辽宁省实验中学大连八中大连二十四中鞍山一中东北育才学校2020届高三上学期期末考试数学(文)答案
辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连二十四中五校联考高三(上)期末物理试卷
2021~2022学年辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连二十四中五校联考高三（上）期末物理试卷1.下列说法错误的是( )A. 黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体温度有关B. 无线电波、紫外线、可见光、红外线、X射线、γ射线的波长依次减小C. 在空间传播的光不是连续的，而是一份一份的，每一份叫一个光子，其能量为ε=ℎνD. 通电直导线中电流的方向总是与其产生的磁场的方向垂直2.放在粗糙水平地面上质量为0.8kg的物体受到水平拉力的作用，在0∼6s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，g取10m/s2。
下列说法中正确的是( )A. 0∼6s内拉力做的功为120 JB. 物体在0∼2s内所受的拉力为4 NC. 物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.25D. 合外力在0∼6s内做的功与0∼2s内做的功不相等3.如图所示，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。
一小滑块自a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。
现让该滑块自b点由静止开始下滑，则该滑块( )A. 通过bc、cd段的时间均等于TB. 通过c、d点的速度之比为√3:√5C. 通过bc、cd段的时间之比为1:√3D. 通过c点的速度大于通过bd段的平均速度4.如图所示，图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在某时刻的波形图，P为平衡位置在x=17.5cm的质点，图乙为此波中平衡位置坐标x=10cm的质点从该时刻起的振动图像，下列说法中正确的是( )A. 波沿x轴负方向传播B.由甲、乙两图可知该波波速为100m/sC.从该时刻起，t=2.5s时，P点刚好经过平衡位置，振动方向向下D. 从该时刻起，P点第一次回到平衡位置通过的路程是(8−2√2)cm5.在x轴上A、B两点处分别有点电荷Q1和Q2，两点电荷形成的静电场中，取无穷远处电势为零，x轴上各点的电势φ随x变化的图像如图所示，下列说法正确的是( )A. Q1和Q2，带同种电荷B. 电子在P点的电势能最小C. 将电子从P1点移到无穷远的过程中，电场力做负功D. 电子仅在电场力作用下从P1点沿x轴正向运动到P点的过程中，加速度逐渐减小6.如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直磁场方向的OO′轴匀速转动。
2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上期末数学(文)(解析版)
2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．欧拉公式：10i e π+=被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合{,,,1,0}A e i π=，则集合A 不含无理数的子集共有( )A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个【答案】A【解析】由题得集合A 中的无理数元素有,e π，即得集合A 不含无理数的子集的个数. 【详解】由题得集合A 中的无理数元素有,e π，所以集合A 中不含无理数的子集共有328=个. 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．若,x y R +∈，且35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．4 B ．245C ．5D ．285【答案】C【解析】由条件可得315x y+=，可得13134()(34)5x y x y x y +=++，展开后，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值. 【详解】正数x ，y 满足35x y xy +=，即为315x y+=，可得13134()(34)5x y x y x y+=++13121(13)(13555x y y x =+++=…， 当且仅当21x y ==，可得最小值为5. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得λ的取值范围，进而判断出充分、必要条件.【详解】若圆锥曲线22152y x λλ-=+-，即22152y x λλ+=+-为椭圆，则()2527c λλ=+--=，即焦距与λ无关.此时502052λλλλ+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得2λ>.若圆锥曲线22152y x λλ-=+-为双曲线，则()2527c λλ=++-=，与λ无关.此时()()520λλ+->，解得52λ-<<.所以当()()5,22,λ∈-⋃+∞时，圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关.所以“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.5．函数()cos(3)f x x ϕ=-的图像关于直线4x π=对称，则ϕ的可能值为( )A ．4π-B ．3π-C ．4π D ．3π 【答案】A 【解析】由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,给k 取值即得解.【详解】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,k=1时，=4p j -. 