北京市朝阳区 2021 届高三一模数学试题
C． {2, 3}
2．如果复数 2 bi (b R) 的实部与虚部相等，那么 b （ i
A． 2
B．1
C．2
D．3
） D．4
3．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a3 1, S9 18 ，则 a1 （ ）
A．0
B． 1
C． 2
D． 3
4．已知圆 x2 y2 4 截直线 y kx 2 所得弦的长度为 2 3 ，则实数 k （ ）
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题
16．已知函数
f
(x)
A sin(
x
)
A
0,
0, 0
2
由下列四个条件中的三
个来确定：
①最小正周期为
；②最大值为
2；③
f
6
0 ；④
f
(0)
2 ．
（1）写出能确定 f (x) 的三个条件，并求 f (x) 的解析式； （2）求 f (x) 的单调递增区间．
19．已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0,1), B(0, 1) ，离心率为 6 ． 3
（1）求椭圆 C 的方程及焦点的坐标； （2）若点 M 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，过原点且与直线 MA 平行的直线与直
线 y 3 交于点 P，直线 MB 与直线 y 3 交于点 Q，试判断以线段 PQ 为直径的圆是否
由题意知 F 1, 0 ，直线 l 方程为 x 1 ，则| AF | x 1 5 ，得 x 4
所以 y2 4 4 16 ，得 y 4 由| PA | | PO || PA | | PB | AB ，当 A, B, P 三点共线时取等号，
又 AB y2 x 22 42 4 22 52 2 13
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A 地区 B 地区
2019 年人均年纯收入超过 10000 元
100 户 150 户
2019 年人均年纯收入未超过 10000 元
200 户 50 户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立． （1）从 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超 适 10000 元的概率； （2）在样本中，分别从 A 地区和 B 地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记 X 为 这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求 X 的分布列和数学期望； （3）从样本中 A 地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均 年纯收入都超过 10000 元．根据这个结果，能否认为样本中 A 地区 2020 年人均年纯收 入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由．
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圆 x2 y2 4 圆心为 0, 0 半径为 r = 2
点 0, 0 到直线 y kx 2 的距离为 d 2
12 k 2
则弦长为 2
r2 d2 2
3 ，得 2
4
1
4 k
2
2
3
解得 k 3
故选：D．
5．A
y
b a
x
∴双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线方程为
y
3x
故选：A
6．D
【分析】
利用余弦定理求出 cos B 的值，结合角 B 的取值范围可求得角 B 的值.
【详解】
由 a2 b2 c2 ac 0 可得 a2 c2 b2 ac ，
由余弦定理可得 cos B a2 c2 b2 1 ，
A． 2
B． 3
C． 2
D． 3
x2 5．已知双曲线 C : a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率为
2，则双曲线 C
的渐近线方程为
（）
A． y 3x
B． y 3 x 3
C． y 1 x 2
D． y 2x
6．在 ABC 中，若 a2 b2 c2 ac 0 ，则 B （ ）
【分析】
求出集合 B ，根据交集的定义计算．
【详解】
由题意 B{x | x 1}，所以 A B {1, 2,3} ．
故选：B． 2．A
【分析】
把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得 b ．
【详解】
2 bi i(b 2i) b 2i ，所以实部为 b ，虚部为 2 ，所以 b 2 ．
A．
6
B．
4
C．
3
2 D．
3
7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥最长 的棱长为（ ）
A．2
B． 5
C． 6
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D． 2 2
8．在 ABC 中，“ tan A tan B 1 ”是“ ABC 为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
于中档题.
9．B
答案第 3 页，总 16 页
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【分析】
依题意得点 A 坐标，作点 O 关于 l 的对称点 B ，则| PA | | PO || PA | | PB | AB ，求 AB 即为最小值．
【详解】
如图所示：作点 O 关于 l 的对称点 B ，连接 PB, AB ，设点 A x, y ，不妨设 y 0
b1, b2 ,, bm1 ，使得 bk ak bk1 ，其中 k 1, 2,, m ，则称数列 Bm1 为数列 Am 的“等
比分割数列”．
（1）写出数列 A4 ：3，6，12，24 的一个“等比分割数列” B5 ；
（2）若数列 A10 的通项公式为 an 2n (n 1, 2,,10) ，其“等比分割数列” B11 的首项为
D．既不充分也不
必要条件
9．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 是直线 l 上的动点．若点 A 在
抛物线 C 上，且| AF | 5 ，则 | PA | | PO |（O 为坐标原点）的最小值为（ ）
A．8
B． 2 13
C． 41
D．6
10．在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 是线段 BC1 上的点，过 A1 的平面
与直线 PD 垂直，当 P 在线段 BC1 上运动时，平面 截正方体 ABCD A1B1C1D1 所得
的截面面积的最小值是（ ）
A．1
5
B．
4
C． 6 2
D． 2
二、填空题
11．在
x
1 x
8
的展开式中，
x4
的系数为_______．（用数字作答）
12．已知函数
f
(x)
2x , x 1, log2 x, x1,
【分析】
根据离心率求得 a 与 b 的比值，即可求渐近线方程．
【详解】
∵双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
2
∴ c 2 ，即 c2 4a2 a
∵ c2 a2 b2
∴ b2 3a2 ，即 b 3 a
∵双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线方程为
cos Acos B
cos Acos B
cos Acos B
cos Acos B cos C 0 ABC 为钝角三角形. ∴在 ABC 中，“ tan A tan B 1 ”是“ ABC 为钝角三角形”的充要条件.故选：C.【点睛】
