自适应时频分析及其研究进展

数字信号处理学号：************学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：XXX********教师所在学院：测试与光电工程学院2013年12月13级4班自适应时频分析及其研究进展XXX（南昌航空大学测试与光电工程学院南昌330063）摘要：通过对自适应时频分析的发展历程的了解，总结分析近几年内，各学科对于自适应时频分析方法的具有创新的研究进展，表现出其在各领域研究中的不可忽视的地位。

对不同的时频分析技术作了简要介绍，并对其优缺点、彼此间的相互关系进行了较为详细的论述。

同时，对时频分析技术所面临的问题及发展方向谈了一点个人看法。

关键词：傅氏变换；适应信号分解；Matching pursuit算法；时频分析引言尽管信号处理的目的不同，如用于数据压缩、降噪、检测、参量估计及模式识别等，但信号处理的基本步骤和方法却是一致的。

那就是首先要获取信号的特征信息。

对待分析信号作各种变换处理的根本目的，就是要通过变换处理使待分析信号的特征信息尽可能地突显出来以利于特征提取。

尽管人们已经提出了形形色色的信号变换方法，但大体上却可分为如下3类：线性变换方法，双线性变换方法及参数化时频表示方法。

本文就现有的各种方法作一综述和比较，并就其中的一些问题谈一点个人的粗浅看法。

1自适应时频分析的现状时频分析方法提供了时间域和频率域的联合分布信息，更清楚地描述了信号的频率是如何随时间变化的关系。

时频分析的方法很多，从短时傅立叶变换到二次型时频分析、Gabor变换、Cohen类时频分布等，各类分布多达几十种，但这些基于传统理论的各种处理方法，有着种种自身难以克服的缺陷。

短时傅里叶分析方法的不足之处是不能同时获得高的时频分辨率。

二次型时频分布具有最高的时频分辨率，但其固有的缺陷是交叉干扰项的存在，使用固定核函数对于某一类信号可能较好地抑制了交叉项，但同一种核函数对另外的信号却常常不能尽如人意。

Gabor 展开的基函数可以体现信号的时频特征，但Gabor 基的频率、带宽是固定的。

同样，小波变换的时移、频移也是固定变化的，只是对时频平面进行了机械的格型分割，其基函数不能自适应选取[1]。

为了克服传统时频分析的种种缺陷，到二十世纪九十年代，自适应时频正式登上了历史舞台。

自适应时频分析是一种应用自适应信号处理手段来完成信号的时频分析以获得更好的时频信息描述与跟踪效果的方法。

在所有的时频分析方法中最受关注的是Cohen 类时频分布[2],包括:Wigner 分布[3],优化平滑Wigner 分布[4],Choi-Willimams 分布[5],锥形核分布[6],交叉项检测的时频表示(CDR)[7],减少交叉顶的分布(RID)[8],具有Besell 核的时频分布[9],具有组合核的时频分布[10]。

基于信号分解的时频分析方法是自适应时频分析方法中的一种，它采用的是信号线性空间扩展的手段，从过完备基函数集合中寻求最佳的信号表示。

如匹配搜索原子分解(MP)，自适应高斯基表示(AGR)等。

这类方法实际上参数化和模型化的方法，它结合了线性和二次型时频表示的有点，虽然计算较为复杂，但是当参数模型确实匹配被分析信号时，可以取得比非参数型方法更好的效果。

由于自适应方法潜在的优异性能，引起了人们的广泛关注，形成了时频分析研究的一个新热点。

2 自适应时频分析的各种变换2.1 短时傅氏变换短时傅氏变换[11]定义为*ˆ(,)()()j s t s g t e d ωτωτττ+∞--∞=-⎰ （2.1）其中g （t ）为一时间局部化了的窗函数。

显然对应于一定的时刻，短时傅氏变换只对其附近窗口内的信号作分析，能够粗略地反映信号在该时刻附近的局部频谱特征。

而整个变换结果也就能提示信号频谱随时间的演化特性，性能优于傅氏变换。

能够保证该方法有效性的一个隐含假设是，信号在窗函数的有效持续时间内应是平稳的，但此条件通常无法满足或近似满足。

上文中所示信号作傅氏变换等价于在特定时刻对该信号作了一次短时傅氏变换，其所用窗函为一矩形窗，宽度等于信号的有效持续时间。

显然，由于不满足局部平稳性假设，短时傅氏变换给了人们错误的信息。

为满足局部平稳性假设条件，人们又采用自适应的方法对不同的信号段选择不同长度的窗函数[12]。

但如何衡量信号的局部平稳性本身就是一大难题。

再者，同傅氏变换一样，即使信号在窗函数的有效持续时间内是平稳的，它也无法较好地给出信号的局部频谱信息。

2.2 小波变换小波变换定义为*(,)()()s t WT t a s d a ττψτ+∞-∞-= （2.2）其中a > 0 为尺度参数，y(t) 为一个时间、频率均局部化了的带通函数。

对复小波而言 ,母小波y(t)可表示成以下形式()()j t t h t e ωψ= （2.3） 其中w 为小波y (t ) 的中心频率， h(t) 为一低通实函数。

则小波变换又可表示成式(2.4)形式*(,)()()j t j t a as t WT t a e s h e d a ωωτττ-+∞-∞-= （2.4）比较两式可见，小波变换和短时傅氏变换具有很大的相似性。