故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．33【答案】C【解析】依次递推求出6a 得解. 【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=.【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．如图，在复平面内点P 对应的复数12z i =+，将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转6π到点Q ，则点Q 对应的复数2z 的虚部为( )A ．132-B ．31+ C ．132i ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．31i ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意求得点Q 对应的复数2z ，则其虚部可求． 【详解】设P 点对应的向量为OP uuu r，向量OP uuu r 绕坐标原点O 逆时针旋转6π得到OQ uuu r 对应的复数为(2)(cos sin )66i i ππ++3113(2)()(3)(1)22i i i =++=-++， ∴点Q 对应的复数2z 的虚部为312+．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图像可能是（ ）、A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：函数f （x ）在x =﹣2处取得极小值，所以2x <-时，()0f x '<；2x >-时，()0f x '>.所以2x <-时，()0xf x '>；20x -<<时，()0xf x '<；0x >时，()0xf x '>.选C. 【考点】导数及其应用.9．福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之《蓝色奇迹》：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图（2），除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为（无所得税）( )图（1） 图（2）A ．1100B ．150C ．3100D ．125【答案】B【解析】根据题意，获得500，100分别有100种可能，所以中500或者1000的概率为11110010050+=，根据古典概型算出即可． 【详解】根据所刮开数据，小明已经获得了200元，在剩下的数字中，可能获得的100，200，1000，500，获得500，100分别有100种可能，所以中500或者1000的概率为11110010050+=， 所以得到的奖金额高于600元的概率为150， 故选：B ． 【点睛】考查古典概型求概率公式的应用，属于基础题．10．如图圆锥PO ，轴截面PAB 是边长为2的等边三角形，过底面圆心O 作平行于母线PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为( )A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】由题可得1OE OC ==，在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，可得(1,1)C ，代入解出即可．【详解】过底面圆心O 作平行于母线P A 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，PA ⊆平面PAB, 平面PAB 与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA. 因为OA=OB ，所以OE=1=OC, 因为OP ⊥底面ABC,所以OP ⊥OC, 因为OC ⊥OE,OP,OE ⊆平面PAB,OP∩OE=0, 所以OC ⊥平面PAB,所以OC ⊥OB.在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，1(1,1),12,2C p p ∴=∴=Q ， 所以该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为1.4故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查空间线面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知A ，B 是半径为3AB 作互相垂直的两个平面,αβ，若球心到,αβ截该球所得两个截面距离平方之和为8，则线段AB 的长度是( ) A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】设过AB 作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，球半径为R ，由已知求得22212OH OO OO =+，再由勾股定理求得线段AB 的长度． 【详解】如图所示：设过AB 作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，球半径为R ，Q 球心到α，β截该球所得两个截面距离平方之和为8，∴22128OO OO +=，则222128OH OO OO =+=，22222(23)84AB R OH ∴=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了球的性质，把空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于基础题． 12．设函数()y f x =由方程到||||14x x y y +=确定，对于函数()f x 给出下列命题： ①对任意12,,x x R ∈12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-恒成立： ②,,a b R ∃∈a b ¹，使得()b f a =且()a f b =同时成立； ③对于任意,x R ∈2()0f x x +>恒成立； ④对任意，12,,x x R ∈12,x x ≠(0,1)t ∈，都有()()[]1212(1)(1)0tf x t f x f tx t x +--+->恒成立.