天津市高二上学期数学期中考试试卷
天津市高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） 2x2+1与2x的大小关系是（）
A . 2x2+1>2x
B . 2x2+1<2x
C . 2x2+12x
D . 不能确定
2. （2分） (2016高二上·浦东期中) 下列命题中，正确命题的个数是（）
①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；
②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；
③若数列{an2}是等比数列，则数列{an}也是等比数列；
④若| |=| |，则 = ．
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
3. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知三角形的三边满足条件，则（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 120°
4. （2分） (2019高二上·吉林期中) 直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n的值为（）
A . 32
B . 33
C . 34
D . 35
6. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 若椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 等腰直角三角形
7. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 已知集合M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N=（）
A . {x|x＜﹣2}
B . {x|x＞3}
C . {x|﹣1＜x＜2}
D . {x|2＜x＜3}
8. （2分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2 ，其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，3}，则A*B中的所有元素数字之和为（）
A . 10
B . 14
C . 20
D . 24
10. （2分）(2012·陕西理) 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2 ，则cosC 的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2016高一下·南平期末) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2﹣c2=6 ﹣2ab，且C=60°，则△ABC的面积为________．
12. （1分） (2016高二上·赣州开学考) 在约束条件下，目标函数z=3x﹣2y+1取最大值时的最优解为________．
13. （1分） (2019高一下·余姚月考) 在等比数列中，若，，则 ________，
________.
14. （1分）若集合A={x|x2+ax﹣b=0}={3，4}，则a=________，b=________．
三、解答题 (共3题；共30分)
15. （10分）(2017·汉中模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC﹣ccosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=2 ，求△ABC的周长和面积．
16. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
17. （10分）(2018·昌吉月考) 已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的值.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共3题；共30分)
15-1、16-1、16-2、
17-1、17-2、。
2023-2024学年天津市五校联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π32．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．123．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝04．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√26．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−357．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1 D ．x 24+y 23=18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ）A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= ．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 ．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 ． 14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ． 15．已知F(√6，0)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点．若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为2π，则椭圆C 的长轴长为 ． 三、解答题16．（14分）已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，求： （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值； （3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1． （1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值； （3）求点E 到平面PDC 的距离．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （1）求证：QB ∥平面PDC ； （2）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π3解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝k =√3−04−1=√33，又α∈[0，π），所以α=π6， 故选：C ．2．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．12解：由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2，或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知重合． 故选：C ．3．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝0解：设AB 的中点为D ，则D(32，−32)，∵C （3，3），∴k CD =3−(−32)3−32=3，故AB 边上的中线所在直线的方程为y ﹣3＝3（x ﹣3），即3x ﹣y ﹣6＝0． 故选：C ．4．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴{k −4＞010−k ＞0k −4＞10−k，解得：7＜k ＜10，故“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B ．5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√2解：由题意知，直线l 的一个方向向量为PQ →=（1，0，﹣1）， 取直线l 的一个单位方向向量为m →=PQ →|PQ →|=（√22，0，−√22）， 又A （1，﹣1，﹣1）为直线外一点，且直线l 过点P （1，2，1）， ∴PA →=(0，−3，−2)， ∴PA →⋅m →=（0，﹣3，﹣2）⋅(√22，0，−√22)=√2，|AP →|=√13，∴点A 到直线l 的距离为√PA →2−(PA →⋅m →)2=√13−2=√11．故选：C ．6．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−35解：设点A （﹣4，1）关于直线l 1：x ﹣y +3＝0的对称点为C （m ，n ）， 则{n−1m+4=−1m−42−n+12+3=0，解得m ＝﹣2，n ＝﹣1，即C （﹣2，﹣1）， 由题意可知点C 在反射光线上，则k ⬚BC =2+1−3+2=−3， 所以反射光线所在直线的斜率为﹣3， 故选：B ．7．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1D ．