2021年高一下学期数学期末考试试卷
2021年高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019高三上·广东月考) 设等差数列前项和为，若，，则
（）
A . 18
B . 16
C . 14
D . 12
2. （2分）不等式的解集为（）
A . [-5,7]
B . [-4,6]
C .
D .
3. （2分）在ABC中，a,b,c分别为的对边，a上的高为h，且a=3h，则的最大值为（）
A . 3
B .
C . 2
D .
4. （2分） (2019高二上·会宁期中) 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋
a5＋a6=8，则S12=
A . 40
B . 60
C . 32
D . 50
5. （2分）已知a，b，c∈R，且a＜b，则（）
A . a3＞b3
B . a2＜b2
C .
D . ac2≤bc2
6. （2分） (2017·盘山模拟) 等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7 ，则a5=（）
A .
B .
C . 20
D . 40
7. （2分）不等式的解集为（）
A . {x|x<-2或x>3}
B . {x|x<-2或1<x<3}
C . {x|-2<x<1或x>3}
D . {x|-2<x<1或1<x<3}
8. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该
棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）
A . 2π
B . 4π
C . 8π
D . 10π
9. （2分）如果等差数列中，，那么等于（）
A . 21
B . 30
C . 35
D . 40
10. （2分） (2017高三上·郫县期中) 设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、双空题 (共4题；共5分)
11. （1分） (2019高一上·北京期中) 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________.
12. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求{an}的通项公式________
13. （1分） (2017高二下·宜春期末) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，，则b=________．
14. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.
三、填空题 (共3题；共3分)
15. （1分）(2017·成都模拟) 如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为________．
16. （1分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．则整数m的值为________
17. （1分）(2017·扬州模拟) 直角△ABC的三边a，b，c，满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，则△ABC面积的最大值是________．
四、解答题 (共5题；共25分)
18. （5分） (2016高三上·六合期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn= ．求n．
19. （5分） (2018高一下·包头期末) 设的内角，，所对的边分别为，，，且 .
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求面积的最大值.
20. （5分） (2016高一下·南充期末) 若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（﹣2）的范围．
21. （5分） (2017高二上·汕头月考) △ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若 =4，，求的值。
22. （5分） (2016高二上·和平期中) 已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn ．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、双空题 (共4题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、填空题 (共3题；共3分)
15-1、
16-1、
17-1、
四、解答题 (共5题；共25分) 18-1、
18-2、
18-3、
19-1、19-2、
19-3、
20-1、
21-1、21-2、
22-1、22-2、
22-3、
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2021年高一数学下学期期末考试试卷
2021年高一数学下学期期末考试试卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin570°的值是 （ ）A ．B ．－C ．D ． －2．已知，，则＝（ ）A.－B.C.D.3．．在区间上随机取一个，的值介于与之间的概率为（ ）(A) (B) (C) (D)4.下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是( )A. B. C. D.5.与向量平行的单位向量为（ ）.A. B.C.或D.或6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于 ( )．A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－2478.已知为平面上不共线的三点，若向量，，且·，则·等于（ ）.A ．-2B ．0C ．2D ．2或-29．已知，则( )A ．B ．CD ．10.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有( ).A.向右平移B.向右平移C.向左平移D.向左平移11．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形12.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2,则的最小值等于( )A. B. C.2 D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，，则的值为________．14、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=,则=15．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________. 16.若││,││, 与的夹角为，则•的值是三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知，，且向量与不共线.