其中正确的命题共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性． 【详解】 由方程14x xy y +=知，当x≥0且y≥0时，方程为2 4 x+y2＝1；当x＜0且y＜0时，方程为24x--y2＝1，不成立；当x≥0且y＜0时，方程为24x-y2＝1；当x＜0且y≥0时，方程为24x-+y2＝1；作出函数f（x）的图象如图所示，对于①，f（x）是定义域R上的单调减函数，则对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有()()1212f x f xx x--＜恒成立，①正确；对于②，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，所以22221414abba⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；假设点（a,b）在第四象限，则点(b,a)在第二象限，所以22221414abba⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.故该命题是假命题.对于③，由图形知，对于任意x ∈R ，有f （x ）12-＞x ， 即2f （x ）+x ＞0恒成立，③正确； 对于④，不妨令t 12=，则tf （x 1）+（1﹣t ）f （x 2）﹣f [tx 1+（1﹣t ）x 2]＞0为 12()()2f x f x +＞f （122x x+），不是恒成立，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①③． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了含有绝对值的函数图象与性质的应用问题，也考查了圆锥曲线的知识与数形结合思想，是中档题．二、填空题13．已知1,e r 2e r 是夹角为60︒的两个单位向量，12,a e e =-u r u u r r 12b e me =+u r u u r r ，若a b ⊥r r 则m =________.【答案】1【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m 的值． 【详解】∵已知1e u r ，2e u u r是夹角为60°的两个单位向量， ∴1e u r •2e =u u r 1•1•cos60°12=．而 12a e e =-ur u u r r ，12b e me =+u r u u r r ，若a b ⊥r r ，则 a b r r ⋅=（12e e -u r u u r ）•（1e +u r m 2e u u r ）21e =-u r m 22e +u u r m 1221e e e e ⋅-⋅=u r u u r u u r u r 1﹣m﹣0+0＝0， 则m ＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 14．网上购鞋常常看到下面的表格：依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算30号童鞋对应的脚长是________mm . 【答案】200【解析】先根据已知求出函数的解析式，把30x =代入求出即得解． 【详解】由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，设,y kx b =+所以220=34,5,5022535k bk b k b +⎧∴==⎨=+⎩所以函数的解析式为550y x =+， 30x =时，200y mm =，故答案为：200 【点睛】本题主要考查一次函数模型的应用，求出解析式是解题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．15．己知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和n S ，若3,S 9,S 27S 成等比数列，则93S S =________. 【答案】9【解析】设等差数列的公差为d ，由等比数列的中项性质，结合等差数列的求和公式，化简可得首项和公差的关系式，再由等差数列的求和公式，化简可得所求值． 【详解】设等差数列{}n a 的公差d 不为零，3S ，9S ，27S 成等比数列， 可得29327S S S =，即有2111(936)(33)(27351)a d a d a d +=++， 化为12d a =，则9111311193697293336S a d a a S a d a a ++===++， 故答案为：9 【点睛】本题考查等差数列的求和公式以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．己知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2x f x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(,2]-∞【解析】由题意可得((1))2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 转化为则2(1)(1)x x e m ln x x +-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，再证明2(1)2(1)x x e ln x x+->+-即得解. 