x 24+y 23=1 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，x ＝1代入得1a 2+y 2b 2=1，y =±ba√a 2−1，所以{2b a √a 2−1=√2a 2−b 2=1，由于a ＞b ＞0，故解得{a =√2b =1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)解：设P （x 0，y 0），则PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）＝﹣c 2+cx 0﹣cx 0+x 02+y 02＝﹣c 2+x 02+y 02， x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以x 02+y 02≤a 2，所以（PF 1→•PF 2→）max ≤﹣c 2+a 2，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则﹣c 2+a 2≤ac ， 所以c 2a 2+c a−1≥0，所以−1+√52≤e ， 又因为e ＜1， 所以−1+√52≤e ＜1， 故选：A ．9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ） A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54解：根据题意，设AB 的中点为P ，圆x 2+y 2＝5的圆心O ，其坐标为（0，0），因为圆x 2+y 2＝5上的两个动点A ，B 满足|AB|=√15，所以|OP |=√5−(12|AB|)2=√52，即P 的轨迹是以O 为圆心，半径为√52的圆，该圆的方程为x 2+y 2=54，MA →+MB →=2MP →，则|MA →+MB →|＝2|MP →|，而M 在2x +y ﹣5＝0上运动，则|MP →|为2x +y ﹣5＝0和x 2+y 2=54上两点间的距离，则其最小值为√22+12=√5−√52=√52， 故|MA →+MB →|的最小值是√5． 故选：B ．二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= 3 ． 解：∵a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{a →⋅c →=2x −4+2=012=y −4=12，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴a →+b →=(2，−1，2)，∴|a →+b →|=√22+(−1)2+22=3． 故答案为：3．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 （﹣∞，﹣4]∪[34，+∞） ．解：如图，k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 3x +4y +2＝0或x ＝﹣2 ．解：由圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0，得（x +1）2+（y +1）2＝4， ∴圆心C （﹣1，﹣1），半径r ＝2， 设圆心C （﹣1，﹣1）到直线l 的距离为d ，∵弦长|AB |＝2√3，∴d =√r 2−(12|AB|)2=√4−3=1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣2，圆心到直线l 的距离为1，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ﹣1＝k （x +2），即kx ﹣y +1+2k ＝0， 圆心到直线l 的距离为d =|−k+1+1+2k|√k +1=|k+2|√k +1=1，解得k =−34，此时直线l 的方程为3x +4y +2＝0，综上所述：直l 的方程为3x +4y +2＝0或x ＝﹣2．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 8 ． 解：根据题意，圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4， 联立{x 2+y 2=4(x −2)2+(y −2)2=4，变形可得：x +y ＝2，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y ＝2，若点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C 和圆M 的公共弦上，则有4a +2b ＝2， 则1a +2b =12（1a +2b ）（4a +2b ）≥4+4＝8，当且仅当b ＝4a 等号成立， 即1a +2b的最小值为8； 故答案为：8．14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝√3−12． 解，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．∴12×2×|AC|×12=√3，∴|AC|＝2√3，∴|BC|2=22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4，∴|BC|＝2，∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，∴2a＝|AC|+|BC|＝2√3+2，2c＝2，∴e=ca=2c2a=223+2=√3−12．故答案为：√3−1 2．15．已知F(√6，0)为椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点．若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且△OFP外接圆的面积为2π，则椭圆C的长轴长为6．解：因为△OFP外接圆的面积为2π，所以其外接圆半径为√2．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以√6sin∠OPF=√6sin2α=2√2，所以sin2α=√32，所以α=π6或α=π3．不妨设点P在x轴下方，所以k PF=−k OP=√33或√3．又根据点差法可得k PF⋅k OP=−b2a2，所以b2a2=13或b2a2=3(此时焦点在y轴上，舍去）．因为F(√6，0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，所以c=√6，所以a2＝b2+6，又a2＝3b2，所以b2＝3，a2＝9，故椭圆C的长轴长为2a＝6．故答案为：6．三、解答题16．（14分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上，求：（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值；（3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．（1）设圆的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆经过A （﹣1，1）和点B （﹣2，﹣2）， 且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，所以 {(−1−a)2+(1−b)2=r 2(−2−a)2+(−2−b)2=r 2a +b −1=0解得：{a =3b =−2r =5，所以圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝25．（2）因为圆C 到直线x ﹣y +5＝0的距离为d =|3+2+5|√2=5√2＞5， 所以直线与圆相离，所以|PQ |的最小值为d −r =5√2−5．（3）当斜率不存在时，过点P （0，3）的直线为x ＝3，不是圆的切线，当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，由条件可知，圆心C 到直线kx ﹣y +3＝0的距离为5， 根据点到直线的距离公式得：√k 2+1=5，解得k =0或158． 所以直线方程为15x ﹣8y +24＝0或y ＝3．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1．（1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值；（3）求点E 到平面PDC 的距离．（1）证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），C （2，4，0），M （1，2，1），E （2，1，0），DM →=（1，0，1），易知平面P AB 的一个法向量为AD →=（0，2，0），故DM →•AD →=0+0+0＝0，则DM →⊥AD →．又DM ⊄平面P AB ，故DM ∥平面P AB ．（2）解：易知平面BDE 的一个法向量为AP →=（0，0，2），设平面PDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），且PD →=（0，2，﹣2），DE →=（2，﹣1，0），则{m →⋅PD →=2y −2z =0m →⋅DE →=2x −y =0，令y ＝2，则x ＝1，z ＝2，∴m →=（1，2，2）．设平面PDE 与平面BDE 夹角为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos ＜m →，AP →＞|＝|m →⋅AP →|m →||AP →||=43×2=23．（3）解：设平面PDC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），且DC →=（2，2，0），则{n →⋅PD →=2b −2c =0n →⋅DC →=2a +2b =0，令b ＝1，则a ＝﹣1，c ＝1，故n →=（﹣1，1，1）， 设点E 到平面PDC 距离为h∴h ＝|DE →⋅n→|n →||=3√3=√3．