吉林省东北师大附中2020届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题 PDF版含答案
B．������������ > ������������ > ������������
C．������������ > ������������ > ������������
D．������������ > ������������ > ������������
5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数
������������
−
3
>
0的解集为
A．(−∞， − 2)⋃(0，2) C．(−2，0)⋃(0，2)
B．(−2，0)⋃(2， + ∞) D．(−∞， − 2)⋃(2， + ∞)
12．若关于������������的方程e������������������������
+
e������������+1 ������������+e������������
������������ ，命题������������ :������������⋂������������ ≠∅ ，则下列命题中真命题的是
A．������������ ∧ ������������
B．������������ ∨ (¬������������)
C．(¬������������) ∧ (¬������������) D．(¬������������) ∧ ������������
C．������������(2 + ������������)4
D．������������(1 + ������������)4
二、填空题
13．已知函数������������(������������) = �������������(������������ − 1)， −√−������������，
������������2
，都有������������2������������(������������1)−������������1������������(������������2)
������������1−������������2
<
0，则������������(������������)
≤
2”是“关于������������的不等式������������������������2
−
������������
+
1 ������������
≥
0的解集为������������”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数������������(������������) = �
16．已知函数������������(������������) = ������������������������2 − 2������������ + ln������������有两个不同的极值点������������1，������������2，且不等式������������(������������1) + ������������(������������2) < ������������1 + ������������2 + ������������ 恒成立，则������������的取值范围是___________．
东北师大附中 2020 届高三年级第一次摸底考试数学（理科）试题
一、选择题
1．若 i 是虚数单位，在复平面内复数2−������������表示的点在
1+������������
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．若全集������������ = {������������ ∈ ������������∗|������������2 − 5������������ − 6 ≤ 0}，集合������������ = {2，3}，������������ = {0，1，5}，则������������⋂(∁������������������������)（）
A．�0，1，5�
B．�1，5�
C．⌀
D．�0，1，4，5，6�
3．下列函数中，既是偶函数，又在(0， + ∞)上单调递增的函数是
A．������������
=
3
������������2
B．������������ = ������������−|������������|
C．������������ = 1 − lg������������2 D．������������ = |������������| + 6
|2������������ + 1| − 1，������������ ≤ 0 ，若������������(������������) ≤ 1，则实数 a 的取值范围是
log3������������，������������ > 0
A．(−∞，
−
3]
2
∪
[3，
+
∞)
B．[−
3 2
，3]
C．[−
（Ⅰ）求证： ⊥ ������������；
（Ⅱ）求二面角������������ − − ������������的大小．
20．已知������������1，������������2是椭圆������������������������22
+
������������2 ������������2
.
.
..为自然对数的底数，则(e���������������������1���1
+
������������)2
( ������������2
e������������2
+
������������)(e���������������������3���3
+
������������)的值为
A．e
B．e2
������������的取值范围是
A．(0， 1]
3
B．(0，1]
C．(1 ，1]
3
D．(1
3
，
+
∞)
11．已知������������(������������)是定义在(−∞，0)⋃(0， + ∞)上的奇函数，且������������(2) = 6，若对任意两个不相等的正数������������1，
15．如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 沿 x 轴正向滚动，先以 A 为中心顺时针旋转，当 B 落在 x 轴时， 又以 B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点 C 滚动时的曲线为������������ = ������������(������������)，则������������(5) = ______________； 当2 < ������������ ≤ 3时，������������(������������) =_______________________．
10．若函数������������(������������) = �
e������������ − ������������ + ������������，������������ > 0 在(−∞， + ∞)上是单调函数，且������������(������������)存在负的零点，则 2������������ + 3������������ − 1，������������ ≤ 0
三、解答题 17．在������������������������中，角������������，������������，所对的边分别为������������，������������，������������，且cos2 − cos2������������ = sin2������������ − sin������������sin． （Ⅰ）求角������������的值； （Ⅱ）若������������������������的面积为5√3，������������ = √21，求������������ + ������������的值． 18．已知函数������������(������������) = ������������2 − 2������������ln������������，������������(������������) = ������������2 − ������������ + 2 − 2ln2． （Ⅰ）讨论函数������������(������������)的单调性； （Ⅱ）当������������ = 1时，判断������������(������������) − ������������(������������)的零点个数． 19．将边长为2的正方形������������������������沿对角线������������折叠，使得平面������������������������⊥平面，������������������������⊥平面������������������������，������������是������������的 中点，且������������������������ = √2．
=
1(������������
>
������������
>
0)的两个焦点，������������为坐标原点，离心率为√36，点(−√3，1)在
椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），，������������为椭圆上三个动点，在第二象限，，������������关于原点对称，且|| = ||，判断������⃗ ⋅ �����⃗ tan∠是否存在最小值，若存在，求出该最小值，并求出此时点的坐标，若不存在，说明理由．
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
吉林省长春市东北师大附中等六校2020届高三联合模拟数学理科试题 Word版含解析
2020届高三联合模拟考试理科数学试题一､选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.复数(),z a bi a b R =+∈是()()212i i ++的共轭复数，则a b +=（ ） A. 5 B. 5-C. 5iD. 5i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数()()212i i ++表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出a 与b 的值，即可得出+a b 的值.【详解】()()22122525i i i i i a bi ++=++==-，05a b =⎧∴⎨-=⎩，解得05a b =⎧⎨=-⎩，因此，5a b +=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3.设命题:p 有的平行四边行是菱形，则p ⌝为（ ） A. 所有平行四边形都不是菱形 B. 有的菱形不是平行四边形 C. 有的平行四边形不是菱形 D. 不是菱形的四边形不是平行四边形【答案】A 【解析】 【分析】将命题p 改写为特称命题的形式，然后利用特称命题的否定可得出命题p ⌝. 【详解】命题:p 存在平行四边形为菱形，则命题:p ⌝所有平行四边形都不是菱形. 故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，解题的关键就是将原命题表示成特称命题的形式，属于基础题.4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 4y x =±B. 14y x =±C. 2y x =±D.12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，要熟悉渐近线方程与双曲线标准方程之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，63363S S -=，则5a =（ ） A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用条件63363S S -=求出d 的值，由此可计算出5a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1163653263322363632a d a d S S d ⨯⨯++-=-==， 解得2d =，因此，5141429a a d =+=+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例.若输入的4n =，5v =，2x =，则该程序框图计算的是（ ）A. 23451222324252⋅+⋅+⋅+⋅+⋅B. 1234122324252+⋅+⋅+⋅+⋅C. 012340212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅D. 23450212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅【答案】B 【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i 、v 的值，当0i =时，不满足条件0i >，跳出循环，即可得解．【详解】输入4n =，5v =，2x =，则第一次：4i n ==，40i =>，524v =⋅+，3i =；第二次：30i =>，()25242352423v =⋅+⋅+=⋅+⋅+，2i =；第三次：20i =>，()23252423225242322v =⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+，1i =；第四次：10i =>，()324321524232221524232221v =⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+，0i =； 跳出循环，输出1234122324252v =+⋅+⋅+⋅+⋅. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i 、v 的值是解题的关键，属于基础题．7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2b c =，a =3A π=，则ABC∆的面积为（ ）A. 1B. 3C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出b 、c 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】由余弦定理可得2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯，即236c =，解得c =2b c ==因此，ABC ∆的面积为11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.8.已知直线a 、b 与平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列命题中正确的是（ ）A. αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件B. a l ⊥是αβ⊥的充要条件C. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件D. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出各选项中命题的正误.【详解】对于A 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b C D =， 平面ABCD ⊥平面11CDD C ，BD ⊂平面ABCD ，1C D ⊂平面11CDD C ， 易知1BDC ∆为正三角形，则13BDC π∠=，则a b αβ⊥⇒⊥/； 设a AC =，b BD =，α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，则a b αβ⊥⇒⊥/.