本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属
键概念，定义如下：设 f (x) 是定义在 R 上的函数，对于 x0 R ，令
xn f xn1 (n 1, 2, 3,) ，若存在正整数 k 使得 xk x0 ，且当 0 j k 时， x j x0 ，
则称 x0 是 f (x) 的一个周期为 k 的周期点．给出下列四个结论：
①若 f (x) ex1 ，则 f (x) 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
20．已知函数 f x ax 1 ex a R ． （1）求 f x 的单调区间；
（2）若直线 y
ax a 与曲线 y
f
x
相切，求证：
a
1,
2 3
．
21．设数列 Am : a1, a2,, am (m2) ，若存在公比为 q 的等比数列 Bm1 ：
所以 | PA | | PO |的最小值为 2 13
故选：B 【点睛】
关键点点睛：作点 O 关于 l 的对称点 B ，将 PO 化为 PB ，利用三点共线是求得最小值的
关键点． 10．C 【分析】
以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立所示的空间直角
2ac
2
0 B ，因此， B 2 .
3
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故选：D. 7．C 【分析】 画出该三棱锥的直观图，分别求得各棱长的长度比较即可得结果． 【详解】
该三棱锥的直观图如图所示： D1 BCE
依题意得 BC CE 1, EB 12 12 2 ，
对 A 商品进行广告促销，假设售出 A 商品的件数 m （单位：万件）与广告费用 x （单 位：万元）符合函数模型 m 3 2 ．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 x
2021年北京朝阳区高三一模数学试卷-学生用卷
2021年北京朝阳区高三一模数学试卷-学生用卷一、单选题1、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第1题已知集合A={−1,0,1,2,3},B={x|x−1≥0}，则A⋂B=（）A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {3}2、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第2题如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A. −2B. 1C. 2D. 43、【来源】 2021~2022学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二下学期期中第5题已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=1,S9=18，则a1=（）A. 0B. −1C. −2D. −34、【来源】 2021~2022学年北京西城区北京师范大学附属中学高三上学期期中第5题已知圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为2√3，则实数k=（）A. √2B. −√3C. ±√2D. ±√35、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第5题已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则双曲线 C的渐近线方程为（）A. y=±√3xB. y=±√33xC. y=±12xD. y=±2x6、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第6题在△ABC 中，若a 2−b 2+c 2+ac =0，则B =（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π37、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第7题某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A. 2B. √5C. √6D. 2√28、【来源】 2021~2022学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第3题在ΔABC 中，“tanAtanB <1”是“ΔABC 为钝角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第9题已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 是直线 l 上的动点．若点 A 在抛物线 C 上，且|AF|=5，则|PA|+|PO|（ O 为坐标原点）的最小值为（ ）A. 8B. 2√13C. √41D. 610、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第10题2022~2023学年吉林通化辉南县辉南县第六中学高二上学期月考（第一次月考）第7题在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是线段BC 1上的点，过A 1的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段BC 1上运动时，平面α截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面面积的最小值是（ ）A. 1B. 54C. √62D. √2二、填空题11、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第11题在(x +1x )8的展开式中，x 4的系数为 ．（用数字作答）12、【来源】 2021~2022学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期期中第13题已知函数f(x)={2x ,x <1,−log 2x,x ⩾1,则f(0)= ；f(x)的值域为 ．13、【来源】 2021~2022学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期期中第14题 已知向量a →=(√3,1)，b →=(x,y )（xy ≠0），且|b →|=1，a →⋅b →<0，则向量b →的坐标可以是 ．（写出一个即可）14、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第14题李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型m =3−2x+1．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入 万元．15、【来源】 2021~2022学年8月北京东城区北京市第一七一中学高三月考（第一次）第14题 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在 R上的函数，对于x0∈R，令x n=f(x n−1)(n=1,2,3,⋯)，若存在正整数 k使得x k=x0，且当0<j<k时，x j≠x0，则称x0是f(x)的一个周期为 k的周期点．给出下列四个结论：①若f(x)=e x−1，则f(x)存在唯一一个周期为1的周期点；②若f(x)=2(1−x)，则f(x)存在周期为2的周期点；③若f(x)={2x,x<12,2(1−x),x⩾12,则f(x)不存在周期为3的周期点；④若f(x)=x(1−x)，则对任意正整数 n，12都不是f(x)的周期为 n的周期点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题16、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第16题已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③f(−π6)=0；④f(0)=−2．（1）写出能确定f(x)的三个条件，并求f(x)的解析式；（2）求f(x)的单调递增区间．17、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第17题2022~2023学年10月北京西城区北京市第八中学高三月考第17题如图，在四棱锥P−ABCD中， O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD,PO=1．在底面ABCD中，BC//AD,CD⊥AD,BC=CD=1,AD=2．（1）求证：AB//平面POC；（2）求二面角B−AP−D的余弦值．18、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第18题我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对 A， B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（1）从 A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；（2）在样本中，分别从 A地区和 B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记 X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求 X 的分布列和数学期望；（3）从样本中 A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中 A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．19、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第19题．（1）求椭圆 C的方程及焦点已知椭圆 C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,−1)，离心率为√63的坐标；（2）若点 M为椭圆 C上异于 A， B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y=3交于点 P，直线MB与直线y=3交于点 Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20、【来源】 2021~2022学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第19题已知函数f(x)=(ax−1)e x(a∈R)．（1）求f(x)的单调区间；（2）若直线y=ax+a与曲线)．y=f(x)相切，求证：a∈(−1,−2321、【来源】 2021年北京朝阳区高三一模第21题设数列A m:a1,a2,⋯,a m(m⩾2)，若存在公比为 q的等比数列B m+1：b1,b2,⋯,b m+1，使得b k< a k<b k+1，其中k=1,2,⋯,m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（1）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（2）若数列A10的通项公式为a n=2n(n=1,2,⋯,10)，其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比 q的取值范围；（3）若数列A m的通项公式为a n=n2(n=1,2,⋯,m)，且数列A m存在“等比分割数列”，求 m的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 28;12 、【答案】 1;$\left( -\infty ;13 、【答案】(−√22,−√22)（答案不唯一）;14 、【答案】3;15 、【答案】①④;16 、【答案】（1）条件①②③，f(x)=2sin(2x+π3)；（2）增区间是[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．;17 、【答案】（1）证明见解析；（2）√33．;18 、【答案】（1）13；（2）概率分布列见解析，期望为1312；（3）可以．;19 、【答案】（1）x23+y2=1；（2）(0,9),(0,−3).;20 、【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.;21 、【答案】（1）B5:2,4,6,8,16,32；（2）q∈(2,210q)；（3） m的最大值为4;。
2021届北京市朝阳区高三一模数学试题(解析版)
依题意得221,11BC CE EB ===+=
由题意知，直线l 方程为()1,0F 所以，得
24416y =⨯=4y =
则、、、()0,0,0A ()10,0,1A ()1,0,0B 、，
()0,1,0D ()10,1,1D 设点，其中.
