人教版2019至2020学年度第一学期九年级数学期中考试试卷
2019至2020学年度第一学期期中考试试卷
九年级数学
一.填空题（每题3分，共24分）
1.下列汽车标志中，是中心对称图形的是…………………………（ ）
A B C D 2.下列方程中，一定是一元二次方程的是…………………………（ ）
A .20ax bx c ++=
B .2102
x = C .213202
x y +-= D .2450x x
+-=
3.如果2是方程20x c -=的一个根，则c 等于………………… （ ）
A . 4
B .
C
D .2
4.已知点(,3)A a -是点(2,)B b -关于原点O 的对称点，则b a +的值为（ ）
A .6
B .5
C .5-
D .6±
5.不解方程，判别方程2560x x --=的根的情况……………………（ ）
A .有两个相等的实数根
B .没有实数根
C .有两个不相等的实数根
D .不能确定
6．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）
A ．2(1)3y x =--+
B ．2(1)3y x =-++
C ．2(1)3y x =---
D ．2
(1)3
y x =-+-． 7．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
8．二次函数2(0)
ya x b x c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列
四个结论错误
．．的是（）
A．0
c> B．20
a b
+=
C．240
b a c
-> D．0
a b c
-+>
二.选择题（每题3分，共24分）
9.已知方程0
1
3
22=
-
+x
x的两个根是
1
x，
2
x，不
解方程，则=
+2
2
2
1
x
x______.
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)
，，将O A绕原点O按
顺时针方向旋转90得到OA'，则点A'的坐标是．
11.已知方程27
(3)230
m
m x mx
-
-++=是一元二次方程，则
=
m .
12.一元二次方程20
ax bx c
++=有一个根为1-，则a b c
-+= .
13. 如图，抛物线对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是)0
3
(，，
则A点的坐标是_________。
14.如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转50，得到正方形AEFG，则∠
BAG= .
15.如图，在R t A B C
△中，90
A
C
B
∠=°
，
∠A=α，将A B C
△绕点C按顺时针方向
旋转后得到E D C
△，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．
16．在平面直角坐标系xOy中，△A’B’C’由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐
标为．
三.解答题（共72分）
E
B C
A
D
第15题
（8题图）
A
B
C
17.解方程（每小题5分，共10分）
（1）2560
--=（2）5(3)(3)(1)0
x x
---+=
x x x x
18.（10分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
19.（10分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
20．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B （1，1），C（5，1）．
（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．
21.（10分）是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程 22(27)10m x m x --+=有实数根？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，
请说明理由．
22.（10分）
如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0），
点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x= 2
1
-
（1） 求抛物线的解析式
（2） M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标.
23．（10分）在边长为2的等边三角形ABC 中，P 是BC 边上任意一点，过点 P 分别作 PM ⊥A B ，PN ⊥AC ，M 、N 分别为垂足．
（1）求证：不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；
（2）当BP 的长为何值时，四边形AMPN 的面积最大，并求出最大值．。
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∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．
得 分 评卷人 22．（本小题满分 9 分）
要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
连接 AD，若∠B＝65°，则∠ADE 等于( )
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
九年级数学第二次月考试题 第 1 页（共 9 页） 图 1
5. 如图 2，点 A，B，C，在 e O 上，∠AOB=60°，
则∠C 的度数是
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
A
B C
O
6. 关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 4 0 的一个根是 1，则 k 的值
感.按此比例，如果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为多高？
在解决这个问题时，设雕像下部高为 xm，则下列方程正确的是
A.x2=2（2+x）
B.x2=4
C.x2=2(2-x)
D.x2=2(x-2)
D
图5
12．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1,x2=2,那么抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线
在 Rt△ABC 中,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心 r 为半径画圆.
（1）当半径 r ＝3 时，点与 e O 的位置关系是
；
B
（2）当 AB 与 e O 相切时，求 e O 的半径；
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2019-2020九年级期中考试数学试题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A B C D2.关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x-1=0有实数根，则m的取值范围是（）A m≥2B m>2C m≥2且m≠3D m>2且m≠33.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx2+nx与y=nx+m的图象可能是（）A B C D4.二次函数y=2(x-3)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A 向上、直线x=3，(3,5)B 向上、直线x=3，(-3,5)C 向下、直线x=3，(3,5)D 向下、直线x=3，(-3,5)5.在平面直角坐标系中，把点P(-2,3)向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A (3, -3)B (-3,3)C (3,3)或(-3, -3)D (3, -3)或(-3,3)6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A B C D二、填空题（每小题3分，共24分）7.若点P(x, -3)与点Q(4,y)关于原点对称，则(x+y)2016= 。
8.若一元二次方程ax2-bx-2016=0有一根为x=-1，则a+b= 。
9.把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为。
10.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=6cm，则BE=cm。
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-4,8)，B(2,2)，则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为。
12.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+-=)2(,24)2(,1122xxxxy，若使y=k成立的x的值恰好有三个，则k的值为。
人教版2019-2020年度九年级数学上册数学期中测试题(含答案)
人教版2019-2020年度九年级数学上册数学期中测试题(含答案)一、选择题(每小题3分，共36分))1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是(A.①③B.②④C.①④D.②③2.抛物线y＝3(x-2)+5的顶点坐标是( )2A.(-2，5)B.(-2，-5)C.(2，5)D.(2，-5)3一元二次方程x-3x＝0的根为( )2A.x=3B. x=-3C.x=0,x=3D.x=0,x=-312124.在平面直角坐标系xOy中，将点N(-1，-2)绕点O旋转180，得到的对应点的坐标是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1，-2) D、(1，-2)15.已知二次函数y=x-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )24A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>26.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直A.55°B.60°C.65°D.70°7.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润目为10890元?设房价定为x元，则有( )A.(180+x-20)(50-)=10890B.(x-20)(50-)=1089010x 10180-x C.x(50-)-50×20=10890 D.(x+180)(50-)-50×20=1089010180-x 10x 8，如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为(-5，2)，(-2，-2)，(5,-2)，则点D 的坐标为( )A,(2,2) B.(2,-2) C 、(2,5) D,(-2,5)9.若a,β是一元二次方程3x +2x-9＝0的两根，则的值是( ).2βααβA. B.- C.- D.52742742758275810.如图，二次函数y ＝ax +bx 的图象开口向下，且经过第三2象限的点P.若点P 的横坐标为一1，则一次函数y ＝(a-b)x+b 的图象大致是( )11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACD=90°，∠A=60°,AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ＇B ＇C ，此时点A ＇恰好在AB 边上，则点B ＇与点B 之间的距离为( )A.12 B.6 C.6 D.62312.已知抛物线y ＝ax +bx+c(a ，b ，c 为常数，a≠0)经过点(-1,0)，(0,3)，其对称2轴在y 轴右侧，有下列结论:①抛物线经过点(1，0);2②方程ax+bx+c＝2有两个不相等的实数根;③-3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题4分，共32分)13.若关于x的一元ニ次方程x+2x-m＝0有两个相等的实数根，则m的值为2_____.14.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为_________15.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x-6x+8＝0的解，则此三2角形周长是________.16.将抛物线y＝x-2x+2沿y轴向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的顶点2坐标是________.17已知关于ェ的方程x-3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.218.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是__________19.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数关系式是y ＝60t-t .在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_______m.23220.定义:在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ(α，θ)变换.如图，等边△ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上.△A B C 就是△ABC 经γ(1，180°)变换后所得的图形.111若△ABC 经γ(1，180°)变换后得△A B C ，△A B C 经γ(2，180°)变换后得△A111111B C ，△A B C 经γ(3，180°)变换后得△A B C ，依此类推……△A B C 2222223111-n 1-n 经γ(n ，180°)变换后得△A B C ，则点A 的坐标是______1-n n n n 2018三、解答题(共82分)21.(8分)已知关于x 的方程x -2x+m ＝0有两个不相等的实数根x ，x .212(1)求实数m 的取值范围;(2)若x -x ＝2，求实数m 的值1222(8分)为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m 、宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m ，那么小道进出口的宽度应为多少2米?(注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)23.(10分)已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A(1，0)B(3，0)，且过点2C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝-x上，并写出平移后抛物线的解析式.24.如图，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)、B(4,1)，C(3,3).(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A B C请画出△A B C,111111(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A B C，请画出△A B C。