所以，αβ⊥是a b ⊥的既不充分也不必要条件，A 选项错误； 对于B 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，a AC =，l BD =，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/； 设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，1a C D =，l CD =，则14CDC π∠=，平面ABCD ⊥平面11CDD C ，但1C D 与CD 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/， 所以，a l ⊥是αβ⊥的既不充分也不必要条件，B 选项错误； 对于C 、D 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b DD =，l CD =，1BD DD ⊥，但BD 与CD 不垂直，所以，若αβ⊥，a b a l ⊥⇒⊥/；若αβ⊥，l αβ=，a l ⊥，a α⊂，a β∴⊥，b β⊂，a b ∴⊥，则a l a b ⊥⇒⊥.所以，若αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件，C 选项正确，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题以立体几何为载体，考查充分条件和必要条件的判断，要熟悉空间中垂直关系的判定和性质定理，结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+，则x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，可得出圆C 的方程为()()22222x y -+-=，可设点P 的坐标为()22cos ,22sin θθ++，根据向量的坐标运算可将x y +用θ的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出x y +的最大值.【详解】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为221x y+=，即20x y +-=， 点C 到直线BD 的距离为22211d ==+则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()22222x y -+-=， 设点P 的坐标为()22,22θθ+，由AP x AB y AD =+，得()()()()2,22,00,22,2x y x y θθ=+=，1cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，所以，2sin 24x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，x y +的最大值为3. 故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()()()36cos 0f x x x ωω=->，若存在a R ∈，使得()f x a +为奇函数，则ω的值可能为（ ） A.12πB.3πC.4π D.5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()()36cos f x a x a x a ω+=-++⎡⎤⎣⎦，由奇函数的性质分析可得6a =，进而可得()6k k Z ωπ=∈，则()6k k Z πω=∈，据此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，函数()()36cos f x x x ω=-，()()()36cos f x a x a x a ω∴+=-++⎡⎤⎣⎦，若存在a R ∈，使得()y f x a =+为奇函数，令()()()()36cos g x f x a x a x a ω=+=-++⎡⎤⎣⎦，则()()()306cos 0g a a ω=-=.若60a -≠，则()cos 0a ω=，()2a k k Z πωπ∴=+∈，得()()212k a k Z πω+=∈，此时()()()3216cos 2k g x x a x k Z ωπ+⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()36sin g x x a x ω=+-或()()36sin g x x a x ω=-+-为奇函数， 若函数()()36sin g x x a x ω=+-为奇函数，由()()g x g x -=-可得()()336sin 6sin x a x x a x ωω--+-=-+-对任意的x ∈R 恒成立，()()3366x a x a ∴-+-=+-，66x a x a ∴-+-=+-，得0x =，对任意的x ∈R 不恒成立.同理，()()36sin g x x a x ω=-+-不可能为奇函数； 由上可知，6a =，则()()3cos 6g x x x ωω=+为奇函数，则()()g x g x -=-，得()()33cos 6cos 6x x x x ωωωω--=-+，可得()()cos 6cos 6x x ωωωω-=+，由两角和与差的余弦公式可得2sin sin60x ωω=， 则等式sin sin60x ωω=对任意的x ∈R 恒成立，则sin60ω=，则()6k k Z ωπ=∈， 得()6k k Z πω=∈，当2k =时，3πω=，A 、C 、D 都不满足. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中等题． 11.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A. 993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B. 994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. ()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D. []3,5【答案】A 【解析】 【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 二､填空题.13.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()3233f x g x x x x -=++，则()()22f g -+=______.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()22f g ---的值，结合函数()y g x =的奇偶性可得()()()()2222f g f g ---=-+，据此计算可得答案．【详解】根据题意，()()3233f x g x x x x -=++，则()()()()()3222232322f g ---=-+⨯-+⨯-=-. 又由函数()y g x =是奇函数，则()()22g g -=-，故()()()()22222f g f g -+=---=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为_____.【答案】3. 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】解：11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是(1,1)A --，11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,1)C -，在ABC ∆中满足2z x y =+的最大值是点C ，代入得最大值等于3． 故答案为：3．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】323π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a =，()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则2n a =______，2n S =______.【答案】 (1). 212n -- (2). ()2143n -【解析】 【分析】令21n k =-，k *∈N ，根据递推关系即可求得2k a ，进而得出2n a ；令2n k =，k *∈N ，则可得到数列{}n a 的奇数项均为0，进而由等比数列的前n 项和公式求得2n S ． 【详解】令21n k =-，k *∈N ，则()()2121212211122k k k k k a a ----⎡⎤=+-+-=-⎣⎦，所以2122n n a -=-；令2n k =，k *∈N ，则()()()()222212121122220k k k k k k a a -+⎡⎤=+-+-=⨯-+-=⎣⎦， 所以，数列{}n a 所有的奇数项均为0. 因此，()()()1352122142142222143n n n nS---=-++++=-=-.故答案为：212n --；()2143n -.【点睛】本题考查由数列递推关系求数列通项及前n 项和，考查运算求解及逻辑推理能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x （万元），人均消费y （万元）的几组对照数据.（1）试建立y 关于x 的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据线性回归方程预测2019年该城市的人均消费；（2）计算()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，并说明线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.6y x =，人均存款为0.66万元；（2）20.9R =，人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果. 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得b 和a 的值，则线性回归方程可求，把 1.1x =代入线性回归方程，求得y 值得答案；（2）由回归方程计算得1y 、2y 、3y 、4y 的值，再由公式()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y 求得2R 的值，进一步说明线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）()41110.60.70.80.90.7544i i x x ===+++=∑，()41110.350.450.450.550.4544i i y y ===+++=∑，()()()()()410.150.10.0500.0500.150.10.03iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯=∑，()()()42222210.150.050.050.150.05ii x x =-=-+-++=∑，()()()414210.03ˆ0.60.05iii i i x x y y bx x==--∴===-∑∑，0.450.60.750a y bx =-=-⨯=， ∴所求回归直线方程为0.6y x =，当 1.1x =时，0.6 1.10.66y =⨯=，预计该国家2019年的人均存款为0.66万元； （2）由回归方程计算得，10.36y =，20.42y =，30.48y =，40.54y =， 所以，()()()()()42222210.350.360.450.420.450.480.550.540.002i ii y y =-=-+-+-+-=∑，()()()()()42222210.350.450.450.450.450.4850.550.450.02i i y y=-=-+-+-+-=∑，()()42214210.002110.90.02i i i i i y y R y y==-=-=-=-∑∑， 说明人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，同时也考查了相关指数的计算，考查计算能力，是基础题．18.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭. .（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）1cos AE θ=，06cos 6AF πθπθ⎛⎫=<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）(32. 【解析】 【分析】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF 即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【点睛】本题考查了正弦型函数最值和三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中等题．19.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，侧面11B BCC 是矩形，12BB BC =，E 为1AA 的中点，平面1ECC ⊥平面ABCD .（1）证明：1CC ⊥平面ABCD ；（2）判断二面角1B EC B --是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角1B EC C --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）120. 【解析】 【分析】（1）连接AC 、11A C 、BD ，平面1ECC 即为平面11AAC C ，推导出BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明1CC ⊥平面ABCD ；（2）二面角1B EC B --是直二面角；（3）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角1B EC C --的大小． 【详解】（1）连接AC ，11A C ，BD .平面1ECC 即为平面11C CAA ，底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥.又平面1ECC ⊥平面ABCD ，平面1ECC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面1ECC ，又1CC ⊂平面1ECC ，1CC BD ∴⊥，侧面11B BCC 是矩形，1CC BC ∴⊥，又BD BC B ⋂=，BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1CC ∴⊥平面ABCD ； （2）二面角1B EC B --为直二面角；（3）由（1）可知，1CC CD ⊥，1CC BC ⊥，CD BC ⊥，故以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长度，建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0B ，()1,1,1E ，()1,0,0D ，所以()1,1,1CE =，()0,1,0CB =，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n CB y n CE x y z ⎧⋅==⎨⋅=++=⎩，令1x =，则0y =，1z =-，则()1,0,1n =-，由（1）知，BD ⊥平面1ECC ，所以，()1,1,0BD =-是平面1ECC 的一个法向量， 于是1cos ,2n BD n BD n BD⋅<>==⋅， 由（2）知二面角1B EC C --的平面角为钝角，所以二面角1B EC C --的大小为120.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查直二面角的判断，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 在左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点（M 和N 均不在坐标轴上），直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q ，直线BM 、BN 分别与y 轴交于点R 、S ，求证：RSPQ为定值，并求出该定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定值13. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由离心率及过的点和a 、b 、c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x ky k ⎛=-≠ ⎝⎭，将直线l 与椭圆C 的方程联立，设点()11,M x y ，()22,N x y ，求出两根之和及两根之积，写出AM 、AN 的方程由题意求出P 、Q 的坐标，求出PQ 的值，同理由题意求出RS 的值，进而求出比值为定值．【详解】（1）设椭圆C焦距为()20c c >，由题意，22222191412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A -，()2,0B由题意，直线l 不与y 轴垂直，且不过椭圆C 的上、下顶点，故可设直线l的方程为13x ky k ⎛=-≠± ⎝⎭，设()11,M x y ，()22,N x y . 由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()2234690k y ky +--=. ()214410k ∆=+>，由韦达定理，122634k y y k +=+，122934y y k =-+. 直线AM 的方程为()()11112221y y y x x x ky =+=+++，1120,1y P ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理，2220,1y Q ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以，()()12122121212222111y y y y PQ ky ky k y y k y y -=-=+++++()()()21212222234296213434y y k y y k k k k -+-==-++++， 直线BM 的方程为()()11112223y y y x x x ky =-=---，1120,3y R ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 同理，2220,3y S ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 所以，()()121221212126223339y y y y RS ky ky k y y k y y -=-=---++()()()212122222346918693434y y k y y k k k k -+-==--+++， 由题意，12y y ≠，故13RS PQ =. 【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，考查椭圆标准方程的求解，以及弦长比值为定值问题的证明，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.已知函数()()21x f x x ax e a R -=-+-∈. （1）讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）证明：当1a >时，函数()f x 有三个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()y g x =的解析式，求导，分0a <、0a =及0a >解关于导函数的不等式即可得出函数()y g x =的单调区间； （2）易知函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．【详解】（1）()()()211x x g x e f x e x ax ==-+-， ()()()()21211x x g x e x ax x a e x x a '∴=-++-=++-. ①当0a <时，11a -<-，当()()11,,x a -∞∞∈--+时，()0g x '>，当()1,1x a ∈--时，()0g x '<. 函数()y g x =单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --； ②当0a =时，11a -=-，()0g x '≥，则函数()y g x =在R 上为增函数；③当0a >时，11a ->-，当()(),11,a x -+∞∈-∞-，()0g x '>，当()1,a 1x ∈--，()0g x '<.∴函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --； 综上所述，当0a <时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --；当0a =时，函数()y g x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --；（2）0x e >，∴函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，当1a >时，由（1）知函数()y g x =在(),1-∞-，()1,a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减.当(),1x ∈-∞-时，函数()y g x =单调递增，因为()2110a g e +-=->，()()1212321a g a e a a ----=++-， 令()()122321a a e a a ϕ--=++-，则()()()()()121212324321211a a a a e a a a e a a e a a ϕ------'=-++--=---=-+-，1a >，()0a ϕ'∴<，函数()y a ϕ=在()1,+∞上单调递减，()()()271110g a a eϕϕ∴--=<=-<， 所以，存在()11,1x a ∈---，使得()10g x =，所以，函数()y g x =在(),1-∞-上有1个零点1x ；当()1,a 1x ∈--，()y g x =为减函数，极小值点10x a =->，且()00g =，所以，函数()y g x =在()1,a 1x ∈--有1个零点20x =；当()1,x a ∈-+∞，函数()y g x =为增函数，()10g a -<，()10a g a e =->，∴存在()31,x a a ∈-，使得()30g x =，所以函数()y g x =在()1,a -+∞有1个零点3x . 综上，当1a >时，函数()y g x =有三个零点，即函数()y f x =有三个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:2C x y y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42ππρθ⎫=<<⎪⎭. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(),M ρα在曲线2C 上，直线OM 交曲线1C 于点N ，求OM ON ⋅的最小值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为()10y x x x=+>；（2）4. 【解析】【分析】（1）由222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩可将曲线1C 的方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边平方得()22sin cos cos 1ρθθθ-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意得出OM =，2sin ON α=，然后利用换元法和三角函数关系式的恒等变换并结合基本不等式可求出OM ON ⋅的最小值.【详解】（1）将222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩代入222x y y +=得，2sin ρθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.曲线2C 的方程可化为222sin cos cos 1,42ππρθθρθθ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()210xy x x -=>，得()10y x x x=+>， 所以2C 的直角坐标方程为()10y x x x =+>； （2）由（1）及题设条件知，OM =，2sin ON α=，其中,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα， 所以222224sin 4tan sin cos cos tan 1OM ON a ααααα⋅==--，令tan 1t α=-， 因为,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，所以tan 1α>，所以0t >， 所以()222411484816t OM ON t t t +⎛⎫⋅==++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t =，即tan 2α=，,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα时等号成立. 所以OM ON ⋅的最小值为4.【点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．23.已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+.（1）当1a b c ===时，求不等式()5f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为1，求a b c ++的值，并求222a b c b c a++的最小值. 【答案】（1）()(),22,-∞-+∞；（2）1a b c ++=，222a b c b c a++的最小值为1. 【解析】【分析】 （1）先将1a b c ===代入函数()y f x =的解析式中，得出()111f x x x =++-+，然后分1x ≥、11x -<<、1x ≤-三种情况来解不等式()5f x >，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()y f x =的最小值，从而得到a b c ++的值，再利用基本不等式求出222a b c b c a++的最小值. 【详解】（1）当1a b c ===时，()111f x x x =++-+，于是，不等式()5f x >可化为114x x ++->.当1x ≥时，不等式化为114x x ++->，解得2x >；当11x -<<时，不等式化为()114x x +-->，即24>，无解；当1x ≤-时，不等式化为()()114x x -+-->，即24x ->，解得2x <-.综上，不等式()5f x >的解集为()(),22,-∞-+∞；（2）由绝对值三角不等式得()()()1f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=，所以1a b c ++=.由基本不等式得22a b a b +≥=，22b c b c +≥=，22c a c a +≥=， ()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即2221a b c a b c b c a++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立， 因此，222a b c b c a++的最小值为1. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
吉林省吉林大学附属中学高三数学上学期第一次摸底考试(理)试题(含解析)新人教B版
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A =，，{|05}B x x =∈<<N ，若A C B ⊆⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）12.函数()lg(2)22x f x x =++-的定义域为（ ） （A ）(20)(0)-+∞，， （B ）(2)-+∞，（C ）(21]-，（D ）(1)+∞，3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（ ） （A ）1 （B ）12 （C ）12-（D ）－14.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题()()p q ⌝∨⌝表示（ ） （A ）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 （B ）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 （C ）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米 （D ）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米5.方程1||1x y -=-表示（ ） （A ）两条直线 （B ）两条射线（C ）两条线段（D ）一条射线和一条线段6.已知函数()3sin cos f x x x =－，x ∈R，若()f x ≥1，则x 的取值范围为 （A ）{|}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（B ）{|22}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（C ）5{|}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（D ）5{|22}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，7.ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则b a= （A ）23（B ）22（C ）3（D ）28.函数()(1)(1)(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间 （A ）(11)-，和(12)，内 （B ）(1)-∞-，和(11)-，内（C ）(12)，和(2)+∞，内（D ）(1)-∞-，和(2)+∞，内9.曲线sin sin cos x y x x =+在点1()42M π，处的切线的斜率为（A ）12-（B ）12（C ）22-（D ）2210.“0a <”是“函数2()||f x ax x =-在区间(0)+∞，上单调递增”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件图①11.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是O x yO x yO x yO xyO xy1（A ）（B ）（C ） （D ） ()y f x =12.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅的最大值为33. （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.已知幂函数()a f x x =的图象过点1124⎛⎫⎪⎝⎭，，则log 8a = .14.如图，ABC △中，点D 在BC 边上，且2 2.5AC BC ==，，10.5AD BD ==，，则AB 的长为 .B D CA15.已知αβ，均为锐角，且510cos()=sin()αβαβ+-=，，则2=β.16.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++.