【详解】函数()2f x mlnx x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即为(1)2(1)2x mln x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即有((1))2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设(1)y ln x x =+-，1111x y x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减，可得(1)0y ln x x =+-<，则2(1)(1)x x e m ln x x +-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，下面证明2(1)2(1)x x e ln x x+->+- 因为(1)0ln x x +-<，所以只需证明2222ln(1)2xx e x x +-<+-只需证明2ln(1)2(1)22xx x x e +-+>-当m=2时，只需证明(1)()x f x f e +>， 因为22(1)()2ln 2,()2x f x x x f x x x-'=-∴=-=， 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1+)∞，单调递减. 因为x>0，所以x+1>1,e 1x >, 所以只需证明1,xx e +< 因为1x x e +<恒成立，所以2(1)2(1)x x e ln x x+->+-. 则2m …，即m 的范围是(-∞，2]． 故答案为：(-∞，2]． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生对这些问题的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．三、解答题17．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度； （2）求出隧道CD 的长度. 【答案】（1）)231+（2）3【解析】（1）由已知在△AEF 中，由正弦定理即可解得AE 的值；（2）由已知可得∠BAE ＝90°，在Rt △ABE 中，可求BE 的值，进而可求CD ＝BE ﹣BC ﹣DE 的值． 【详解】（1）由已知可得EF ＝2，∠F ＝45°，∠EAF ＝60°－45°＝15°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE EFsin F sin EAF=∠∠，即24515AE sin sin =︒︒，解得)231AE =；（2）由已知可得∠BAE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt △ABE 中，)2431BE AE ==，所以隧道长度43CD BE BC DE =--=【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图，等腰梯形ABCD 中，,AB CD P 1,DA AB BC ===2CD =，E 为CD 中点，将DEA △沿AE 折到1D EA V 的位置.（1）证明：1AE D B ⊥；（2）请你求出在DEA △沿AE 任意折叠过程中所得四棱锥1D ABCE -体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）14【解析】（1）在平面图中，连BE ，DB ，设DB 交AE 于F ，证明AE ⊥平面1D FB ，1AE D B ⊥即得证；（2）分析得到要使四棱锥体积最大，则需要平面1D AE 垂直于底面ABCE ，再求四棱锥1D ABCE -体积的最大值. 【详解】（1）在平面图中，连BE ，DB ，设DB 交AE 于F ， 由已知四边形ABED 为菱形，所以AE DB ⊥.于是得出在立体图形中，1,AE D F ⊥,AE BF ⊥1D F BF F =I ，1D F BF ⊆、平面1D FB ，所以AE ⊥平面1D FB ，1D B ⊂平面1D FB ， 故1AE D B ⊥（2）四边形ABCE 是边长为1的菱形，其面积为32；要使四棱锥体积最大，则需要平面1D AE 垂直于底面ABCE ， 此时1D F 为高，132D F =;故四棱锥体积最大值为13313224⨯⨯=.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 年份x20142015201620172018足球特色学校y （百个） 0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱. （已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑()2110,ni i x x =-=∑()211.3,ni i y y =-=∑13 3.6056≈，()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）0.998 ，y 与x 线性相关性很强 （2）ˆ0.36724.76yx =-，244 【解析】（1）根据题意计算出r ，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解. 【详解】（1）由题得2016,x =1y =所以()()niix x y y r --=∑=3.60.9980.73.6056=≈>，∴y 与x 线性相关性很强.（2）()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.741014-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=++++0.36=，ˆˆay bx =-120160.36=-⨯724.76=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. 当2020x =时，ˆ0.36724.76yx =- 2.44=， 即该地区2020年足球特色学校有244个. 【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的①、②、③）三个区域面积彼此相等.（已知：椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积，即椭圆22221x y a b+=(0)a b >>面积为S ab π=椭圆）（1）求椭圆的离心率的值；（2）已知外椭圆长轴长为6，用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系，求出点M 的轨迹方程. 【答案】（16（2）2212x y +=【解析】（1）建立如图平面直角坐标系,由对称性只需=3S S 外内，所以23bab b aππ=，化简即得椭圆的离心率的值；（2）同（1）建立如图平面直角坐标系，先求出外椭圆方程为22193x y +=，设点()00,M x y ，根据直线和椭圆相切得到2020319y x -=--，即得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）建立如图平面直角坐标系,设外椭圆的方程为22221x y a b +=()0a b >>，因为内外椭圆有相同的离心率且共轴，所以内椭圆的方程为224221y x b b a +=. 图中标记的①、②、③三个区域面积彼此相等，由对称性只需=3S S 外内，即23b ab b aππ=223a b ∴=即()2223a a c =-所以6e . （2）同（1）建立如图平面直角坐标系，由于外椭圆长轴为6， 所以3a =，6e ，所以6c =23b =. 所以外椭圆方程为22193x y +=.设点()00,M x y ，切线方程为()00y y k x x -=-代入椭圆方程得：()()()222000013639k xk y kx x y kx ++-+--0=[Q 直线和椭圆相切()()()222200003641339k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣∴⎦0=化简得()2200009230x k x y k y --+-=因为两条切线互相垂直，所以121k k =-，即2020319y x -=--， 即()22000123x y x +=≠±当两切线与坐标轴垂直时，四点()3,3,±()3,3-±也满足方程， 所以轨迹方程为2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．已知a R ∈，函数2()x f x e ax =+.（1）()f x '是函数数()f x 的导函数，记()()g x f x '=，若()g x 在区间(,1]-∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）设实数0a >，求证：对任意实数12,x x ()12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立.附：简单复合函数求导法则为[()]()f ax b af ax b ''+=+. 【答案】（1）[),0,2e ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U（2）证明见解析【解析】（1）由题得()2xg x e ax =+，再对a 分两种情况讨论结合导数得解；（2）不妨设12x x <，取1x 为自变量构造函数()()()1212122f x f x x x F x f ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，再证明()10F x '>，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即证得.【详解】（1）由已知得()2xf x e ax '=+，记()2xg x e ax =+，则()2xg x e a '=+.①若0a ≥，()0g x '>，()g x 在定义域上单调递增，符合题意； ②若0a <，令()0g x '=解得()ln 2x a =-，()g x '自身单调递增， 要使导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调函数， 则需()ln 21a -≥，解得2e a ≤-， 此时导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调递减函数.综合①②得使导函数()f x '在区间(],1-∞上为单调函数的a 的取值范围是[),0,2e ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）因为12x x ≠，不妨设12x x <，取1x 为自变量构造函数，()()()1212122f x f x x x F x f ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其导数为()()11211222f x x x F x f '+⎛⎫''=- ⎪⎝⎭()121122x x f f x ⎡+⎤⎛⎫''=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >Q ()2xf x e ax ∴'=+在R 上单调递增而且12211022x x x xx +--=>， 所以()1212x x f f x +⎛⎫''> ⎪⎝⎭， 即()10F x '>.故关于1x 的函数()1F x 单调递增，()()120F x F x <=即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭证得. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在极坐标系中，已知曲线1C 的方程为6sin ρθ=，曲线2C 的方程为sin()13πρθ+=．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若曲线2C 与y 轴相交于点P ，与曲线1C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值． 【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=；曲线2C的直角坐标方程为20y +-=；（2）8. 【解析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据2C 的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入1C 的直角坐标方程中，利用t 的几何意义，将所求问题变为求解2112t t t t -，根据韦达定理得到结果. 