证明不等式的13种方法
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
不等式的证明的方法介绍
不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围. 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.一、不等式的证明方法1．比较法：（1）作差法比较：.作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知2．分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.3．综合法：利用不等式的性质和已经证明过的不等式以及函数的单调性导出特征不等式的方法叫做综合法，概括为“由因导果”。
综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以在实际证题时，往往分析法分析用综合法写出。
例3设a,b,c都是正数，求证：4．反证法：正难则反.证明步骤：假设结论不成立，由此出发进行推理，最后导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一定成立。
5．放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
不等式求解方法归纳
一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性）性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性）性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则）n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（开方法则） 3、常用不等式（1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2 （2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等（3）2|1|≥+x x （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0 （5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。
1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+22。
证明：abb a b a b a ab b ab a b a b a b a a b 22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a a b b a +≥+22。
2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y x a x +>+。
解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y x a x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是ab ay ab bx >，即,b y a x >而由.,11y x b a >>，知by a x >成立，原式得证。
不等式的证明
ab 证明：要证| | ＜1 1 ab 只需证|a+b|＜|1+ab|
ab 例3：|a|＜1，|b|＜1，求证：| 1 ab |＜1
只需证|a+b|2＜|1+ab|2 展开得 a2+2ab+b2＜1+2ab+a2b2 只需证 a2+b2＜1+a2b2 只需证 a2+b2－1－a2b2 ＜0 即证（a2-1)(1-b2）＜0 ∵|a|＜1，|b|＜1 ∴a2-1＜0，1-b2＞0 （a2-1)(1-b2）＜0
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不宣的行规。为什么？原因只有一个，甲醛太便宜了！”„„„2天灾突变 ---突遇“非典”|正当花开人充满信心，准备再展往日辉 煌的时候，一场突如其来的飞来横祸将花开啤酒又一次抛入了险境。还记得那场可怕的、横扫全国的传染病——非典型肺炎（下面简 称“非典”）？地球人肯定都清楚地记得，谁也无法想像它会把全社会搅动成如此惨烈的、人人惊慌的模样！几年前爆炒兰花时，100 元钱的铃兰能“呼呼”地窜到40多万，人心都疯了。这一次，人确实都害怕了，没有那一次比这个更害怕的！仿佛地球马上就要毁灭 了，好像世界到了末日了似的，马启明刻骨铭心地记得那一场场景象。这是天灾！不是人祸。2003年初，当电视新闻首次报道，我国 广东省首例确诊的传染性疾病——“非典”时，马启明只是知道世界上又添了一种传染病叫“非典”，当个新闻听一下也就拉倒，心 想广东离江苏省海涛州绿溪镇太遥远了，“非典”不一定就能传到江苏，并没有在意，“非典”也只把它作为闲聊时的一个话题一带 而过了。与此同时花开啤酒单位员工们都忙着加班加点地生产啤酒，梦想着月底的工资和奖金又要拿到手，该如何花销？马启明从新 闻上看到，4月3日至4月8日世界卫生组织官员到达广东佛山考察，举行新闻发布会，到广州市第八人民医院考察，向外国驻广州领事 馆总领事们通报广东情况、世界卫生组织官员发布“取消到广东旅游不明智”等等一系列非正常的行动。紧接着在广东考察工作的** 总书记4月１４日上午来到广东省疾病预防控制中心慰问，深入了解防治 “非典”型肺炎的情况，特别指出：把防治“非典”型肺炎 的工作，作为关系改革发展稳定大局、关系人民群众身体健康和生命安全的一件大事，切实抓紧抓好，把防治“非典”提到政治的高 度来看。政治的高度，马启明觉得政治的高度就是要多大就有多大，一切都要给它让路，事态真的有这么严重吗？很快电视、报纸上 有关“非典”的报道越来越多，马启明感到事情越来越不对劲。 “隔离”、“消毒”、“死亡”成了每个人关注的重点，人人出门带 着口罩，公共娱乐场所关闭，特别是江苏也发现“非典”病人时，特别是啤酒销量锐减，他当初的预感被现实残酷地撕成了碎片。4月 30日单位特地召开了一次“非典”专题会，会上通报的情况，把马启明当时就给吓傻了,吓呆了，当时的情景到现在马启明仍历历在目。 为保持空气畅通，会议室的门窗都大开着。从窗口望出去，天气阴沉沉的，风“呜呜呜”地像魔鬼一样疯狂抽打着室外的行道树，路 上几乎看不到来往的车辆和行人。马启明的心里莫明地恐惧、烦燥、紧张起来，他的心脏似乎要从胸腔里蹦跳出来了一样。会议由赵 树春主持，他神情严肃地讲道：“各位，这场突
高考数学(苏教,理科)复习课：第十六章 不等式选讲第二节 不等式的证明及柯西不等式
＝131＋3＋ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac2
≥131＋3＋2
ba·ab＋2
＝13×(1＋9)2＝1030.
bc·bc＋2
ac ·ac 2
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立． [类题通法]
分析法与综合法常常结合使用，实际是以分析法为主，借
助综合法，使证明的问题明朗化．
[针对训练] 已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－ c2－ab<a<c＋ c2－ab. 证明：法一(分析法) 要证c－ c2－ab<a<c＋ c2－ab， 即证－ c2－ab<a－c< c2－ab， 即证|a－c|< c2－ab， 即证(a－c)2<c2－ab， 即证a2－2ac<－ab. 因为a>0，所以只要证a－2c<－b，
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的 条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说 明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩
小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，
[典例] (2014·南通模拟)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
则3a1＋2＋3b1＋2＋3c＋1 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式知：
3a1＋2＋3b1＋2＋3c＋1 2[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋
2)]≥
3a1＋2×
3a＋2＋
3b1＋2×
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
基本不等式的20种证明方法
基本不等式的20种证明方法
基本不等式“基本”在哪里？你认为怎样得引入最能体现他的本质？
（1）做差证明
（2）分析法证明
（3）综合法证明
（4）排序不等式
根据排序不等式所说的逆序和小于等于顺序和，便能得到
化简得
（5）函数证明
我们对原函数求导,并令导数等于零。
求的最小值
得出
（5）指数证明
首先这里要用到两个梯形的面积公式。
一个是大家小学都学过的
易得
进而有
进一步有
指取对有
（6）琴生不等式证明
取 y=lnx
由琴生不等式得到
进而有
（7）无字证明（Charles D. Gallant）
（8）无字证明（Doris Schattschneider）
（9）无字证明（Roland H. Eddy）
（10）无字证明（Ayoub B. Ayoub）
（11）无字证明（Sidney H. Kung）
（12）无字证明（Michael K. Brozinsky）
（13）无字证明（Edwin Beckenbach & RichardBellman）
（14）无字证明
（15）无字证明（RBN）
（16）无字证明
进而有
（17）无字证明
进而有
（18）无字证明
有
（19）构造函数证明
由
得
（20）构造期望方差证明
由
得
另外还有向量法，复数法，积分法等，均值定理在数学内外有广泛得运用，不仅可以推广，还可以联系多个领域，一个简单结论证明的背后往往可展示引人人胜的各种思路！。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
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m m m m n 1 a b c . a n b n cn n1
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证明不等式的 13 种方法
咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难 度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知 a, b, c 0 ，且 a b c 1 ，求证：
x2 y2 y2 z 2 z 2 x2 x2 y2 z 2
1 . 16
4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例 4 已知正数 x, y , z 满足 x y z 3 ，求证：
y x z 3 . 2x 3 2 y 3 2 y 3 5
12．判别式法 在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式. 例 13 对于任意实数 x,y,z,均有
x
2
1 y 2 1 z 2 1
3 2 x y z . 4
当且仅当 x y z
1 时，不等式里的等号成立. 2
13．不等式法 一些重要不等式， 诸如柯西不等式、 均值不等式等等， 都是证明一些不等式的有效工具. 例 14 在 ABC 中，求证：
. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例 5 已知 a, b, c 为非负实数，且 a b c 1 ，求证： ab bc ca 3abc 6．抽屉原理
1
1 . 4
在桌上有 3 个苹果，要把这 3 个苹果放到 2 个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会 有一个抽屉里面放 2 个苹果. 这一简单的现象， 就是人们所说的“抽屉原理”. 巧用抽屉原理， 证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6 （ 《数学通报》2010 年 9 期 1872 题）证明：在任意 13 个实数中，一定能找到两个 实数 x, y ，使得 y
x 0.3 . 1 0.3 x
7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例 7 已知 a、b、c R ，a、b 不全为零，求证：
a2ຫໍສະໝຸດ b 2 ac a 2 b 2 bc
2
2
a b
2
2
a b c .
2
8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例 8（数学问题 1613，2006，5 ）设 a , b, c R , 0, 求证：
9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例 9 已知正数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
2 3 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 1 4
. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到 好处. 例 10 已 知 数 列
3 3 13 27 x 13 x x 11.
2
例 12
已 知 x1 0, x1 1, 且 xn 1
2 xn ( xn 3) (n N * ) ， 求 证 ： 数 列 xn 对 任 意 2 3 xn 1
n N * 都满足 xn xn 1 ，或满足 xn xn 1.
2 a 2 b 2 c 2 9abc 1.
2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设 a , b, c R ，试证：
a2 b2 c2 a b c . ab bc ca 2
3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例 3 设 x, y , z 0, x y z 1 ，求证：
sin 2
A B C 3 sin 2 sin 2 . 2 2 2 4
例 15
(2010 年山东省高中数学预赛试题) 设非负实数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
1 9abc ab bc ca (1 9abc). 4
例 16 设 a, b, c R ，且 abc 1 ，正整数 m, n 满足 n 1 m ，求证：
an
中 ， 首 项 a1
3 * ， 且 对 任 意 n 1, n N ， 均 有 2
an 1 an 1
1 4 an 2
，求证：
n 1
4
2
3 an 3 2 n 1 . 2
11．函数方法 构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式. 例 11 （2009 年全国高中数学联赛第一试第 15 题改编）求证：