若“[0)x ∃∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知p :|3|2x ->，q :(1)(1)0x m x m ≤－＋－－，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知函数()sin()(00)2f x A x x πωϕωϕ=+∈><<R ，，，的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．19.(本小题满分12分)在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设S 为ABC △的面积，满足2223()S a b c =＋－．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．20.(本小题满分12分)已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点()P a b ，成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”.（Ⅰ）将函数()sin()244g x x x x ππ=-+--∈R ，的图像向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数22()log 2xh x x-=图像对称中心的坐标； （Ⅲ）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).21.(本小题满分12分)已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，求证：当2x >时，()()f x g x >； （Ⅲ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>∵请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，锐角ABC △的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点.（Ⅰ）求证：A D F E ，，，四点共圆； （Ⅱ）若50C ∠=︒，求DEF ∠的度数.FE DC BA23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b ϕ>>，为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l θα=：与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11A B ，，当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点分别为22A B ，，求四边形1221A A B B 的面积．24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-.（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期第一次摸底考试试题理
������������ ������������
≥ <
00，那么������������(74)的值为______________________________．
14．函数������������(������������) = log1(−������������2 + 6������������)的单调递增区间为 ___________________________________________． 2
三、解答题 17．在������������������������中，角������������，������������，所对的边分别为������������，������������，������������，且cos2 − cos2������������ = sin2������������ − sin������������sin． （Ⅰ）求角������������的值； （Ⅱ）若������������������������的面积为5√3，������������ = √21，求������������ + ������������的值． 18．已知函数������������(������������) = ������������2 − 2������������ln������������，������������(������������) = ������������2 − ������������ + 2 − 2ln2． （Ⅰ）讨论函数������������(������������)的单调性； （Ⅱ）当������������ = 1时，判断������������(������������) − ������������(������������)的零点个数． 19．将边长为2的正方形������������������������沿对角线������������折叠，使得平面������������������������⊥平面，������������������������⊥平面������������������������，������������是������������的 中点，且������������������������ = √2．
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019—2020学年髙三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240P x R x x =∈-≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. []3,4 B. (]3,4- C. (],4-∞ D. ()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可. 【详解】对集合P ：240x x -≤，解得[]0,4x ∈； 对集合Q ：3x <，解得：()3,3x ∈-； 求并集得：(]3,4P Q ⋃=-， 故选：B .【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算. 2.复数311ii++等于( ) A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】2311(1)2.11(1)(1)2i i i ii i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项.3.若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 允分不必要条件B. 必要不允分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝， 故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化. 4.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >> B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==Q,20192019log log 201910b <<==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用..5.将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,13π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.【详解】将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12， 则得()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，解得12x π=，此时函数值为-1，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.6.已知命题“00x ∃≥，200210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)1,-+∞B. ()0,∞+C. []1,1-D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题：00x ∃≥，200210x ax ++<是假命题；则其否定:0x ∀≥，2210x ax ++≥是真命题； 当0x =时，10≥显然成立；当0x >时，2210x ax ++≥，解得122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭而1122x x+≥当且仅当1x =时取得，故： 1122x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，由题可知： 122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭等价于1a ≥-，故选：A.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.7.若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A. ()0,3 B. ()1,3-C. ()3,+∞D. (),1-∞-和()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由y ex b =+是曲线的切线，求出b ，再求具体函数的单调增区间即可. 【详解】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--，()2231f x x x=-+'，令()0f x ¢>， 解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：()0,+?，故单调增区间为()0,3.故选：A.【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题. 8.下列函数中同时具有以下性质的是（ ） ①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭． A. 26cos x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.【详解】对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确； 对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确； 对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.9.己知函数()()()()()24112111xa x f x x a x x ⎧--<⎪=⎨+-+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. []1,0 C. [)1,3 D. [)0,3【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则()()41xf x a =--要为增函数，则：41a ->；①若保证()()()22111f x x a x x =+-+≥单调递增，则：11a -≤；②若要保证该函数在R 上单调递增，则在断点处：()()411211a a --≤+-+③由①②③解得：[)1,3a ∈. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数在R 上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．11.己知O 是ABC ∆内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AB AC =-uu u r uu u r g ，且23BAC π∠=，则OBC ∆的面积为（ ）A.B.C. D.6【答案】D 【解析】 【分析】由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可确定O 点的位置，再求解面积即可. 【详解】分别取AC 、BC 的中点为D 、E ，作图如下：由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，可得：()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v，即：2OD OE =-u u u v u u u v ，故O 是DE 上靠近E 点的三等分点， 故6ABC OBC S S ∆∆=，根据题意可知：4AB ACAB AC cosA=⋅=u u u r u u u r故12ABC S AB AC sinA ∆==则16OBC ABC S S ∆∆==， 故选：D .【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,18,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B. ()6,+∞C. 1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}11,121410⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.【详解】()()2f x f x +=-可得：该函数关于1x =对称，又其关于原点对称，故： 该函数的周期为4；()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，等价于函数()y f x =与()log 3a y x =+有5个交点，当()0,1a ∈时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：()log 3a y x =+在7x =时的函数值log 101a >-，且在11x =时的函数值log 141a <-，解得：11,1410a ⎛⎫∈⎪⎝⎭； 当()1,a ∈+∞时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：此时，函数应该过点()9,0C ，故log 121a =，解得12a =. 综上所述：12a =或11,1410a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：D.【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.二、填空题：13.己知向量a r ，b r 满足a b ⊥r r，1a =r，2a b +=r r =b r ______．【答案】1 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b =v n v，将2a b +=v v 两边平方，结合已知，即可求得.【详解】因为a b ⊥v v ，故0a b =v n v ；2a b +=vv ，两边平方，则：22445a b a b ++=v n v vv ，解得：244b =v ，即：1b =r .故答案为：1.【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题. 14.已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____． 【答案】25. 【解析】试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin 2θ+cos 2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．详解：由tanθ=2，则sinθcosθ=22sin cos sin cos θθθθ+=1215tan tan θθ=+.故答案为25.