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．解：（1）已知椭圆C 的离心率e =c a =12， 所以e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14， 即a 2=43b 2，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切，所以b =6√1+1=√3，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，又韦达定理得{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2， 此时y 1y 2=k(x 1−1)⋅k(x 2−1)=−9k 23+4k2， 因为OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−5k 2−123+4k 2=−2， 整理得k 2＝2， 解得k =±√2，此时{x 1+x 2=1611x 1⋅x 2=−411， 则|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3√(1611)2+1611=3611， 又点O 到直线的距离d =√23=√63，故△MON的面积S=12×3611×√63=6√611．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7√315，求线段DH的长．（1）证明：由已知可知：PD⊥AD，平面ADPQ⊥平面ABCD，PD⊂平面ADPQ，∴PD⊥平面ABCD，∵AQ∥PD，AB∥CD，AQ∩AB＝A，PD∩CD＝D，AB⊂平面ABQ，AQ⊂平面ABQ，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，∴平面ABQ∥平面PDC，∴QB∥平面PDC；解：（2）以D为原点，DA为x 轴，DC为y 轴，DP为z 轴，建立空间直角坐标系如图：则有A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），Q（2，0，1），C（0，2，0），PC →=（0，2，﹣2），BC →=（﹣2，0，0），QB →=（0，2，﹣1），PQ →=（2，0，﹣1），设平面CPB 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=2b −2c =0n →⋅BC →=−2a =0， 令 b ＝1，则有a ＝0，c ＝1，n →=（0，1，1），设平面PQB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅QB →=2y −z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝1，m →=（1，1，2），设平面PQB 与平面CPB 所成二面角的平面角为α，则cos α=m →⋅n →|m →||n →|=32×6=√32， ∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值为√1−(√32)2=12； （3）∵点H 在PD 上，∴设H （0，0，t ），0≤t ≤2，则有AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2），依题意有|cos ＜AH →，PB →＞|＝|AH →⋅PB →|AH →||PB →|||2√3×√4+t 2|=7√315， 解得t 1=32，t 2=83， 由于H 点PD 上，PD ＝2，∴t ≤2，∴t =32， 即DH =32． 20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）不妨设椭圆G的半焦距为c，因为△AF1F2为正三角形且周长为6，易知A（0，b），所以{a=2c2a+2c=6，解得a＝2，c＝1，又b=√a2−c2=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），此时k=1m ，联立{3x2+4y2=12x=my+1，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，由（1）知P（﹣2，0），假设存在实数k使得∠MPO＝∠NPO，此时直线MP，NP的斜率k MP，k NP满足k MP+k NP＝0，因为k MP+k NP=y1x1+2+y2x2+2=y1my1+3+y2my2+3=y1(my2+3)+y2(my1+3)(my1+3)(my2+3)=2my1y2+3(y1+y2)(my1+3)(my2+3)=2m⋅(−93m2+4)+3×(−6m3m2+4)(my1+3)(my2+3)=−36m3m2+4(my1+3)(my2+3)=0，解得m＝0，其与k=1m相矛盾，所以不存在实数k使∠MPO＝∠NPO成立；（3）易知直线MN不垂直于y轴，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，m∈R，由（2）知y1y2＜0，不妨设y1＝λy2，因为λ＜0，所以y1+y2=(λ+1)y2=−6m3m2+4，因为(λ+1)2y22=36m2(3m2+4)2，y1y2=λy22=−93m2+4，所以(λ+1)2λ=36m2(3m2+4)2⋅(−3m2+49)=−4m23m2+4=−43+163(3m2+4)，显然0＜163(3m2+4)≤43，当且仅当m＝0时，等号成立，所以−43＜(λ+1)2λ≤0，解得−3＜λ＜−1 3，则S1S2=12|PQ||y1|12|PQ||y2|=|y1||y2|=−y1y2=−λ∈(13，3)，故S1S2的取值范围为(13，3)．。
2023-2024学年天津市河东区高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河东区高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是( )A. B.C. D.2.若直线与直线互相平行，则( )A. 4B. 6C.D.3.若圆：与圆：外切，则( )A. 22B. 18C. 26D.4.如图，若正四面体的棱长为1，且，则( )A. B. C. D. 15.若圆关于直线对称，则( )A. 0B.C. 2D.6.关于直线，下列说法正确的是( )A. 直线l的倾斜角为B. 向量是直线l的一个方向向量C. 直线l经过点D. 直线l的斜率为7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知，，是三个不共面的向量，，，，且A，B，C，D四点共面，则的值为.( )A. B. 1 C. D. 29.已知直线：与：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.在空间直角坐标系中，已知点，，则__________.11.设直线与圆相交于两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是__________.12.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是__________.13.过点作圆的切线则切线长为__________，过切点A，B 的直线方程为__________.14.已知点和向量，，且，则点B的坐标为__________，若点B在平面xoy上的射影为C，则为坐标原点的面积为__________.15.已知曲线C的方程是，给出下列四个结论：①曲线C与两坐标轴有公共点；②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是；④曲线C围成图形的面积大小在区间内．所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共75分。
天津市高二上学期数学期中考试试卷(附答案)
3. 若 a，b 是异面直线，a ∥α，则 b 与 α 的位置关系是 ( )
A. b ∥α 或 b ⊂ α
B. b 与 α 相交或 b ∥α
C. b 与 α 相交或 b ⊂ α
D. b 与 α 相交或 b ⊂ α 或 b ∥α
4. 过点 A (1, −1) 与 B (−1, 1) 且圆心在直线 x + y − 2 = 0 上的圆的方程为 ( )
与 m 之间的距离为 ( )
A. 8
B. 12
C. 4
D. 2
5
5
8. 已知 平面α ⊥ 平面β，α ∩ β = l，点 A ∈ α，A ∈/ l，直线 AB ∥ l，直线 AC ⊥ l，直线 m ∥α，m ∥β，则
下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A. AC ⊥ β
B. AC ⊥ m
C. AB ∥β
面 A1ABB1 没有公共点，所以 D1C ∥平面 A1ABB1 正确；对于②，由于 A1D1∥ BC，所以 A1D1
⊂平面 BCD1，错误；对于 ③，只有 AD ⊥ D1D，AD 与平面 BCD1 内其他直线不垂直，错误；对于
④，容易证明 BC ⊥ 平面 A1ABB1，而 BC ⊂平面 BCD1，故 平面 BCD1 ⊥ 平面 A1ABB1．正确． 14. 1 解析：设点 A 到平面 P BC 的距离为 h．
D. AB ∥ m
9. 若三点 A(2, 2), B(a, 0), C(0, 4) 共线，则 a 的值等于
．
10. 一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的夹角为 30◦，则圆锥的高为
cm．
11. 圆 (x − 3)2 + (y − 3)2 = 9 上到直线 3x + 4y − 11 = 0 的距离等于 1 的点有