【详解】（1）由6sin ρθ=，得26sin ρρθ=∴曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=由sin 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得11sin cos sin cos 12222ρθθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴曲线2C20y +-=（2）由（1）知曲线2C 为直线，倾斜角为23π，点P 的直角坐标为()0,2 ∴直线2C的参数方程为1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线()221:39C x y +-=中，并整理得280t -=设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=，128t t =- 12128PA PB t t t t ∴===2121PA PB t t t t +=+===-11PA PB PA PB PA PB +∴+==【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题.解题关键是明确直线参数方程标准形式中t 所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决. 23． 已知函数().f x x a x a =-++（Ⅰ）当2a =时，解不等式()6f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a <-有解，求实数a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）()(),33,.-∞-⋃+∞（Ⅱ）((),11.-∞-⋃+∞【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求它们的并集，（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题，即()f x 最小值小于21a -，根据绝对值三角不等式得()f x 最小值为2a ，最后解不等式221a a <-即得实数a 的取值范围试题解析：解：（Ⅰ）当2a =时，()2,222{4,222,2x x f x x x x x x >=-++=-≤≤-<-.当2x >时,可得26x >,解得3x >；当22x -≤≤时，因为46>不成立，故此时无解；当2x <-时，由26x ->得，3x <-，故此时3x <-；综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),33,.-∞-⋃+∞ （Ⅱ）因为()2f x x a x a x a x a a =-++≥---=，要使关于x 的不等式()21f x a <-有解，只需221a a <-成立即可.当0a ≥时,221a a <-即221a a <-，解得1a >1a <； 当0a <时，221a a <-，即221a a -<-，解得1a >-，或1a <--所以的取值范围为((),11.-∞-⋃+∞。
2025届辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析
2025届辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高三数学第一学期期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371152．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称3．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．tan570°=（ ）A B ．CD5．已知正四面体A BCD -外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 8．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．1⎛ ⎝⎭B ．(C ．1⎛ ⎝⎦ D ．9．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．3210．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<11．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5}B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}12．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EHA CBDBC BF BE V ⋅⋅=21水例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）A ．21 B ．87 C ．1211 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为8712121211=⋅⋅⋅-=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211112121311=⋅⋅⋅⋅-=V ，故选C 。
辽宁省五校(实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、二十四中)23届高三上学期期末联考物理含答案
2022--2023学年度上学期期末考试高三年级物理试卷命题学校：东北育才学校命题人：校对人：一、选择题：本题共10小题，共46分。
在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8～10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1.为了抗击病毒疫情，保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”。