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.15.己知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin b C c B a A +=，1AB =，2BC =，且1AB BC =-u u u r u u u rn ，则C ∠=______． 【答案】6π【解析】 【分析】由cos cos sin b C c B a A +=可求角A ，利用向量数量积，求得B ，从而推出C. 【详解】由：cos cos sin b C c B a A +=，可得：1sinA =，又()0,A π∈，故90A =︒； 由1AB BC -⋅=u u u r u u u r，可得：()cos 1AB BC B π-=-⋅u u u r u u u r，解得：60B =︒；由三角形内角和得：30C =︒， 故答案为6π. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题. 16.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，己知()f x '是它的导函数，且恒有()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<成立，且13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()2cos f x x <的解集为______． 【答案】32x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'可构造函数()()f x F x cosx=，由其单调性及特殊值，可求得不等式.【详解】由()()cos sin 0x f x x f x ⋅'+⋅<，可构造函数：()()f x F x cosx =，则：()()()2cos sin 0cos x f x x f x F x x''⋅+⋅=<；故()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得23F π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 而()2cos f x x <等价于()23F x F π⎛⎫<=⎪⎝⎭，解得：,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32xx ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'的构造形式需要注意.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a -=，n b n = （2）1221nn T n =-++ 【解析】 【分析】（1）由21n n S a =-，利用1n n n a S S -=-求得n a ；再利用基本量求得n b ； （2）先求n a 的前n 项和，再用裂项求和即可.【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---122n n a a -=-，∴12n n a a -=，当2n =时，2221S a =-即22121a a +=-，∴22a =， ∴212a a =，∴{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，∵11b =，434b a ==，4113b b d -==， ∴n b n =．（2）由（1）可得：()1121n n c n n -=-+，所以1111112231n n T S n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭112112211n n n n =--+=-+++ 【点睛】第一问考查1n n n a S S -=-的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AB //CD ，2AB CD =，PA PD =，PA ⊥平面PCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设2AD CD ==，求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）11【解析】 【分析】（1）由CD ⊥平面PAD ，通过线面垂直，推出面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， ∴PA CD ⊥又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，作图如下：∵PA PD =，∴PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的直角坐标系，()0,1,0D ，()2,1,0C ，()0,0,1P ，()410B -，，， ()2,2,0BC =-u u u v ，()4,1,1PB =--u u u v，∴平面PBC 的一个法向量()1,1,3m =v，平面PAD 的一个法向量()2,0,0n DC ==u u uv vcos m n m n m n⋅=v v v vv v11=，∴平面PBC 与平面PAD . 【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.19.已知函数()()2sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知()2f A =-，2a =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；（2）由（1）解得角A ，利用余弦定理及均值不等式，得bc 的最大值，即可得面积最大值.【详解】（1）()cos cos2f x x x x =-+12sin2cos222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又∵[]0,x π∈，∴函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）∵()2f A =- ∴2sin 226A π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴262A ππ-=，∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤∴当2b c ==时，()max ABC S ∆=【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.20.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，当m 变化时，证明：12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：：1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b ：c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程：：2：设()()1122,,,A x y B x y ：联立直线与椭圆的方程：结合韦达定理得出12y y +与12y y ：再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭：从而可表示出12λλ+：化简即可得证：：3：）当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭：可猜想：m 变化时：AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭：再证明猜想成立即可.试题解析：：1：∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ： ∴右焦点()1,0F ，即21c =：又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，：∴椭圆C 的方程22143x y +=：：2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=： 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++： ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ：∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：∴1212111,1my my λλ=--=--： ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++：综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-：：3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ：∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭： ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：：1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题：：2）求定值问题常见的方法：：从特殊入手：求出定值：再证明这个值与变量无关：：直接推理、计算：并在计算推理的过程中消去变量：从而得到定值． 21.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的两个零点分别是1x ，2x ，求证：122x x a+>． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；（2）要证122x x a +>，即证：212x x a >-，根据函数的单调性，等价于证：()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，讨论其单调性即可. 【详解】（1）函数()()2ln 2f x x ax a x=-+-定义域为()0,+∞，()()()()121122ax x f x ax a x x-+=-+-=-'， ①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：由（1）易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 不妨设1210x x a<<<， 构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()2'222212222ax ax ax F x f x fx f x f x a a x ax x ax -+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎣'⎭⎦'''， ∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()22102ax F x x ax ='->-， ∴()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()11210F x F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 的即()2f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又1x ，2x 是函数()f x 的两个零点且110x a<<， ∴()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又∵()()12f x f x =，∴()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 而2x ，12x a -均大于1a ，且()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴212x x a >-，∴122x x a+>，得证． 【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t ay t a=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=+． （1）求曲线C 的参数方程； （2）若3=4πα，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）cos 1sin 2x y ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数） （2）2 【解析】 【分析】（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式. 【详解】（1）由23=sin 4ρρθ+得，2234x y y +=+， 的即22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴曲线C 的参数方程为12x cos y sin ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）． （2）解法一：若3=4πα， 则直线l参数方程为1212x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 代入2234x y y +=+， 整理得2410t ++=，560=>n ，12t t +=，1214t t =， ∴122AB t t =-==． 解法二：若34πα=，则直线l 的直角坐标方程为0x y +=， ∵曲线C 为圆，它的直角坐标方程为22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径1r =，圆心到直线l的距离14d ==，∴2AB ===． 【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中t 的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.【选修4-5：不等式选讲】23.己知函数()2f x x a a =-+．的（1）当2a =时，求不等式()8xf x ≥的解集；（2）若不等式()14f x x ≥-+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x ≥ （2）(]5,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】【分析】（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；（2）不等式有解，等价于214x a x a ---≥-有解，求21x a x ---的最大值即可. 【详解】（1）当2a =时，()2,4426,4x x f x x x x -≥⎧=-+=⎨-<⎩， 当4x ≥时，由()8xf x ≥，得2280x x --≥，得4x ≥．当4x <时，由()8xf x ≥，得2680x x -+≤，得24x ≤<，∴不等式()8xf x ≥的解集为{}2x x ≥．（2）由()14f x x ≥-+有解，可得214x a x a ---≥-有解， 又()()212121x a x x a x a ---≤---=-∴214a a -≥-①．当4a ≥时，不等式①恒成立 当142a ≤<时，不等式①可化214a a -≥-，可得543a ≤<， 当12a <时，不等式①可化为124a a -≥-，可得3a ≤-． ∴实数a 的取值范围是(]5,3,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期一摸试题理含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 两数远远大于1, 的值约等于 ，设 ，运用指数运算法则，把指数式转化对数式,最后求出 的值.