天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线310l x -=：，下列说法正确的是（）A ．倾斜角为120B ．倾斜角为150C ．方向向量可以是)1-D ．方向向量可以是(2．已知椭圆的焦点在y轴，焦距为2倍，则椭圆的标准方程为（）A ．2214x y +=B ．2213y x +=C ．2212y x +=D ．2214y x +=3．设点()3,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ≥或4k ≤-B ．1k ≥或2k ≤-C ．41k -≤≤D ．21k -≤≤4．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11,AB AD AA AB AD ===⊥ ，且1AA 与AB AD､所成的角均为60o，则1AC =（）A ．5BC D 6．已知半径为3的圆C 的圆心与点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则圆C 的标准方程为（）A ．22(1)(1)9x y ++-=B ．22(1)(1)81x y -+-=C ．22(1)9x y ++=D ．229x y +=7．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，的右焦点为()4,0F ，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,1M -，则椭圆C 的离心率为（）A ．3B C D ．128．已知椭圆2212:1,,2516x y C F F +=分别为椭圆C 的左、右焦点，点M 在椭圆C 上，则下列命题错误的是（）A ．椭圆C 的焦点坐标为12(3,0),(3,0)F F -B ．若1230F MF ︒∠=，则12F MF S =△C ．12F MF △的周长为16D ．设3,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||MA MF +的最小值为1529．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A ．1B ．C ．D ．2二、填空题10．若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是.11．直线230mx y m ++-=与10mx y m +-+=之间的距离的最大值为.12．若椭圆2221x y m +=m =．13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1A B 的方向向量为14)u =-，直线1C D 的方向向量为2(2)u =，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为.14y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =．15．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，12PF F 是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<︒︒，则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题16．已知ABC V 的顶点()()()2,4,4,6,5,1A B C --.(1)求AB 边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.18．已知C 的圆心在x轴上，经过点(，并且与直线20x +=相切.(1)求C 的方程；(2)过点()3,1P 的直线l 与C 交于A 、B 两点，（i ）若AB =l 的方程；（ii ）求弦AB 最短时直线l 的方程.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面,,ABCD PD DC AD DC ⊥⊥，1//,12DC AD PD AB AB CD ====，M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 和平面BDM 的夹角的余弦值；(3)在线段PA 上是否存在点Q ，使点Q 到平面BDM 的距离是9？若存在，求PQ 的长；若不存在，说明理由.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>其左顶点A 在圆22:16O x y +=上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)直线AP 与椭圆E 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q ．（i ）当AP =时，求直线AP 的斜率；（i i ）是否存在直线AP ，使得4AQAP=.若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在，请说明理由．。
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．在x y ，轴上的截距分别是3-，4的直线方程是 A ．43120x x +-= B ．43120x y -+= C ．4310x y +-= D ．4310x y -+=【答案】B【解析】根据直线方程的截距式写出直线方程即可 【详解】根据直线方程的截距式写出直线方程134x y-+=，化简得43120x y -+=，故选B. 【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题2．过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为 A ．2 BCD ．1【答案】A【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解出弦长的一半，乘以2得到结果【详解】直线的倾斜角为30︒，则其斜率tan 30k =︒=y x = 由圆()2224x y +-=可得:圆心坐标为()02，，半径为2 则圆心()02，到直线y x ==故所截得的弦长为22故选A【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础．3．圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有 A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】2240x x y -+= ⇒ 222(2)2x y -+= 圆心坐标为（2，0）半径为2； 22430x y x +++=⇒222(2)1x y ++=圆心坐标为(2,0)-，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系． 4．已知点()2,3A -，()3,2B --，若点(),P x y 在线段AB 上，则11y x --的取值范围为（ ） A ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞B ．13,,44∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【分析】11y x --表示点(),x y 与()1,1P 与直线的斜率取值范围，先求出()1,1与,A B 点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵1212y y k x x -=-，∴可得11y x --为点(),x y 与()1,1P 与直线的斜率取值范围， 如图所示：∴()1,1与B 点连线斜率为()()1123134k --==--，()1,1与A 点连线斜率为()213412k --==--， ∴可得斜率取值范围为(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞．故选:A ．5．若圆226:80M x y x y +-+=上至少有3个点到直线:1(3)l y k x -=-的距离为52，则k 的取值范围是（ ）A ．[⋃B ．[C ．(,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】首先将圆配成标准式，由题意则圆心到直线的距离不超过52，利用点到线的距离公式得到不等式，解得.【详解】解：圆M 的标准方程为：222(3)(4)5x y -++=，圆心()3,4M -，半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心()3,4M -到直线():13l y k x -=-的距离不超过5252≤，解得23k ≥，即k ≥k ≤故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.6．已知直线:210l x y +-=及圆()()22:124C x y +++=，过直线l 上任意一点P 作圆C 的一条切线P A ，A 为切点，则PA 的最小值是（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据题意，由切线长公式可得PA ==，据此可得当PC 取得最小值时， PA 取得最小值，又由PC 的最小值即点C 到直线l 的距离，计算可得答案. 【详解】根据题意，圆()()22:124C x y +++=的圆心C (-1，-2)，半径r = 2， 过直线:210l x y +-=上任意一点P 向圆引切线P A ，切点为A则PA =，当PC 取得最小值时， PA 取得最小值，又由PC 的最小值即点C 到直线l 的距离d =PA 故选：A二、填空题7．