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值.18（12分）袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球.（1）从袋中任取2个小球，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；（2）从袋中有放回的取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x ，第二次为y ，求点满足的概率．19．（12分）函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是，在一个周期内图象最高点与最低点横坐标差是，又：图象过点，求（1）函数解析式，（2）函数的最大值、以及达到最大值时的集合；20．（12分）已知α为锐角，且sin α＝45. (1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值； (2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．21. （12分）在△ABC中，角所对的边分别是，且。
北京市2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案
北京市2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案第二学期高一年级下学期期末诊断性考试数学试题卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、设 $x=\frac{\pi}{6}$，则 $\tan(\pi+x)$ 等于（）A。
$-\sqrt{3}$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$\sqrt{3}$2、设函数 $f(x)=\begin{cases} -x。
& x\leq 0.\\ x+1.&x>0.\end{cases}$ 则 $f(f(-1))$ 的值为（）A。
$-2$ B。
$-1$ C。
$1$ D。
$2$3、函数 $f(x)=e^x+2x-3$ 的零点所在的一个区间是（）A。
$\left(-\infty,0\right]$ B。
$\left[0,\frac{1}{2}\right]$ C。
$\left[\frac{1}{2},1\right]$ D。
$\left[1,+\infty\right)$4、函数 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=-x+1$，则当 $x<0$ 时，$f(x)$ 的表达式为（）A。
$f(x)=-x+1$ B。
$f(x)=-x-1$ C。
$f(x)=x+1$ D。
$f(x)=x-1$5、设 $D,E,F$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边$BC,CA,AB$ 的中点，则 $EB+FC=$A。
$\frac{1}{2}AB$ B。
$\frac{1}{2}AC$ C。
$\frac{1}{2}BC$ D。
$\frac{3}{4}AB$6、函数 $y=\frac{1}{x^2}+\ln x^2$ 的图象可能是（）A。
向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 B。
向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 C。
哈尔滨市第六中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案
试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。
高中高一数学下学期期末考试卷
高中高一数学下学期期末考试卷2021年高中高一数学下学期期末考试卷【】温习的重点一是要掌握一切的知识点，二就是要少量的做题，查字典数学网的编辑就为各位考生带来了2021年高中高一数学下学期期末考试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分.1. 假定那么2.假定集合A满足，那么集合A=3. 幂函数的图象经过，那么 _______________4.函数必过定点5. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标区分为，那么 ;6.某班共40人，其中17人喜欢篮球运动，20人喜欢兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，那么喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为_ _.7.设，，那么 , 的大小关系是(从小到大陈列)8. 函数的一个零点比1大，一个零点比1小，那么实数a 的取值范围______________.9. , 那么lg108=_______________ .(用 a, b 表示)10. ，，且，那么的取值集合是______ .11.设是定义在上的奇函数，当时， ( 为常数)，那么 .12. 假定f(x)为R上的奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(-3)=0,那么的解集为13. 假定函数的图像上的恣意一点都在函数的下方，那么实数的取值范围是____________14.以下判别正确的选项是 (把正确的序号都填上).①函数y=|x-1|与y=x-1，x11-x，x1是同一函数;②假定函数在区间上递增，在区间上也递增，那么函数必在上递增;③对定义在上的函数，假定，那么函数必不是偶函数;④函数在上单调递减;⑤假定是函数的零点，且，那么 .二、解答题：本大题共6小题，合计90分.15.(此题14分)集合A={x| }，B={x|x1},(1)求 ; (2)假定选集U= ，求CU(A(3)假定，且，求的取值范围.16. (此题14分)计算以下各式的值：(1) ; (2)17.(此题14分)(1)求的定义域;(2)求使 0成立的x的取值范围.18.(此题16分)函数是奇函数，并且函数的图像经过点，(1)务实数的值;(2)求函数的值域;(3)证明函数在(0,+ 上单调递减,并写出的单调区间. 19.(此题16分)二次函数满足(1)求函数的解析式 ;(2)假定在上恒成立，务实数的取值范围;(3)求当 ( 0)时的最大值 .20. (此题16分)提高过江大桥的车辆通行才干可改善整个城市的交通状况.在普通状况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度到达200辆/千米时，形成梗塞，此时车流速度为0;当车流密度不超越20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研讨说明：当20200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0200时，求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=xv(x)可以到达最大，并求出最大值.(准确到1辆/小时)以上就是查字典数学网高中频道为您整理的2021年高中高一数学下学期期末考试卷，欢迎大家进入高考频道了解2021年信息，协助同窗们学业有成!。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
