子空间的和与直和
5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和. 教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程：一 子空间的的和 回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。
V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。
1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+∴12W W +是V 的子空间。
推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ=则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。
dim(12W W +)=dim ()1212dim dim W W W W +-⋂证明: 设12dim()0,W W r => 取12W W 的一个基为12{,,,},r ααα 因为12W W同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基121{,,,,,,},r s αααββ (2) 121{,,,,,,},r t αααγγ (3)这里12dim ,dim .W r s W r t =+=+ 下面证明1211{,,,,,,,,,}r s t αααββγγ (4)是12W W +的基.显然, 12W W +中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设112211110,r r s s t t a a a b b c c αααββγγ+++++++++= 则1122111112.r r s s t t a a a b b c c W W αααββγγ++++++=---∈+于是在F 中存在12,,,,r k k k 使得1111,t t r r c c k k γγαα---=++即11110.r r t t k k c c ααγγ+++++=由于121,,,,,,r t αααγγ是2W 的基, 所以1210,0.r t k k k c c =======于是 11110.r r s s k k b b ααββ+++++=由于121,,,,,,r s αααββ是1W 的基, 所以1210,0.r s k k k b b =======这样(4)线性无关, 从而(4)是12W W +的基. 从而12dim()W W r s t r s r t r +=++=+++- 1212dim dim dim().W W WW =+-对于0r =时, 仿照上面的证明, 把1W 和2W 的基拼起来就是和的基.推论：①dim(12W W +)≤dim 12dim W W +②当且仅当12W W ⋂={0}时()12dim W W +=dim 12dim W W + ③dim 12dim W W +＞n,则12W W ⋂{}0≠例1：设有向量组()()()0,3,0,3,1,1,0,2,1,2,0,1321=-==ααα()()1,3,1,4,1,0,1,121==ββ令()()12312,,,,V L V L αααββ==，求12V V +的维数和一组基 解：由于12V V +=()()21321,,,ββαααL L+=L ()2131,,,,ββααα故12V V +的维数就是向量2131,,,,ββααα的秩，而这个向量组的极大无关组也是12V V +的基。
将2131,,,,ββααα为列作矩阵施行初等行变换：B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-00000101011100000011110113031211000110111101130312110004132131γγ 由于秩（A ）=秩（B ）=3，且由B 知，第2，3，4列线性无关，故132,,βαα便是12V V +的一个基。
（杨子胥—下册—154）例2：()()()1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1321-===ααα()()0,1,1,0,1,0,2,121==ββ求()()21321,,,ββαααL L +和()321,,αααL ()21,ββL 的基和维数解：给出P 4的一组基：()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,14321εεεε而()2131,,,,ββααα=()4321,,,εεεεA 其中A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011111010012101011111,312111211223311221122112233112212312123433112212312(,,)(,),,(,,,,)(,,),L L W W x x x y y x x x x x x x y y A x x y y y y x x A x y y ααααββααααααββθαααββαααββεεεε∀∈∈∈=++=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪∴=++--== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛ - -⎝则且设故1212121232211,011001dim()2,22.W W θββααααα--⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭=-+-++解此方程组的基础解系：，故它的一组解基为，，或，二子空间的直和直和，余子空间定义2 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，如果 ①21W W V += ②{}021=W W121221V W W W W W W ⊕则称为与的直和，记为，且称是的余子空间。