区别仅在于观察信号的不同频率分量，小波变换使用了不同宽度的窗函数。

同短时傅氏变换相比，小波变换具有多分辨能力[13]。

目前，小波变换是信号处理领域的一个研究热点。

不仅关于它的理论及应用方面的文献浩繁，而且它也被罩上了一层神秘的光环，似乎小波变换无所不能。

其实不然，它只适于分析自相似信号。

在实际应用中人们发现，母小波选择的恰当与否至关重要，几乎是影响小波变换应用成败的决定性因素。

其根本原因就在于此。

3 自适应时频分析的各种分布3.1 径向高斯核时频分布G.B.Richard 和L.J.Douglas 在1993年提出了基于信号的径向高斯核时频分析,这种方法将待求的核函数定义为沿任意径向剖面部都是Gauss 型的二维函数,即22(,)exp 2()τθθτσ⎫⎧+⎪Φ=-⎨⎬ψ⎪⎩⎭（3.1） ()σψ为在径向角arctan()τψθ=上的Gauss 函数的均方差,它控制Gauss 函数的形状,称展形函数[14]。

利用极坐标r =作为半径变量,(3.1)式可以写成2(,)exp 2()r r φσ⎧⎫ψ=-⎨⎬ψ⎩⎭（3.2）且核函数满足约束条件22001(,)2r rdrd πφαπ∞ψψ≤⎰⎰ （3.3） 因为径向Gauss 核函数完全由一维函数()opt σψ所控制,寻找优化的径向Gauss 核函数,等价于寻找优化的展形函数()opt σψ,所以(3.3)式可以等价写为01()2d πσαπψψ≤⎰ (3.4)这种方法将二维核函数的优化问题简化为一维展形函数的优化问题,使优化函数的设计向前推进了一步。

但是它仍基于信号的自项成分集中在模糊平面的原点附近、交叉项远离原点这样的理论基础,所以,当自项成分和交叉项成分重叠时,无论体积参数α取何值,都不能将自项和交叉项分开[15]。

3.2 自适应锥形核时频分布N.C.Richard 提出了自适应锥形核设计，根据信号属性自适应调节锥形核的长度。

锥形核分布是一种Cohen 类[16]二次时频表示，其核函数在时间相关平面呈锥形。

它在提供好的时频分辨率和抑制交叉项的同时保留了时间支持特性，在频率轴上能够使谱峰得到增强。

锥形核分布的离散形式[17-18]为：(,)(,)(,)jkw T kCKD n w n k R n k e -=Φ∑ （3.5）其中*(,)()()k p k R n k x n p k x n p k =-=+++-∑ （3.6） 224(),k T T k e T k T φ-=-≤≤ （3.7）式中x(n)(n=0,1,…,N-1)为待分析信号，CKD 的性质决定于锥形长度T 。

为得到好的时频分布效果，对于变化较快的信号，通常选取较小的T;而对于变化较平缓的信号，常选取较大的T 。

也就是说，对于某一信号，过大或过小的了都会降低CKD 的时间一频率分辨率，使其时频能量分布分散。

因此以时频分布的能量集中程度为准则，确定出最佳的了值。

信号的能量为2212*()()()()k n N T n jk T T m n N k T p k e k x m p k x m p k e d ωωω+--=-=-=-=Φ+++-∑∑∑⎰ 221*2()()()kn N T jk T m n N k Tp k k x m p k x m p k e ω+--=-=-=-=Φ+++-∑∑∑ 2212*()()()()k n N T jk T T k T m n N p k k k x m p k x m p k e ω+--=-=-=-⎡⎤⎢⎥=ΦΦ+++-⎢⎥⎣⎦∑∑∑ （3.8） 如果记221*2()()()k n N jk n m n N p k E k x m p k x m p k e ω+--=-=-=+++-∑∑ （3.9）则22()()()T n T T n k T e k E k =-=Φ∑ （3.10）采用如下优化准则2max ()()()T T T n T T k T C n k E k A =-⎡⎤=Φ⎢⎥⎣⎦∑ （3.11） 其中224T k T T k T A e -=-=∑为核函数能量。

()T C n 表示n 时刻时频分布的能量与核函数能量之比，使()T C n 最大的T 即为最优锥形核长度，记为n opt T 。

从而得到自适应锥形核时频分布为2214()*(,)()()n opt n opt n opt T k k T jk p k k T CKD n e x n p k x n p k e ωω---=-=-⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ （3.12) 3.3 自适应最优核时频分布定义具有时频局部化性质的模糊函数[19-20]如下(,,,)(,)(,)j u jv AF t WVD u v A u t v e dudv θτθτωω-+=•--⎰⎰ （3.13）式中,变量t 和ω给出了二维窗函数的中心位置,将Wigner-Ville 分布与窗函数A(u-t,v-ω)相乘,可以将积分区域限制t 和ω的邻域内。

与加窗傅里叶变换相同,窗函数的选取要保证其既要具有时频域局部化性质,也要具有模糊域局部化性质。

虽然采用加窗的方法降低了模糊域的分辨率,但是对最优化核函数影响并不大。

式中的窗函数要求同时在时频域和模糊域具有较好的分辨率。

在定义局部模糊函数以后,时频自适应最优核函数的设计转换为如下的最优化问题max ()opt g ΦΦ=Φ （3.14） 2()(,;,)(,;,,)g AF t t s d d θτωθτωθτΦ=Φ⎰⎰ 2200(,;,)(,;,,)p AF r t r t s rdrd πϕωϕωϕ∞=Φ⎰⎰ （3.15） 从而得到时频自适应最优核时频表示(,)(,;,)(,;,,)j t j opt p t AF t t s e d d θωτωθτωθτωθτ-=Φ⎰⎰ （3.16）纵观自适应时频表示的发展历程,无一不是以追求完美地刻画复杂多样的信号时频特征为动因,以增加算法的复杂性和降低速度为代价。