最新中考复习课件-二次根式教学讲义ppt课件
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
中考总复习——二次根式PPT课件
【例3】 求代数式的值.
(1) (2) 若x2-4x+1=0，求 解:(1)
典型例题解析
的值.
(2)由x2-4x+1=0
x+
-4=0
x+
=4.
∴原式=
课时训练
1. (2004年· 哈尔滨)函数 变量x的取值范围是 3<x≤5 2. (2004年· 宁夏)计算： 3.若 中，自
.
的结果是 12 。 。
4)
的有理化因式是 的有理化因式是
典型例题解析
【例1】
已知
A. B. C. D.
化简后为（ B ）
典型例题解析
【例2】 计算：(1)
(2)
解：(1)原式=
(2)原式=(10a２×5÷15)(
=
×
×
)=
二次根式的乘除运算可以考虑先将被开 方数进行乘除法计算，再化简二次根式， 而不一定要先将二次根式化成最简二次 根式再约分.
思考题
(2004年· 山西省)观察下列各式：
请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)
的代数式表示出来：
8.在 、 、 . 、 、 中与
的 ( D)
是同类二次根式的是
课时训练
9. (2004年· 沈阳)下列各式属于最简二次根式的是 ( B )
A. B. C. D.
10. (1)化简(a-1)
(2)当x＞4时，化简
的结果是
.
2x-8 .
(3)(2002年· 天津市)若1＜x＜4时，则 3 。 = 11.（2004 ·陕西）计算：
2.二次根式的乘法 (1)公式 = (a≥0，b≥0). (2) 二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运 算律在实数范围内仍可使用。
备战 中考数学基础复习 第4课 二 次 根 式课件ppt（26张ppt）
二、二次根式的运算 1.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含___分__母____. (2)被开方数中不含___能__开__得__尽__方____的因数或因式.
2.二次根式的乘除:
(1) a b =____a_b__(a≥0,b≥0).
a
(2) a =_____b__(a≥0,b>0).
考点2二次根式的化简及运算 例2.(2020·山西)计算:（ 2 3）2 24. 【解析】原式= 2 2 6 3 2 6 5.
变式1.(2020·青岛)计算: ( 12 4 ) 3.
3
【解析】原式= (2 3 2 3 ) 3
3 4 3 3 4.
3
变式2.(2020·威海)计算 3 12 （ 8 1）0. 【解析】 3 12 （ 8 1）0
【学前检测】
1.(2020·宁波)二次根式 x 2 中字母x的取值范围是 (
A.x>2
B.x≠2
C.x≥2
D.x≤2
2.(2020·台州)无理数 10 在 ( B )
A.2和3之间
B.3和4之间
C)
C.4和5之间
D.5和6之间
3.下列二次根式是最简二次根式的是 ( D )
A. 1 2
B. 12 C. 8 7
二次根式的整体思想 例4.已知x= 3 +1,y= 3 -1,求下列各式的值: (1)x2+2xy+y2;(2)x2-y2.
【解析】因为x= 3 +1,y= 3 -1, 所以x+y=2 3 ,x-y=2. (1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2 3 )2=12; (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=4 3 .
初三复习5-二次根式课件
初三复习5-二次根式 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
a,a<0 • ab a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
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拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
aa
b
b
(a0,b0)
二次根式的加减：
类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
ห้องสมุดไป่ตู้
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原 来所学的乘法公式（如(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2± 2ab+b2 ） 仍然适用.
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。
(2)由
x x
3200xx
2 3
∴x＞3时，
x x
2 3
在实数范围内有意义.
(3)由
x50 x 3x 0x
5 3
∴-5≤x＜3时，
x x
5 3
在实数范围内有意义.
算一算：
2
2
2
1 2
92
3 4
2
2 1 3 2 3
2
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 abab ( a 0,b0
二次根式除法法则
3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长
60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
B
60
25 AB 602802
60
25
15
10000 15
100
25
15
60
25
15
60
A
A
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
(1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2，b2
4 ∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a 2 a 化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
二次根式的除法公式：
a a a0,b0
b
b
a a a0,b0
b
b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b
a b
b b
ab b2
ab
b2
ab b
(a≥0，b>0)
怎样化去分母中的根号呢？
a b
a b b b
ab b
(a≥0，b>0)
注意：进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简。
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算： (3 484 27)2 3
解： (3 原 43 式 -433)230；
例3 (1)计算：2 2 （1）0 2
(2)计算 1 22s5i6 n0 2(52)0
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
2.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
1.若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简
|3x+ x2| 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x
C.-2x
D.2x
2.若方程 2 3x 60，则 x____12__2_
中考复习课件-二次根式
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
注意：被开方数大于或等于零
➢ 典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2 x (2) x2;(3) x5
x3 3x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
解 (1)原 ： 式 22-1 232-1； (2)原式 23-2 3-1 3-1. 2
【例4】 求代数式的值.
若x2-4x+1=0，求
x2
1 x2
5
的值.
解:
由x2-4x+1=0x+
1 x
-4=0x+ 1
x
=4.
∴原式= (x1)22542793
x
1.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分.
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这
个等解腰: 三(角1)形∵的|面2积-a.|≥0, √ b-2≥0
解:∴若三a角为形腰的,b面为而积底|2 为,2此a -时a|012底+ √，边bb2上-22的=1高00为1（ 2）2 11
若a为底,b 为a腰,此2时， 底b边2上的高为 2 2原 2式 2 (2 a2)24 b21 2( 7 2 2 21 2)2422
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC