高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则

A ．A

B =3|2x x ?

?

? B ．A B =?

C ．A B 3|2x x ?

?=

? D ．A B=R

2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值

D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数

3．下列各式的运算结果为纯虚数的是

A ．i(1+i)2

B ．i 2(1-i)

C ．(1+i)2

D ．i(1+i)

4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π 4

5．已知F 是双曲线C ：x 2

-2

3

y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是

(1,3).则△APF 的面积为

A ．13

B ．1 2

C ．2

3

D ．3 2

6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是

7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??

-≥??≥?

则z =x +y 的最大值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．.函数sin21cos x

y x

=

-的部分图像大致为

9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则

A ．()f x 在（0,2）单调递增

B ．()f x 在（0,2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称

10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在

和

两个空白框中，可以分

别填入

A ．A >1000和n =n +1

B ．A >1000和n =n +2

C ．A ≤1000和n =n +1

D ．A ≤1000和n =n +2

11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =

，则C = A ．π12

B ．

π6

C ．

π4

D ．

π3

12．设A 、B 是椭圆C ：22

13x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°

，则m 的取值范围是

A ．(0,1][9,)+∞

B ．[9,)+∞

C ．(0,1][4,)+∞

D ．[4,)+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________.

14．曲线2

1

y x x

=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________.

15．已知π(0)2

a ∈，,tan α=2，则π

cos ()4α-=__________。

16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，

SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．（12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=90

APD ∠=

83

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽16个零件的尺寸：

经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，16

1

()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，

1,2,,16i =???．

（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随

生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在

这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生

产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）

附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑0.09≈．

20．（12分）设A ，B 为曲线C ：y =2

4

x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.

（1）求直线AB 的斜率；

（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方

程.

21．（12分）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,

x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l a .

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

2017年高考全国卷一文科数学参考答案

一、选择题：

1. A

2. B

3. C

4. D

5. A

6. A

7. D 8. C

9. C

10. D 11. B 12. A

二、填空题：

13. 7 14. 1y x =+

15.

310

10

16. 36π

三、解答题：

17. 解：

（1）设{}n a 的公比为q ，由题设可得

12

2

(1)2,

(1) 6.a q a q q +=??++=-? 解得12,2q a =-=-

故{}n a 的通项公式为(2)n

n a =-

（2）由（1）可得

1

1(1)22(1)133

n n n n a q S q +-==-+-- 由于321

2142222(1)2[(1)]23333

n n n n n n n n S S S +++++-+=-+-=-+-= 故12,,n n n S S S ++成等差数列

18.解：

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=，得,AB AP CD PD ⊥⊥

由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E

由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD 设AB x =，则由已知可得22,2

AD x PE x ==

故四棱锥P ABCD -的体积

31133P ABCD V AB AD PE x -=

??= 由题设得318

33

x =，故2x =

从而2,22,22PA PD AD BC PB PC ====== 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为

21111

sin 606232222

PA PD PA AB PD DC BC +++=+

21.解：

（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()x

x x x f x e

ae a e a e a '-∞+∞=--=+-

综上8a =或16a =-