【详解】因为 两数远远大于1，所以 的值约等于 ,设 ,
因此有 .
故选:C
【点睛】本题考查了数学估算能力，考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
6。函数y=2x2–e|x｜在［–2，2]的图像大致为( )
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在［–2,2]上是偶函数，其图象关于 轴对称，因为 ，所以排除 选项；当 时， 有一零点，设为 ,当 时， 为减函数，当 时, 为增函数．故选D
7.“ ”是“关于 的不等式 的解集为 "的（ ）
吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期一摸试题 理（含解析)
一、选择题
1.若 是虚数单位，在复平面内复数 表示的点在( ）
A。 第一象限B. 第二象限C。 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
运用复数除法的运算法则，化简复数 ,最后选出正确答案.
【详解】因为 ,所以复平面内复数 表示的点的坐标为 ，该点在第四象限。
故选:B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键。
8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( ）
A。 B.
C。 D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数 的取值范围。
【详解】当 时, ，个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题 的真假，最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。
东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题答案解析与点睛(22页)
东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题数学（理科）试题一、选择题1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i i-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 故选D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.2.若全集{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()U B A ⋂ð（ ）A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D. {}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂ð. 【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U A =ð,因此(){}1,5U B A ⋂=ð. 故选B【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. 32y x = B. xy e-=C. 21lg y x =-D. 6y x =+【答案】D 【解析】 【分析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()x x x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=；因为函数5x y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选D【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A. 710 B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】 【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案. 【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a -+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤,所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的必要不充分条件. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.8.已知函数()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ） A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. []4,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述： 实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选B【点睛】本题考查了分段函数不等式解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.9.二次函数2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅I ,则下列命题中真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c-是正的,故命题:p MN 是假命题, 命题:q M N ≠∅I 是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,的二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； 综上所述：p 是假命题,q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题；选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题； 选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题.故选D【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.10.若函数(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a>⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选C【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x->的解集为（ ）A. ()(),20,2-∞-UB. ()()2,02,-+∞UC. ()()2,00,2-UD. ()(),22,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】 根据所求不等式形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---,设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<； 当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述： ()30f x x->的解集是()()2,00,2-U . 故选C【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈,2.71828e =L L 为自然对数的底数,则3122312x x x xx x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 2eC. ()42m m +D. ()41m m +【答案】B 【解析】 【分析】根据所给方程的特征,令x xt e=进行换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x xg x e =单调递增,而1(0)0,(1)g g e ==,显然当0x >时, ()0>g x ，当0x <时, ()0<g x ，因此函数()x xg x e=的图象如下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.二、填空题13.已知函数()()1,0f x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】773311(1)()(1)()444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-==- ⎪⎝⎭. 故答案为12-【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.14.函数()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________． 【答案】()3,6 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6.故答案为()3,6【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD ,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =；当1x =时, C 点的坐标为：,即(1)f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =；当5x =时, C 点的坐标为：,即(5)f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为：22(2)1x y y -+=⇒=,所以()f x =.【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力.16.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________． 【答案】[)5,-+∞ 【解析】 【分析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为[)5,-+∞【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.三、解答题17.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-． (1)求角B 的值；(2)若ABC V的面积为,b =,求a c +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】 【分析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c +=.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.18.