()1,,P t t 01t ≤≤①当时，点与点重合，0t =P B BD = 所以，，，则0BD AC ⋅=
10BD AA ⋅= ，平面1AC AA A ⋂=BD ∴⊥11AA C C 截面面积为；
2S AA AC =⋅=
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）
18．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，。
高2021届朝阳市一模 数学试题(含答案)
分
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）设双曲线 C 的焦距为 2c (c 0) ，则 2c=2 5
不妨设双曲线 C 的两条渐近线方程为 l1 : bx ay 0 ， l2：bx ay 0 ，
则由题意得 | bx0
ay0 | | bx0
ay0 |
4b2
，
a2 b2
a2 b2
5
即 | b2x02 a2 y02 | 4b2
− Sn2 ，
Sn 0 ，
所以， Sn+1
= 3Sn ， S1
= 1 ，因此 S10 a10
=
3 2
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：数列
bn
是等比数列，数列 b1
=
1 2
， b1b2
=
b3
，所以 b2
=
2b3
当 = 2 时，由（1）可知，在△PCD 中， PF = PE = 2 ， EF //CD ，
3
PC PD 3
所以 FE = 2 CD = (2, 2, 0) ， 3
AE = 2 AN = 1 AB + 1 AP = (−4, 2, 2)
3
33
BE = 2 BM = 1 BA + 1 BP = (2, −4, 2) ，..........................................................................................8 分
，
故数列
bn
是公比是 1 2
等比数列，因此 bn
北京市朝阳区2021届高考数学质检试卷(一)(含答案解析)
北京市朝阳区2021届高考数学质检试卷(一)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）≥0,x∈R}，B={y|y=2x+1,x∈R}，则A∩B=()1.已知集合A={x|xx−1A. (1,+∞)B. (−∞,0)C. (0,1]D. [0,1]=()2.设i是虚数单位，复数7+4i1+2iA. 3+2iB. 3−2iC. 2+3iD. 2−3i3.在−9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为−21的等差数列，则n=()A. 4B. 5C. 6D. 74.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为()A. 相离B. 相交C. 相切D. 相切或相离5.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C. 2 D. 36.在△ABC中，AB+AC=8，BC=4，D为BC的中点，当AD长度最小时，△ABC的面积为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 4√37.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为()A.B.C.D.8.给出下列四个命题：①命题“若X2=1，则x=1”的否命题为：“若：x2=1，则x≠0”；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1>0”；③命题“若：x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“x =−1”是“x 2−5x −6=0的必要不充分条件． 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于点B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF|=6，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC|=( ) A. 92B. 6C. 132D. 810. 点P(4,−2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A. (x −2)2+(y +1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=4C. (x +4)2+(y −2)2=4D. (x +2)2+(y −1)2=1二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (文)若(1−2x)2009=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2009x 2009(x ∈R)，则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+⋯+(a 0+a 2009)=______．12. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，则其中所有正确命题的序号是______ ．①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈[3,4]时，f(x)=(12)x−3． 13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，|b ⃗ |=√3，(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =2，则|a ⃗ −b⃗ |=______． 14. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)的函数关系如图，下列结论：①a =8，②b =92，③c =123中，正确的是 .(填序号)15. 命题“若x 2<2，则|x|<√2”的逆否命题是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知曲线f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π8,2)，此点相邻的一个对称中心坐标为(3π8,12 )，(1)求函数f(x)的表达式．(2)用“五点作图法”画出此函数f(x)在[−π8,7π8]上图象．(3)如何由函数f(x)的图象通过适当的变换得到函数y=sinx的图象，写出变换过程．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=1，M为线段AB的中点，N为线段A1B1的点，且A1N=2B1N.(1)求三棱锥A−CMN的体积；(2)求直线CN与底面ABC所成角的大小(结果用反三角表示)．18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响．我国从PM2.5的含量对空气质量评定的标准如表1所示．某市环保部门从2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．(Ⅰ)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级．我国空气质量表PM2.5均值范围(微克/立方米)空气质量级别(1,35]Ⅰ(35,75]Ⅱ大于75超标19. 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y=x+1与椭圆C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．20. 已知函数f(x)=e x−x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(1)求a和b的值；(2)当x∈R时，求证：f(x)≥−x2+x(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．21. 已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n+2n(n∈N∗)．(Ⅰ)证明：{a n−2}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log2(2−a n)，若1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25，求正整数n的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由A中不等式变形得：x(x−1)≥0，且x−1≠0，解得：x≤0或x>1，即A=(−∞,0]∪(1，+∞)，由B中y=2x+1>1，得到B=(1,+∞)，则A∩B=(1,+∞)．故选：A．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：复数7+4i1+2i =(7+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−10i5=3−2i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的灵活运用．解：由题意知S n+2=n+22(−9+3)=−21，解得n+2=7，∴n=5．故选：B．4.答案：A解析：试题分析：点M在圆内，故，圆心到直线的距离.故直线与圆相离．考点：直线与圆的位置关系5.答案：B解析：设双曲线的两焦点分别为F 1、F 2，由题意可知|F 1F 2|=2c，|AB|=2|AF 1|=4a，在Rt△AF 1F 2中，∵|AF 1|=2a，|F 1F 2|=2c，，∴，即3a 2=c 2，∴．6.答案：D解析：解：在△ABC中，设AB=x，AC=y，AD=m，∠ADB=θ，则∠ADC=π−θ，在△ABD中，由余弦定理得：m2+4−4mcosθ=x2(1)，在△ACD中，由余弦定理得：m2+4−4mcos(π−θ)=y2，即m2+4+4mcosθ=y2(2)，由(1)(2)得：2m2+8=x2+y2，又x+y=8，所以2m2+8=(8−y)2+y2=2y2−16y+64，所以m2=y2−8y+28，所以当y=4时，m的最小值为2√3，即AD长度的最小值为2√3，此时AB=AC=BC=4，△ABC是等边三角形，易得其面积为4√3．故选D．另解：由BC=4，AB+AC=8，则点A在以B，C为焦点，焦距2c=4，长轴长2a=8的椭圆上运动，易知当点A运动到短轴端点时，AD最短为b=2√3，此时AD⊥BC，S△ABC=12×BC×AD=12×4×2√3=4√3．故选：D．法一：由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值；法二：由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，要注意解法二中椭圆定义的灵活应用．7.答案：C解析：本题主要考查的是几何体的三视图和侧面积的求解．由三视图知几何体是圆柱体，且母线长为3，底面半径为2，∴弧长为×2=，∴几何体的侧面积S=(+2×2)×3=12+2π．故选C．8.答案：A解析：解：①若x2=1，则x=1”的否命题：若为x=1则x2=1；故①错误；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”，故②错误；③∵x=y⇒sinx=siny，反之如果sinx=siny，例如sinπ6=sin5π6=12，但π6≠5π6，所以sinx=siny，推不出x=y，∴原命题是真命题，∴原命题的逆否命题为真命题，故③正确；④∵x2−5x−6=0，∴(x+1)(x−6)=0，解得x=−1或6，∴x=−1⇒x=−1或6，反之则不能，∴“x=−1”是“x2−5x−6=0的充分不必要条件，故④错误．∴真命题的个数是1，故选：A．①根据否命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题，把题中条件与结论互换；②根据否命题的定义把小于改为大于等于；③利用三角函数的知识看x=y与sinx=siny是否能够互相，判断原命题的真假，从而得出其逆否命题的真假；④解出方程x2−5x−6=0的根，再判断其与x=−1的逻辑关系；此题考查的知识面比较广，主要考查四种逻辑关系，解题的关键是将各个命题的内容具体化使之成为简单的命题，然后再求解．9.答案：A解析：解：∵|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|BF|=3， 设|CF|=x ，则 由抛物线的定义可得x3=6−x 9，∴x =32，∴|BC|=|CF|+|BF|=92． 故选：A ．求出|BF|=3，设|CF|=x ，则由抛物线的定义可得x3=6−x 9，即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．10.答案：A解析：设圆上任一点为Q(x 0,y 0)，PQ 的中点为M(x,y)，则解得又因为点Q在圆x 2+y 2=4上，所以+=4，即(2x −4)2+(2y +2)2=4，即(x −2)2+(y +1)2=1．11.答案：2007解析：解：令x =0，得a 0=1；令x =1，得−1=a 0+a 1+a 2+⋯+a 2009， 故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+⋯+(a 0+a 2009)=2008−1=2007． 故答案为：2007通过对等式中的x 分别赋0，1求出常数项和各项系数和得到要求的值． 本题考查通过赋值法求二项展开式的各项系数和．12.答案：①②④解析：解：∵对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)， ∴f(x +2)=f(x)则f(x)的周期为2，故①正确；∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确； ∴函数f(x)的最大值是f(1)=1，最小值为f(0)=12，故③不正确；设x ∈[3,4]，则4−x ∈[0,1]，f(4−x)=(12)x−3=f(−x)=f(x)，故④正确； 故答案为：①②④根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，以及在(0,1)上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3,4]时的解析式即可判定④的真假．本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题．13.答案：3解析：解：由题意可得|a⃗|=√2,(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗⋅b⃗ +2a⃗2=a⃗⋅b⃗ +4，∴a⃗⋅b⃗ +4=2，解得a⃗⋅b⃗ =−2，∴|a⃗−b⃗ |=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3．故答案为：3．依题意，可求得a⃗⋅b⃗ =−2，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14.答案：①②③解析：试题分析：由图象可知，甲跑8m用了2s，速度为m/s，乙跑500m用了100s，速度为m/s，乙追上甲用了s，甲用s跑到终点，，m.考点：本小题主要考查函数在实际问题中的应用．点评：解决此类问题，要结合实际情况，利用函数观点解决问题．15.答案：“若|x|≥√2，则x2≥2”解析：解：命题“若x2<2，则|x|<√2”的逆否命题是“若|x|≥√2，则x2≥2”．故答案为：“若|x|≥√2，则x2≥2”．根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目．)上的一个最高点的坐标为16.