已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直.则l 的方程是__________． 【答案】20x y --=【分析】根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线l 的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．【详解】根据题意，因为226260x y x y +--+=，所以22(3)(1)4x y -+-= 所以圆226260x y x y +--+=的圆心为(3,1)， 直线l 与直线10x y ++=垂直，则直线l 的斜率1k =， 则直线l 的方程为1(3)y x -=-，变形可得20x y --=； 故答案为：20x y --=．【点睛】、本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题． 8．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________． 【答案】－2【解析】方程化为（x －1）2＋（y ＋1）2＝2－F ，解方程222F -=即得解. 【详解】方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为（x －1）2＋（y ＋1）2＝2－F ， 因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆， 所以222F -=， 所以F ＝－2. 故答案为：-2【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．圆22:4240C x y x y +--+=关于直线=+1y x 对称的圆C '的标准方程为______． 【答案】()2231x y +-=【分析】由题意，整理圆的一般方程为标准方程，明确圆心与半径，根据点关于直线对称，可得答案.【详解】由224240x y x y +--+=，则()()22211x y -+-=，即()2,1C ，半径为1，设C 关于直线=+1y x 的对称点(),C x y '，可得1×1=12+1+2=+122y x y x ---⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=0=3x y ⎧⎨⎩，即()0,3C '，故圆C '的标准方程为()2231x y +-=.故答案为：()2231x y +-=10．过圆x 2+（y-2）2=4外一点A （3，-2），引圆的两条切线，切点为T 1，T 2，则直线T 1T 2的方程为______． 【答案】3x-4y+4=0【分析】先根据切线长公式得T 1、T 2在以A 为圆心，切线长为半径的圆上，再根据两圆公共弦方程求法得结果.【详解】根据题意，圆x 2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），半径r=2，设该圆的圆心为C （0，2），又由A （3，-2），5=，则|AT 1|=|AT 2则T 1、T 2在以A 为圆心，|AT 1|=|AT 2 该圆的方程为（x-3）2+（y+2）2=21，则直线T 1T 2的是圆C 与圆A 的公共弦，则两圆方程对应相减可得：3x-4y-4=0； 即直线T 1T 2的方程为3x-4y+4=0； 故答案为3x-4y+4=0．【点睛】本题考查切线长公式以及两圆公共弦方程，考查综合分析求解能力，属中档题.11．关于x (3)4k x =-+有两个不同的实数解时，实数k 的取值范围是_______【答案】72,243⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过(3,4)的直线，当直线AB 与半圆相切时，求出k 的值，直线过点(3,0)-时，求得k 的值，利用图象即可确定出实数k 的范围．【详解】设1y =2(3)4y k x =-+，图象如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心O 到直线AB 的距离d r =3=，解得：724k =， 当直线过点(3,0)-时，可求得4023(3)3k -==--，则利用图象得：实数k 的范围为72(,]243，故答案为：72(,]243. 【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．12．已知12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，直线3l y x =：与椭圆C 的一个交点为M ，若12MF MF ⊥，则椭圆的离心率为______. 【答案】31-##13-+【分析】由直线过原点及斜率，12MF MF ⊥，可得22MO OF F M c ===，再结合椭圆定义，在焦点三角形12F MF △通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率【详解】由题可知，12F MF △为直角三角形，12OF OF c ==，直线l 过原点O ，260MOF ︒∠=，故22MO OF F M c ===，又122F M F M a +=，则12F M a c =-，在12F MF △中，2221212F M F M F F +=，即222(2)(2)a c c c -+=，又ce a=，解得：31e =或31e =-（舍去）. 31.三、解答题13．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，且12,4AB DD ==，点,E F 分别是1,D B AD 的中点．(1)求直线CE 与直线1D D 所成角的正切值； (2)求平面1D BF 与平面1BCD 的夹角的余弦值； (3)求点A 到平面1D BF 的距离． 【答案】(1)22(2)10535 (3)42121【分析】建立空间坐标系，写出各个点的坐标，利用空间向量求出（1），（2），（3）问.【详解】（1）依题意，建立上图所示空间直角坐标系，其中D 为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，1DD 为z 轴，各点坐标如下：()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,0,1,0,0,A B C D F()()()()()11112,0,4,2,2,4,0,2,4,0,0,4,1,1,2A B C D E ， ()()11,1,2,0,0,4CE DD =-= ，1111168,6,4,cos ,3CE DD CE DD CE DD CE DD CE DD =====，1132sin ,,tan ,32CE DD CE DD ==； （2）设平面1D BF 的一个法向量为(),,n a b c = ，则有120·0,40·0a b n FB a c n D F ⎧+==⎧⎪⎨⎨-==⎪⎩⎩ ， 令a =4，则c =1，b =-2，()4,2,1n =- ，设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则120·0,240·0x m CB y z m CD ⎧==⎧⎪⎨⎨-+==⎪⎩⎩， 令z =1，则x =0，y =2，()0,2,1m = ，105cos ,35n m n m n m==-，即平面1D BF 与平面1BCD ； （3）计算BA与平面1D BF 的夹角：()()0,2,04,2,14BA n =--= ， 4cos ,21BA n BA n BA n===⨯， ∴A 点到平面1D BF的距离为4cos ,21BA BAn = ； 综上，CE 与1D D ，平面1D BF 与平面1BCD 的夹角的余弦值为，A 点到平面1D BF. 14．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB =（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在；17BQ BE = 【解析】（1）由题意AB CD ∥，则AB ∥平面CDE ，同理AF 平面CDE ，从而平面ABF ∥平面CDE ，从而//BF 平面CDE ；（2）连接BD ，可证得DA ，DB ，DE 两两垂直，以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可求出答案． 【详解】（1）证：由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥， 又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，AB∴平面CDE ，同理AF 平面CDE ，又ABAF A =，∴平面ABF ∥平面CDE ，又BF ⊂平面ABF ，BF ∴∥平面CDE ； （2）解：连接BD ，∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE AD ⊥，DE ∴⊥平面ABCD ，则DE DB ⊥，又DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E ⋂=，AD ∴⊥平面BDE ，则AD BD ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，()0,1,2BE ∴=-，()1,0,1EF =-，设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，得()1,2,1m =，设线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 设()0,,2BQ BE λλλ==-，（[]0,1λ∈），()0,1,2DQ DB BQ λλ∴=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又()1,1,0DC =-，0u DQ ∴⋅=，0u DC ⋅=，即()1200b c a b λλ⎧-+=⎨-+=⎩，令1b =，得11,1,2u λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u ⋅=，即11202λλ-++=，解得[]10,17λ=∈，∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，考查利用空间向量判断面面垂直，属于中档题． 