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人教版2019--2020学年第一学期九年级数学期中测试试卷数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．以下是“回收”、“节水”、“绿色包装”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的方程(a－1)x2－1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a<1B．a≠1C．a>1D．a≠03．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．14．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定5．如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．106．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝（ ）A．100° B．110° C．120° D．140°7.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,半径OD∥AC,如果∠BOD=130°，那么∠B 的度（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°8．在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为 （ ）A ．30°B ．.60°C ．30°或150°D ．60°或120°9.在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 按顺 时针方向绕点C 旋转90°，得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°， 则∠EFD 的度数为( ).A.10°B. 15°C. 20°D. 25°10．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中，①4ac ＜b 2； ②a ＞b ＞c ； ③一次函数y ＝a +c 的图象不经第四象限；④3b +2c ＞0；⑤m （am +b ）+b≤a （m 是任意实数）；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．在平面直角坐标系中，点P (2，－3)关于原点对称的点P ′的坐标是 ．12．已知x =1是方程x 2－a =0的根，则a = ．13．如图，AC 是⊙O 的直径，∠1＝46°，∠2＝28°，则∠BCD ＝ ．14．如图，是⊙O 的直径，点在的延长线上，过点作⊙O 的切线，切点为，若，则AB AB C 25A = ∠______．D =∠15．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上（半圆的圆心为O ），四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC =a ，EF =b ，HN =c ，则a 、b 、c 的大小关系为 ．16．对于2≤x ≤5范围内的每一个值，不等式ax 2+2ax +7a －3>0总成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x 2－7x －1=0．（2）x (2x －5)=4x －10．18.已知二次函数 的图象经过点(2，0)和(－1，6).b ax y +=2（1）求二次函数的解析式；（2）求它的对称轴和顶点坐标.19、如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E ，连接 AC 、OC 、BC 。
2019-2020年人教版九年级数学上册期中测试卷(含答案)
人教版数学九年级上册期中复习测试卷（时间：120分钟满分：120分）一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B．C．D．2．方程x2＋x－12＝0的两个根为( )A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝33．抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A．向左平移1个单位B．向左平移2个单位C．向右平移1个单位D．向右平移2个单位4. 已知m，n是方程x2－2 018x＋2 019＝0的两个根，则(m2－2 019m＋2 018)(n2－2 019n＋2 018)的值是( )A．1 B．2C．4 037 D．4 0385．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A．a＞0 B．b＜0C．ac＜0 D．bc＜0．6．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是( ) A．(－3，－2) B．(2，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，3)7．如图：二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若AC ⊥BC ，则a 的值为（ ） A ．﹣12 B ．﹣14 C ．﹣1 D ．﹣28．如图是由三个边长分别为6，9和x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是( ) A ．1或9 B ．3或5 C ．4或6 D ．3或69．如图，函数y=ax 2﹣2x+1和y=ax ﹣a （a 是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况(如下表)：由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的二次函数，那么下列三个结论： ①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大；②该植物在－6℃时，每天高度的增长量能保持在25 mm 左右； ③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长．上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．①② D ．②③二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数y ＝12(x －1)2＋4，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是____．12．一元二次方程（x ﹣2）（x+1）=2x ﹣4化为一般形式是 ． 13．关于x 的方程3kx 2＋12x ＋2＝0有实数根，则k 的取值范围是____．14. 把抛物线y=﹣32x 2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ．15．如图，Rt △OAB 的顶点A(－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为____．16. 从正方形铁片上截去2cm 宽的一个长方形，剩余矩形的面积为35cm 2，则原来正方形的面积为 ．17．如图，在正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，若BE ＝2，DF ＝3，则AH 的长为______.18．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，以下结论：①因为a ＜0，所以函数y 有最小值；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=0时，函数y 的值等于2；④在本题条件下，一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=﹣1，x 2=3．其中正确的结论有 ．（填序号）三、解答题(共66分)19. (6分)解方程：(1)2x2＋3＝7x;(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0.20．(6分)已知方程x2+x+k=0的一个解是x=﹣5，求k值及另一个解．21．(6分)某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传染x人．(1)求第一轮传染后患病的人数；(用含x的代数式表示)(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生？请说明理由．22. (6分) 已知二次函数y=-x2-2x+3．（1）将其配方成y=a（x-k）2+h的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并观察图象，当y≥0时，x的取值范围．23．(6分) 如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s 的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm\s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．24．(8分) 如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计）．（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；（2）每个生态园的面积（填“能”或“不能”）达到108平方米．25．(8分) 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD．（1）试判断△CBD的形状，并说明理由；（2）求∠BDC的度数．26．(10分) 如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁．（1）B处离岛C有多远？（2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛C最近的位置？（3）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？解：（1）过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，27．(10分)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点)．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m.(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；(2)当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由．参考答案：1-5CDBDC 6-10DADBD 11. x≤1 12. x 2﹣3x+2=0 13. k≤614. y=﹣32（x ﹣2）2+215. (2，2) 16. 49cm 2 17. 6 18. ②③④19. 解：(1) (2x-1) (x-3)=0 解得：x 1＝12，x 2＝3(2)设2x ＋1=m ，则原方程为m 2+4m+3=0 解得m 1=-1，m 2=-3， 当m 1=-1时，2x ＋1=-1 解得x 1＝－1， 当m 1=-3时，2x ＋1=-3 解得x 2＝－220. 解：∵方程x 2+x+k=0的一个解是x=﹣5， ∴25﹣5+k=0，解得k=﹣20， ∴方程为x 2+x ﹣20=0， 解得x=﹣5或x=4，∴k 的值为﹣20，方程的另一个解为x=4． 21. 解：(1)(1＋x)人(2)由题意，得x －1＋x(x －1)＝21， 解得x 1＝22，x 2＝－22.∵x 1，x 2都不是整数，∴这种情况不会发生22. 解：（1）二次函数y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，故该函数的开口向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标为（-1，4）；（2）当y=0时，0=-x 2-2x+3，得x=-3或x=1，故该函数的图象如下图所示，当y ≥0时，x 的取值范围是-3≤x ≤1．23. 解：（1）由题意得，AM=t ，ON=2t ，则OM=OA ﹣AM=18﹣t ， 四边形ABNM 的面积S=△AOB 的面积﹣△MON 的面积 =12×18×30﹣12×（18﹣t ）×2t =t 2﹣18t+270（0＜t≤15）； （2）S=t 2﹣18t+270 =t 2﹣18t+81﹣81+270 =（t ﹣9）2+189， ∵a=1＞0，∴S 有最小值，这个值是189．24. 解：（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意，得：x （33+1.5×2﹣3x ）=48×2， 整理，得：x 2﹣12x+32=0，解得：x 1=4、x 2=8（不合题意，舍去）， 当x=4时，33+1.5×2﹣3x=24， 24÷2=12，答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米； （2）根据题意，得：x （33+1.5×2﹣3x ）=108×2， 整理，得：x 2﹣12x+72=0，由于△=（﹣12）2﹣4×1×72=﹣144＜0， 所以方程无解，即每个生态园的面积不能达到108平方米， 故答案为：不能．