答案：解：(1)∵曲线f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2,2)，(π8∴A+B=2，∵此点相邻的一个对称中心坐标为(3π8,12)， ∴T =4×(3π8−π8)=π，所以ω=2，∵对称中心坐标为(3π8,12)， ∴B =12，φ=kπ−3π4，k ∈Z∵|φ|<π2，∴φ=π4．∴函数f(x)的表达式为y =32sin(2x +π4)+12． (2)列表： x−π8 π8 3π8 5π8 7π82x +π4 0 π2 π 3π2 2πy12 2 12 −1 12描点、连线如图所示．(3)y =32sin(2x +π4)+12向下平移12个单位得到y =32sin(2x +π4)的图象，横坐标不变，纵坐标变为原来的23倍得到y =sin(2x +π4)的图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y =sin(x +π4)的图象，向右平移π4即可得到y =sinx 的图象． 解析：(1)利用函数图象经过的最高点可得A =2，求出函数的周期，即可求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，B ，即可求出解析式；(2)根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象． (3)利用平移规律及图象变换规律即可得到结果．本题主要考察了五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，属于基本知识的考察．17.答案：解：(1)利用等积法知V A−CMN =V N−ACM =13×12×12×1×1=112．(2)建立如图的空间直角坐标系，则平面ABC 的法向量为 n ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，C(0,0，0)，A 1(1,0，1)，B 1(0,1，1)，设N(x,y ，z)，∵A 1N =2B 1N.∴ A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y ，z −1)，NB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,1−z)， 则(x −1,y ，z −1)=2(−x ，1−y ，1−z)，则{x −1=−2xy =2−2y z −1=2−2z ，得x =13，y =23，z =1，即N(13,23,1)， 则CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,23,1)， 设直线CN 与底面ABC 所成角的大小为α，则sinα=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1414， 即α=arcsin3√1414． 解析：(1)利用等积法知V A−CMN =V N−ACM ，然后进行计算即可． (2)建立坐标系求出向量坐标，利用向量法进行求解．本题主要考查空间几何体的体积的计算以及空间线面角的求解，建立坐标系求出向量坐标，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．18.答案：解：(I)依据条件，设“达到I 级”为事件A ，这15天中的有5天达到I 级，因此P(A)=515=13，ξ的可能值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 103C 153=2491；当ξ=1时，P(ξ=1)=C 51C 102C 153=4591；P(ξ=2)=C 52C 101C 153=2091；P(ξ=3)=C 53C 153=291．所以其分布列为： ξ 0 1 2 3 P(ξ)249145912091291数学期望为：Eξ=1×4591+2×2091+3×291=1．(Ⅱ)依(I)可知，一年中每天空气质量达到一级的概率P =13， 一年中空气质量达到一级的天数为360×13=120， 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．解析：(I)依据条件，设“达到I 级”为事件A ，这15天中的有5天达到I 级，因此P(A)=515=13，ξ的可能值为0，1，2，3.利用“超几何分布”即可得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出； (II)利用(I)可得一年中每天空气质量达到一级的概率P =13，进而得到一年中达到I 级的天数． 本题考查了“超几何分布”的分布列及其数学期望、用概率估计一件事情等基础知识与基本技能，属于基础题．19.答案：解：(1)因为短轴一个端点到右焦点的距离为√3，则a =√3，由e =c a=√63得c =√2，则b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)由{x 23+y 2=1y =x +1消去y 得，2x 2+3x =0，解得x 1=0或x 2=−32，所以y 1=1、y 2=−12， 所以两个交点为：A(0,1)、B(−32,−12)， 则 |AB|=√(−32−0)2+(−12−1)2=32√2．解析：(1)根据题意先求出a ，由离心率求出c 、b ，代入椭圆方程即可；(2)联立直线方程和椭圆方程消去y 求出交点A 、B 的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|．本题考查椭圆的简单几何性质、标准方程，两点间的距离公式，以及直线与椭圆相交问题，属于中档题．20.答案：解：(1)f(x)=e x −x 2+a ，f′(x)=e x −2x ．由已知得{f(0)=1+a =0f′(0)=1=b , ∴{a =−1b =1．(2)证明：由(1)知∴f(x)=e x −x 2−1．令φ(x)=f(x)+x2−x=e x−x−1，φ′(x)=e x−1，由φ′(x)=0，得x=0，当x∈(−∞,0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(0,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．∴φ(x)min=φ(0)=0，即φ(x)≥0，从而f(x)≥−x2+x．(3)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=f(x)x ，g′(x)=xf′(x)−f(x)x2 =(x−1)(e x−x−1)x2．由(2)可知当x∈(0,+∞)时，e x−x−1>0恒成立，令g′(x)>0，得x>1；g′(x)<0，得0<x<1．∴g(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．所以g(x)min=g(1)=0．∴k<g(x)min=g(1)=e−2，∴实数k的取值范围为(−∞,e−2)．解析：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．(1)利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f(x)的解析式；(2)令φ(x)=f(x)+x2−x=e x−x−1，确定函数的单调性，可得φ(x)min=φ(0)=0，即可证明：f(x)≥−x2+x；(3)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x >k对任意的x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=f(x)x，则k<g(x)min=g(1)=0，即可求实数k的取值范围．21.答案：(I)证明：S n=2a n+2n(n∈N∗).当n≥2时，S n−1=2a n−1+2(n−1)，∴a n=S n−S n−1= 2a n+2n−[2a n−1+2(n−1)]，化为：a n=2a n−1−2，∴a n−2=2(a n−1−2)，n=1时，a1=S1=2a1+2，解得a1=−2，∴a1−2=−4，∴{a n−2}为等比数列，首项为−4，公比为2．∴a n−2=−4×2n−1，可得：a n=−2n+1+2．(II)解：b n=log2(2−a n)=n+1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．∴1b1b2+1b2b3+⋯…+1b n b n+1=12−13+13−14+⋯…+1n+1−1n+2=12−1n+2>25，解得：n+2>10，即n>8．∴满足1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25的正整数n的最小值为9．解析：(I)S n=2a n+2n(n∈N∗).当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得a n=2a n−1−2，变形为a n−2= 2(a n−1−2)，即可证明结论．利用通项公式可得a n．(II)b n=log2(2−a n)=n+1，1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2.利用裂项求和可得1b1b2+1b2b3+⋯…+1b n b n+1，解不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯1b n−1b n+1b n b n+1>25，可得满足条件的正整数n的最小值．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市朝阳区2021届高三数学第一次综合练习试题 理（朝阳一模）(1)
（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2021．3一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，那么A B =（ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><D ． ∅（3）已知平面向量a ，b 知足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，那么a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ． 3πC ．32πD ．65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，那么点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ）A ． 14B ． 13 C．25 D ． 27（5）在ABC △中，π4A =，BC AC ”是“π3B =”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 （6）执行如下图的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．以下命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时，函数()f x 取最大值； ④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是（ ）A ． ①③B ．②③C ． ①④D ．②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3MN OM ON ≥+，其中O 是坐标原点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,22⎡-⎣B．(22,4⎡--⎣C ． [2,2]-D ．[-二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，那么该数列的前4项和为 ． （10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，那么线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如下图，那么那个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个核心到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号别离为1，2，3的红色卡片3张，标号别离为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全数的6张卡片放在2行3列的格内（如 图）．假设颜色相同的卡片在同一行， 那么不同的放法种数为 ．（用数字作答）（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．假设点E 是线段AD 上的动点，那么知足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． （15）（本小题总分值13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间． （16）（本小题总分值13分）俯视图某单位从一所学校招收某类特殊人材．对20位已经选拔入围的学生进行运动和谐能力和逻辑思维能力 的测试，其测试结果如下表：20 位参加测试的学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，ξ的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的 学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ， 求随机变量ξ的散布列及其数学期望E ξ． （17）（本小题总分值14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形， 且PA AD ⊥． E ，F 别离为底边AB 和侧棱PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角EPD C --的余弦值． （18）（本小题总分值13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）假设函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值． （19）（本小题总分值14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；AE BCDPF（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右极点．直线AM 与直线BM 别离与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是不是过x 轴上的定点？假设是，求出定点坐标；假设不是，说明理由． （20）（本小题总分值13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ； （Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（理工类） 一、选择题15． （本小题总分值13分） 解： ()f x =sin2cos2x x -)4x π=-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-=． 显然，函数()f x 的最小正周期为π． ………………………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，因此3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 13分16． （本小题总分值13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．因此4b =． ………………………… 4分 （II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． ………………………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．因此21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．因此ξ的散布列为 因此，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯== ………………………… 13分 17． （本小题总分值14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 别离是PC ，PD 的中点，因此FG 是△PCD 的中位线． 因此FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，因此1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ． 因此AE ∥FG ，且AE FG =． 因此四边形AEFG 是平行四边形．因此EF ∥AG ． 又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，因此EF平面PAD ． …………………………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，因此PA ⊥平面ABCD ． 因此PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，因此AB AD ⊥， 因此,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，别离以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 成立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，那么(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ． 因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，， 因此EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，因此EF ⊥平面PCD ． ………………………… 9分 （Ⅲ）易患(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,． 设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，那么 0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n nAE BCDPFG因此 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,.x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，那么(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，因此 cos ,2EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n ．由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，因此二面角E PD C --． …………………………14分 18． （本小题总分值13分）解：函数()f x 的概念域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，因此函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，因此函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，因此()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 因此函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，因此函数()f x的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，因此函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． …………………………13分 19． （本小题总分值14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．因此椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右极点，因此点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 假设以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，那么等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 因此221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++22414k k =+，22314k k -=+，因此2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分 20． （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．因此(5,3)4f =． ………………………… 3分 （Ⅱ）设知足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N ． 1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11． 关于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 别离取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 别离取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）．因此当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为： (100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．………………………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤， 记11n m --的整数部份是t ，那么11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤．d 的可能取值为1,2,,t ，关于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 别离取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个． 因此当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 因此21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 因此(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅(1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． ………………………… 13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理工类）选填解析 一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：2i(2+i)=2i i 12i z =+=-+对应的点为(1,2)-因此对应的点在第二象限． 应选B ． 2．【答案】A【解析】解：1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>因此{|0}A B x x =>． 应选A 3．【答案】B【解析】解：因为(2)()=2⋅--a +b a b ， 因此2222+⋅-=-a a b b因此22cos ,22+<>-=-a a b a b b 又2==a b ，因此44cos ,82+<>-=-a b 因此1cos ,2<>=a b 因此π,3<>=a b ． 应选B 4．【答案】A【解析】解：阴影部份面积为134100111|0444x dx x ==-=⎰；区域D 的面积为111⨯=；由几何概型知识，得概率为114=14．应选A ． 5．【答案】B【解析】解：假设AC π4A =，BC，由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅== 又(0,π)B ∈，那么π3B =或2π3．因此“AC ”推不出“π3B =”； 另一方面，假设π4A =，BC =，π3B =，那么sin sin BC B AC A ⋅==，因此“π3B =”能推出“AC =” ．因此“AC =”是“π3B =”的必要不充分条件． 应选B 6．【答案】D 【解析】解：列表故答案为D ． 7．【答案】C【解析】解：关于①，因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，因此()f x 为奇函数，图象关于原点对称，①正确；关于②，因为sin y x =是周期函数，211y x =+不是周期函数，因此2sin ()1xf x x =+不是周期函数，故②不正确；关于③，因为()f x 图象持续不断且概念域为R ，因此()f x 的最大值必然是()f x 的极值；而222cos (1)sin 2'()(1)x x x x f x x +-⋅=+，22ππ'()0π2(1)4f -=≠+，因此当2x π=时，函数()f x 不取极值，故③错； 关于④，由于()f x 与1y x =均关于原点对称，因此只需考虑0x >部份，因为22sin 11()11x f x x x x=<<++，故函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，④正确． 故答案选C 8．【答案】D【解析】如图，设圆心(0,0)到直线y x m =+的距离2m d =，因此22222162m MN r d =-=-，如图，22OM ON OA d m +=== 又3MN OM ON ≥+，则221662m m -≥，解得2222m -≤≤．故答案选D ． 二、 填空题 9．【答案】30【解析】解：设{}n a 的公比为q ，因为12a =，2312a a +=，因此21112a q a q +=，即260q q +-=，(3)(2)0q q +-=，因此3q =-（舍），2q =因此34116a a q ==，4123430S a a a a =+++=；故答案为30． 10．【答案】2【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，222x y x +=，22(1)1x y -+=；由cos 4ρθ=，得4x =；圆心(1,0)到4x =的距离的为3． 因此线段AB 长度的最小值为312-=； 故答案为2． 11．【答案】1,233+【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥； 因此体积111211323V =⨯⨯⨯⨯=；表面积221133212122232244S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+．故答案为1,233+12．【答案】2,5【解析】解：因为双曲线2221(0)y x b b-=>，因此核心2(1,0)b ±+，准线为y bx =±；又核心到其渐近线的距离是2，因此221+21+b b b=，即2b =．离心率为ca=21+5b = 故答案为2,5 13．【答案】72【解析】解：分步计数原理，33233272A A A ⋅⋅=．故答案为72． 14．【答案】2【解析】解：如图成立空间直角坐标系，设SB a =，(03)AE b b =≤≤ 那么(0,0,)S a ，(3,1,0)C -，(,1,0)E b 因此(,1,)ES b a =--，(3,2,0)EC b =--因为90SEC ∠=︒，2320ES EC b b ⋅=-++=，解得1b =或2． 故答案为2．。
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）A．﹣2B．1C．2D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．【解答】解：∵的实部与虚部相等，∴b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，∴a5＝2，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：＝1，所以：，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0，所以，由于B∈（0，π），所以B＝．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tan A tan B＜1．若A或B为钝角，则tan A tan B＜1成立．（2）若tan A tan B＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．假设A，都B为锐角，tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．综上可得：在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形．∴在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案．【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4，所以A（4，4），所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2，当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值；当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC ⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28．（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为T，令8﹣2r＝4，解得r＝2，所以x4的系数为C，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数则f（0）＝1；f（x）的值域为（﹣∞，2）．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：f（0）＝20＝1，当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2，当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0，综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2），故答案为：1，（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，∴售出m万件A商品的总获利为：8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0，即＞0（x≥0），解得0≤x＜3，∴当0≤x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增，当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f （x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若f（x）＝e x﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点；③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．对于①f（x）＝e x﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝e x0﹣1，因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确；对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2，由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，x n＝，不满足当0＜j＜k时，x j≠x0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，当，，，满足题意，故存在周期为3的周期点，故③错误，对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝A sinφ＝﹣2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④，所以函数f（x）只能满足条件①，②，③，由条件①，可得＝π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区100户150户2019年人均年纯收入超过10000元200户50户2019年人均年纯收入未超过10000元假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为＝；（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a2＝3，所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；（Ⅱ）设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx，因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，可得x M＝﹣，y M＝+1＝，即M（﹣，），因为B（0，﹣1），直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，由题意可得Q（﹣12k，3），设T（x0，y0），所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0，可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，要使①成立，，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞），当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则，由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0，若a＝0，则f（x）＝﹣e x，ax+a＝0，直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0，所以+x0＝0，③，令φ（x）＝e x+x，则φ′（x）＝e x+1＞0，故φ（x）单调递增，∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0，将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0，故a＝＝，易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0，故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增，∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．21．（15分）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n ＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），当n＝1时，1＜2成立；当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0，设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
北京市朝阳区2021届高三年级第一次4月综合练习理科数学试卷
2021.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π （5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 42C. 62D. 8（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A.33 B. 1 C. 233D. 2 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若3CD ，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的 半径是 .（13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，开始 i=0S=0S=S+2i-1 i ≥6 输出S结束是 i=i+2否点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. （16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）PDABCFE已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点3(1,)2,离心率为32，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围. （20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,（ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2a x ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e )e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤.。
北京市朝阳区2021届高三4月第一次综合练习数学理试题
北京市朝阳区高三年级|第|一次综合练习数学学科测试 (理工类 )2021.4(考试时间120分钟 总分值150分 )本试卷分为选择题 (共40分 )和非选择题 (共110分 )两局部第|一局部 (选择题 共40分 )一、选择题：本大题共8小题 ,每题5分 ,共40分．在每题给出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项. (1 )i 为虚数单位 ,复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2(2 )集合{}23M x x =-<< ,{}lg(2)0N x x =+≥ ,那么MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- (3 )向量()()3,4,6,3OA OB =-=- ,()2,1OC m m =+.假设//AB OC ,那么实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35(4 )在极坐标系中 ,直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点 ,那么AOB ∠的大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π (5 )在以下命题中 ,① "2απ=〞是 "sin 1α=〞的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,假设(1)P p ξ≥= ,那么1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③正视图侧视图俯视图(6 )某个长方体被一个平面所截 ,得到的几何体的三 视图如下图 ,那么这个几何体的体积为A. 4B.C. D. 8(7 )抛物线22y px = (p ＞0 )的焦点为F ,点A ,B 为抛物线上的两个动点 ,且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,那么||||MN AB 的最|大值为A.3 B. 1C. 3D. 2 (8 )函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ,使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立 ,那么称0(,)x n 为函数()f x 的一个 "生成点〞.函数()f x 的 "生成点〞共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二局部 (非选择题 共110分 ).(9 )在等比数列{}n a 中 ,32420a a a -= ,那么3a = ,{}n b 为等差数列 ,且33b a = ,那么数列{}n b 的前5项和等于 .(10 )在ABC ∆中 , a ,b ,c 分别为角A , B ,C A 为锐角 ,且3sin b a B =,那么tan A = .(11 )执行如下图的程序框图 ,输出的结果S = .(12 )如图 ,圆O 是ABC ∆的外接圆 ,过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .假设CD , 2AB AC == ,那么线段AD 的长是 ；圆DO 的半径是 .(13 )函数)(x f 是定义在R 上的偶函数 ,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时 ,()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根 ,那么实数a 的取值范围是 .(14 )在平面直角坐标系xOy 中 ,点A 是半圆2240x x y -+= (2≤x ≤4 )上的一个动点 ,点C在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时 ,那么点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题 ,共80分.解容许写出文字说明 ,演算步骤或证明过程. (15 ) (本小题总分值13分 )函数21()sin 22x f x x ωω=-+ (0ω> )的最|小正周期为π. (Ⅰ )求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ )当[0,]2x π∈时 ,求函数()f x 的取值范围. (16 ) (本小题总分值13分 )盒子中装有四张大小形状均相同的卡片 ,卡片上分别标有数字1,01-，,2．称 "从盒中随机抽取一张 ,记下卡片上的数字后并放回〞为一次试验 (设每次试验的结果互不影响 )．(Ⅰ )在一次试验中 ,求卡片上的数字为正数的概率；(Ⅱ )在四次试验中 ,求至|少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(Ⅲ )在两次试验中 ,记卡片上的数字分别为ξη， ,试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．(17 ) (本小题总分值14分 )如图 ,在四棱锥P ABCD -中 ,平面PAC ⊥平面ABCD ,且PA AC ⊥ , 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ,AB AD ⊥ ,1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点 ,且PE PF PB PCλ==． (Ⅰ )求证：EF 平面PAD ；(Ⅱ )当12λ=时 ,求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ )是否存在实数λ ,使得平面AFD ⊥平面PCD ?假设存在 , 试求出λ的值；假设不存在 ,请说明理由．PDABCFE(18 ) (本小题总分值13分 )函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++ ,其中2a ≤． (Ⅰ )求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ )假设函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点 ,求实数a 的取值范围.(19 ) (本小题总分值14分 )中|心在原点 ,焦点在x 轴上的椭圆C 过点,点A (10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点 ,直线AE ,AF 与直线3x =分别交于点M ,N . (Ⅰ )求椭圆C 的方程； (Ⅱ )求EM FN ⋅的取值范围. (20 ) (本小题总分值13分 )设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列 ,定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑ ,其中111x x =.(Ⅰ )假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ= ,求()S τ的值； (Ⅱ )求()S τ的最|大值；(Ⅲ )求使()S τ到达最|大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级|第|一次综合练习数学学科测试答案 (理工类 )2021.4三、解答题：(15 ) (本小题总分值13分 ) 解： (Ⅰ )1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分 因为()f x 最|小正周期为π ,所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+ ,k ∈Z ,得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+] ,k ∈Z . ………………8分(Ⅱ )因为[0,]2x π∈ ,所以72[,]666x πππ+∈ , …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分(16 ) (本小题总分值13分 )解： (Ⅰ )设事件A ：在一次试验中 ,卡片上的数字为正数 ,那么 21()42P A ==．答：在一次试验中 ,卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 (Ⅱ )设事件B ：在四次试验中 ,至|少有两次卡片上的数字都为正数．由 (Ⅰ )可知在一次试验中 ,卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中 ,至|少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 (Ⅲ )由题意可知 ,ξη，的可能取值为1,01-，,2 ,所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为所以11()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分 (17 ) (本小题总分值14分 ) 证明： (Ⅰ )由 ,PE PFPB PCλ== , 所以 EF BC ． 