2021年高一下学期期末考试数学试题
2021年高一下学期期末考试数学试题一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)1.（）（A）21（B）23（C）－21（D）－232.向量，，则（）（A）∥（B）⊥（C）与的夹角为60°（D）与的夹角为30°3.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影（）（A）（B）2 （C）（D）104.下面四个函数中，既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数的是 ( )（A）（B）（C）（D）5.函数的最小正周期是（）（A）（B）（C）（D）6.计算： ( )（A）（B）（C）（D）7.函数的一个单调递增区间是 ( )（A）（B）（C）（D）8.下列程序的功能是 ( )（A）求1×2×3×4×…×10 000的值（B）求2×4×6×8×…×10 000的值（C）求3×5×7×9×…×10 000的值（D）求满足1×3×5×…×n>10 000的最小正整数n9.用秦九韶算法计算的值时，当时，的值为 ( ) （A）0 （B）80 （C）-80 （D）-3210.已知集合，从中任取两个元素分别作为点的横坐标与纵坐标，则点恰好落入圆内的概率是（）（A）（B）（C）（D）11.如图是函数一个周期的图象，则的值等于 ( )（A）（B）22（C）2＋（D）212.已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是( )（A）(2,0) （B）(4,0) （C），010（D）(3,0)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.整数459与357的最大公约数是________．14.为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：分组151.5～158．5 158.5～165．5 165.5～172．5 172.5～179．5 频数 6 21频率 a 0.115.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是16.若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”，依此规定，能说明向量“线性相关”的实数依次可以取 .（只写出一组数值即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00—12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如下所示的统计图，（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？（2）甲交通站的车流量在间的频率是多少？（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．18.（本小题满分12分）已知向量，.（1）求和；（2）当为何值时，．19.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的周期和振幅；（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出在一个周期内的图象;（Ⅲ）写出函数的单调递减区间。
2021年高一下学期期末考试 数学 Word版含答案
江苏淮安市xx －xx 学年度高一年级学业质量调查测试2021年高一下学期期末考试 数学 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.已知集合,则 ▲ .2.某县区有三所高中，共有高一学生4000人,且三所学校的高一学生人数之比为.现要从该区高一学生中随机抽取一个容量为的样本,则校被抽到的学生人数为 ▲ 人.3.若角ɑ的终边经过点，且，，则实数的取值范围是 ▲ .4.函数的定义域是 ▲ .5.若向量满足,且与的夹角为, 则 ▲ .6．运行如图所示的算法流程图,则输出的值为 ▲ . 7.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为5的概率是 ▲ . 8.已知实数满足,则的最大值是 ▲ . 9.已知数列是等差数列,且,则 ▲ . 10.已知实数满足，则的最大值为 ▲ ． 11.已知，，则= ▲ ．12.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则 ▲ . 13.已知为的边上一点,若,则的最大值为 ▲ .14.正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 ▲ .二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 15.(本小题满分14分)已知向量. (1) 若∥,求的值;(2) 若,且,求的值.16.(本小题满分14分)已知的周长为,且. (1) 求边的长;(2) 若的面积为,求角的值.17.(本小题满分14分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据， 制成如图所示的茎叶图.（1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.(本小题满分16分)在某文艺会场中央有一块边长为米(为常数)的正方形地面全彩LED 显示屏如图所示，点分别为边上异于点的动点.现在顶点处有视角的摄像机，正录制移动区域内表演的某个文艺节目.设米,米. (1) 试将表示为的函数; (2) 求面积的最大值.甲 乙 2 12 44 3 1 1 11 0 2 57 10 8 9 第17题图19.(本小题满分16分)已知函数.(1) 若关于的不等式的解集为,求实数的值；(2) 设,若不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围；(3) 设,解关于的不等式组.20.(本小题满分16分)已知递增数列的前项和为,且满足,.设,且数列的前项和为.(1) 求证:数列为等差数列；(2) 试求所有的正整数,使得为整数；(3) 若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.江苏省淮安市xx－xx学年度高一年级学业质量调查测试数学参考答案与评分标准一、填空题：1.;2.;3.;4. ;5. ;6. ;7. ;8.; 9. ; 10.4; 11.1; 12.31; 13.; 14.;二.解答题15. (1)因为//,所以,……………………………………………2分所以,即,………………………………4分解得或(舍去),所以. ……………………………………7分 (2)因为,所以,即,所以,即, ………………………………………………………9分 因为,所以,所以,, ………………………………………………………………12分所以11724cos(2)cos223222525πααα-==⨯=…………14分 16. (1)设所对的边分别为,由,得, ……………………………………………………2分又因为,所以,即, ……………4分 又,所以,,即.……………………………6分 (2)由已知得,因为,所以, ……………………8分 由(1)知,所以, …………………………………………………………………………12分 因为,所以. ……………………………………………………………14分17.（1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 ，方差分别为 、， 则1221141131111111071136X +++++==甲，……………………………1分1241101121151081091136X +++++==乙，………………………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦， ………………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦， …………………6分由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；………………………………7分 （2）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109 ．…………………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109．………………………………………11分所以抽取两件样品重量之差不超过2克的概率为．………………………14分 18.(1)由题意得,因为,所以,…………………………………………2分所以tan tan tan()11tan tan EAD EABEAD EAB EAD EAB∠+∠∠+∠==-∠∠,即,………………5分所以,其中. ………………………………………………………7分 (2)由,知的面积,…………………………………………9分 设,则,其中,所以 ,…………14分当且仅当,即时取等号, …………………………………………15分 故面积的最大值为.………………………………………………16分 19. (1)因为不等式的解集为， 所以由题意得为函数的两个根,所以,解得.……………………………………4分(2)当时,恒成立,即恒成立.因为 ,所以, ………………………………6分解之得,所以实数的取值范围为.……………………………………8分 (3)当时,,的图象的对称轴为.(ⅰ)当,即时,由,得,…………………………………10分 (ⅱ)当,即或时①当时,由,得,所以,②当时,由,得,所以或,………………12分 (ⅲ)当,即或时,方程的两个根为, ,①当时,由知,所以的解为或,②当时,由知,所以的解为,…………………14分 综上所述,当时,不等式组的解集为()a a -++∞,当时,不等式组的解集为.…………………………………………………16分 20.(1)由,得,………………………2分 所以,即,即, 所以或,即或,……………………………………………4分若,则有,又,所以,则,这与数列递增矛盾,所以,故数列为等差数列.……………………………6分 (2) 由（1）知,所以222241274112661414121m m m m m m m -----===----,………………………………………8分 因为,所以,又且为奇数,所以或,故的值为或.……………………………………………………………10分 (3) 由(1)知,则,所以111111[(1)()()]23352121n n =-+-++--+,……………………………………………………………………12分从而对任意恒成立等价于,当为奇数时,恒成立,记,则,当时取等号,所以,当为偶数时,恒成立.记,因为递增,所以,所以.综上,实数的取值范围为.………………………………………16分26439 6747 杇\39834 9B9A 鮚ct25993 6589 斉 :p24207 5E8F 序 l22143 567F 噿37771 938B 鎋。
浙江省2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案
高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a 、b 、R c ∈，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是.A 22b a < .B 22bc ac < .C ba 11> .D ab a 11>-2.数列}{n a ：3-、3、33-、9、…的一个通项公式是.A n a n n 3)1(-=(*∈N n ) .B n n n a 3)1(-=(*∈N n ) .C n a n n 3)1(1+-= (*∈N n ) .D n n n a 3)1(1+-=(*∈N n )3.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确．．．的是 .A 若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥ .B 若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m .C 若l ⊥α，α⊥m ，则l ∥m .D 若l ∥α,m ∥α,则l ∥m4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若84=S ，48=S ，则=+++1211109a a a a.A 16- .B 12- .C 12 .D 165.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是.A 10=a ，8=b ， 30=A .B 8=a ，10=b ， 45=A .C 10=a ，8=b ， 150=A .D 8=a ，10=b ， 60=A6. 已知数列}{n a 满足21=a ，)(111*+∈+-=N n a a a n n n ，则=30a .A 2 .B 31 .C 21- .D 3- 7.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是 .A )12,2(--a a .B )2,12(--a a .C ),12()2,(+∞---∞a a .D ),2()12,(+∞---∞ a a8.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线.A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 9.若不等式33922++≤≤+t t t t μ对任意的]2,0(∈t 上恒成立，则μ的取值范围是 .A ]2172,61[- .B ]2172,132[- .C ]22,61[ .D ]22,132[ 10.如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论： ①601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；AA 1CBC 1B 1（第10题图）③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45； ④11AC C B ⊥. 其中正确的结论是.A ①③ .B ②④ .C ①③④ .D ①②③④二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置11.求值：=+7cos 52cos 83cos 52sin ___________. 积为12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为23π，那么它的表面___________.13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.14.正数x 、y 满足8=++y x xy ，那么y x +的最小值等于___________.15.已知数列}{n a 是首项为3，公差为1的等差数列，数列}{n b 是首项为21，公比也为21的等比数列，其中*∈N n ，那么数 正视图侧视图俯视图（第13题图）列}{n n b a 的前n 项和=n S ________.16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等差数列，则角B的取值范围是__________(角用弧度表示).17.在数列}{n a 中，11=a ，326=a ， 212++=n n n a a a （*∈N n ），把数列的各项按如下方法进行分组：(1a )、(432,,a a a )、(98765,,,,a a a a a )、……，记),(n m A 为第m 组的第n 个数（从前到后），若),(n m A ),(m n A ⋅=502，则=+n m ____________.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）(Ⅰ)已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值； (Ⅱ)已知202πβαπ<<<<-，53)cos(=-βa ，135sin =β，求αtan 的值.19.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且C c B b a A a sin sin )(sin =++.(Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若1=c ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.20．（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数)(x f 与时刻x（时）的关系为916|1|)(2++-+=a a x x a x f ，]24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且]41,0(∈a ，用每天)(x f 的最大值作为当天的污染指数，记作)(a M .(Ⅰ)令12+=x xt ，]24,0[∈x ，求t 的取值范围； (Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为菱形，PA ⊥面ABCD ，且AB PA =，60=∠BAD ,F E 、分别是BC PA 、的中点.(Ⅰ)求证：BE ∥平面PDF ；(Ⅱ)过BD 作一平面交棱PC 于点M ，若二面角C BD M --的大小为60，求MPCM的值.PMFADEC B(第21题图)22.（本题满分15分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且12+n a 、n S 、2a -成等差数列，其中*∈N n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n b 满足：)18)(18(21--=++n n nn a a a b ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T 及数列}{n T 的最大项.第二学期八校联考高一数学参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）因为πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, ……5分 917)98(12cos 2-=---=θ. ………………………………………………7分 （Ⅱ）因为20πβ<<且135sin =β，所以125tan =β， ……………………………9分因为202πβαπ<<<<-，所以0<-<-βαπ，又053)cos(>=-βα,所以02<-<-βαπ，所以34)tan(-=-βα，……11分所以563312534112534])tan[(tan -=⋅++-=+-=ββαα.……………………………14分因为 600<<A ，所以1206060<+<A ，1)60sin(23≤+< A ， 32)60sin(321≤+<A ，所以1322+≤<l ，即13322+≤<l . ………14分法2：由余弦定理得，ab b a ab b a c ++=-+=22222120cos 2， …………9分 而1=c ，故2222)(43)2()()(1b a b a b a ab b a +=+-+≥-+=，………………11分 所以332≤+b a ， …………………………………………………………………12分 又1=>+c b a ， ……………………………………………………………………13分所以13322+≤++<c b a ，即13322+≤<l . ………………………………14分20.（本题满分14分）(Ⅰ)(1)当0=x 时，0=t ；………………………………………………………………1分)(t g 在),0[a 上单调递减，在]21,[a 上单调递增，所以)(t g 的最大值只可能在0=t 或21=t21.（本题满分15分）(Ⅰ)取PD 的中点G ,连结EG 、FG ,PMDECG因为E 是PA 的中点，所以EG ∥AD ,且EG AD 21=，又F 是菱形ABCD 边BC 的中点，所以BF ∥AD ,且BF AD 21=， 所以EG ∥BC ,且EG BC =，四边形EGFB 是平行四边形，所以BE ∥FG ,……………………………………………5分而⊂FG 平面PDF ,⊄BE 平面PDF ，……………………………………………6分所以BE ∥平面PDF .…………………………………………………………………7分(Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结OM ，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD ，即BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，且A AC PA = ,所以BD ⊥平面PAC ，…………10分从而BD OM ⊥,BD OC ⊥,所以MOC ∠就是二面角C BD M --的平面角，60=∠MOC ，………………………………………………………………………12分设1=AB ,因为AB PA =，60=∠BAD ，所以1=PA ,3=AC ,2=PC ,30=∠PCA ,所以 90=∠OMC ,在OCM Rt ∆中,4330cos 23==CM ，…14分所以5343243=-=MP CM ……………………………………………………………15分22.