25. 解：（1）∵△EBD 由△ABC 旋转而成， ∴△ABC ≌△EBD ， ∴BC=BD ，∴△CBD 是等腰三角形． （2）∵△ABC ≌△EBD ，∴∠EBD=∠ABC=30°， ∴∠DBC=180-30°=150°， ∵△CBD 是等腰三角形，∴∠BDC=180º-∠DBC 2= 180º-150º2 =15°26. 解：∵在A 处测得岛C 在北偏东的60°， ∴∠CAB=30°，又∵B 处测得岛C 在北偏东30°， ∴∠CBO=60°，∠ABC=120°， ∴∠ACB=∠CAB=30°，∴AB=BC=12×1=12（海里）（等边对等角）；（2）∵CO ⊥AB ，∠CBO=60°∴BO=BC×cos ∠CBO=12×12=6（海里）， 6÷12=0.5（小时），答：如果渔船继续向东航行，需要0.5小时到达距离岛C 最近的位置； （3）∵CO ⊥AB ，∠CBO=60°∴CO=BC×sin ∠CBO=12×sin60°=6√3（海里）， ∵63＞10，∴如果渔船继续向东航行，没有触礁危险； 27. 解：(1)当y ＝c 时，有c ＝－x 2＋bx ＋c ，解得x 1＝0，x 2＝b ，∴点C 的坐标为(0，c)，点P 的坐标为(b ，c)． ∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，3)， ∴OB ＝3，OA ＝1，BC ＝c －3，CP ＝b. ∵△PCB ≌△BOA ，∴BC ＝OA ，CP ＝OB ， ∴b ＝3，c ＝4，∴点P 的坐标为(3，4)，抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4 (2)当y ＝0时，有－x 2＋3x ＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点F 的坐标为(4，0)．过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，如图所示．∵点M 的横坐标为m(0≤m≤4)，∴点M 的坐标为(m ，－m 2＋3m ＋4)，点E 的坐标为(m ，－3m ＋3)， ∴ME ＝－m 2＋3m ＋4－(－3m ＋3)＝－m 2＋6m ＋1，∴S ＝S △MBC －S △AME ＝12OA•ME ＝－12m 2＋3m ＋12＝－12(m －3)2＋5. ∵－12＜0，0≤m≤4， ∴当m ＝0时，S 取最小值，最小值为12； 当m ＝3时，S 取最大值，最大值为5。
2019-2020学年度上学期人教九年级数学期中试题含答案
期中测试九年级数学试题时间：120分钟满分150分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程x2-6x-5=0，此方程可化为（）A. B. C. D.3.一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A. B. ，C. ，D.4.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （-2，-3）5.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A. x＜-2B. x＞4C. -2＜x＜4D. x＞06.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A. 68°B. 20°C. 28°D. 22°7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A. 160°C. 140°D. 120°8.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A.B. 5C.D. 59.若当x=3时，代数式x2+mx+2有最小值，则当x2+mx=7时，x的值为（）A. x=0或x=6B. x=1或x=7C. x=1或x=-7D. x=-1或x=710.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A.-6＜m＜-2B. - ＜m＜2C. -2＜m＜3D. -＜m＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．12.已知抛物线y=ax2-3x+a2-1经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为______．13.若M（3，y）与N（x，y－1）关于原点对称，则x+y=________.14.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的________.(把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题共4小题，每题8分，共32.0分）15.用配方法解方程：x2-6x-1=0．16.若二次函数图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，5）三点，求该二次函数解析式．17.如图，已知△ABC：（1）AC的长等于______；（2）若将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是______；（3）若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是______；（4）在图中画出第（2）问中△A′B′C′或第（3）问中△A1B1C1的图形．18.如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．三。
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版(V)
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷（含解析）新人教版(V) 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和22．下列图形中，中心对称图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°5．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到xx年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20° B．26° C．30° D．36°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°9．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．±210．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= ．12．（4分）已知关于x的方程ax2+bx+c=0有两个根1和﹣1，那么a+b+c= ，a﹣b+c= ．13．（4分）若y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，则常数m的值为．14．（4分）对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为．15．（4分）如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC= ，旋转角度是．16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是．（填正确结论的序号）三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2+1=3x．18．（6分）如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，用尺规画出旋转后的三角形并指出一个旋转角．19．（6分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，化简：．21．（7分）已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．22．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为；旋转角度为；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了2xx米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？24．（9分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为．（直接写结果）25．（9分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A 点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C 点的坐标；若C点不存在，请说明理由．xx学年广东省潮州市潮安县金石中学等五校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．2．下列图形中，中心对称图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．中心对称图形有3个．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能【考点】根的判别式．【分析】先计算判别式的值得到△=4k2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△=4k2﹣4×（﹣1）=4k2+4，∵4k2≥0，∴4k2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形对角相等得∠ABC=60°，由平行同旁内角互补得∠BA′D=130°，由旋转得∠BA′E′=30°，两角相加可得结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠BA′D=180°﹣∠ADA′=180°﹣50°=130°，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，在Rt△AEB中，∠BAE=90°﹣60°=30°，由旋转得：∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=130°+30°=160°；故选C．【点评】本题考查了旋转和平行四边形的性质，难度不大，所求的角不能直接求出时，可将此角分成两个角来求；利用平行四边形对边平行和对角相等解决问题；同时，还运用了旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，则对应角相等得出角的大小关系．5．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到xx年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2011年的人均收入×（1+平均增长率）2=xx 年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：7200（1+x）2=8712，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：该村人均收入的年平均增长率为10%．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20° B．26° C．30° D．36°【考点】旋转的性质．【分析】先求的分针旋转的速度为=6（度/分钟），继而可得答案．【解答】解：∵分针旋转的速度为=6（度/分钟），∴从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为6×5=30（度），故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．9．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．±2【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在轴上，可得x2﹣mx+1是一个完全平方式，据此求解即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，∴m=±2．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．10．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．【解答】解：①因为a=3＞0，它们的图象都是开口向上，此选项正确；②y=3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，0），此选项错误；③二次函数y=3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y=3（x﹣1）2当x10时，y随着x 的增大而增大；④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确．综上所知，正确的有①④两个．故选：B．【点评】此题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数与坐标轴交点的问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，∴a×（﹣1）=﹣，解得a=，∴+（﹣1）=，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．12．已知关于x的方程ax2+bx+c=0有两个根1和﹣1，那么a+b+c= 0 ，a﹣b+c= 0 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据方程的解得定义将x=1和x=﹣1代入方程可得答案．【解答】解：根据题意将x=1代入方程ax2+bx+c=0，得：a+b+c=0，将x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0，故答案为：0，0．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．13．