或倍长中线，第一个全等给1分，倒角给2分，第二个全等给1分）（3）2 ………………………………………8分28．（1）①B ………………………………1分 ②52………………………………3分 （2）如图，点M 关于⊙O 的“逆转点”所形成的区域是圆环，外圆半径为3+……………………………4分直线3y =+y 轴交点M (0，3+……………5分 连接ON ，则ON =OM ，且∠MON =120° ……………………6分 作NH ⊥x 轴于点H ，则∠NOH =30°故N x=3322+-=-∴32+-≤t ≤0 ………………………………7分。
2024-2025学年北京北师大附中初三上学期期中数学试题及答案
2024北京北师大附中初三（上）期中数 学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（ ）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（ ）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（ ）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（ ）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（ ）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=． （2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________． （2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象； （3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ； （2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据： 证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=． 故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠， 由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒， 故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答； 【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ， 即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=， 故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，． 故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===， 在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=； 【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果； （2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】 解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==， 若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解 （2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=， 解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解 （3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可； （2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ， 结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围． 【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===； 【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ， 而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<， 解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数； （2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ， 证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图， 在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点， 设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===， 根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。
初三数学期中试题及答案
初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333B. πC. 4.5D. 0.5答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1答案：D3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度可能是：A. 1B. 2C. 7D. 5答案：D4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 圆C. 正三角形D. 所有选项答案：D5. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零答案：D6. 以下哪个选项是二次根式？A. √2B. √(-1)C. √(0)D. √(4/9)答案：A7. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1或0答案：D8. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么另一个锐角是：B. 90度C. 120度D. 30度答案：A9. 以下哪个选项是不等式？A. x + 3 = 7B. x - 5 > 2C. 4x = 16D. 3x ≤ 9答案：B10. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 任何数答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_______。
答案：52. 如果一个数的绝对值是8，那么这个数可能是_______或_______。
答案：8，-83. 一个数的平方根是4，那么这个数是_______。
4. 一个三角形的两边长分别为5和12，根据三角形的三边关系，第三边的长度应该大于_______而小于_______。
答案：7，175. 如果一个数的立方是27，那么这个数是_______。
答案：3三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个数的平方是25，求这个数。
答案：这个数是±5。
2. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边的长度。
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…… 答密 …… …… …… …… ……
…… …… …… …… …… ……
垂直平分线 (8 分 ) （只能用直尺，保留作图痕迹，不写作法）
22．应用题
（ 10 分）
在直角梯形 ABCD 中，AD // BC , A 900 , AD 24, BC 26,动点 p 从 A 开始沿 AD
）.
A ．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
13．绛县“大自然服装城”在国庆期间为了促销，下调部分服装价格，男式衬衫经过两次降价
由每件 100 元降到每件 81 元，则平均每次降低率为（
）.
A ． 8﹪
B． 9﹪
C． 10﹪
D． 11﹪
14．在矩形 ABCD中， E 为 CD中点，连接 AE并延长交 BC的
9. 在周长为 1 的 A1B1C1 中，取各边中点得 A2B2C 2 ，再取
A2 B2 C2 各边中点得 A3 B3C3 ，依次类推……，则
的周长为 ________.
An Bn C n
B1
A1
C2
A3
B2
B3
C3
A2
C1
10．如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其
D
C
D
A
B
C
B
中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45 0 ，
九年级上册数学期中试题 附参考答案
( 满分 120 分 考试时间 90 分钟 ) 一、填空题（每空 3 分，共 30 分）
1. 方程 2x2 0 的解是 _____________.