因为BCAD ,所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分(Ⅱ )因为平面ABCD ⊥平面PAC ,平面ABCD平面PAC AC = ,且PA AC ⊥ ,所以PA ⊥平面ABCD .所以PA AB ⊥ ,PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥ ,所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分 如下图 ,建立空间直角坐标系 , 因为1AB BC == ,2PA AD == , 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时 ,F 为PC 中点 , 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ ,所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|BF CD θ-⋅-=〈〉== , 所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为3．…………………………………9分 (Ⅲ )设000(,,)F x y z ,那么000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由PF PC λ= ,所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=- ,所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ,因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ= ,得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ,因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x = ,那么2(1,1,1)=n ．假设平面AFD ⊥平面PCD ,那么120n n ⋅= ,所以(22)0λλ-+= ,解得23λ=． 所以当23λ=时 ,平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 (18 ) (本小题总分值1 3分 )解：函数定义域为{}0x x > , 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤ ,即02a≤时 ,令()0f x '< ,得01x << ,函数()f x 的单调递减区间为(0,1) , 令()0f x '> ,得1x > ,函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a << ,即02a <<时 ,令()0f x '> ,得02ax <<或1x > , 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a,(1,)+∞.令()0f x '< ,得12a x << ,函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a= ,即2a =时 ,()0f x '≥恒成立 ,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时 ,由(Ⅰ)可知 ,函数()f x 的单调递减区间为(0,1) ,()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最|小值为(1)1f a =+ , 由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+> , 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点 , 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-.②当02a <≤时 ,由(Ⅰ)可知 ,(ⅰ )当2a =时 ,函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+> ,所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. (ⅱ )当02a <<时 ,函数()f x 在(,1)2a上单调递减 ,在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+> ,所以当(,2]2ax ∈时 ,总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+ ,所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a ()f x 在(0,)2a 内单调递增 ,从而当02a <≤时 ,()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述 ,02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时 ,()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 (19 ) (本小题总分值14分 )解： (Ⅰ )设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>> ,依题意得22222,1314a b c ca a b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a = ,21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分 (Ⅱ )显然点(2,0)A .(1 )当直线l 的斜率不存在时 ,不妨设点E 在x 轴上方 ,易得(1,E F,(3,M N ,所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分(2 )当直线l 的斜率存在时 ,由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =- ,显然0k =时 ,不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,那么22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ,AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=--- , 令3x = ,那么1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=-- ,2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k > ,所以21644k +> ,所以22165511644k k +<<+ ,即5(1,)4EM FN ⋅∈.公众号：惟微小筑综上所述 ,EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分 (20 ) (本小题总分值13分 )解： (Ⅰ )1011()|23|7654321012857k k k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分(Ⅱ )数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-= ,所以()131S τ≤.对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ= ,此时0()131S τ= ,所以()S τ的最|大值为131. ……………………………………………………………8分(Ⅲ )由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数 ,而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数 ,所以使()S τ取最|大值的排列中 ,必须保证数1,2,3,4互不相邻 ,数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面 ,又不能排在1,2,3,411x = ,并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中 ,有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中 ,共有24种不同的填法；5填入4个△之一中 ,有4种不同的填法；6填入4个△中 ,且当与5在同一个△时 ,既可以在5之前又可在5之后 ,共有5种不同的填法 ,所以当11x =时 ,使()S τ到达最|大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯= ,由轮换性知 ,使()S τ到达最|大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。
北京朝阳区2021届高三文科数学一模试卷
北京朝阳区2021届高三文科数学一模试卷（文史类） 2002.4（考试时刻120分钟，满分150分）成绩_____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα正棱台、圆台侧面积公式：l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。
台体的体积公式：h )s s 's 's (31V ++=台体其中s ′、s 分别表示上、下底面积，h 表示高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。
（1）已知函数x 21x )x (f --+=的定义域为M ，1x )x (g +=的值域为N ，则（ ）A ．)1,1[N M -=B ．]1,1[N M -=C ．]2,(N M -∞=D ．N M ⊆（2）直线1l ：ax+2y-1=0与直线2l ：0a y )1a (x 2=+-+平行，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．0或1（3）已知α、β是两个不同的平面，在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面yB ．a 、b 是α内两条直线，且a//β，b//βC ．α内不共线的三个点到β的距离相等D ．a 、b 为异面直线，且a//α，b//α，a//β，b//β（4）若直线y=2x+b 与圆0y 2y x 2=-+相切，则b 的值为（ ） A ．51+ B ．51- C ．51+，51- D ．5，5-（5）不等式x 2x >+的解集为（ ） A ．{x|-2≤x<2} B ．{x|-1<x<2} C ．{x|0≤x<2} D ．{x|x<2}（6）函数x cos 2x cos x sin 2)x (f 2+=的最小正周期为（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π （7）某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前接下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为21m /a 元，顶层由于景观好价格为22m /a 元，第二层价格为2m /a 元，从第三层开始每层在前一层价格上加价2m /100a元，则该商品房各层的平均价格为（ ）A ．a 1.23a a 21=+B ．)a 1.23a a (23121=+ C ．)a 31.23a a (23121=+ D ．)a 9.22a a (23121=+（8）若奇函数⎩⎨⎧<>-=)1x (,x )1x (,2x )x (f ，则不等式f(x)<0的解集为（ ）A ．{x|x<0或1<x<2}B ．{x|x<-1或0<x<1}C ．{x|x<-2或-1<x<0}D ．{x|x<0}（9）高中一年级8个班协商级建年级篮球队，共需10名队员，若每个班至少出一名，则不同的名额分配方式有（ ）A ．224种B ．62种C ．36种D ．28种 （10）如图，三棱台111C B A ABC -中，上底面111C B A 面积为41，侧面11A ACC 面积为2，点B 到上底面111C B A 及侧面11A ACC 的距离均为1，则三棱台111C B A ABC -的体积为（ ）A ．21 B ．43 C ．23D ．2（11）若复数不胜数z 适合2|1z ||i z |=-+-，则|z|的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．22 D ．42 （12）设)0,c (F 1-，)0,c (F 2-（c>0）是椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的两个焦点，P 是以|F F |21为直径的圆与椭圆的一个交点，且1221F PF 5F PF ∠=∠，则该椭圆的离心率为（ ） A ．36 B ．23 C ．22 D ．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
北京市朝阳区2021届高三数学第一次综合练习试题 文（朝阳一模）(1)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2021．3一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分． （1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛，1|21}x B x -=>｛，那么A B =（ ）．A ．∅B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2 （2）已知i 为虚数单位，复数2i1i-的值是（ ）． A ．1i -- B ．1i + C ．1i -+ D ．1i - （3）假设,x y 知足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥那么函数2z x y =-的最大值是（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．6 （4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技术竞赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，那么命题“至少有一名队员有站稳”可表示为（ ）． A ．p q ∨ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，那么输出S 的值是（ ）．A ．10B ．17C ．26D ．28 （6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ）． A ． B ． C ． D ．（7）已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，那么2AB AC -与CA 的夹角是 （ ）．A ．30B ．60C ．90D ．120 （8）如图，梯形ABCD 中，ADBC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A '，而且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：CBA①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '． 其中正确命题的序号是（ ）．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）抛物线28y x =的准线方程是 ．（10）在一次选秀竞赛中，五位评委为一名演出者打分，假设去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高 分．（11）在ABC ∆中，,,a b c 别离是角,,A B C 的对边．