若y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，则常数m的值为﹣1 ．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【解答】解：∵y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，∴m2﹣m=2，且m﹣2≠0，∴m=2或﹣1，且m≠2，故答案为﹣1．【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．14．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为y= ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得a的值，即可求出二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得4a=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=，故答案为：y=．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确的设出抛物线解析式．15．如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C 在同一直线上，则∠ABC= 155°，旋转角度是25°．【考点】旋转的性质．【分析】在△ABC中，已知∠A=15°、∠C=10°，根据内角和定理可求∠ABC；点B为旋转中心，E的对应点为A，故旋转角为∠ABE，由互补关系可求∠ABE．【解答】解：在△ABC中，已知∠A=15°，∠C=10°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=155°；又∵点B为旋转中心，E的对应点为A，∴旋转角为∠ABE=180°﹣∠ABC=25°．故答案为：155°，25°．【点评】本题考查了三角形内角和定理的运用和旋转的基本概念和性质，需要熟练掌握．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：x2+1=3x．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先将原方程转化为一般式方程，然后根据求根公式x=来解方程即可．【解答】解：由原方程，得x2﹣3x+1=0．∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在利用求根公式x=时，要弄清楚公式中的a、b、c所表示的意义．18．如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，用尺规画出旋转后的三角形并指出一个旋转角．【考点】作图-旋转变换．【分析】利用旋转的性质，结合旋转角定义得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C即为所求，旋转角为∠ACA′（或∠BC B′）．【点评】此题主要考查了旋转变换作图，得出对应点位置是解题关键．19．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）S=x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）S=﹣x2+20x；（2）∵﹣＜0，∴S有最大值，∴当x=﹣=﹣=20时，S有最大值为==200cm2．∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．【点评】考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为（﹣，），是解决本题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，化简：．【考点】根的判别式；二次根式的性质与化简．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可得到m的取值范围；（2）根据二次根式的性质得到原式=|m﹣3|+|4﹣m|，再根据（1）中m的范围去绝对值，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜3；（2）原式=|m﹣3|+|4﹣m|=﹣（m﹣3）+4﹣m=7﹣2m．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次根式的性质与化简．21．已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y=﹣2x2﹣4x+4=﹣2（x2+2x）+4=﹣2[（x+1）2﹣1]+4=﹣2（x+1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），∵点A（0，4），∴OA=4，∴S△CAO=OA•|x c|=×4×1=2，即△CAO的面积为2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．22．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为点A ；旋转角度为90°；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD﹣AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD=90°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD﹣AE=7﹣4=3；（3）BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°﹣90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了2xx米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=xx，经检验，x=xx是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成xx平方米；（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（20﹣3a）（8﹣2a）=56解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并列出方程，解分式方程时一定要检验．24．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为64 ．（直接写结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠FAB即可．（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．（3）求出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，求出正方形的面积即可．【解答】解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAE=∠DAB=90°，即△AEF是等腰直角三角形．（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到的，故答案为：A，90．（3）∵△ADE≌△ABF，∴S ADE=S△ABF，∴四边形AECF的面积S=S四边形ABCE+S△ABF=S四边形ABCE+S△ADE=S正方形ABCD=8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．25．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C 点的坐标；若C点不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短．【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B 三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．【解答】解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c，得解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+6；（2）由y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，得二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．令y=0，得x2﹣4x+6=0，解得：x1=2，x2=6，∴D点的坐标为（6，0）；（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．连接CA，如图，∵点C在二次函数的对称轴x=4上，∴x C=4，CA=CD，∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x﹣2．当x=4时，y=4﹣2=2，∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线是轴对称图形、抛物线上点的坐标特征、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识，在解决问题的过程中，用到了配方法、待定系数法等重要的数学方法，而运用“两点之间线段最短”则是解决第3小题的关键．。
2019-2020学年人教版九年级上学期期中考试数学试卷(解析版)
2019-2020学年九年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．在实数0，﹣，﹣0.1，|﹣2|中，最小的是（ ） A ．0 B ．﹣ C ．﹣0.1 D ．|﹣2|2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知0≤a ﹣b ≤1且1≤a +b ≤4，则a 的取值范围是（ ）A ．1≤a ≤2B ．2≤a ≤3C ．≤a ≤D ．≤a ≤4．一元二次方程是x 2+x ＝0的根的是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝﹣1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝x 2＝﹣15．点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）在反比例函数y ＝的图象上，则y 1，y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能等确定6．如图，点P 是平行四边形ABCD 边上的点，AP ＝AB ，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则S △APE ：S 平行四边形ABCD 等于（ ）A ．1：5B ．1：8C ．1：12D ．1：137．已知正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝k （1﹣x ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m ）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）A ．20mB ．25mC ．30mD ．35m9．方程x 2﹣2x +3＝0的根的情况是（ ）A ．两实根的和为﹣2B ．两实根的积为3C ．有两个不相等的正实数根D ．没有实数根10．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（满分18分，每小题3分）11．因式分解：1﹣4a2＝．12．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有人．13．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为米．14．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为．15．两个反比例函数C1：y＝和C2：y＝在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积2为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P 到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣2+2（π﹣3）0．18．（7分）如图，已知△ABC，利用尺规作出一个新三角形，使新三角形与△ABC的相似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹）．19．（8分）如图，▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边A D、BC分别相交于点E、F，①证明：△AOE≌△COF②证明：四边形AECF是平行四边形；③在已知条件外，请你再添加一个条件，使四边形AECF是矩形．20．（8分）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小峰和小轩有一个问题观点不一致：情境：随机同时掷两枚质地均匀的骰子（骰子六个面上的点数分别代表1，2，3，4，5，6）．第一枚骰子上的点数作为点P（m，n）的横坐标，第二枚骰子上的点数作为P（m，n）的纵坐标．小峰认为：点P（m，n）在反比例函数y＝图象上的概率一定大于在反比例函数y＝图象上的概率；小轩认为：P（m，n）在反比例函数y＝和y＝图象上的概率相同．问题：（1）试用列表或画树状图的方法，列举出所有点P（m，n）的情形；（2）分别求出点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确．21．（8分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC＝EC；（2）求△EAF的面积．22．（9分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A 地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）23．（10分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）、当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？