2．要使 □ ABCD 成为菱形，需添加的条件是 _____________________( 写一个即可 ) ．
3．若关于 x 的一元二次方程 kx2 2 x 1 0 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是
DCE ，
…
线 …
则下列结论不正确的是（
）
A
…
… …
1 A ． BF DF
2
…
B ． S AFD 2S EFB
… …
C．四边形 AECD 是等腰梯形
D ． AEB
ADC
F
B
E
…
…18. 如图， …
AB
AD
2.CB
CD . BAD
900 , 点 E
A E
…
… 是 AB 边上的中点，点 F 是 AC 上一动点，连接 EF、 BF，则
B
…
…
F
… EF+BF 的最小值是（
）
…
题
… …
A．2
B． 5
C． 2 2
D． 1 2
C
…
…三、解答题 (共 66 分 ) …
…
…
19．解方程（每题 6 分，共 24 分）
…
…
…
⑴ x2 5x 6 0
…
⑵ 5x2 2x 4
…
…
…
…
…
…
…
…
…
答
…
…
…
…
…
…
…
…
… …
⑶ x 2 2 2x 3 2
⑷ y 12 5 y 1 4 0
A
延长线于点 F，则图中全等的直角三角形有（
）
B
A．3 对
B．4 对 C．5 对
D．6 对
15. 用两块能完全重合的含
0
30 角的三角板，能拼成下列五种图形：①矩形
D E
C
F
②菱形 ③等腰三
角形（腰与底不等） ④等边三角形 ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）中的（
）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④⑤
．
4．用反证法证明 “一个三角形中， 必有一个内角小于或等于 60 ”时，首先应假设 __________ ．
5．如图在 ABC 中， PDE 的周长为 5， BP, CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线，且 PD // AB, PE // AC ,
则 BC 的长为 _________. 6．如图在矩形 ABCD 中， AOB 60 0 , AB 3，
…
D C D
20．已知：如图，在 ABC 中， AB=AC, AD BC 垂足为 D， AN是 ABC 外角 CAM 的平
分线， CE AN 垂足为点 E. （ 10 分）
⑴ 求证：四边形 ADCE为矩形
M AE N
⑵当 BC与 AD在数量上满足什么关系时，四边形 ADCE是
正方形？并给出证明 .
B DC
边以 1cm/ s 速度运动，动点 Q 从 C 开始沿 CB 边以 3cm/ s 的速度运动， P、 Q 同时出发，当
其中一点到端点，另一点也随之停止。设运动时间为
t s. A P
D
⑴当 t 为何值时，四边形 PQCD为平行四边形？
⑵当 t 为何值时，四边形 PQCD为等腰梯形？
B
QC
AD为边的等边三角形，过点 E 作 EG//BC，分别交 AB、AC于点 F、G，连接 BE.（14 分） A
⑴如右图，当 D 在线段 BC上时，
①求证： AEB ≌ ADC （ 4 分）
F
G
E
B
D
C
②探究四边形 BCGE是怎样特殊四边形 . 说明理由（ 4 分）
A
⑵如右图，当点 D 在 BC的延长线上时，直接写出⑴中
的两个结论是否成立？（ 2 分）
B
C D
F
E
G
⑶在⑵情况下，当点 D运动到什么位置时，四边形 BCGE为菱形？并说明理由 . （ 4 分）
21．作图题，如图在线段 BC的两侧分别是正方形 BEFC和矩形 ABCD，请作出线段 BC 的
A
D
2
B
C
…… …… …… …… …… …… ……
…… …… 线线 …… …… ……
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 题封
…… …… …… …… …… ……
…… …… …… …… …… …… ……
则这两个正方形重叠部分的面积为 _________.
二、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
题号
11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
13
14
15
16
17
18
选项
11. 关于 x 的一元二次方程 x2 5x p 2 2 p 5 0 的一个根为 1，则实数 P 的值是 ( )
A．4
B．0 或 2
C． -1
D． 1
12．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形为（
则 BC _________.
A P
BD
E
C
A
D
O
B
C
7．如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O， E 是 CD 的中点， DOE 的周长为 8cm，则 ABD 的
周长为 ________.
A
D
O E
B
C
8．已知：直角三角形斜边上的中线长是 2.5 ，两直角边的和为 7，则三角形面积为 _______.
D．①②③④⑤
16. 某次会议上， 每两人相互握一次手， 有人统计一共握了 66 次手，如参加这次会议的有 x 人，
则由题意列方程整理后得（
）
… …
A ． x 2 x 132 0
B ． x 2 x 132 0
…
… …
C． x2 x 132 0
D ． x 2 x 132 0
…
……17. 在□ ABCD 中， E 是 BC中点，且 AEC