15．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2()0,1A ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(3P 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，且27MN =k 的值．【答案】(1)2212x y +=(2)3k =【分析】（1）由题意可知a =，1b =，结合2221b a c =-=，即可求得椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k 的值．【详解】（1）由离心率2c e a ==，则a =， 又上顶点()0,1A ，知1b =，又2221b a c =-=，可知1c =，a =∴椭圆E 的方程为2212x y +=； （2）设直线l：y kx =()11,M x y ，()22,N x y ，则2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221240k x +++=，()()2244120k ∆=-⨯⨯+>，即21k >，∴12+=x x 122412x x k =+，∴12MN x =-==， 即421732570k k --=，解得：23k =或1917-（舍去） ∴k =16．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率e =P 为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值.【答案】(1)22142x y += (2)OM ON ⋅为定值4，证明见解析【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；【详解】（1）当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，故2222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===故椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ,,(2,4)MD CD M k ⊥∴， 联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=， 由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21k y k x k =+=+， 222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k k OM ON k k k -⋅=⨯+⨯=++， 故OM ON ⋅为定值4.。
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 过点()1,0A ，(B ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知圆221:=1C x y +和222:650C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切3．抛物线21y ax =的准线方程是1y =，则a 的值是A ．14B ．14-C ．4D ．4-4．若直线210mx y m ++-=与直线10x my ++=平行，则实数m 的取值为（）A ．1或1-B ．1-C ．1D ．05．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- 且a c ⊥ ，b c∥，则a b += （）A ．3BC ．D ．46．若双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的两倍，则m =A ．14B ．12C ．4D ．27．已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为（）A ．()()22232x y -+-=B ．()()22231x y -+-=C ．()()22341x y -+-=D ．()()22552x y -+-=8．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c--C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++9．已知抛物线2x =-的焦点与双曲线()2214x y a R a +=∈的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）.A ．14y x =±B ．12y x=±C ．2y x=±D ．4y x =±10．下列四个命题，其中真命题是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线a 的方向向量为()1,0,1a =- ，平面α的法向量为()1,1,1m =，则a α⊥C ．若()1,2,2AB =- ，1,0,12AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点B 到直线AC 的距离为5D ．向量()1,0,1a =- ，()2,1,1b =- 则向量b 在向量a上的投影向量的坐标是111,,366⎛⎫- ⎪⎝⎭11．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()3,0F -，()0,4M ，点P 为双曲线右支上的动点且MPF △周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2C ．52D ．312．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆()2222Γ:10,0x y a b a b+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法中，正确的个数为（）①椭圆Γ的离心率为2②M 到Γ的左焦点的距离的最小值为2a ③MPQ 面积的最大值为232a④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知圆C 过点()0,1，()2,3-且圆心在x 轴负半轴上，则圆C 的标准方程为14．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是．15．已知抛物线2:4C y x =上的点P 到焦点的距离为3，则点P 到x 轴的距离为．16．在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足311446=++OM MA OB OC λ，若M 、A 、B 、C 四点共面，则λ=．17．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为．18．已知圆221:0O x y a +-+=与圆()222:11O x y +-=相交于点A 、B ．①若2a =，则公共弦所在直线方程为．②若弦长AB =a =．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，交l 于点P ，其中A 在第一象限，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为.，若AOP 的面积为p =.20．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，过2F 作渐近线b y x a =的垂线，垂足为P ，若1sin F PO ∠=C 的离心率为，过双曲线C 上任一点Q 作两渐近线的平行线QM ，QN ，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN ，则双曲线C 的方程为.三、解答题21．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,0)A .(1)求圆C 的圆心坐标及半径长；(2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)当直线l 的斜率存在且与圆C 相切于点B 时，求||AB .22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆C 被直线1y x =+截得的弦长.(3)直线y x m =+与椭圆交于,M N 两点，当OM ON ⊥时，求m 值.（O 为坐标原点）23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，PA PD PB ===122BC DC AD ===，E 为AD 的中点．(1)求证：PE ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值；(3)记BC 的中点为M ，若N 在线段PE 上，且直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为18，求线段EN 的长．24．设椭圆()222210+=>>x y a b a b的左焦点为F ，下顶点为A ，上顶点为B ，FAB 是等边三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线:l x a =-，过点A 且斜率为()0k k >的直线与椭圆交于点C （C 异于点A ），线段AC 的垂直平分线与直线l 交于点P ，与直线AC 交于点Q ，若74PQ AC =.(ⅰ)求k 的值；(ⅱ)已知点44,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点N 在椭圆上，若四边形AMCN 为平行四边形，求椭圆的方程.。
2023-2024学年天津市河西区高二上学期期中考试数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河西区高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是；④点P 关于原点的对称点的坐标是其中正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 02.空间四边形ABCD 中，，，，则等于( )A. B.C.D.3.过点的直线的斜率等于1，则m 的值为A. 1B.C. 2D. 4.若方程表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.5.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则( )A.B. 1C. 2D.6.若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为( )A. B.C.D.7.已知，是椭圆C 的两个焦点，过且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且，则C 的方程为( )A.B.C.D.8.如图所示，在正方体中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且，则与的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a值有关9.若是直线上的两点，那么间的距离为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________.11.如图，隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为am，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.12.已知直线和平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角__________，用含的代数式表示__________用含的三角函数式表示13.已知点，和直线l：，动点在直线l上，则的最小值为__________.14.正方体的棱长为1，E，F分别为，CD的中点，则点F到平面的距离为__________.15.两相交圆与的公共弦所在的直线方程为__________，以公共弦为直径的圆的方程为__________.三、解答题：本题共5小题，共75分。
2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则的值为( )A. B.C.D.2.若直线与圆有公共点，则( )A. B.C.D.3.圆和圆的公切线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.已知直线过点，且被圆截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A. B.或C.D.或5.若两条直线与互相垂直，则a 的值等于( )A. 3B. 3或5C. 3或或2D.6.作直线l 与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线l 有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7.已知椭圆以及椭圆内一点，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A. B. C. 2D.8.过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则的数值为( )A. B.C. D. 与弦AB 斜率有关9.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.10.设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB 的中点.下列说法正确的个数( )①直线AB与OM垂直②若点M的坐标为，则直线方程为③若直线方程为，则点M的坐标为④若直线方程为，则A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.直线与曲线有两个公共点，则b的取值范围是__________.12.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是__________13.已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB面积的最小值是__________14.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是__________.15.已知椭圆C：的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有，则椭圆C离心率的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共40分。
2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若空间一点在z轴上，则( )A. 1B. 0C.D.2.已知直线的方程是，则( )A. 直线经过点，斜率为B. 直线经过点，斜率为C. 直线经过点，斜率为D. 直线经过点，斜率为3.已知圆，则其圆心和半径分别为.( )A. ，4B. ，2C. ，2D. ，44.如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B. C. D.5.两条平行直线与之间的距离是( )A. 0B.C. 1D.6.如果，，那么直线不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于( )A. 0B. 4C. 20D. 248.已知空间向量，则下列结论正确的是( )A. 向量在向量上的投影向量是B.C.D.9.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.椭圆的焦距长为__________.12.已知直线的倾斜角为，直线，且过点和，则a的值为__________.13.若圆：与圆：外切，则m的值为__________.14.如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________；点B到直线的距离为__________.15.椭圆为非零常数的焦点分别为，点P在椭圆上.如果线段的中点在y轴上，那么等于__________.三、解答题：本题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：边所在直线的方程;边上中线AD所在直线的方程;边的垂直平分线的方程.17.本小题12分已知圆P过两点，，且圆心P在直线上．求圆P的方程；过点的直线交圆P于两点，当时，求直线AB的方程．18.本小题13分如图，ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，且求证：平面求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；求点D到平面BEF的距离.19.本小题15分已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.求椭圆C的方程；若，为原点，求直线l的方程；过原点O作直线l的垂线，垂足为P，若，求的值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查坐标轴上点的坐标，属于基础题.根据z轴上点的坐标的特征得到方程组，解得即可；【解答】解：因为空间一点在z轴上，所以，解得；故选：D2.【答案】C【解析】【分析】将直线方程写为点斜式，由此确定直线所过点和斜率.本小题主要考查直线方程点斜式，考查直线的斜率，属于基础题.【解答】解：直线的方程可化为，故直线经过点，斜率为故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查由圆的标准方程求圆心和半径，属于基础题.结合圆的标准方程的定义可得答案.【解答】解：由已知圆C的标准方程为，所以圆心C的坐标为，半径 .故选：4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的运算法则，属于基础题.利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．【解答】解：，故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查两条平行线间距离的求法．