24．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．参考答案一．选择题1．在实数0，﹣，﹣0.1，|﹣2|中，最小的是（）A．0 B．﹣C．﹣0.1 D．|﹣2|【分析】先计算|﹣|＝，|﹣0.1|＝0.1，根据负数的绝对值越大，这个数越小得到﹣0.1＞﹣，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较即可．解：∵|﹣|＝，|﹣0.1|＝0.1，|﹣2|＝2，∴﹣0.1＞﹣，∴﹣＜﹣1＜0＜2．故选：B．【点评】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．2．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（）A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C．≤a≤D．≤a≤【分析】根据不等式的性质，将两个不等式相加，即可得出a的取值范围．解：0≤a﹣b≤1①，1≤a+b≤4②，①+②得1≤2a≤5，0.5≤a≤2.5，故选：C．【点评】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力．4．一元二次方程是x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝﹣1【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解：∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，则x＝0或x+1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能等确定【分析】先根据点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，求得y1，y2的值，进而可得出y1，y2的大小关系．解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴﹣1y1＝﹣2y2＝3，∴y1＝﹣3，y2＝﹣1.5，∴y1＜y2，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．如图，点P是平行四边形ABCD边上的点，AP＝AB，射线CP交DA的延长线于点E，则S△APE：S平行四边形ABCD等于（）A．1：5 B．1：8 C．1：12 D．1：13【分析】设△AEP的面积为m．利用相似三角形的性质分别求出四边形PADC和△PBC的面积即可解决问题．解：设△AEP的面积为m．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，∴＝（）2，∵PA＝AB，∴CD＝3PA，PB＝2PA，∴△EDC的面积为9m，四边形PADC的面积为8m，∵EA∥BC，∴△EAP∽△CBP，∴＝（）2＝，∴△PBC 的面积为4m ，∴S △APE ：S 平行四边形ABCD ＝m ：（4m +8m ）＝1：12，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7．已知正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝k （1﹣x ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据自正比例函数的性质得到k ＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y ＝k （1﹣x ）的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．解：∵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，∵一次函数y ＝k （1﹣x ）的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝k （1﹣x ）的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交．故选：D ．【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝2.5m，同理可证出AF＝EF＝2.5m，再根据AB＝BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，∴∠BMG＝∠BGM＝60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG＝GM＝2.5（m），同理可证：AF＝EF＝2.5（m）∴AB＝BG+GF+AF＝2.5×3＝7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4＝30（m），故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．9．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根【分析】利用判别式的意义进行判断．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．∴方程没有实数解．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．10．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE＝a，则AE＝3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，∵AN＝BN，MN∥AE，∴BM＝ME，∴MN＝a，∴FM＝a，∵AE∥FM，∴＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．因式分解：1﹣4a2＝（1﹣2a）（1+2a）．【分析】直接利用平方差分解因式进而得出答案．解：1﹣4a2＝（1﹣2a）（1+2a）．故答案为：（1﹣2a）（1+2a）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．12．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有22 人．【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据经过两轮传染后共有121人感染了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为7.5 米．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解：设这棵杨树高度为xm，由题意得，＝，解得：x＝7.5，即这棵杨树高为7.5m．故答案为：7.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．14．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为2﹣4 ．【分析】连接DF、BD，由DF＞BD﹣BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．解：如图，连接DF、BD，由图可知，DF＞BD﹣BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4、BC＝6，∴BD＝＝＝2，由折叠性质知AB＝BF＝4，∴线段DF长度的最小值为BD﹣BF＝2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题主要考查矩形和翻折变换的性质，解题的关键是根据三角形两边之差小于第三边得出DF长度取得最小值时点F的位置．15．两个反比例函数C1：y＝和C2：y＝在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积2为 1 ．【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC＝S△BOD＝|k|，S矩形PCOD＝|2|＝2，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC＝S△BOD＝|k|＝，S矩形PCOD＝|2|＝2，∴四边形PAOB的面积＝2﹣2•＝1．【点评】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P 到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为2．【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣2+2（π﹣3）0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝2﹣+2＝+2时，原式＝2．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（7分）如图，已知△ABC，利用尺规作出一个新三角形，使新三角形与△ABC的相似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】平面内任取一点O，作射线AO、BO、CO，再射线上分别截取OA′＝2OA、OB′＝2OB、OC′＝2OC，顺次连接A′、B′、C′即可得．解：如图，△A′B′C′即为所求作的三角形．【点评】本题主要考查作图﹣相似作图，熟练掌握位似图形的定义和性质及位似图形的作法是解题的关键．19．（8分）如图，▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F，①证明：△AOE≌△COF②证明：四边形AECF是平行四边形；③在已知条件外，请你再添加一个条件，使四边形AECF是矩形．【分析】①由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边AD与BC平行，且对角线互相平分得到O为AC的中点，然后利用两直线平行得到两对内错角相等，再根据AAS可得三角形AOE与三角形COF全等，得证；②由第一问得到的两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，又由平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得证；③由第二问证明的AECF为平行四边形，若再添加AC＝EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形可得AECF为矩形；若添加AF垂直于BC，由垂直定义可得∠AFC＝90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形可得AECF为矩形，所添的条件不唯一，只要满足题意即可．①证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS）；②证明：由①得：△AOE≌△COF，∴OE＝OF（全等三角形的对应边相等），又OA＝OC（已证），∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；③解：若添加AC＝EF，理由：由②得四边形AECF是平行四边形，且对角线AC＝EF，∴AECF为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）；若添加AF⊥BC，理由：由②得四边形AECF是平行四边形，又AF⊥BC，∴∠AFC＝90°（垂直定义），∴AECF为矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）．（答案不一，只要满足题意即可）．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定，其中平行四边形的性质有：对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分，本题第一问用的是平行四边形的对角线互相平分，对边平行；平行四边形的判定方法有：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，两组对边相等的四边形为平行四边形，两组对角相等的四边形为平行四边形，对角线互相平分的四边形为平行四边形，本题第二问用的方法是对角线互相平分的四边形为平行四边形；第三问为条件探究型题，是近几年中考的热点题型，解题的关键是从结论出发，逆向追索，补充使结论成立的条件，但满足结论的条件不是唯一的，学生解答本题时应熟练掌握矩形的判定方法，即对角线相等的平行四边形为矩形；有一个角为直角的平行四边形为矩形．20．（8分）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小峰和小轩有一个问题观点不一致：情境：随机同时掷两枚质地均匀的骰子（骰子六个面上的点数分别代表1，2，3，4，5，6）．第一枚骰子上的点数作为点P（m，n）的横坐标，第二枚骰子上的点数作为P（m，n）的纵坐标．小峰认为：点P（m，n）在反比例函数y＝图象上的概率一定大于在反比例函数y＝图象上的概率；小轩认为：P（m，n）在反比例函数y＝和y＝图象上的概率相同．问题：（1）试用列表或画树状图的方法，列举出所有点P（m，n）的情形；（2）分别求出点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确．【分析】（1）分别利用列表法以及画树状图列举出所有可能即可；（2）利用反比例函数图象上点的性质，以及概率公式求出判断谁的观点正确即可．解：（1）列表得：画树状图：．（2）一共有36种可能的结果，且每种结果的出现可能性相同，点（2，4），（4，2）在反比例函数y＝的图象上，点（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）在反比例函数y＝的图象上，则点P（m，n）在在反比例函数y＝的图象上的概率为，在反比例函数y＝的图象上的概率都为：＝，故两人的观点都不正确．【点评】此题主要考查了列表法求概率问题以及反比例函数图象上点的坐标性质；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．21．（8分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC＝EC；（2）求△EAF的面积．【分析】（1）由正方形性质知∠ADH＝∠HDC＝∠DCH＝∠DAE＝45°，根据DE平分∠ADB知∠ADE＝∠EDH，由∠DAE+∠ADE＝∠DEC、∠EDH+∠HDC＝∠EDC得∠EDC＝∠DEC，据此即可得证；（2）由△AFE∽△CBE知＝（）2，再求出S△EBC＝，进一步求解可得．