对数公式及对数函数的总结.pdf
对数函数计算公式
对数函数计算公式对数函数是数学中的一种重要函数，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
它的计算公式主要包括自然对数函数的计算公式和常用对数函数的计算公式。
1.自然对数函数：自然对数函数以常数e（自然对数的底数）为底，表示为ln(x)或者log_e(x)。
自然对数函数的计算公式如下：ln(x) = ∫(1/x) dx其中，∫(1/x) dx表示对函数1/x进行积分。
一般来说，计算出一些数的自然对数可以利用公式ln(x) = ∫(1/t) dt，将t从1积分到x 即可。
例如，计算ln(2)可以采用以下步骤：ln(2) = ∫(1/t) dt= [ln(t)]1皿2= ln(2) - ln(1)= ln(2)2.常用对数函数：常用对数函数以10为底，表示为log(x)。
常用对数函数的计算公式如下：log(x) = log10(x) = log(x)/log(10)其中，log(x)表示以10为底的对数，log(10)表示10的对数。
常用对数函数的计算可以通过计算ln(x)和ln(10)的比值得到。
例如，计算log(100)可以采用以下步骤：log(100) = ln(100) / ln(10)= 2 / log(10)=2此外，对数函数还有一些常用的性质和定理，也可以用于计算中。
例如，对数函数的换底公式：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中，log_b(x)表示以b为底的对数，log_a(x)表示以a为底的对数，log_a(b)表示以a为底，b为底的对数的比值。
对数函数在实际应用中有着广泛的应用。
它可以用于求解指数方程、计算复利、解决概率问题等。
比如在金融领域，对数函数可以用来计算复利利率，计算股票价格的涨幅等。
在科学研究中，对数函数可以用于分析曲线的趋势、解决指数增长问题等。
总之，对数函数是数学中一种重要的函数，它有着广泛的应用和计算公式。
通过掌握对数函数的计算公式，我们可以更好地理解和应用对数函数，解决实际问题。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
关于对数函数的所有公式
关于对数函数的所有公式
1、指数函数的定义：
对数函数时在实数集中定义的一类函数，它的定义是：对任意的正实数x，存在一个实数y使得 e^y = x，则称y为x的对数，记作y =
log_e x 或者y = ln x.
2、对数函数的性质：
（1）对数函数是单调递增函数
（2）ln x > 0时，函数图像开口向上
（3）单调递减函数的图像等于反函数的图像
（4）当x > 0时，y = ln x在实数轴上的图像与x = e^y在实数轴上的图像是互逆的
（5）若x, y > 0，则 x > y <=> ln x > ln y
3、对数函数的基本函数关系：
（1）ln（xy）= ln x+ln y
（2）ln（x/y）= ln x−ln y
（3）ln（x^a）= a * ln x
（4）ln（e^x）= x
（5）ln 1 = 0
（6）ln e = 1
4、延伸函数的定义和性质：
（1）任意正实数x，存在一个实数y使得 b^y = x，则称y为x的以b为底的对数，记作 y=log_bx
（2）任意正实数x，存在一个实数y使得 e^(cy) = x，则称y为x 的以c为指数的对数，记作 y=clog_ex
（3）任意正实数x，存在一个实数y使得 b^(cy) = x，则称y为x 的以b*c为底的对数，记作 y=log_b(cx)
（4）对数函数的基本的关系也适用于延伸函数的定义
5、对数函数的函数变换：
（1）y=f(x)，其中f(x)为一次函数：
y=a*ln x+b
（2）y=f(x)。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数及对数函数
[答案] D
(2011·佛山一模)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2x.则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) (2010·天津文数)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( ) A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c [解析] 因为0＜log53＜1，所以0＜(log53)2＜log53，又log53＜log54＜1 log45＞1，所以b＜a＜c. [答案] D
3．形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数有如下性质
化同底后利用函数的单调性； 作差或作商法； 利用中间量(0或1)； 化同真数后利用图象比较．
4．对数值的大小比较的方法．
“当底数与真数同时大于1或底数与真数同时大于0而小于1时，对数值是正数，否则对数值小于0”．这一结论对解选择题，填空题很有帮助，能大大提高解题的效率．
Annual Work Summary Report
2021
2023
lgN
lnN
零与负数
0
1
logaN＝b(a>0，a≠1)
1．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记 ． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 . (2)对数的性质 ① 没有对数；②loga1＝ ；③logaa＝ ；④alogaN＝N(对数恒等式)．
命题等价于x2－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3} ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3即a＝2 [点评与警示] 对数函数的值域为R时，其真数必须取遍所有的正数．
（完整版）对数公式及对数函数的总结
（完整版）对数公式及对数函数的总结对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =?=>≠>。
常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中2.71828e =…）．对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =?31log 12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lgΛ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8??-? ???的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y --3函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
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6 不等式 log 3 (2x −1) 1的解集为
(1 ,2] 2
7 设函数 f ( x) = log2 (4x) log2 (2x) ，且 x 满足 4 −17x + 4x2 0 ，求 f ( x) 的最大值。12.