首先判断两条平行直线的直线方程中x与y的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．【解答】解：由题意可得：两条平行直线为与，由平行线间的距离公式可知故答案为：6.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和在y轴上的截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知，故直线的方程可化为，由，可得，，由斜率和在y轴上的截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．先由两直线垂直斜率之积为，求出m，第一条直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得的值．【解答】解：直线与互相垂直，，，直线即，垂足代入得，，把代入，可得，，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，空间向量运算的坐标表示，属于基础题.对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【解答】解：向量在向量上的投影向量是，故A正确；B. ，故B错误；C.因为，所以与不垂直，故C错误；D. ，故D错误.故选：9.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线的夹角，熟练掌握利用空间向量数量积求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．以C为坐标原点建立空间直角坐标系，由，，即可得解．【解答】解：以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，，所以异面直线CD与所成角的余弦值为故选10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆的左、右顶点分别为，则，以线段为直径的圆的方程为该圆与直线相切，圆心原点到直线的距离，又，则，的离心率故选11.【答案】2【解析】【分析】本题考查椭圆的焦距，属于基础题.根据椭圆方程求出c，进而可求出结果.【解答】解：因为椭圆中，，所以，所以焦距为 .故答案为212.【答案】4【解析】【分析】此题考查直线斜率公式，考查直线平行的判断，属于基础题.利用斜率公式及斜率相等列方程即可.【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，又，则，解得故答案为13.【答案】9【解析】【分析】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．分别求出两圆的圆心和半径，由两圆外切列式求得m的值．【解答】解：由：，得圆心，半径为1，由圆：，得，圆心，半径为圆与圆外切，，解得：故答案为14.【答案】；【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，点线距离的向量求法，属于中档题.建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，1，，，，，，，设平面的法向量为，则，，，取，则，，是平面的一个法向量，又，设与平面所成角为，则⟨⟩，取，，则，，故点B到直线的距离为；故答案为：15.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程，中点坐标公式以及两点间距离公式，属于中档题.先假设，根据椭圆的标准方程可求出，设，则的中点为且在y轴上，可得，取P为，代入求出，，即可求出【解答】椭圆的左焦点为，右焦点为，假设，，，则，，设P的坐标为，线段的中点为，因为线段的中点在y轴上，，，将代入椭圆方程方程，，任取一个P为，，，16.【答案】解：因为直线BC经过和两点，由两点式得BC的方程为，即设BC中点D的坐标为，由中点坐标公式，则，，BC边的中线AD过点，两点，由截距式得AD所在直线方程为，即的斜率，则BC的垂直平分线的斜率，由斜截式得所求的直线方程为，即【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂直的性质，考查直线的斜率的求解，属于基础题．由B和C的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可；根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标由直线的截距式写出中线方程即可；求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为，求出BC垂直平分线的斜率，由中D 的坐标，写出直线方程即可．17.【答案】解：依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，因为圆P过两点，，所以，解得，所以圆P的方程为 .由可知，圆心，半径，当直线AB的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线AB的距离为1，此时，满足题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，即，当时，圆心到直线AB的距离，即有，解得，此时直线AB的方程为，即为 .综上，直线AB的方程为或 .【解析】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的弦长，考查点到直线的距离，题目较难.依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；由弦长，可得圆心到直线AB的距离为1，当直线AB的斜率不存在时验证即可，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.18.【答案】解：根据题意得：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面DEC的一个法向量为，显然，又平面DEC，所以平面DEC；，则，设平面BEC与平面BEF的一个法向量分别为，则有，，取，则，即，设平面BEC与平面BEF的夹角为，则；由得平面BEF的一个法向量为，又，所以点D到平面BEF的距离 .【解析】本题考查利用向量法证明线面平行，解决平面与平面所成角，点面距离的问题，属于中档题.建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.19.【答案】解：因为椭圆焦点在x轴上且经过点，所以，又因为，所以，又，解得，所以椭圆方程为；如图所示，由知，所以直线，设，联立，可得，易得，所以，所以，而，解得，所以直线方程为或者；如图所示，过O作交l于P点，所以为点O到直线l的距离，即，所以，又，所以，所以 .【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及应用，属于综合题.先直接求出b，再根据离心率求出即可；先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.。
2023_2024学年天津市高二上册期中考试数学检测试题(附答案)
14．直线l ：42mx y m --+=15．已知抛物线C ：的焦点为24x y =在抛物线C 上，且，则2AF =三、解答题（共5题，满分75(1)求证：平面；//MN BDE (2)求直线与平面所成角的正弦值；CE BDE (3)已知点H 在棱上，且直线PA NH 19．设椭圆（22221x y a b +=0a b >>11．23故514．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过结合图象求解出的取值范围.m 【详解】即为24x y =-22x y +圆与坐标轴交于，且直线的斜率为()()()0,2,0,2,2,0-当直线经过时，此时()0,2-242m -+当直线与圆相切时，，解得24221m m -+=+16．(1)()()22129x y -+-=(2)或2x =-4350x y ++=(3)25【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC （2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直（3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求H ,NH BE 解出的长度.AH 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：AB F ,MF NF因为为中点，所以，,M F ,AD AB //MF BD 又因为平面，平面，所以平面，MF ⊄BDE BD ⊂BDE //MF BDE 因为为中点，为中点，,N F ,AB CB ,D E ,PA PC 所以，所以，//,//NF AC DE AC //NF DE 又因为平面，平面，所以平面，NF ⊄BDE DE ⊂BDE //NF BDE 又因为，平面，所以平面平面，NF MF F ⋂=NF MF ⊂,FMN //FMN BDE 又因为平面，所以平面.MN ⊂FMN //MN BDE （2）建立如下图所示的空间直角坐标系，又，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2B C D E因为四边形与三角形的面积之比为OPQA OPB 所以三角形与三角形的面积比为ABQ OPB 所以，所以，152122QPAB y OB y ⨯⨯=⨯⨯54Q P y y =显然直线的斜率不为，设直线的方程为BP 0BP 2x my =+⎧。