结合维数定理：定理5.5.3. 当21W W +是直和⇔则21W W +∈α且分解成221121,,W W ∈∈+=ααααα是唯一的 证：“必要性”，若V W W V ∈∀⊕=α,21有21ααα+= W W ∈∈211,αα21ββα+= 2211,W W ∈=ββ则22112121)()(αββαθββαα-=-⇒=+-+111W ∈-βα 且211W ∈-βα，从而θβα=∈-2111W W 11βα=∴同理22βα=“充分性”（只须证{}021=W W ）1W ∈∀α21W W ∈∀α，则120W W αααα=+-∈-∈（），，，又000=+，10W ∈，20W ∈ 由表示法唯一，故0α=，0α-=即{}021=W W 故21W W V ⊕=定理5.5.4. 若21W W V +=，则下列命题彼此等价①21W W V ⊕=②21dim dim dim W W V +=③1W 的一个基与2W 的一个基，并起来是V 的一个基 证：运用循回证法①⇒②由21W W V ⊕+知{}0)dim (02121==W W W W 故由维数定理，得21dim dim dim W W V +=②⇒③s r s W r W βββααα,,,,,,,dim ,dim 212121 和且设==分别是的基与21W W ，那么，),,,,(),,,(),,,(11212121s r s r L L L W W V ββααβββααα =+=+=由于,dim s r V +=于是r αα,,1 ，s ββ,,1 为V 的基。
③⇒①设s r βββααα,,,,,,,2121 分别为1W 与2W 的基，有s r βββααα,,,,,,,2121 是V 的基，对21W W ∈∀α有1W ∈α且2W ∈α令s s r r b b a a ββααα++=++= 1111即01111=---++s s r r b b a a ββαα s r ββαα,,,,11 ，线性无关 011======∴s r b b a a0=∴α 故{}021=W W ，又21W W V += 故21W W V ⊕=三.余子空间的确定⑴.1V 是n 维向量空间V 的一个子空间，且t V =1dim ，则存在余子空间2V 使21V V V ⊕= 证：设t ααα ,,21是1V 的一个基，则),,,(211t L V ααα =且t V =1dim ，将t ααα,,,21 扩充为V 的一个基，使),,,,,,(121t n t L V -=ββααα 作),(112-=n L V ββ ，于是t n V -=2dim ，而)dim (dim dim 2121V V V V +==0)dim (21=∴V V故2V 是1V 的余子空间，21V V V ⊕=∴例：已知)0,0,2,1(),0,0,0,1(21==αα，),(211ααL V =，求1V 的余子空间2V 使421R V V =⊕。
解：以432121,,,,,εεεεαα为列作矩阵，对A 施行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000010000001020000111显然4321,,,εεαα线性无关，设),(432εεL V =，故2V 为所求。
⑵1V 是n 维线性空间V 的子空间，则1V 的余子空间不唯一。
证：（另外找出1V 的余子空间）设t ααα,,,21 是1V 的一个基，将其扩充为V 的一个基t n t -ββααα,,,,,,121 于是),,(12t n L V -=ββ 为1V 的余子空间。
子空间的直和
设 V1 + V2 ，它有两个分解式
1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. = 1 + 2 = 1 + 2 ，
于是
( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 ,
其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件，有
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
1) W Vi 是直和； 2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
V
j i ;
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
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子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
6.7子空间的直和
§7. 子空间的直和一 直和的定义引入设 为线性空间V 的两个子空间，由维数公式 有两种情形：此时 即， 必含非零向量. 此时 不含非零向量，即 情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和一、直和的定义设 为线性空间V 的两个子空间，若和中每个向量 的分解式是唯一的，和 就称为直和，记作 注: ① 分解式 唯一的，意即 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12121)dim()dim dim V V V V +<+12dim()0,V V > 12V V12122)dim()dim dim V V V V +=+12dim()0,V V = 12V V {}120V V = 12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈12.V V ⊕12,V V a 12V V +12ααα=+若有 则 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，，3R 的子空间这里， 在和 中，向量的分解式不唯一，如 所以和 不是直和. 而在和 中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对 都只有唯一分解式：故 是直和.二、直和的判定1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即若则必有 证：必要性. 是直和,的分解式唯一. ,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈1122,.