已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x在)+∞上单调递增, 令()0f x '<,得x <所以函数()f x在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,函数()f x在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力. 19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且AE =的(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小． 【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则(E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又Q 平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-u u u r ,(AC =u u u r,(0,DE AC ⋅=-⋅u u u r u u ur(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =r,则(2,0,EB =u u u r,(BC =-u u u r,00DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v vu u u vv 11111200x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩令(1,n =-r.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =u r,()1,1,0F所以()1,1,0EC =u u u r，(FC =u u u r ,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩u u u v vu u u v v 得()1,1,0m =-ur .设二面角B EC F --为θ,则cos cos ,2n m θ==r u r所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,,点()在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠u u u v u u u v是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,D ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r的表达式,可以发现只需判断EDF V 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF V 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF V 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.【详解】(1)点()在椭圆上,则22311a b+=,又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；（2）tan DE DF EDF DE ⋅∠=u u u r u u u rsin 2DEF DF EDF S ∠=△,只需判断EDF V 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+,所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDFS EF OD ==⋅△261k+=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r最小值为6,,易知直线OD 的方程为y x =-,联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202xg x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由． 【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值； (2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可. 【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242a g x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a =(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102xx x x a+->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥. (3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++,即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-,2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩,所以01a <<且12a ≠,①当21a -<-时,即112a <<时,()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >. ②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭,因为210x x ->,220x a +>,120x a +<, 所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力. 22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；(2)2【解析】 【分析】(1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin 22θθ⋅-⋅⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-,∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα+-, 则PQ的中点24,22M αα⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的距离为d ,则d==, 当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力. 23.已知函数()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；a ≤≤【解析】【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。
吉林省东北师大附中2020届高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题 PDF版含答案
东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题一、选择题1．已知集合AA={1，2，3，4，5，6}，BB={yy|yy=xx2，xx∈AA}，则AA⋂BB=（）A．�2，4�B．�1，4�C．�1，2，4�D．�2，4，16�2．已知i是虚数单位，则21−i=（）A．1−i B．2 i C．1+i D．−i3．若aa=1.50.2，bb=1.50.4，cc=0.95，则（）A．cc>bb>aa B．aa>bb>cc C．bb>cc>aa D．bb>aa>cc4．给出下列三个命题：①“若aa>bb>0，则aa2>bb2”的逆命题为假命题；②“aa2≥1”是“函数ff(xx)=xx2+2aaxx+1至少有一个零点”的充要条件；③命题“∃xx0∈R，3xx0≤0”的否定是“∀xx∈R，3xx>0”.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数ff(xx)=xx+|xx|xx的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数ff(xx)=|xx−1|+|xx+1|（xx∈R），则ff(xx)的图象（）A．关于原点对称，但不关于y轴对称B．关于y轴对称，但不关于原点对称C．关于原点对称，也关于y轴对称D．既不关于原点对称，也不关于y轴对称7．设mm=265+1，nn=245，则mm nn约等于（）（参考数据：lg2≈0.3）A．10B．10C．10D．108．若函数ff(xx)的零点与函数gg(xx)=4xx+2xx−2的零点之差的绝对值不超过0.25，则ff(xx)可以是（）A．ff(xx)=4xx−1B．ff(xx)=log3(2−xx)C．ff(xx)=3xx−1D．ff(xx)=2xx−39．若函数ff(xx)=�aa xx，xx>0，(3−aa)xx+aa2，xx≤0.在(−∞，+∞)上为增函数，则aa的取值范围是（）A．�1，2�B．�1，2�C．�1， 3�D．�2， 3�10．已知函数ff(xx)=√2xx−xx2−kkxx (0<xx≤2)的零点在区间(1，32)内，则实数kk的取值范围是（）A．(0，√33)B．(1，√3 )C．(√33，1)D．(12，1)11．已知定义在R上的函数ff(xx)满足(xx−4)ff′(xx)≤0，且yy=ff(xx+4)为偶函数，当|xx1−4|<|xx2−4|时，有（）A．ff(8−xx1)≤ff(8−xx2)B．ff(8−xx1)<ff(8−xx2)C．ff(8−xx1)>ff(8−xx2)D．ff(8−xx1)≥ff(8−xx2)12．将边长为1m正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记yy=(梯形的周长)2梯形的面积，则yy的最小值为（）A．16√33B．32√33C．100√39D．196√315二、填空题13．曲线ff(xx)=cos xx在xx=ππ6处的切线方程为___________________.14．已知函数ff(xx)=xx2−4xx，则ff(log21√2)=_______.15．已知函数ff(xx)的定义域为R，对于任意实数xx，都有ff(1+xx)=−ff(−xx)，且ff(xx)共有五个零点，则ff(xx)的所有零点之和为________.16．已知定义域为R的奇函数ff(xx)，满足ff(xx)=�22xx−3，xx>2，xx2−2xx+2， 0<xx≤2.下面四个关于函数ff(xx)的说法：①存在实数kk，使关于xx的方程ff(xx)=kkxx有7个不相等的实数根；②当−1<xx1<xx2<1时，恒有ff(xx1)>ff(xx2)；③若当xx∈�0，aa�时，ff(xx)的最小值为1，则aa∈[1，52]；④若关于xx的方程ff(xx)=32和ff(xx)=mm的所有实数根之和为零，则mm=−32．其中说法正确的有___________．（将所有正确说法的标号填在横线上）三、解答题17．在△ABC中，角AA，BB，CC的对边长分别为aa，bb，cc，BB=ππ3，cos AA=45．