解：（1）∵正方形ABCD，∴DC＝BC＝BA＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°，AH＝DH＝CH＝BH，AC⊥BD，∴∠ADH＝∠HDC＝∠DCH＝∠DAE＝45°，又∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDH，∵∠DAE+∠ADE＝∠DEC，∠EDH+∠HDC＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴DC＝EC；（2）∵正方形ABCD，∴AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝（）2，∵AB＝BC＝DC＝EC＝1，AC＝，∴AE＝﹣1，Rt△BHC中，BH＝BC＝，∴在△BEC中，BH⊥EC，S△EBC＝×1×＝，∴＝（﹣1）2，∴S＝×（3﹣2）＝．【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点．22．（9分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝320，∴BD＝CD＝320，BC＝320，∴AC+BC＝640+320≈1088，∴AB＝AD+BD＝320+320≈864，∴1088﹣864＝224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．23．（10分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）、当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．（2）将s＝45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴，（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m；（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10，∴，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝m，有最大面积的花圃．即：x＝m，最大面积为：＝24×﹣3×（）2＝46.67m2【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．24．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【分析】（1）连接BD、由点E、H分别为边AB、AD的中点，同理知FG∥BD、FG＝BD，据此可得EH＝FG、EH∥FG，即可得证；（2）连接AC、BD，证△APC≌△BPD得AC＝BD，由EF＝AC、FG＝BD知EF＝FG，结合四边形EFGH是平行四边形即可得；（3）设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，由△APC≌△BPD 知∠ACP＝∠BDP，根据∠DMO＝∠CMP知∠COD＝∠CPD＝90°，再利用EH∥BD、AC∥HG得出∠EHG＝90°即可得．解：（1）如图1，连接BD，∵点E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH∥BD、EH＝BD，∵点F、G分别为BC、DC的中点，∴FG∥BD、FG＝BD，∴EH＝FG、EH∥FG，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFG H是菱形，如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，∵，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，∴EF＝AC、FG＝BD，∴EF＝FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是正方形，设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD、AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形、正方形的判定与性质．。
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷(解析版)
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．54．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4B．x1＝0，x2＝4C．x＝﹣4D．x＝45．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．27．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣19．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600B．300C．40D．2010．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是．12．设x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝．13．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是．14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为．15．将抛物线y＝x2+4x+4向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是．16．如图，在平面直角坐标系中O是原点，矩形OABC的对角线相交于点P，顶点C的坐标是（0，3），∠ACO＝30°，将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′的坐标是．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，所以方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣5），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中a＝﹣2＜0，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4B．x1＝0，x2＝4C．x＝﹣4D．x＝4【分析】根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x+4）＝0，x＝0或x+4＝0，x1＝0，x2＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．【解答】解：∵360°÷4＝90°，∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．2【分析】设方程的另一根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得：3×x1＝﹣15，解得：x1＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．牢记两根之积等于是解题的关键．7．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°【分析】先根据旋转的性质得到∠AOA′＝100°，然后计算∠AOA′﹣∠AOB即可．【解答】解：∵△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，∴∠AOA′＝100°，∴∠A′OB＝∠AOA′﹣∠AOB＝100°﹣35°＝65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣1【分析】根据题意和一元二次方程和抛物线的关系，可以求得该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600B．300C．40D．20【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．10．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．【分析】函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．【解答】解：函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，即：A（h﹣，0），B（h，0），∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝，故选：B．【点评】本题考查的是函数与x轴的交点，是一道基本题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是（5，7）．【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【解答】解：∵两点关于原点对称，∴横坐标为5，纵坐标为7，故点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是：（5，7）．故答案为：（5，7）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．12．设x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝﹣3．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．13．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是（0，6）．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣x2+6是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，6）．故答案为（0，6）．【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为10%．【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论．【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该商品每次降价的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．将抛物线y＝x2+4x+4向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2﹣2．【分析】先把y＝x2+4x+4配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），再根据点平移的规律，点（﹣2，0）经过平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2+4x+4＝（x+2）2，此抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），把点（﹣2，0）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16．如图，在平面直角坐标系中O是原点，矩形OABC的对角线相交于点P，顶点C的坐标是（0，3），∠ACO＝30°，将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′的坐标是（0，﹣）．【分析】根据已知条件得到OC＝3，解直角三角形求得AC＝＝＝2，OA＝AC＝，根据矩形的性质得PC＝PA，根据勾股定理得到OP＝＝，根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C的坐标是（0，3），∴OC＝3，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴A（，0），∵四边形OABC是矩形，∴PC＝PA，∴P（，），∴OP＝＝，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴∠AOP＝60°，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′落在y轴的负半轴上，∴OP′＝OP＝，∴点P′的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，正确的找到点P′的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的增大而增大时x的值．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣2）2+3．所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵抛物线的对称轴x＝2，∴当x＜2时y随x的增大而增大．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是45°．【分析】（1）将点A与点B分别绕点C逆时针旋转90°得到其对应点，再与点C首尾顺次连接即可得；（2）根据旋转的定义和性质知∠BCB′＝90°，BC＝B′C，再由等腰直角三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）∵∠BCB′＝90°，BC＝B′C，∴∠B′BC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．【分析】（1）求出根的判别式△＝25+p2，根据判别式的意义即可得出无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x1+x2＝x1x2，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．【解答】（1）证明：△＝52﹣4（﹣p2）＝25+p2，∵无论p取何值时，总有p2≥0，∴25+p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意可得，x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣p2，∵x1+x2＝x1x2，∴﹣5＝﹣p2，∴p＝±．