αβαβ==11222333(,),(,),()V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===12V V +(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)=+-=+12V V+13V V +(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)=+12313(,,),a a a V V α∀=∈+123(,,0)(0,0,).a a a α=+12V V +12V V +1211220,,V V αααα+=∈∈120.αα==12V V + 12,V V αα∴∀∈+1211220,,V V αααα+=∈∈若而0有分解式 充分性. 设 ，它有两个分解式 于是其中由零向量分解成唯一，且有即 的分解式唯一. 故 是直和.2、和 是直和 证：“ ” 若 则有 即 是直和.“ ” 任取 于是零向量可表成由于 是直和，零向量分解式唯一，故3、和 是直和证：由维数公式+0=00,120,0.αα∴==,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈+0=00,1122,αβαβ==1211220,,.V V αααα+=∈∈{}120V V ⇔= .{}12120V V αα=-∈= 12,V V α∈ 120(),,.V V αααα=+-∈-∈0.αα∴=-={}120.V V = 1212dim()dim dim V V V V ⇔+=+12V V α∈+1122()()0αβαβ-+-=111222,V V αβαβ-∈-∈11220,0.αβαβ-=-=12V V +12V V +⇐120,αα∴==12V V +⇒12V V +12V V +有，是直和. （由2、得之）总之，设 为线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和 2）零向量分解式唯一3） 4） 4、(定理10) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则必存在一个子空间W ，使称这样的W 为U 的一个余子空间. 证：取U 的一组基把它扩充为V 的一组基则 注余子空间 一般不是唯一的(除非U 是平凡子空间).如，在3R 中，设 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 1212dim()dim dim V V V V +=+12dim()0V V ⇔= {}120V V ⇔= 12V V ⇔+12,V V12V V +{}120V V = 1212dim()dim dim V V V V +=+.V U W =⊕,,,12m ααα ,,,,,,121m m n ααααα+ ,,,12(),m m n W L ααα++= 令.V U W =⊕1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)ααββ====121122(,),(),(),U L W L W L ααββ===令则 但 5、设 分别是线性子空间 的一组基，则是直和 线性无关. 证：由题设，若 线性无关， 则它是 的一组基. 从而有是直和.反之,若 直和，则从而 的秩为r ＋s .所以 线性无关.三、推广 多个子空间的直和1、定义 都是线性空间V 的子空间，若和中每个向量 的分解式 是唯一的，则和 就称为直和，记作31212,R U W U W W W =⊕=⊕≠;1212,,,,,,r sεεεηηη 12,V V 12V V +1212,,,,,,,r s εεεηηη⇔ ,,1121(,),dim r V L V r εεε== 2122(,,,),dim s V L V s ηηη== ,,121212(,,,,,).r s V V L εεεηηη∴+= 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12V V +1212dim()dim dim V V r s V V +=+=+12V V ∴+12V V +1212dim()dim dim V V V V r s +=+=+1212,,,,,,,r s εεεηηη 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12,,,s V V V 121s i s i V V V V ==+++∑ ,,121,2,,s i i V i sααααα=+++∈= 1si i V =∑12s V V V ⊕⊕⊕ α2、判定设 都是线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和2）零向量分解式唯一，即3） 4） 例1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与② 解空间：② 证明: 证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系 12,,,sV V V ,120,s i i V αααα+++=∈ 0,1,2,,i i sα== 必有1si i W V ==∑{}0,1,2,,i j j i V V i s ≠==∑ 1dim dim sii W V ==∑①120n x x x +++= 12n x x x === 12n P V V =⊕121(1,0,,0,1)(0,1,,0,1)(0,0,,1,1)n εεε-=-=-=- ,,,1121().n V L εεε-∴= 12n x x x === 121000n n n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ (1,1,,1)ε=考虑向量组由于线性无关，即它为n P 的一组基.又 例2、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维 子空间的直和.证：设 是 n 维线性空间V 的一组基,则而得证. 小结：直和的定义与三个判定方法。
6[1].7 子空间的直和
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1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
子空间的直和