（本题满分15分）(Ⅰ) 由12+n a 、n S 、2a -成等差数列知，2122a a S n n -=+，………………………1分当2≥n 时，2122a a S n n -=-，所以n n n n a a S S 222211-=-+-，n n a a 21=+ ……………………………………4分 当1=n 时，由22122a a a -=得122a a =， ……………………………………5分综上知，对任何*∈N n ,都有n n a a 21=+,又11=a ，所以0≠n a ，21=+nn a a .…6分 所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a . ……………7分(Ⅱ))182)(182(2)18)(18(112!--=--=+-++n n n n n n n a a a b )18211821(211---=+n n ……10分)182118211821182118211821(2113221---++---+---=+n n n T)1821161(21)18211821(21111---=---=++n n ，……………………………12分 )182)(92(2)18211821(21111211--=---=-++-+++n n n n n n n T T ， 当2≤n 时，n n T T >+1，即3210T T T <<<；当4≥n 时，也有n n T T >+1，但0<n T ；当3=n 时，01<-+n n T T ，n n T T <+1，即34T T <.所以数列}{n T 的的最大项是3273T . ……………………………………………15分。
2021年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2021年高一数学下学期期末考试试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•=．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．xx学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值si n210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．故选D点评：本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角．解答：解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cosθ，其中θ为向量与的夹角，∵==，∴cosθ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．t33181 819D 膝32203 7DCB 緋27654 6C06 氆27207 6A47 橇 23273 5AE9 嫩j25952 6560 敠 ^l33905 8471 葱X。
2021-2022年高一下学期期末考试数学试题(A卷) 含答案
2021年高一下学期期末考试数学试题（A 卷） 含答案高一数学试题（A 卷）及参考答案时量：120分钟 分值：150分 ．适用学校：全市各高中使用A 卷学校． 内容：数学必修②第二章，数学必修③，数学必修④．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(平面向量) 已知平面向量，，且与平行，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.(三角函数) 的值是（ ）A ． B ． C ． D ．3.(概率) 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4.(算法,5.(统计)某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃-5 04712 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图a=b b=a （A ） c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ）a=c c=b b=a （D ）及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（）.A. 143B. 141C. 138D. 134（单词提示：Linear 线性）6.(统计)要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（）A．B．C．D．7.(平面向量)如右下图所示，是的边上的中点，记，，则向量（）A．B．C．D．8.(平面向量)若,，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．9.(算法)右边程序执行后输出的结果是（）A. B． C． D．10.(圆一般方程)直线与圆相切，则的值为（）A． B．或 C．11.(三角函数)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C. D.12.(三角变换)已知，，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上）13.(圆的方程)以为直径两端点的圆的标准方程为．14.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式，是= 13，即转换成十进制数是13，那么类似可定义k进制数为“逢k进一”，则8进制数转换成十进制数是_________15.(统计)一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间上的频率为__________________.16.(算法)右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________17.(统计)某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部三个年级的学生人数共有人.18.(三角函数)函数的最小正周期为是19.(平面向量)已知，若＝5，⊥，则向量______20.(三角函数)函数的单调递减区间是__________________三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21.(平面向量)已知，，.（1）求（2）求.22.(三角函数)已知函数的图形的一个最高点为，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过，求这个函数的解析式.23.(统计)某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数.24.(概率) 某次游园的一项活动中，设置了两个中奖方案：方案1：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖； 方案2：从一个装有2个红球和3个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖.两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由.25.(三角变换)已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点. 是扇形的内接矩形，记.（1）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值. （2）当矩形的面积为时，求角的值. 附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；θOQDCPBA（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.27．如图，已知在三角形中，,，. (1) 求向量的模；(2)若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求这个最大值.28. 在三角形中 （1）若，求的值. （2）若，求证：.珠海市xx ～xx 学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题及参考答案一、选择题1、C2、D3、D4、B5、B6、B7、B8、D9、B 10、B 11、C 12、C二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21.解：（1）………………………………………………………………（1分） 即…………………………………………………………（3分） 即………………………………………………………（4分） ……………………………………………………………（5分） （2） …………………………………………………（7分）CAB而2222222()2242631a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=………………（9分）…………………………………………（10分）22、解：由题意可知：，………………………………………………………（1分） ，即………………………………………………………（3分） 由周期公式可得到：，又，…………………………（4分） ……………………………………………………………（5分） 又函数图像过点，即…………………………………（7分） 又…………………………………………………………………（9分） 所以函数解析式是：……………………………………（10分）23.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=（人）……………（2分） （2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数（人）………………………（2分） （3）由图可知众数落在第三组，是………………………（5分） 因为数据落在第一、二组的频率数据落在第一、二、三组的频率…………（6分）所以中位数一定落在第三组中. ………………………………（7分） 假设中位数是，所以……………………（9分） 解得中位数…………………………………（10分）24.解：（1）设正方形边长为2，则圆半径为，中奖概率为.…………………（4分） （2）从袋中5个球中摸出2个，试验的结果共有（种）………………（5分） 中奖的情况分为两种：（i ）2个球都是红色，包含的基本事件数为；………………………………（6分） （ii ）2个球都是白色，包含的基本事件数为.……………………………（7分） 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为1+3=4. 因此，中奖概率为.…………（9分） 由于，所以方案1的中奖率更高. …………………………………………（10分）25.解：(1)在中：，……………………（1分）在中：所以…………………………………（2分）所以……………………………………（3分）所以矩形的面积……………………（4分）………………………………（6分）由，得，所以当，即时，……………（7分）(2)当时，即……………（8分）又因为，所以，即…………………（10分）附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.解：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有（种）……………………………（1分）中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为；…………………………（2分）（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为.…………………………（3分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为36+16=52. 因此,中奖概率为.………………………（4分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为；……………………………………………………………（5分）记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为. ………………………………………………………（6分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分. ………………………………………………………（8分）根据几何概型公式，得到.所以，甲比乙提前到达的概率为. ………………………………（10分）27．如图，已知在三角形中，,，.(1) 求向量的模；(2)若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求这个最大值.解：（1）………………………………（1分）222222AB AC BC AB AC AB BC AC BC=+++⋅+⋅+⋅……………………（2分）222343452340235()24555=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯……………………（3分）…………………………………………………………………………………（4分）（另解：用几何法，根据向量加法的平行四边形法则，画图，很快可得）（2）……………………………………………（5分）……………………………………（6分）…………………………………………………（7分）……………………………………………………（8分）………………………………………………………（9分）当即时，……………………………（10分）CA B28. 在三角形中（1）若，求的值.（2）若，求证：.解：（1）由得即……………………………（1分）即即…………………………………………………（2分）即…………………………………………（3分）即即…………………………………………………（4分）（2）由已知得：都为锐角，…………………………………………（5分）……………………………（6分）……………………………………………（7分）是方程的两个实根……………（8分）即即即或（舍去）………………………………………（9分）又因为为锐角，所以所以…………………………………………（10分）。