某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度x v及竖直方向y v与飞行时间t的关系图像如图甲、图乙所示。
关于无人机运动，下列说法正确的是0t 时间内，无人机做曲线运动A.1B.2t时刻，无人机运动到最高点t t 时间内，无人机的速率在减小C.24t t 时间内，无人机做匀变速直线运动D.342.如图，有关量子力学的下列说法中，错误．．的是A.普朗克为解释图甲的实验数据，提出了能量子的概念B.如图乙，在某种单色光照射下，电流表发生了偏转，则仅将图乙中电源的正负极反接，电流表一定不会偏转C.密立根依据爱因斯坦光电效应方程，测量并计算出的普朗克常量，与普朗克根据黑体辐射得出的值在误差允许的范围内是一致的D.图丙为氢原子的能级示意图，一群处于n=3的激发态的氢原子向低能级跃迁过程所发出的光中，从n=3跃迁到n=2所发出的光波长最长3.飞船“天问一号”从地球上发射到与火星会合过程中，运动轨迹如图中虚线椭圆所示。
飞向火星过程中，认为太阳对“天问一号”的万有引力远大于地球和火星对它的引力。
下列说法正确的是A.与火星会合前，“天问一号”的加速度小于火星公转的向心加速度B.“天问一号”椭圆运动的周期小于火星公转的周期C.“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间D.“天问一号”从地球飞向火星的过程中克服太阳引力做功的功率越来越小4.如图所示光屏竖直放置，一个半径为r 的半圆形透明介质水平放置。
一束光线由a 、b 两种频率的单色光组成。
2020年1月辽宁省百强五校(省实验中学、大连八中、鞍山一中等)2020届高三上学期期末联考语文试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省百强五校(辽宁省实验中学大连八中大连二十四中鞍山一中东北育才学校) 2020届高三毕业班上学期期末教学质量联考监测语文试题(解析版)2020年1月全卷满分150分，考试时间150分钟一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成小题。
智能时代不仅给我们带来了便捷，也对人类隐私、生命和公平正义造成了巨大威胁和全面挑战。
因此，智能时代的工程师应努力化解技术风险，并在保护隐私、关爱生命、守护公平正义等方面主动承担起自身的伦理责任，从而实现工程造福人类的目标。
随着大数据、物联网等新兴技术的研发与应用，个人隐私权也遭受到前所未有的挑战。
智能时代的工程师要担负起保护隐私的伦理责任，要努力做到：数据收集应该征得用户的同意和授权；所有数据需按照隐私程度进行分级，设置不同级别数据的使用权限；数据存储应受到严格的技术保护；密切监督，一旦出现不当使用，应严肃追责。
当然，任何事物都具有两面性，智能技术在挑战人类隐私的同时也能起到积极的正面作用，如智能技术可以跟踪网络异常行为，防止诈骗和黑客入侵，提升网络安全防御水平，从而使人类隐私得到有效保护。
众所周知，人工智能分为弱人工智能、强人工智能和超人工智能三类。
对强人工智能产品一旦处置不当，人类将会面临前所未有的威胁甚至走向毁灭。
避免人类生命受到威胁，首要的是让机器人按照人类的伦理道德规范行事。
工程师履行关爱生命的伦理责任，应该做到：做好智能产品前瞻性的伦理评估，避免智能产品伦理缺位；对智能产品开展道德代码和伦理嵌入研究，使机器“算法”遵循“善法”；坚决抵制智能武器的开发和应用，严格限制智能产品使用武器的能力；注重专能机器人的研发，限制全能机器人的设计，消除当机器人具有自我或反思能力时毁灭人类的可能性，始终将人机关系的主导权牢牢掌握在人类的手中。
智能时代将对人类整体幸福带来一些不利影响。
首先，智能时代可能导致失业率飙升，贫富差距加大。
立体几何中的截面（解析版）
⽴体⼏何中的截⾯（解析版）专题13 ⽴体⼏何中的截⾯【基本知识】1．截⾯定义：在⽴体⼏何中，截⾯是指⽤⼀个平⾯去截⼀个⼏何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长⽅体，正⽅体等等），得到的平⾯图形，叫截⾯。
其次，我们要清楚⽴体图形的截⾯⽅式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每⼀种⽴体图形通过上述三种截⾯⽅式所得到的截⾯图有哪些。
2、正六⾯体的基本斜截⾯：3、圆柱体的基本截⾯：正六⾯体斜截⾯是不会出现以下⼏种图形：直⾓三⾓形、钝⾓三⾓形、直⾓梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、⾯平⾏的判定定理与性质性质求截⾯问题；技能2.结合线、⾯垂直的判定定理与性质定理求正⽅体中截⾯问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运⽤⼀些特殊图形与⼏何体的特征，“动中找静”：如正三⾓形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建⽴函数模型求最值问题：①设元②建⽴⼆次函数模型③求最值。
例1 ⼀个正⽅体内接于⼀个球，过这个球的球⼼作⼀平⾯，则截⾯图形不可能．．．是（）分析考虑过球⼼的平⾯在转动过中，平⾯在球的内接正⽅体上截得的截⾯不可能是⼤圆的内接正⽅形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长⽅体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进⼀些⽔，固定容器底⾯⼀边BC于地⾯上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①⽔的部分始终呈棱柱状；②⽔⾯EFGH的⾯积不改变；③棱A1D1始终与⽔⾯EFGH平⾏；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长⽅体容器绕BC边转动时，盛⽔部分的⼏何体始终满⾜棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以⽔⾯EFGH的⾯积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//⾯EFGH，③正确；当容器转动到⽔部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV?=21⽔是定值，⼜BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。