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明 取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明 定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
线性子空间的和与直和
有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
back
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定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
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线性空间与欧几里得空间
back
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定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
back
20
proof
10
命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
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线性空间与欧几里得空间
back
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命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
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线性空间与欧几里得空间
back
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引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
7
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的直和，补子空间
proof
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线性空间与欧几里得空间
proof
9
多个线性子空间的直和
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线性空间与欧几里得空间
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
§7子空间的直和
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
多个子空间的直和的等价条件
多个子空间的直和的等价条件好嘞，今天咱们聊聊数学里一个挺有意思的话题——多个子空间的直和的等价条件。
听起来复杂？别急，慢慢来，我会把它讲得轻松点。
想象一下，你在家里，厨房、客厅、卧室，这些都是你生活的不同空间。
每个空间都有自己的功能和特色，但它们又共同构成了你这个家的整体。
这个概念放到数学里也差不多。
好了，咱们进入正题。
多个子空间的直和其实就是把几个空间拼在一起，形成一个更大的空间。
这就像把几个乐器放在一起，弹出美妙的和声。
可是，问题来了，不是所有的子空间都能“合得来”。
比如说，如果你有两个子空间，一个是“喜欢安静”的小书房，另一个是“热爱派对”的客厅，怎么拼在一起才能不打架呢？这就是我们要解决的问题。
直和有个基本条件，那就是这些子空间的交集只能是零空间。
简单说，就是它们不能有重叠。
如果小书房和客厅里都放了一个沙发，那可就麻烦了。
因为一张沙发不可能同时在两个地方，对吧？这就叫做“相交为零”，也就是说，咱们得确保每个子空间里的元素都是独一无二的，这样拼起来才不会出错。
接下来还有一点，如果你能找到一些基底，能把整个空间表达出来，那就是另外一回事了。
这就好比你把每个房间的特色都写在纸上，列出每个房间最重要的家具。
只要你能把这些家具合理地摆放到新房间里，就能重新创建出一个和谐的家。
这样的话，任何一个空间都能用这些基底中的元素表示出来，就没有什么问题了。
这时候，你可能会问，咱们怎么确认这些条件呢？其实也不难。
你可以尝试把空间里的元素拿出来，做个小实验。
就像做菜一样，先把所有材料都准备好，然后看看哪些能混合，哪些不能。
你可以找一些特殊的元素，试着把它们组合在一起，如果最终形成的结果还在这个大空间里，那就说明条件成立。
别忘了，数学可不止是冷冰冰的公式，有时候也需要点创造力。
就像你在厨房里试验新菜谱，有时候成功，有时候失败，这都是正常的。
多个子空间的直和就像是一次大餐，只有每个部分都协调，最后才能上桌，给大家带来美好的享受。
子空间的和不是直和的例子
子空间的和不是直和的例子
以下是 9 条关于子空间的和不是直和的例子：
1. 想一想平面上两条相交的直线所张成的子空间，这可不是直和呀！比如房间里的两面墙，它们有一个共同的交界线，这就像子空间的和不是直和一样。
2. 音乐中的不同音符组合，有时候几个音符凑在一起形成的子空间可就不是直和呀！难道不是很像不同乐器发出的声音混合起来，不是简单的直和那样单纯。
3. 再看看调色板上的几种颜色混合，哎呀，那混合出的颜色所对应的子空间可不是直和呀！就如同把红色和蓝色混在一起得到紫色，这可不是红色子空间和蓝色子空间的直和呢。
4. 你瞧那复杂的人际关系网，每个人的圈子叠加起来形成的子空间绝不是直和呀！这和几个人的小团体交织在一起的情况不是很相似吗？
5. 回忆一下化学反应中各种物质的作用，产生的新物质对应的子空间可不是直和哦！就好比几种物质搅和在一起发生奇妙变化，可不是直和那么简单明了。
6. 观察一下车水马龙的街道上各种车辆的行驶轨迹，那形成的子空间可不是直和呀！这多像各种车辆的路线交织在一起，复杂得很呢。
7. 想想大脑中不同的思维模式拼凑起来的子空间，可不是直和呀！这不就如同各种思绪在脑子里混战，哪那么容易是直和。
8. 看看拼图游戏中那些拼图碎片组成的画面，这其中的子空间就不是直和嘛！不就类似于把各种形状的碎片凑在一起形成一幅复杂的图。
9. 思考一下星空里那些相互交织的星系，它们形成的子空间绝对不是直和呀！这难道不像宇宙中各种力量相互作用，不是简单相加能说清楚的。
我的观点结论就是：子空间的和不是直和的情况在生活中真是无处不在呀，得仔细去体会和感受呢！。