（Ⅰ）求sin CC的值；（Ⅱ）若aa=6，求cc的值.18．设函数ff(xx)=xx2−2xx+aa ln xx．（Ⅰ）当aa=−4时，求ff(xx)的极值；（Ⅱ）当aa>12时，判断ff(xx)的单调性.19．已知四棱锥PP−AABBCCAA，底面AABBCCAA是菱形，∠BBAAAA=60∘，ΔΔPPAAAA为正三角形，平面PPAAAA⊥底面AABBCCAA，AAAA=2．（Ⅰ）求证：AAAA⊥PPBB；（Ⅱ）求点CC到平面PPBBAA的距离．20．在直角坐标系xxxxyy中，动点PP(xx，yy)（其中xx≥2）到点FF(3，0)的距离的4倍与点PP到直线xx=2的距离的3倍之和记为dd，且dd=xx+18.（Ⅰ）求点PP的轨迹CC的方程；（Ⅱ）设过点FF的直线ll与轨迹CC交于MM，NN两点，求|MMNN|的取值范围.21．己知函数ff(xx)=aaxx2+bbxx−ln xx．（Ⅰ）当aa=−2时，函数ff(xx)在(0，+∞)上是减函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若方程ff(xx)=0的两个根分别为xx1，xx2(xx1<xx2)，求证：ff′�xx1+xx22�>0.22．已知在直角坐标系xxxxyy内，直线ll的参数方程为�xx=32+tt cosθθ，yy=−12+tt sinθθ.（tt为参数，θθ为倾斜角）．以xx为极点，xx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线CC的极坐标方程为ρρ=2√2cos(θθ+ππ4)．（Ⅰ）写出曲线CC的直角坐标方程及直线ll经过的定点PP的坐标；（Ⅱ）设直线ll与曲线CC相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之和的最大值．23．已知函数ff(xx)=|xx−2|−|2xx−aa|，aa∈R．（Ⅰ）当aa=1时，解不等式ff(xx)>0；（Ⅱ）设不等式ff(xx)<0的解集为AA，集合BB={xx|xx<0}，BB⊆AA，求aa的取值范围.东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试（文科）(数学) 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B7. C8. A9. A10. C11. D12. B13.14. 9415. 5216. ①③17. 解：(Ⅰ)∵AA，B，C为△AABBCC的内角，且BB=ππ3，，，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，在△AABBCC中，由正弦定理得．18. 解：(Ⅰ)由已知，ff(xx)的定义域为�0，+∞�，，当aa=−4时，令，得2xx2−2xx−4=0．又xx>0，所以xx=2，当0<xx<2时，；当xx>2时，0'/>．因此，当xx=2时，ff(xx)有极小值，极小值为ff(xx)无极大值;(Ⅱ)由已知，ff(xx)的定义域为�0，+∞�，，令gg(xx)=2xx2−2xx+aa(xx>0)，则gg(xx)在(0，12]上递减，在�12，+∞�上递增，因此，gg(xx)有最小值gg�12�=aa−12．当aa>12时，aa−12>0，则0'/>，此时，函数ff(xx)在�0，+∞�上单调递增．19. 解：证明：(Ⅰ)取AD的中点O，连结PO、BO，则PPxx⊥AAAA，因为底面ABCD是菱形，，所以△AABBAA是正三角形，所以BBxx⊥AAAA，又因为PPxx∩BBxx=xx，所以AAAA⊥平面POB，而PPBB⊂平面POB，所以AAAA⊥PPBB．(Ⅱ)因为平面PPAAAA⊥底面ABCD，且PPxx⊥AAAA，所以PPxx⊥平面ABCD，PPxx=BBxx=√3，SS△BBBBBB=SS△AABBBB=12×AAAA×BBxx=12×2×√3=√3，所以VV PP−BBBBBB=13×SS△AABBBB×PPxx=13×√3×√3=1，在△PPBBAA中，PPAA=BBAA=2，PPBB=2+BBxx2=√3+3=√6，取PB的中点E，连结DE，则AADD⊥PPBB，SS△PPBBBB=12×PPBB×AADD=12×PPBB×�BBAA2−�PPBB2�2=12×√6×√102=√152，因为VV PP−BBBBBB=VV BB−PPBBBB，设点C到平面PBD的距离为h，则VV BB−PPBBBB=13×SS△PPBBBB×ℎ=13×√152×ℎ=1，所以ℎ=25√15．20. 解：(Ⅰ)依题意，4�(xx−3)2+yy2+3(xx−2)=xx+18，∴�(xx−3)2+yy2=6−12xx化简得xx236+yy227=1，∴点P的轨迹C的方程为xx236+yy227=1(2≤xx≤6)．(Ⅱ)设点AA�2，2√6�，BB�2，−2√6�．由(Ⅰ)知，轨迹C是椭圆xx236+yy227=1在直线xx=2的右侧的部分(包括点A、BB)．可求出直线AF的斜率为−2√6，直线BF的斜率为2√6.(1)当直线l的斜率不存在时，设MM(3，92)，NN(3，−92)，此时，|MMNN|=9.(2)当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为yy=kk(xx−3).由已知，直线l与轨迹C交于M，N两点，则kk≥2√6或kk≤−2√6.设MM�xx，yy，yy，|NNFF|=6−，所以|MMNN|=|MMFF|+|NNFF|=12−12(xx1+xx2).由�yy=kk(xx−3)xx236+yy227=1，得(3+4kk2)xx2−24kk2xx+36kk2−108=0.则xx1+xx2=24kk23+4kk2，所以|MMNN|=12−12(xx1+xx2)=12−12kk23+4kk2=12−123kk2+4.因为kk≥2√6或kk≤−2√6，所以kk2≥24，所以0<1kk2≤124，所以9<12−123kk2+4≤10011，即9<|MMNN|≤10011.综上可知，9<|MMNN|≤10011．21. 解：(Ⅰ)依题意，∵ff(xx)在(0，+∞)上递减，对xx∈(0，+∞)恒成立.即bb⩽4xx+1xx对xx∈(0，+∞)恒成立，所以只需bb≤(4xx+1xx)min.∵xx>0，∴4xx+1xx≥4，当且仅当xx=12时取(Ⅱ)由已知，得，两式相减，得由知，设tt=xx1xx2∈(0，1)，则0. \thereforeg \left( t \right)'/>在�0，1�上递增，∴gg(tt)<gg(1)=0.∵xx1−xx2<0，即0.'/>22. 解：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为(xx−1)2+(yy+1)2=2，直线l过定点PP(32，−12)．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入(xx−1)2+(yy+1)2=2，得tt2+(cosθθ+sinθθ)tt−32=0．设点A、B对应的参数分别为tt1、tt2，则tt1+tt2=−(cosθθ+sinθθ)，tt1tt2=−32.因为tt1tt2<0，所以，|PPAA|+|PPBB|=|tt1|+|tt2|=|tt1−tt2|=�(tt1+tt2)2−4tt1tt2=�(cosθθ+sinθθ)2+6=√7+sin2θθ.因此，当θθ=ππ4时，|PPAA|+|PPBB|有最大值2√2．23. 解：(Ⅰ)当aa=1时，不等式为|xx−2|−|2xx−1|>0，化为|xx−2|>|2xx−1|，两边平方得xx2−4xx+4>4xx2−4xx+1，解得−1<xx<1，因此不等式ff(xx)>0的解集为{xx|−1<xx<1}；(Ⅱ)因为BB⊆AA，所以当xx<0时，恒有ff(xx)<0，即2−xx−|2xx−aa|<0，2−xx<|2xx−aa|，因此2xx−aa>2−xx或2xx−aa<xx−2，得xx>aa+23或xx<aa−2，又因为BB⊆AA，所以aa≥2；(另法)由ff(xx)<0，得|2−xx|−|2xx−aa|<0，即|2−xx|<|2xx−aa|，两边平方，得(2−xx)2<(2xx−aa)2，所以3xx2+(4−4aa)xx+aa2−4>0，得[3xx−(aa+2)][xx−(aa−2)]>0，(1)当aa−2≥aa+23时，即aa≥4时，AA=�xx|xx<aa+23或xx>aa−2�，又BB⊆AA，所以aa+23≥0，所以aa≥−2，此时aa≥4；(2)当aa−2<aa+23时，即aa<4时，AA=�xx|xx<aa−2或xx>aa+23�，又BB⊆AA，所以aa−2≥0，所以aa≥2，此时2≤aa<4，综上可知，aa≥2．。
吉林省吉林市普通高中2020届高三上学期毕业班第一次调研测试数学(理)试卷(PDF版)(含答案)
C. 7 C. 2吉林市普通中学 2019-2020 学年度高中毕业班第－次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项z1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2.选择题答案使用28铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号：非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠，不耍弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮一、选择题z 本大题共12题，每小题 5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.设A={xl-2 < x ＜ 匀，B= {xix ＞ 町，则AnB=B. (3,+«>)2. 函数y=3叫x 宁的最小正周期是A. 2,rB.」1rC. -1rD. tr3. 已知向量画＝ (1,-2),b = (-2,3），则ii •b = A. -8 B. 4D. -1 4.己知函数／（x ）是奇函数，当x>O 时，／（x)=x(l- x ）；则当x<O 时，／（x ）等于D. x(l+x)5. 若数列｛a n ｝满足zA. -12aB. -1 D.理科数学试题第1 页〈共4 页〉C. -x(l+x)’且－咱，“理科数学试题 第2页 〈共4页〉f· π－M＝x若cos （α＋ 主）←空 ， 则co 山＝ 2 3 A. 2 3B. 13 C.13D.2 37.将函数 (x) = 2sin(2x ＋一,r）图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半， 纵坐标不 3,r变；再将所得图象向左平移一个单位得到函数 12 称轴中， 离原点最近的对称轴方程为g （功的图象， 在g(x ） 图象的所有对A. x ＝ －一,r .B. x=-,r .C. x ＝ －一5,r D.12 4248.己知a,b 是不共线的向量， AB ＝λa - 2b ,Ac = 2a + µb，λ，µe R ，若A 、 B 、C 三 点共线， 则λ，μ满足A. λ ＋µ＝ 2B.λ.µ＝ －1c.λ ＋µ＝ 4 D.9.= a x (a > 0且a 笋 1）在R 上为减函数， 则函数 y= l og 0 (1 X 1-1）的图象A.X10. 等比数列｛a ，. ｝的前n 项和为S ”， 若S 2n = 3(a, +a 3 +a 5 ＋℃：：： + a 2n -J )(n e N*),A.510 B. 255 127 D.6540OB满足 OA•OB=O ，点C 在 丘AOB 内， 且丘AO C=30。