高考语文满分作文范例及解析--谈社会风气
阅读下面的材料，根据要求作文。
南北朝时，梁朝的士大夫多崇尚宽袍大带、大帽高履，外出都乘坐车舆，没有士大夫骑马。
周弘正得到一匹良马，经常骑着它外出，满朝官员都认为他太过放纵。
如果尚书郎这样的官员骑马，甚至会被人检举弹劾。
这种风气传播开去，效仿的人很多。
到侯景叛乱时，这些士大夫肌肤脆弱、筋骨柔嫩，受不了步行；身体瘦弱、气血不足，耐不得寒暑。
在仓猝变乱中坐以待毙的，往往就是这些人。
建康令王复，性格温文尔雅，从未骑过马，看到马嘶叫腾跃，非常害怕，对别人说：“这是老虎啊，为什么要把它称作马呢？”要求：综合材料内容及含义，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不少于800字。
【试题来源】辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2020届高三上学期期末考试语文试题【答案解析】范文：谈社会风气同学们，老师们：大家好！我今天演讲的题目是《谈社会风气》英国的弗朗培根先生讲过：“如果有一个良好道德风气的社会环境，是最有利于培养出一个合格的公民”。
可见良好风气对人的重要作用。
什么是好的社会风气？路不拾遗、拾金不昧；勤劳踏实，求真务实；关爱他人，奉献自己……今日的社会，科技的进步，工商业的发达，经济的繁荣，到处呈现出一片欣欣向荣的样子，但是，今日社会的一些风气，却令人忧心忡忡，摇头叹气。
名画家华君武有一幅《假文盲》的漫画，这幅画上画着一个候车处，上面挂着一块写着“母子上车处”的告示牌，告示牌后面却站着一队强壮高大的男人，一位年轻的母亲，抱着孩子，可怜巴巴地望着那些“不速之客”。
而那一队强壮的男人却闭着眼睛，瞧都不瞧那一块告示牌。
这幅漫画简洁明了，展示了人们不道德的行为，揭露了一些丑陋的社会风气。
仔细想想现在的社会，人们吃好的，穿好的，丰衣足食，但却未必有良好的社会风气。
看！一些赶时髦的年轻人，为了赶上潮流，每天打扮得“娇里娇气”，为了追求名牌不惜花费了过多的金钱时梁朝的士大夫多崇尚宽，透支信用卡、刷花呗，甚至陷入非法网贷。
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20192020学年上学期期末考试高三年级文科数学试卷
参考答案
一.选择题（每题有一个最佳选项5×12=60分）
1.A ；
2.D ；
3.C ；
4.B ；
5.A ；
6.C ；
7.B ；
8.C ；
9.B ；10.D ；11.D ；12.B. 二.填空题（5×4=20分） 13.1；14.200；15.9；16.(],2-∞.
三. 解答题（12×5=60分）
17.（1）在△AEF 中，由正弦定理得：sin sin AE EF F EAF =∠∠，即2
sin 45sin15
AE =
，
解得)
2
1AE =；……………………6分
（2）由已知可得90BAE ∠=,在Rt △ABE 中，
BE=2AE=)
4
1
所以隧道长度CD=
BE-BC-DE=……………………12分
18.（1）在平面图中，连BE ，DB ，设DB 交AE 于F ，由已知四边形ABED 为菱形，所以AE ⊥
DB.
于是得出在立体图形中，AE ⊥D 1F ，AE ⊥BF ，D 1F ∩BF=F ，所以AE ⊥平面D 1FB ，D 1B ⊂平面D 1FB ，故AE ⊥D 1B.……………………6分
（2）四边形ABCE 是边长为1
要使四棱锥体积最大，则需要平面D 1AE 垂直于底面ABCE ，此时D 1F 为高，D 1
F=
;
故四棱锥体积最大值为113224
⨯
=.……………………12分 19.(1)20161x y ==，， …………………………2分
()()
3.6
0.753.6056
n
i
i
x x y
y r --=
=
=
>∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. ……………………6分
(2)()()
()
()()()()5
1
5
2
1
20.710.410.420.7
ˆ0.3641014
i
i
i i
i x x y
y b
x
x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯==
=++++-∑∑，……8分
ˆˆ120160.36724.76a
y bx =-=-⨯=-， …………………………9分 ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76y
x =-. …………………………10分 当2020x =时，ˆ0.36724.76 2.44y
x =-=， 即该地区2020年足球特色学校有244个. ………………12分 20.（1）建立如图平面直角坐标系
设外椭圆的方程为()22
2210x y a b a b +=>>，因为内外椭圆有
相同的离心率且共轴，所以内椭圆的方程为22
422
1y x b b
a +=.
图中标记的①、②、③三个区域面积彼此相等，由对称性只需=3S S 外内，
即23b ab b a ππ=223a b ⇒=即()2223a a c ⇒=
-e ⇒=
…………5分 （2）同（1）建立如图平面直角坐标系，由于外椭圆长轴为6，所以3a =
，
e =，
所以c =23b =.
外椭圆方程为22
193
x y +=.……………………6分 设点M ()00,x y ，切线方程为()00y y k x x -=-代入椭圆方程得：
()()()2
2
2
0000136390k x
k y kx x y kx ++-+--=
∵相切 ∴()
()()2
2
2
2000036413390k
y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
化简得()2
2
00009230x k x y k y --+-=………………8分
因为两条切线互相垂直，所以121k k =-，即20203
19
y x -=--，
即()2
2
000123x y x +=≠±…………10分。