提示：（1）在对数函数中 f (x) = log a x 中，当 a 1， f (x) 在其定义域上是增函数；当1 a 0 ， f (x) 在其
（2）减法： loga
M
− loga
N
=
loga
M N
（4） aloga N = N
（5） logab
M
n
=
n b
loga
M (b
0, n R)
（6）换底公式：
loga
N
=
logb logb
N a
(b
0, 且b
1)
（7） log a b log b a = 1
（8）
log
a
b
=
1 log b
a
34
200
2 log 5 25 − 3log 2 64 =
2 解对数的值：
lg 14 − 2 lg 7 + lg 7 − lg 18 0 3
lg 5 + 2 lg 2 − (1)−1 = -1
2
2
1
1 8
3
−
log3
2
log4
27+2(lg
2 + lg
5) 的值 0
提示：对数公式的运算
lg 6 1000 = (log 4 3 + log 8 3)(log 3 2 + log 9 2) = log 3 5 − log 3 90 + log 3 2 =
在 (0, +) 上是减函数
loga x 0 (x 1) loga x = 0 (x = 1) loga x 0 (0 x 1)
在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高。
1
类型一、对数公式的应用
1 计算下列对数
log2 6 − log2 3 = log2 128+ log2 64 =
图象
1
1(1, 0)
O
(1, 00)
x
O
0x
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况
a 变化对图象的影响
(0, +)
R
图象过定点 (1, 0) ，即当 x = 1 时， y = 0
非奇非偶
在 (0, +) 上是增函数
loga x 0 (x 1) loga x = 0 (x = 1) loga x 0 (0 x 1)
5 若 a 1，且 a −x − log a x a − y − log a y ，则 x 与 y 之间的大小关系是（ ） x y 0
提示：在
对数运算和对数函数
对数的定义
①若 ax = N (a 0,且a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = loga N ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化： x = loga N ax = N (a 0, a 1, N 0) 。
类型二、求下列函数的定义域问题
1 函数 f (x) = 3x2 + lg( 3x + 1) 的定义域是 (− 1 ,1)
1− x
3
2 设 f (x) = lg 2 + x ，则 f x + f 2 的定义域为 (− 4,−1) (1,4)
2− x
2 x
3 函数 f (x) = −x2 − 3x + 4 的定义域为（ (−1,0) (0,1] ） lg(x +1)
提示：（1）分式函数，分母不为 0，如 y = 1 , x 0 。 x
2
（2） 二次根式函数，被开方数大于等于 0， y = x , x 0 。
（3）对数函数，真数大于 0， y = log a x, x 0 。
类型三、对数函数中的单调性问题
1 函数 f (x) = lg(x2 − 4x + 3) 的单调递增区间为（ (−,1) ）
2 2 = log212
log2
1 3
lg 5+ lg 2 =
log 2 (43 24 ) =
2 + 4 = log2 3+2
log2 3
log 2 a + log 4 b + log 8 c = 2 log 5 10 + log 5 0.25 =
log 2 27 log 3 16 =
lg 2 + lg 3 ++ lg 199 =
2 函数 f (x) = ln( x2 − 2x −15) 的单调递增区间是 (5,+)
3 函数 y = log 0.5 (x2 − 3x + 2) 的递增区间是（ (−,1) ）
4
已知
f
(x)
=
2+
log3
x,
x
1 81
,
9
，则
f
(x)
的最小值为（
-2 ）
5 若函数 y = − log2 (x2 − ax − a) 在区间 (−,1− 3) 上是增函数， a 的取值范围。[2 − 2 3, 2]
3 设 a = log3 ,b = log2 3,c = log3 2 ，则 a, b, c 的大小关系 a b c
4 若 a b 0 ， 0 c 1，则 B （A） log a c log b c （B） log c b log c b （C） ac bc （D） ca cb
log2 8 + log4 8 + log8 32 = log2 (log 2(log 2 (log 2 65536))) =
如果 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么
（1）加法： loga M + loga N = loga (MN) （3）数乘： n loga M = loga M n (n R)
定义域上是减函数。
（2）在复合函数 f (x) = log a g(x) 大小比较
1 已知 logm 4 logn 4 ，比较 m ， n 的大小。 0 m 1 n 2 已知 a = log 3 2,b = log 4 3, c = log 5 4 ，比较 a, b, c 的大小关系 c b a
常用对数与自然对数
常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： ln N ，即 loge N （其中 e = 2.71828 …）．
对数函数及其性质
函数名称
对数函数
定义
函数 y = loga x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a 1
0 a 1
y
x=1 y = loga x
y
x=1 y = loga x