[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。

3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。

著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。

凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。

（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。

二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。

【注解】（1）极限与区间的划分及i ξ的取法无关。

【例题】当],[b a x ∈时，令⎩⎨⎧∈∈=QR x Qx x f \,0,1)(，对i ni i x f ∆∑=→)(lim 10ξλ，情形一：取所有)1(n i Q i ≤≤∈ξ，则a b x xf i ni ini i-=∆=∆∑∑=→=→11lim )(limλλξ；情形二：取所有)1(\n i Q R i ≤≤∈ξ，则0)(lim1=∆∑=→ini ixf ξλ，所以极限ini ix f ∆∑=→)(lim1ξλ不存在，于是)(x f 在],[b a 上不可积。

（2）∞→⇒→n 0λ，反之不对。

分法：等分，即],1[]2,1[]1,0[]1,0[n n n n n n n -⋃⋃⋃= ，)1(1n i nx i ≤≤=∆；取法：取n i i 1-=ξ或)1(n i nii ≤≤=ξ，则∑∑⎰=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 111)1(1lim )(1lim )(。

则∑⎰=∞→-+-=n i n baa b ni a f n a b dx x f 1)]([lim )(。

【例题1】求极限∑=∞→+n i n n i n 1211lim 。

【解答】⎰∑+=+=∞→10121211lim dx x n in n i n 。

【例题2】求极限)12111(lim 222222nn n n n ++++++∞→【解答】)12111(lim 222222nn n n n ++++++∞→ 。

⎰+=++++++=∞→122221])(11)2(11)1(11[1limxdx nn nnnn三、定积分的普通性质1、⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

2、⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(。

3、⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(。

4、a b dx ba-=⎰。

5、设)(0)(b x a x f ≤≤≥，则0)(≥⎰badx x f 。

【证明】∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ，因为0)(≥x f ，所以0)(≥i f ξ， 又因为b a <，所以0>∆i x ，于是0)(1≥∆∑=ni iixf ξ，由极限保号性得0)(lim 1≥∆∑=→ni i i x f ξλ，即0)(≥⎰badx x f 。

（1）)(|)(|)(b a dx x f dx x f baba≤≤⎰⎰。

（2）设))(()(b x a x g x f ≤≤≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(。

6（积分中值定理）设],[)(b a C x f ∈，则存在],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。

四、定积分基本理论定理 1 设],[)(b a C x f ∈，令⎰=Φxadt t f x )()(，则)(x Φ为)(x f 的一个原函数，即)()(x f x =Φ'。

【注解】（1）连续函数一定存在原函数。

（2）)()(x f dt t f dx d xa=⎰，)()]([)()(x x f dt t f dxd x a ϕϕϕ'=⎰。

（3）)()]([)()]([)(1122)()(21x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕϕϕϕϕ'-'=⎰。

【例题1】设)(x f 连续，且⎰-=xdt t f t x x 0)()()(ϕ，求)(x ϕ''。

【解答】⎰⎰⎰-=-=x xxdt t tf dt t f x dt t f t x x 0)()()()()(ϕ，⎰⎰=-+='xx dt t f x xf x xf dt t f x 00)()()()()(ϕ，)()(x f x =''ϕ。

【例题2】设)(x f 为连续函数，且⎰-=xdt t x tf x 022)()(ϕ，求)(x ϕ'。

【解答】⎰⎰---=-=x xt x d t x f dt t x tf x 02222022)()(21)()(ϕ ⎰⎰=-==-222200)(21)(21x x ut x du u f du u f ，)(2)(21)(22x xf x x f x =⋅='ϕ。

定理2 （牛顿—莱布尼兹公式）设],[)(b a C x f ∈，且)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰。

【证明】由)()(),()(x f x x f x F =Φ'='得0)()(])()([≡-='Φ-x f x f x x F ， 从而t cons x x F tan )()(≡Φ-，于是)()()()(a a F b b F Φ-≡Φ-，注意到0)(=Φa ， 所以)()()(a F b F b -=Φ，即)()()(a F b F dx x f ba-=⎰。

五、定积分的积分法（一）换元积分法—设],[)(b a C x f ∈，令)(t x ϕ=，其中)(t ϕ可导，且0)(≠'t ϕ，其中b a ==)(,)(βϕαϕ，则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f b a )()]([)(。

（二）分部积分法—⎰⎰-=bab abavdu uvudv 。

六、定积分的特殊性质1、对称区间上函数的定积分性质 设],[)(a a C x f -∈，则 （1）则⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(。

（2）若)()(x f x f =-，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(。

（3）若)()(x f x f -=-，则0)(=⎰-aadx x f 。

【例题1】设],[)(),(a a C x g x f -∈，其中)(,)()(x g A x f x f =-+为偶函数，证明：⎰⎰=-aaadx x g A dx x g x f 0)()()(。

【解答】⎰⎰--+=-aaadx x g x f x g x f dx x g x f 0)]()()()([)()(⎰⎰=-+=a adx x g A dx x g x f x f 0)()()]()([。

（2）计算⎰-22|sin |arctan ππdx x ex。

【解答】⎰⎰--+=2022sin )arctan (arctan |sin |arctan πππxdx e e dx x e x x x，因为011)arctan (arctan 22≡+-+='+---xxx x xxee e e e e ， 所以0arctan arctan C e e xx ≡+-，取0=x 得20π=C ，于是2sin 2|sin |arctan 2022πππππ==⎰⎰-xdx dx x e x。

2、周期函数定积分性质 设)(x f 以T 为周期，则 （1）⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(，其中a 为任意常数（周期函数的平移性质）。

如⎰⎰⎰==--2022224342sin 2sin sinπππππxdx xdx xdx 。

（2）⎰⎰=TnTdx x f n dx x f 0)()(。

3、特殊区间上三角函数定积分性质（1）设]1,0[)(C x f ∈，则⎰⎰=202)(cos )(sin ππdx x f dx x f ，特别地，n nnI dx x dx x ==⎰⎰2020cos sin ππ，且1,2,1102==-=-I I I n n I n n π。

【例题1】计算⎰-+2241sin ππdx e xx 。