已知4b =，2c =，60A ∠=，那么a = ；C ∠= ．（12）一个空间几何体的三视图如下图，那么那个几何体的体积为 ；表面积为 ．（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，假设||AB ≥m 的取值范围是 ．（14）将1，2，3，…………，9这9个正整数别离写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．此刻第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，那么6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． （15）（本小题总分值13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-． （Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（16）（本小题总分值13分）某单位从一所学校招收某类特殊人材．对20位已经选拔入围的学生进行运动和谐能力和逻辑思维能力 的测试，其测试结果如下表：俯视图20位 参加测试的学生中随机抽取一名，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a ，ξ的值；（Ⅱ）从运动和谐能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概 率．（17）（此题总分值14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11A C 与11B D 交点， 已知11AA AB ==，60BAD ∠=． （Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界），且OM ⊥11B D ，说明知足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最 小值．（18）（本小题总分值13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，假设函数()F x 没有零点，求a 的取值范围． （19）（本小题总分值14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点，一个核心为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）假设直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x1轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． （20）（本小题总分值13分）已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>．（Ⅰ）假设33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）假设2244,a b a b ==．（ⅰ）判定10b 是不是为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）假设m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（没必要说明理由）．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类） 一、选择题3015． 解：（Ⅰ）因为π()sin 22sin(2)3f x x x x ==-因此，(0)f =．由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 因此)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． ………………………………………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤因此ππ2π2333x --≤≤．因此，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2． ……………………………………………13分 16． 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一名，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==． 解得 2a =．因此4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动和谐能力为优秀的学生共有6位，别离记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动和谐能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动和谐能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能． 因此93()155P B ==． 因此至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． ………………………………………………13分17． 解：（Ⅰ）依题意， 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 因此1BB ⊥底面1111A B C D ．又11AC ⊂底面1111A B C D ， 因此1BB ⊥11A C ． 因为1111A B C D 为菱形， 因此1111AC B D ⊥．而1111BB B D B =，因此11AC ⊥平面11B BDD ．（Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．依题意，1AA ∥1CC ， 且11AA CC =，1AA AC ⊥， 因此11A ACC 为矩形． 因此1OC ∥AE ．1又11112OC AC =，12AE AC =，11AC AC =， 因此1OC =AE ，因此1AOC E 为平行四边形， 那么AO ∥1C E ．又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ，因此AO ∥平面1BC D ． ………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，知足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．分析如下：连接OE ，那么BD OE ⊥．由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ∆中，11C D C B =，又E 为BD 中点，因此BD ⊥1C E ． 故M 点必然在线段1C E 上． 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC1C E因此1min 1OC OE OM C E ⋅=． ……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x '=，那么函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =．又(e)1f =， 因此函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x = …………………………………4分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()ax F x a x x-'=-=，（0x >）． ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<． 综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞． …………………………………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数，区间1(,)a+∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2e a ->．因此实数a 的取值范围为21(,)e +∞． …………………………………………………………………13分 19． 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 因此椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………………………………………4分（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．因此线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 因此线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 因此22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，因此221331k <-<+． 因此||||AB PQ的取值范围为． ……………………………………………………14分20． 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b b b =，2b =，当2b =22a b >；当2b =132b b +13b b =时取等号， 而13b b ≠，因此13132b b b b +>即22a b >． 综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，因此3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 因此213,1q q q ++==或2q =-．因为1q ≠，因此2q =-，(1)3d a q a =-=-．令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，因此10b 是{}n a 中的一项．（ⅱ）假设m k b a =，那么111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．正整数m 的集合是{}12m m=m=n,n *∈N 或． ……………………………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛因此{2}A B =应选C2． 【答案】C【解析】解：222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2+-====-+--+- 应选C 3． 【答案】D【解析】画出,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥表示的区域，如下图：由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时， 截距z -最小，即z 最大为6．应选D 4． 【答案】D【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ⌝表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ⌝表示“乙落地没有站稳”因此“至少有一名队员落地没有站稳”能够表示为()()p q ⌝∨⌝． 5． 【答案】B【解析】解：列表法：S1 25 10 17 循环结束 i13579故答案选B 6． 【答案】A【解析】解：因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，因此()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；又2π1()0π214f =>+，排除B ． 应选A ． 7． 【答案】C【解析】解：设2AB AC -与CA 的夹角是θ，那么(2)cos 2AB AC CA AB AC CAθ-⋅=-又AB 和AC 是平面内两个单位向量，则1AB =，1AC =；则22(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -⋅=--⋅=-⋅+=-⋅︒+= 因此cos 0θ= ，则=90θ︒． 应选C 8． 【答案】B【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如下图， 画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E 如下图， 关于①，因为''A B A D =，因此'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，那么'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥；若A D BC '⊥，'''A D A E A =，那么BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错；关于②，'11122'2233226A BCD BCD V S A E -==⨯⨯⨯⨯=△，故②错； 关于③，因为'A E ⊥面BCD ，那么'A E CD ⊥，又CD BD ⊥，'A EBD E = ，因此CD ⊥平面A BD '；故③正确；关于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，因此'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =，因此'A B ⊥面'A DC ； 又'A B ⊂平面A BC '，因此平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B 二、填空题9． 【答案】2x =-【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =， 因此准线方程为22px =-=-． 故答案为2x =- ． 10．【答案】16【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，那么这4人的总分为904360⨯=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，那么这4人的总分为864344⨯=； 因此最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16． 11．【答案】23，30︒【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得23a =；由正弦定理，得32sin 12sin 223c A C a ⨯===，因此30C =︒或150︒（舍）故答案为23，30︒． 12．【答案】13，3+2【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如下图， 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放． 因此1111133V =⨯⨯⨯=，故答案为13，3+2 13． 【答案】[2,2]-【解析】解：如图，圆心O 到直线AB 距离为2md =，则222224232m AB r d =-=-≥， 解得22m -≤≤．故答案为[2,2]m ∈-．14． 【答案】二，{3,4,9}【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，因此6只能在第二张卡片上（不然，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）同理，4只能在第三张卡片上（不然，4假设在第一张上，514-=矛盾；假设4在第二张上，422-=矛盾）；同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如下图．故答案为：二，{3,4,9}．。