16.1二次根式课件最新版ppt课件
合集下载
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
解：由 X-2 ≥0， 得x≥ 2
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
沪教版(上海)八年级上册数学 16.1二次根式 课件(共17张ppt)
母a的取值范围：
1 a 1
2 1
1 2a
3 a 32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 (3) 4x2 (5) x3
(2) 3x
(4) 1 x
(6)
1 x2
1.若
2.已知a.b为实数，且满足
数a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个数的算术平方根就是它的正的平方根。 0的算术平方根平方根是0
用
(a≥0)表示。
S
1. 圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
2.如图所示的值表示正方形的
பைடு நூலகம்
面积，则正方形的边长是 10
10
3.一个物体从高处自由落下，落到地面 所用的实践t（单位：s)与开始落下的高 度h（单位：m)满足关系h=5t2.如果用含 h的式子表示t,则t=_______
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ 表示一些正数的算术平方根．
a叫被开方数.
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为 3 ＜0，所以
当 x 3 时，原式= | 3 1 |
|3 |= －（3 ）= 3
= 3 1 所以所，以(，3当)2x3. 3 时，元二次根式
的值是 3 1 .
22
跟踪练习
将下列各式化简：
1
1
2
2
( 23) x22xyy2(x﹤y)
解:原式 1 2
解:原式 (xy)2
第十六章 二次根式 16.1.1二次根式
数学
初二
1
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。 2
x5
14
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
快 速
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
x0
(5) x3
x0 ( 6 )
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x1,且x2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x21x为全体实15 数
x
? 一般地,二次根式有下面的性质:
(1 2)
xy
Qxy
2 1
x y 0 原 式 （ xy)
yx
23
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
11
火眼金睛
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？ a2 2a2 ⑷ x (x 0)
a9
⑸ m32
⑹ a1 (a3)
12
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1)
x
x
1
5
5
(2) 1 x2
(3) 1x 3x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5
∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
a2
=∣a
0
(a 0)
∣
a ( a 0 )
19
口诀
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
2
a a,(a0)
平方在外面 直接去根号
（2）
a ( a >0 )
a 2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
平方在里面
夹上绝对值
分类来讨论
20
大 (1 )( 2 ) 2 2
家
一 ( 2 )( 2 ) 2 2
表示t，则t为 h 。
5
4
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
h
b3
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a0) 的式子叫做二次根式 .
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ” 5
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 a ( a 0 ) 的
式子做叫二次根式。
6
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
➢ a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ➢ a可以是数,也可以是式.
➢ 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 9
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 2 2 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 2 2 为非负数; (2) 含
有二次根号，所以 2 2 是二次根式．
(3) 代数式 吗?
a2(a2), 1(x0) 是二次根式 x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
10
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
0 2 _ 0_ _ ,
| 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与 | a | 有什么关系?
a a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 ____.
一般地,二次根式有下面的性质:
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
a (a 0)
17
( a)2与 a2有区别吗 ?
点此播放讲解视频 18
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
a 2 根号a的平方 a2 先开方,后平方
a 2 根号下a平方 a 2 先平方,后开方
3.从取值范围来看：
2
a
a≥0
4.从运算结果来看:
a 2=a
a 2 a取任何实数
辨析总结
a (a 0)
复习
1、如果 x2 4，那么 x±2 ；
2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
3、如果 x2 a(a0)， 那么 x a 。 x
3
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）；
3、关系式中h 5t2，用含有h的式子
a 2a (a0) 1149a765
a
2
2
快 速 判
1
32__3____,2
2 7
___72 ___,3
213
__2 __1____, 3
断
2
4
52___5_____,5
2 3
__ ___2 ___. 3
16
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
合作学习
5 2 _ 5_ _ ,
7
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
? 8
1. a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义?
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
起 来
(3) (
2 ) 2 -2
分 辨
(4)
( 2 ) 2 |-2|=2
( 5 ) 2 2 |2|=2
(6) (2)2 -|-2|=-2 21
例2 求下列二次根式的值：
例题
(1) (3)2;
(2) x22x1,其 中 x3.
解：( 1解) ：((2 3)x)2 2 2x |3 1| (x1)2| x 1 |
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x 2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1x 3x 有意义.
13
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
x5 0
解：由题意得
x
1
5
0
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时， 1 在实数范围内有意义。
当 x 3 时，原式= | 3 1 |
|3 |= －（3 ）= 3
= 3 1 所以所，以(，3当)2x3. 3 时，元二次根式
的值是 3 1 .
22
跟踪练习
将下列各式化简：
1
1
2
2
( 23) x22xyy2(x﹤y)
解:原式 1 2
解:原式 (xy)2
第十六章 二次根式 16.1.1二次根式
数学
初二
1
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。 2
x5
14
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
快 速
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
x0
(5) x3
x0 ( 6 )
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x1,且x2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x21x为全体实15 数
x
? 一般地,二次根式有下面的性质:
(1 2)
xy
Qxy
2 1
x y 0 原 式 （ xy)
yx
23
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
11
火眼金睛
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？ a2 2a2 ⑷ x (x 0)
a9
⑸ m32
⑹ a1 (a3)
12
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1)
x
x
1
5
5
(2) 1 x2
(3) 1x 3x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5
∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
a2
=∣a
0
(a 0)
∣
a ( a 0 )
19
口诀
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
2
a a,(a0)
平方在外面 直接去根号
（2）
a ( a >0 )
a 2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
平方在里面
夹上绝对值
分类来讨论
20
大 (1 )( 2 ) 2 2
家
一 ( 2 )( 2 ) 2 2
表示t，则t为 h 。
5
4
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
h
b3
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a0) 的式子叫做二次根式 .
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ” 5
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 a ( a 0 ) 的
式子做叫二次根式。
6
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
➢ a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ➢ a可以是数,也可以是式.
➢ 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 9
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 2 2 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 2 2 为非负数; (2) 含
有二次根号，所以 2 2 是二次根式．
(3) 代数式 吗?
a2(a2), 1(x0) 是二次根式 x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
10
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
0 2 _ 0_ _ ,
| 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与 | a | 有什么关系?
a a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 ____.
一般地,二次根式有下面的性质:
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
a (a 0)
17
( a)2与 a2有区别吗 ?
点此播放讲解视频 18
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
a 2 根号a的平方 a2 先开方,后平方
a 2 根号下a平方 a 2 先平方,后开方
3.从取值范围来看：
2
a
a≥0
4.从运算结果来看:
a 2=a
a 2 a取任何实数
辨析总结
a (a 0)
复习
1、如果 x2 4，那么 x±2 ；
2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
3、如果 x2 a(a0)， 那么 x a 。 x
3
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）；
3、关系式中h 5t2，用含有h的式子
a 2a (a0) 1149a765
a
2
2
快 速 判
1
32__3____,2
2 7
___72 ___,3
213
__2 __1____, 3
断
2
4
52___5_____,5
2 3
__ ___2 ___. 3
16
2 2 _ 2_ _ ,
| 2 | _2_ _ ;
合作学习
5 2 _ 5_ _ ,
7
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
? 8
1. a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义?
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
起 来
(3) (
2 ) 2 -2
分 辨
(4)
( 2 ) 2 |-2|=2
( 5 ) 2 2 |2|=2
(6) (2)2 -|-2|=-2 21
例2 求下列二次根式的值：
例题
(1) (3)2;
(2) x22x1,其 中 x3.
解：( 1解) ：((2 3)x)2 2 2x |3 1| (x1)2| x 1 |
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x 2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1x 3x 有意义.
13
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
x5 0
解：由题意得
x
1
5
0
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时， 1 在实数范围内有意义。