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．【分析】（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，即可求解；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，即可求解．【解答】解：（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，解得：b＝﹣2，c＝8，故：函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，从图象可以看出：﹣4＜x＜2时，函数在x轴上方．【点评】本题考查的是函数与坐标轴的交点，涉及到二次函数的基本性质，难度不大．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．【分析】（1）依据四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，即可得到AG＝AE，AD＝AB，∠DAG ＝∠BAE＝90°，判定△ABE≌△ADG（SAS），即可得到DG＝BE；（2）分两种情况进行讨论：点F在BA的延长线上；点F在射线AB上，即可得到BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG＝AE，AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE；（2）分两种情况：①如图，当点F在BA的延长线上时，连接EG，交AF于O，则∠AOE＝90°，∵AE＝2，AB＝2，∴AO＝EO＝，∴Rt△BOE中，AE＝＝＝2；②如图，当点F在射线AB上时，AF＝2＝AB，∴点F与点B重合，∴BE＝FE＝2；综上所述，BE的长为2或2．【点评】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的综合运用．利用分类讨论思想是解题的关键．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．【分析】（1）①设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，根据抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，得到0＝4a﹣4，于是得到结论；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，得到抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，于是得到结论；（2）将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵顶点A（﹣2，﹣4），∴设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴0＝4a﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y1＝x2+4x；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解得，x2+3x﹣n＝0，∵抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，∴△＝9+4n＞0，∴n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，∴n的取值范围为：﹣＜x＜﹣2；（2）∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，∵ab≠0，∴﹣b＝2a，∴b＝﹣2a，∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），解题的关键是分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；（3）过点F 作FG ⊥AB ，由题意可得S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，则可求S 与x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S 的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA ＝90°，∵∠A +∠EDF +∠AFD +∠AED ＝180°，∴∠AED ＝90°，∴∠DEB ＝∠DFC ，且∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF ＝120°，∴∠MDE ＝∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，，∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CF ＝BM +FN +CF ＝BM +CN＝2BM ＝2BD ×cos60°＝BD ＝BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝BC ×AB ×sin60°﹣AE ×AF ×sin60°﹣BE ×BD ×sin60°﹣CF ×CD ×sin60°＝4﹣×（4﹣x ）×（2+x ）×﹣×x ×2×﹣×（2﹣x ）×2×∴S ＝（x ﹣1）2+∴当x ＝1时，S 最小值为【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．。
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷(解析版)
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．根据中心对称图形的概念判断．本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.下列关于x的方程是一元二次方程的是()A. x2−2x+1=x2+5B. ax2+bx+c=0C. x2+1=−8D. 2x2−y−1=0【答案】C【解析】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、a=0时是一元一次方程，故B不符合题意；C、是一元二次方程，故C符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意；故选：C．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．用配方法解方程：x2−4x+2=0，下列配方正确的是()A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=6【答案】A【解析】解：把方程x2−4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2−4x=−2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x+4=−2+4，配方得(x−2)2=2．故选：A．在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．方程x2=3x的解是()A. x=3B. x1=0，x2=3C. x1=0，x2=−3D. x1=1，x2=3【答案】B【解析】解：x2=3x，x2−3x=0，x(x−3)=0，x=0，x−3=0，x1=0，x2=3，故选：B．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．抛物线y=(x+2)2−3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【答案】B【解析】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2，抛物线y=(x+2)2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2−3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若AB=1，∠B=60∘，则CD的长为()A. 0.5B. 1.5C. √2D. 1【答案】D【解析】解：∵∠BAC=90∘，∠B=60∘，∴BC=2AB=2，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，∴AD=AB，而∠B=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC−BD=2−1=1．故选：D．利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD= AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC−BD即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．我县九州村某梨园2016年产量为1000吨，2018年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为x，则根据题意可列方程为()A. 1440(1−x)2=1000B. 1440(1+x)2=1000C. 1000(1−x)2=1440D. 1000(1+x)2=1440【答案】D【解析】解：设该梨园梨产量的年平均增长量为x，根据题意得：1000(1+x)2=1440．故选：D．设该梨园梨产量的年平均增长量为x，根据该梨园2016年及2018年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3.已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是()A. 1和−1B. 1和−2C. 1和2D. 1和3【答案】B【解析】解：y=x2+x+c，−b2a =−12，即二次函数图象的对称轴是直线x=−12，设二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是a，∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，∴1−(−12)=−12−a，解得：a=−2，∴关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是1和−2，故选：B．先求出二次函数图象的对称轴，根据对称性求出二次函数图象和x轴的另一个交点的坐标，即可得出答案．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．若函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()A. b<1且b≠0B. b>1C. 0<b<1D. b<1【答案】A【解析】解：∵函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，∴{b≠0△=(−2)2−4b>0，解得b<1且b≠0．故选：A．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．本题考查了抛物线与x轴的交点.该题属于易错题，解题时，往往忽略了抛物线与y轴有交点时，b≠0这一条件．4.如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y=a(x−m)2+n的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为()A. −3B. 1C. 5D. 8【答案】D【解析】解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C(0,0)，D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1,4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4,4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）5.已知y=(k−2)x k2−2是二次函数，则k=______．【答案】−2【解析】解：依题意得：k2−2=0且k−2≠0，解得k=−2．故答案是：−2．根据二次函数的定义得到k2−2=0且k−2≠0，由此求得k的值．本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．6.菱形的两条对角线长分别是方程x2−14x+48=0的两实根，则菱形的面积为______．【答案】24【解析】解：x2−14x+48=0x=6或x=8．所以菱形的面积为：(6×8)÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．7.已知m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，则2m2−4m=______．【答案】6【解析】解：∵m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，∴m2−2m−3=0，∴m2−2m=3，∴2m2−4m=6，故答案为：6．根据m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，通过变形可以得到2m2−4m值，本题得以解决．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．8.已知抛物线y=a(x+1)2+k(a>0)经过点(−4,y1)，(1,y2)，则y1______y2(填“>”，“=”，或“<”)．【答案】>【解析】解：抛物线y=a(x+1)2+k(a>0,a，k为常数)的对称轴为直线x=−1，所以点(−4,y1)，(1,y2)，到直线x=−1的距离分别为5和2，所以y1>y2．故答案为：>．先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0,a，k为常数)的对称轴为直线x=−1，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质．9.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2−6x+17上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为______．【答案】8【解析】解：∵y=x2−6x+17=(x−3)2+8，∴抛物线的顶点坐标为(3,8)．∴AC的最小值为8．∴BD的最小值为8．故答案为：8．先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到BD=AC，然后确定出AC的最小值即可，本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③ac−b+1=0；④OA⋅4aOB=−c.其中正确结论的序号是______．a【答案】①③④【解析】解：观察函数图象，发现：>0；开口向下⇒a<0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c>0；对称轴在y轴右侧⇒−b2a>0．顶点在x轴上方⇒4ac−b24a>0，①∵a<0，c>0，−b2a∴b>0，∴abc<0，①成立；>0，②∵4ac−b24a∴b2−4ac4a<0，②不成立；③∵OA=OC，∴x A=−c，将点A(−c,0)代入y=ax2+bx+c中，得：ac2−bc+c=0，即ac−b+1=0，③成立；④∵OA=−x A，OB=x B，x A⋅x B=ca，∴OA⋅OB=−ca，④成立．综上可知：①③④成立．故答案为：①③④．观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a<0，c>0，−b2a>0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出4ac−b24a >0.①由a<0，c>0，−b2a>0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出x A=−c，将点A(−c,0)代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立.综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）11.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)设y=kx+b，把(22,36)与(24,32)代入得：{24k+b=3222k+b=36，解得：{b=80k=−2，则y=−2x+80；(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意得：(x−20)y=150，则(x−20)(−2x+80)=150，整理得：x2−60x+875=0，(x−25)(x−35)=0，解得：x1=25，x2=35，∵20≤x≤28，∴x=35(不合题意舍去)，答：每本纪念册的销售单价是25元；(3)由题意可得：w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200，此时当x=30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x<30时，w随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=−2(28−30)2+200=192(元)，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】(1)设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；(2)根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；(3)根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．四、解答题（本大题共8小题，共74.0分）12.解方程(1)x2+4x−5=0(2)3x(x−2)=2(x−2)【答案】解：(1)因式分解得(x+5)(x−1)=0，∴x+5=0或x−1=0，∴x1=−5，x2=1；(2)3x(x−2)−2(x−2)=0，(x−2)(3x−2)=0，∴x−2=0或3x−2=0，∴x1=2，x2=2．3【解析】根据解一元二次方程的方法−因式分解法解方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．13.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2B2C2．【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1(−2,−4)；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求【解析】(1)直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．14.观察下列一组方程：①x2−x=0；②x2−3x+2=0；③x2−5x+6=0；④x2−7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；(2)请写出第n个方程和它的根．【答案】解：(1)由题意可得：k=−15，则原方程为：x2−15x+56=0，则(x−7)(x−8)=0，解得：x1=7，x2=8；(2)第n个方程为：x2+(2n−1)x+n(n−1)=0，(x−n)(x−n+1)=0，解得：x1=n−1，x2=n．【解析】(1)直接利用连根一元二次方程得出k的值；(2)利用因式分解法得出符合题意的值．此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．15.已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0，求证：不论k取任何实数，该方程都有实数根．【答案】证明：①当k=0时，方程为x+3=0解得x=−3方程有实数根；②当k≠0时，△=(3k=1)2−4k×3=(3k−1)2≥0方程有两个实数根，综上所述，方程总有实数根．【解析】①当该方程是一元一次方程时，解方程即可；②当该方程是一元二次方程时，根据已知方程的根的判别式的符号进行判定该方程的根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)根的判别式△=b2−4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.同时考查了解方程的方法和整数的整除性质．16.已知抛物线的顶点为(1,4)，与y轴交点为(0,3)(1)求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图(无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标)．(2)观察图象，写出当y<0时，自变量x的取值范围．【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+4，将点(0,3)代入，得a+4=3．解得a=−1，抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4，其函数图象如下：(2)由函数图象知，y<0时x的范围即为抛物线位于x轴下方部分对应的x的范围，∴x<−1或x>3．【解析】(1)根据顶点坐标设其顶点式，再将(0,3)代入求解可得；(2)根据函数图象知，y<0时x的范围即为抛物线位于x轴下方部分对应的x的范围，据此可得．本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次不等式间的关系．17.参与两个数学活动，再回答问题：活动①：观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)，猜想其中哪个积最大？91×99，92×98，93×97，94×96，95×95，96×94，97×93，98×92，99×91．活动②：观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大？901×999，902×998，903×997，…，997×903，998×902，999×901．(1)分别写出在活动①、②中你所猜想的是哪个算式的积最大？(2)对于活动①，请用二次函数的知识证明你的猜想．【答案】(1)解：①∵91×99=9009，92×98=9016，93×97=9021，94×96= 9024，95×95=9025，…∴95×95的积最大；②由①中规律可得950×950的积最大；(2)证明：将①中的算式设为(90+x)(100−x)(x=1,2，3，4，5，6，7，8，9)，(90+x)(100−x)=−x2+10x+9000=−(x−5)2+9025∵a<0，∴当x=5时，有最大值9025，即95×95的积最大．【解析】(1)①的结果可根据整数乘法的运算法则，计算出大小在比较；②的结果由①的规律可得结果；(2)可将①中的算式设为(90+x)(100−x)的形式(x=1,2，3，4，5，6，7，8，9)，利用二次函数的最值证得结论．本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键．18.(1)如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90∘，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45∘，将△ABM绕点A逆时针旋转90∘至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．(3)在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3√2，求AG，MN的长．【答案】解：(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∠BAD=45∘．∴∠EAF=12(2)MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45∘．∴∠HAN=∠MAN．又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN．∴MN=HN．∵∠BAD=90∘，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45∘．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90∘．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．(3)由(1)知，BE=EG，DF=FG．设AG=x，则CE=x−4，CF=x−6．在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴(x−4)2+(x−6)2=102．解这个方程，得x1=12，x2=−2(舍去负根)．即AG=12．在Rt△ABD中，∴BD=√AB2+AD2=√2AG2=12√2．在(2)中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．设MN=a，则a2=(12√2−3√2−a)2+(3√2)2．即a2=(9√2−a)2+(3√2)2，∴a=5√2.即MN=5√2．【解析】(1)根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．(2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．(3)设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．19.已知，抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0)，且a<b．(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；(3)a=−1时，直线y=−2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+ax +b 有一个公共点M(1,0)，∴a +a +b =0，即b =−2a ，∴y =ax 2+ax +b =ax 2+ax −2a =a(x +12)2−9a 4， ∴抛物线顶点D 的坐标为(−12,−9a4)；(2)∵直线y =2x +m 经过点M(1,0)，∴0=2×1+m ，解得m =−2，∴y =2x −2，则{y =ax 2+ax −2a y=2x−2，得ax 2+(a −2)x −2a +2=0，∴(x −1)(ax +2a −2)=0，解得x =1或x =2a −2，∴N 点坐标为(2a −2,4a −6)，∵a <b ，即a <−2a ，∴a <0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x =−a 2a =−12，∴E(−12,−3)，∵M(1,0)，N(2a −2,4a −6)，设△DMN 的面积为S ，∴S =S △DEN +S △DEM =12|(2a −2)−1|⋅|−9a 4−(−3)|=274−3a −278a ，(3)当a =−1时，抛物线的解析式为：y =−x 2−x +2=−(x +12)2+94，有{y =−2x y=−x 2−x+2，−x 2−x +2=−2x ，解得：x 1=2，x 2=−1，∴G(−1,2)，∵点G 、H 关于原点对称，∴H(1,−2)，设直线GH 平移后的解析式为：y =−2x +t ，−x 2−x +2=−2x +t ，x 2−x −2+t =0，△=1−4(t −2)=0，t =94，当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为(1,0)，把(1,0)代入y =−2x +t ，t =2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t <94．【解析】(1)把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D 的坐标；(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y ，可得到关于x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据a <b ，判断a <0，确定D 、M 、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN 的面积即可；(3)先根据a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时t 的取值范围．本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在(2)中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在(3)中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。